ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ
ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΙΙ
ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΑΝΤΖΟΥΛΑΚΟΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3
Στοχαστική ανεξαρτησία Πολυδιάστατες τυχαίες
µεταβλητές
3.1 Ανεξαρτησία δύο τυχαίων µεταβλητών
Ορισµός: Οι τ.µ. Χ, Υ λέγονται ανεξάρτητες, αν για οποιαδήποτε* υποσύνολα πραγµατικών αριθµών Α, Β ισχύει ότι
( , ) ( ) ( )
P X A Y B P X A P Y B .
Στην αντίθετη περίπτωση, οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ λέγονται εξαρτηµένες.
Πρόταση: Έστω Χ, Υ δύο τ.µ. (διακριτές ή συνεχείς) µε από κοινού συνάρτηση κατανοµής ( , )F x y . Τότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, αν και µόνο αν ισχύει
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y
F x y F x F y x y R.
Απόδειξη: Ευθύ: Έστω Χ, Υ ανεξάρτητες τ.µ. Ορίζω τα υποσύνολα του R ( , ]
A x , B ( , ]y , x R και y R. Εφαρµόζοντας τη σχέση
( , ) ( ) ( )
P X A Y B P X A P Y B παίρνουµε
( , ) ( ) ( )
P X x Y y P X x P Y y ή ισοδύναµα
( , ) X( ) ( ).Y F x y F x F y
Αντίστροφο: Αποδεικνύεται ότι αληθεύει και το αντίστροφο.
Πρόταση: Έστω Χ, Υ δύο διακριτές (συνεχείς) τ.µ. και έστω ( , )f x y η από κοινού συνάρτηση πιθανότητάς (πυκνότητάς) τους. Οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ είναι ανεξάρτητες, αν και µόνο αν ισχύει
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y
f x y f x f y x y R.
Απόδειξη: Ευθύ: Έστω Χ, Υ δύο ανεξάρτητες διακριτές τ.µ. Ορίζω τα υποσύνολα του R, A { }x και B { }y για x R και y R. Εφαρµόζοντας τη σχέση
( , ) ( ) ( )
P X A Y B P X A P Y B προκύπτει άµεσα ότι
( , ) ( ) ( ) ή αλλιώς ( , ) X( ) ( ).Y
P X x Y y P X x P Y y f x y f x f y
Αντίστροφο: Αντίστροφα για οποιαδήποτε υποσύνολα πραγµατικών αριθµών Α, Β έχουµε
( , ) ( , ) X( ) ( )Y
x A y B x A y B
P X A Y B f x y f x f y
X( ) Y( ) X( ) ( )
x A y B x A
f x f y f x P Y B
( ) X( ) ( ) ( )
x A
P Y B f x P Y B P X A
.Ανάλογη απόδειξη µπορεί να γίνει και στην περίπτωση που οι τ.µ. Χ και Υ είναι συνεχείς. Πρόταση:Έστω Χ, Υ δύο διακριτές (συνεχείς) τ.µ. και έστω ( , )f x y η από κοινού συνάρτηση πιθανότητάς (πυκνότητάς) τους. Αν υπάρχουν συναρτήσεις µιας µεταβλητής
1( )
f x , f y2( ) τέτοιες ώστε να ισχύει
1 2
( , ) ( ) ( ), για κάθε , f x y f x f y x y R τότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
Σηµειώνεται ότι όταν οι τιµές των ,x y δεν µεταβάλλονται ελεύθερα (π.χ. όταν ικανοποιούν σχέσεις της µορφής x y ή x2 y2 4, κ.ά.) τότε οι τ.µ. Χ, Υ είναι πολύ πιθανό να είναι εξαρτηµένες.
Παρατήρηση: Από την παραπάνω πρόταση δεν συνεπάγεται ότι f x1( ) f xX( ) και
2( ) Y( ) f y f y .
Έλεγχος ανεξαρτησίας δύο τ.µ. X, Y
Για να αποδείξουµε ανεξαρτησία δύο τ.µ. χρησιµοποιούµε συνήθως κάποια από τις τρεις παραπάνω προτάσεις (δεν χρησιµοποιούµε τον ορισµό).
Στην πράξη αναγνωρίζουµε την ανεξαρτησία δύο τ.µ. από την περιγραφή τους.
Δύο απλά παραδείγµατα ανεξάρτητων τ.µ. είναι τα εξής:
(i) Πείραµα τύχης η ρίψη ενός ζαριού δύο φορές, όπου Χ: αποτέλεσµα της πρώτης ρίψης, Υ: αποτέλεσµα της δεύτερης ρίψης.
(ii) Το ύψος των πωλήσεων Χ ενός καταστήµατος πώλησης υποδηµάτων και οι πωλήσεις Υ ενός καταστήµατος εµπορίας κινητών τηλεφώνων.
3.2 Ιδιότητες ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών
Πρόταση: Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και g x( ) :R R, ( ) :
h y R R είναι δύο πραγµατικές συναρτήσεις, τότε οι τυχαίες µεταβλητές Z g X( ) και W h Y( ) θα είναι ανεξάρτητες.
Απόδειξη: Αρκεί να δείξουµε ότι
( , ) ( , ) Z( ) ( ), για κάθε z,W
F z w P Z z W w F z F w w R. Για οποιαδήποτε z,wR έχουµε
( , ) ( , ) ( ( ) , ( ) )
F z w P Z z W w P g X z h Y w . Ορίζοντας τα σύνολα
{ : ( ) }
A x R g x z , B {y R h y: ( ) w} προκύπτει ότι
( , ) ( ( ) , ( ) ) ( , )
F z w P g X z h Y w P X A Y B . Λόγω της ανεξαρτησίας των τ.µ. Χ, Υ προκύπτει ότι
( , ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) Z( ) ( )W
F z w P X A P Y B P g X z P h Y w P Z z P W w F z F w .
Πρόταση: Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές τότε ( ) ( ) ( )
E XY E X E Y
(µε την προϋπόθεση ότι οι µέσες τιµές που εµφανίζονται στο δεξί µέλος υπάρχουν).
Απόδειξη: Για συνεχείς τ.µ. έχουµε (E XY) xyf x y dydx( , )
xyf x f y dydxX( ) ( )Y [Λόγω ανεξαρτησίας]
xf xX( )
yf y dy dxY( )
E Y( )
xf x dxX( ) E X E Y( ) ( ) .Για διακριτές τ.µ. η απόδειξη είναι ανάλογη. Προσοχή: Αν (E XY) E X E Y( ) ( ), δεν µπορούµε να ισχυριστούµε ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες (µπορεί να είναι, µπορεί και όχι). Αν όµως (E XY) E X E Y( ) ( ), τότε οι τ.µ. Χ, Υ δεν είναι ανεξάρτητες.
Πόρισµα: Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές και g x( ) :R R, ( ) :
h y R R είναι δύο πραγµατικές συναρτήσεις τέτοιες ώστε να υπάρχουν οι µέσες τιµές ( ( ))E g X και ( ( ))E h Y , τότε
( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) E g X h Y E g X E h Y .
Ανεξαρτησία και δεσµευµένες κατανοµές και µέσες τιµές
Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε για ( ) 0f yY , έχουµε
|
( , ) ( ) ( )
( | ) ( ),
( ) ( )
X Y
X Y X
Y Y
f x y f x f y
f x y f x x
f y f y
.
Οµοίως
| ( | ) Y( ),
fY X y x f y y .
Αν Χ, Υ είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές, τότε είναι εύκολο να διαπιστωθεί η ισχύς των παρακάτω σχέσεων:
P(α X β |Y y) P(α X β)
P(γ Y δ |X x) P(γ Y δ)
FX Y| ( | )x y F xX( ), x R
FY X| ( | )y x F yY( ), y R
E X Y( | y) E X( )
E g X( ( ) |Y y) E g X( ( ))
E Y X( | x) E Y( )
E h Y( ( ) |X x) E h Y( ( ))
V X Y( | y) V X( )
V Y X( | x) V Y( )
Άσκηση 3.1: Η α.κ.σ.π. της διδιάστατης διακριτής τυχαίας µεταβλητής ( , )X Y δίνεται στον ακόλουθο πίνακα
( , ) ( , )
f x y P X x Y y
y
x 0 1 2 3
0 h 2h 3h 4h 1 4h 6h 8h 2h 2 9h 12h 3h 6h όπου h µια πραγµατική σταθερά.
α. Να υπολογιστεί η τιµή του h.
β. Να υπολογιστούν οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών Χ και Υ.
γ. Να εξεταστεί αν οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ είναι ανεξάρτητες.
Λύση:
α.-β. Κατασκευάζουµε τον ακόλουθο πίνακα
( , ) ( , )
f x y P X x Y y y
x 0 1 2 3 f xX( ) 0 h 2h 3h 4h 10h 1 4h 6h 8h 2h 20h 2 9h 12h 3h 6h 30h
Y( )
f y 14h 20h 14h 12h 60h Από την ιδιότητα
( , ) ,
( , ) 1
x y RX Y
f x y
παίρνουµε ότι 60h 1, οπότε h 1/60. Έτσι οι περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας των τυχαίων µεταβλητών Χ και Υ είναι10 / 60, 0
( ) 20 / 60, 1
30 / 60, 2
X
x
f x x
x
και
14/60, 0
20/60, 1
( ) 14/60, 2
12/60, 3
Y
y f y y
y y
γ. Για να είναι ανεξάρτητες οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ αρκεί να ισχύει ότι ( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y
f x y f x f y x y R . Όµως, για παράδειγµα,
(1, 2) 8 / 60
f
(1) 20 / 60 fX
(2) 14/60 fY
(1) (2) (20/60)(14/60) 7 /90
X Y
f f .
Επειδή (1, 2)f fX(1) (2)fY οι τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ δεν µπορούν να είναι ανεξάρτητες.
Άσκηση 3.2: Οι χρόνοι ζωής, σε ηµέρες, δύο µικροοργανισµών που ζουν µέσα σε µια λίµνη, περιγράφονται από δύο συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ µε από κοινού συνάρτηση κατανοµής
3 2 3
2/4 /8 (2 )/8
( , ) 1 x y x y , , 0
F x y e e e x y . α. Να εξεταστεί αν οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
β. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες
i. µετά από 2 ηµέρες να µην ζει κανένας από τους δύο µικροοργανισµούς.
ii. µετά από 2 ηµέρες να ζει τουλάχιστον ένας από τους δύο µικροοργανισµούς.
iii. µετά από 2 ηµέρες να ζουν και οι δύο µικροοργανισµοί.
γ. Να υπολογιστούν οι µέσες τιµές (E X Y) και E XY( ).
x 0
1 2
3
4
y
0
1 2
3 4 z
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
F(x,y)
Λύση: α. Θα εξετάσουµε αν ισχύει η σχέση
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y
F x y F x F y x y R. Για x 0, έχουµε
X( ) lim ( , ) lim(1 x2/ 4 y3/8 (2x2 y3) /8)
y y
F x F x y e e e
1 x2/4 lim y3/8 ( 2 /8x2 ) lim y3/8
y y
e e e e
2 3 2 3
/ 4 2 / 8
/ 8 / 8
1 1
1 x lim y ( x ) lim y
y y
e e
e e
1 ex2/ 4 0 (e2 /8x2 ) 0 1 ex2/ 4.
Για y 0, έχουµε
F yY( ) lim ( , )x F x y xlim(1 ex2/ 4 ey3/ 8 e(2x2y3) / 8)
1 lim x2/4 y3/8 ( y3/8) lim 2 /8x2
x e e e y e
1 ey3/ 8.
Παρατηρούµε ότι για κάθε x y, 0 ισχύει ότι ( , )F x y F x F yX( ) ( )Y , αφού
3 2 3 3
2/ 4 /8 (2 )/8 2/4 /8
1ex ey e x y (1ex )(1ey ).
Επίσης ισχύει η σχέση ( , )F x y F x F yX( ) ( )Y για x 0 ή y 0 (γιατί;).
Συνεπώς, από τα παραπάνω προκύπτει ότι ισχύει η σχέση ( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y F x y F x F y x y R
οπότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
β. i.
2 3
2 3 (2 2 2 )/8
2 / 4 2 /8 1 1 2
( 2, 2) (2, 2) 1 1 0.4
P X Y F e e e e e e
ii. (P X 2 ήY 2) 1 P X( 2,Y 2) 1 0.4 0.6 .
iii. ανεξαρτησία
( 2, 2) ( 2) ( 2) [1 ( 2)][1 ( 2)]
P X Y P X P Y P X P Y
2 3
2 /4 2 /8 1 1 2
[1 FX(2)][1 FY(2)] (e )(e ) ( )( )e e e 0.135
.
γ. ( ) Γ( )1 π
E X 2 , ( ) 2Γ( ) 1.791 3 3
E Y , (E XY) E X E Y( ) ( ) 1.59.
Άσκηση 3.3: Ο αριθµός χιλιοµέτρων (σε δεκάδες χιλιάδες) τα οποία διανύει ένα δίκυκλο εφοδιασµένο µε λάστιχα τύπου α, µέχρι να χρειαστεί να γίνει αντικατάστασή τους, περιγράφεται από µια συνεχή τυχαία µεταβλητή Χ µε συνάρτηση πυκνότητας
1 / 3
( ) , 0
3
x
f xX e x .
Ο αντίστοιχος αριθµός χιλιοµέτρων Υ για λάστιχα τύπου β είναι επίσης συνεχής τυχαία µεταβλητή µε συνάρτηση πυκνότητας
1 / 4
( ) , 0
4
y
f yY e y .
Αν σε ένα δίκυκλο τοποθετηθεί ένα λάστιχο τύπου α και ένα λάστιχο τύπου β ποια είναι η πιθανότητα
α. το λάστιχο τύπου Ι να φθαρεί πριν από το λάστιχο τύπου β;
β. να µπορούν να διανυθούν µε το λάστιχο τύπου β τουλάχιστον 10000 χιλιόµετρα περισσότερα από ότι µε το λάστιχο α;
Υπόδειξη: Να θεωρηθεί ότι οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
Λύση:α. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η
Γ
( ) (( , ) Γ) ( , )
P X Y P X Y
f x y dxdyόπου Γ {( , )x y R2:x 0, y 0, x y}.
Αφού οι τ.µ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες έχουµε ότι η ( , )f x y δίνεται από τον τύπο
( / 3) ( / 4))
1 , , 0
( , ) ( ) ( ) 12
0, αλλού.
x y
X Y
e x y f x y f x f y
Έτσι
/ 3 / 4
0 0
1 1
( )
3 4
y x y
P X Y e e dxdy
/ 4 / 3
0 0
1 1
4 3
y y x
e e dx dy
041ey/ 4
1ey/ 3
dy
014ey/ 4dy
041e(7 /12)ydy(7 / 12)
0
1 12 7 1 12 16 4
1 1
4 7 12 4 7 28 7
e ydy
.λ
λ 0
λ λt
0
λ λt
( ) λ , 0, λ 0
1 λ
( ) λ 1 , 0
λ 1 ( ) , 0
x
x
t x
x t
f x e x
e dx
F t e dx e t
e dx F t e t
β. Η ζητούµενη πιθανότητα είναι η
Γ
( 1) (( , ) Γ) ( , )
P Y X P X Y f x y dxdy
όπου Γ {( , )x y R2:x 0, y 0, y x 1}. Έτσι
/ 3 / 4
0 1
1 1
( 1)
3 4
x y
P Y X x e e dydx
/3 / 4
0 1
1 1
3 4
y x
e x e dy dx
/ 3 ( 1) / 40
1 3
x
e x e dx
(7 3) /12
0
1 3
e x dx
3 / 12 7 / 12
0
1 3
e ex dx
1 / 4 7 / 12
0
1 12 7
3 7 12
e e x dx
1 1 / 4 12 (1) 4 1 / 4 3 e 7 7e
.
Άσκηση 3.4: Στις παρακάτω περιπτώσεις να δειχτεί ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες χωρίς να υπολογιστούν οι περιθώριες κατανοµές τους.
α.
3 1 1 2
( , ) , , 0, 1, 2,...
8 2 2
x y
f x y x y
β. f x y( , ) 8 xy3, 0 x 1, 0 y 1. γ. ( , ) 1 / ,f x y ab 0 x a, 0 y b.
Πρόταση:Έστω Χ, Υ δύο διακριτές (συνεχείς) τ.µ. και έστω ( , )f x y η από κοινού συνάρτηση πιθανότητάς (πυκνότητάς) τους. Αν υπάρχουν συναρτήσεις µιας µεταβλητής
1( )
f x , f y2( ) τέτοιες ώστε να ισχύει
1 2
( , ) ( ) ( ), για κάθε ,
f x y f x f y x y R. τότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
Άσκηση 3.4: Στις παρακάτω περιπτώσεις να δειχτεί ότι οι τ.µ. Χ, Υ είναι ανεξάρτητες χωρίς να υπολογιστούν οι περιθώριες κατανοµές τους.
α.
3 1 1 2
( , ) , , 0, 1, 2,...
8 2 2
x y
f x y x y
β. f x y( , ) 8 xy3, 0 x 1, 0 y 1. γ. ( , ) 1 / ,f x y ab 0 x a, 0 y b. Λύση:
α.
2
1 2
3 1 1
( ) , ( ) , , 0, 1, 2,...
8 2 2
x y
f x f y x y (Είναι ανεξάρτητες)
ή
2 1
1 2
3 1 1
( ) , ( ) , , 0, 1, 2,...
4 2 2
x y
f x f y x y
β. f x1( ) 2 , x f y2( ) 4 , y3 0 x 1, 0 y 1 (Είναι ανεξάρτητες) γ. f x1( ) 1, f y2( ) 1 / ab, 0 x a, 0 y b (Είναι ανεξάρτητες)
Άσκηση 3.5: Τα σφάλµατα µέτρησης Χ, Υ δύο οργάνων αποτελούν τυχαία µεταβλητή µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας
2 2
( , ) 1 exp , ,
4π 2 8
y
f x y x x y R
.
α. Να δειχτεί ότι οι τ.µ. Χ και Υ είναι ανεξάρτητες και να βρεθεί η κατανοµή τους.
β. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες
( 1 1), ( 1 1)
P X P Y και στη συνέχεια η πιθανότητα
( 1 1, 1 1)
P X Y .
γ. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον ένα από τα δύο σφάλµατα µέτρησης να είναι κατ’ απόλυτη τιµή µικρότερο της µονάδας;
δ. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο σφάλµατα µέτρησης να είναι κατ’ απόλυτη τιµή µεγαλύτερα της µονάδας;
Λύση: α. Υπενθυµίζεται ότι αν η X~ (µ,N 2), τότε
2 2
( µ) 2
2σ µ
1 1 1
( ) exp , .
σ 2π σ 2π 2 σ
x x
f x e x
Έτσι, για x R έχουµε
( ) ( , ) 1 exp 2 2
4π 2 8
X
x y
f x f x y dy dy
2 0 2
1 exp 1 exp 1
2π 2 2 2π 2 2
x y
dy
1 exp 2 12π 2
x
1 exp 1 0 2
1 2π 2 1
x
.
Συνεπώς ~ (0, 1)X N . Οµοίως προκύπτει ότι ~ (0, 4)Y N , αφού για y
2 2
2 0
1 1 1
( ) ( , ) exp ... exp
4π 2 8 2 2π 2 2
Y
y y
f y f x y dx x dx
.Παρατηρούµε ότι
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y f x y f x f y x y R
οπότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
β. Έχουµε
1 1
Φ(1) Φ( 1) Φ(1) [1 Φ(1)] 2Φ(1) 1 (2)(0.8413) 1 0.6826P X ,
1 0 0 1 0 1 1
( 1 1)
2 2 2 2 2
P Y P Y P Z
=Φ(0.5) Φ( 0.5) 2Φ(0.5) 1 (2)(0.6915) 1 0.383 . Έτσι, λόγω ανεξαρτησίας των τ.µ. Χ και Υ, παίρνουµε
( 1P X 1, 1 Y 1)P( 1 X 1) ( 1P Y 1) (0.6826)(0.383) 0.26 γ. P(| | 1 ή | | 1)X Y P(| | 1)X P Y(| | 1) P(| | 1,| | 1)X Y
0.6826 0.383 (0.6826)(0.383) 0.8
δ. P X(| | 1,| | 1) Y P X(| | 1) (| | 1) P Y 1P X(| | 1) 1 P Y(| | 1) (1 0.6826)(1 0.383) 0.2
Άσκηση 3.6: Έστω Χ, Υ ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές για τις οποίες είναι γνωστό ότι
( ) 2, ( ) 3, ( ) 2, ( ) 1
E X E Y V X V Y . Να υπολογιστούν οι µέσες τιµές
2 2
[( ) ], [(2 )(2 )], ( 4 | 2), ( 3 | 1)
E X Y E Y X Y X E X Y E Y X . Λύση: Καταρχήν
2 2 2
( ) ( ) ( ) 2 2 6
E X V X E X
2 2 2
( ) ( ) ( ) 1 3 10
E Y V Y E Y
E X[( Y) ]2 E X( 2 2XY Y2) E X( ) 2 (2 E XY)E Y( )2
ανεξαρτησία E X( ) 2 ( ) ( )2 E X E Y E Y( ) 6 (2)(2)(3) 10 42
E[(2Y X)(2Y X)] E Y(4 2 X2) 4 ( ) E Y2 E X( ) (4)(10) 6 342
E X( 2 4|Y 2)ανεξαρτησία E X( 2 4) E X( ) 4 6 4 102
ανεξαρτησία
( 3 | 1) ( 3) ( ) 3 3 3 0
E Y X E Y E Y
Άσκηση 3.8: Η διδιάστατη συνεχής τ.µ. ( , )X Y κατανέµεται οµοιόµορφα στο σύνολο τιµών της RX Y, που ορίζεται από το τρίγωνο του επιπέδου Oxy µε κορυφές τα σηµεία (-1,0), (1,0) και (0,1). Να δειχθεί ότι (E XY) E X E Y( ) ( ) αν και οι τυχαίες µεταβλητές
X και Y δεν είναι ανεξάρτητες.
Λύση:
1 1, ( , )
Εµβ( ) ( , )
0, αλλού.
c x y S
f x y S
1 1
1
0 To τρίγωνο µε κορυφές τα σηµεία
(-1,0), (1,0) και (0,1) ορίζει µια περιοχή S µε εµβαδό ίσο µε 1. Εποµένως
Για 1 x 0
1
( ) ( , ) 0x 1 1
f xX f x y dy dy x
.Για 0 x 1
1
( ) ( , ) 0 x1 1
f xX f x y dy dy x
. Για 0 y 1
1
( ) ( , ) 1y1 (1 ) ( 1) 2(1 )
Y y
f y f x y dy dx y y y
.1 1
1
y x 1 y 1 x
y x 1 ή x y 1
y 1 x ή x 1 y 0
Για τις τ.µ. Χ, Υ έχουµε ότι [ 1, 1], [0, 1].
X Y
R R
Για τις περιθώριες κατανοµές, και χρησιµοποιώντας το δι- πλανό σχήµα, παίρνουµε:
Παρατηρούµε ότι οι τυχαίες µεταβλητές X και Y δεν είναι ανεξάρτητες, αφού δεν ισχύει η σχέση
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y
f x y f x f y x y R. Τώρα, για τις µέσες τιµές, έχουµε τα ακόλουθα:
0 1
1 0
1 1
( ) ( ) (1 ) (1 ) 0
6 6
E X xf x dxX x x dx x x dx
1 1 1 2
0 0 0
2 1
( ) ( ) 2(1 ) 2 2 1
3 3
E Y
yf y dyY
y y dy
ydy
y dy , 0 1 1 1
1 0 0 0
1 1
( ) ( , ) 1 1 0
24 24
x x
E XY xyfX Y x y dydx xy dydx xy dydx
Παρατηρούµε ότι ικανοποιείται η σχέση (E XY) E X E Y( ) ( ) 0 , παρόλο που οι τυχαίες µεταβλητές X και Y δεν είναι ανεξάρτητες.
Άσκηση 3.9: Οι µέσες εβδοµαδιαίες κυκλοφορίες δύο εφηµερίδων (σε χιλιάδες φύλλα) περιγράφονται από δυο συνεχείς τυχαίες µεταβλητές Χ, Υ µε από κοινού συνάρτηση πυκνότητας
2 2
1 1
( , ) 4 1 1 , 1 2, 1 2
f x y x y
x y
.
Να δειχθεί ότι ( |E X Y y) E Y X( | x) για 1 x 2, 1 y 2. Λύση: Για 1 x 2, έχουµε
f xX( ) f x y dy( , ) 124 1 12 1 12 dy 4 1 12 12 1 12 dy
x y x y
2
12 12 2
2 2 1 21
1 1
4 1 4 1 (2 1)
2 1 dy y dy y
x x
4 1 12 1 2 1 122
x x
.
Για 1 y 2, µε ανάλογο τρόπο, παίρνουµε
2
( ) 2 1 1 f yY
y
.
Παρατηρούµε ότι
( , ) X( ) ( ), για κάθε ,Y f x y f x f y x y R
οπότε οι τυχαίες µεταβλητές Χ και Υ είναι ανεξάρτητες.
Ερώτηση: Eίναι ισόνοµες; (Τυχαίο δείγµα µεγέθους δύο από κατανοµή µε σ.π. ( ))f xX Για τις µέσες τιµές, λόγω ανεξαρτησίας έχουµε:
E X Y( | y) E X( ) xf x dxX( ) 12x 2 1 12 dx 2 12xdx 2 121dx
x x
2 2
121
2 2 ln (4 1) 2(ln2 0) 3 2ln2 1.614 2
x x
,
2 2
1
( | ) ( ) Y( ) 2 1 1 3 2ln2 1.614
E Y X x E Y yf y dy y dy
y
.Τελικά
( | ) ( | ) 3 2ln2
E X Y y E Y X x .
Ερώτηση: Για την ισχύ της παραπάνω σχέσης χρειαζόταν να υπολογιστούν οι µέσες τιµές;
3.3 Πολυδιάστατες διακριτές τυχαίες µεταβλητές
Ορισµός: Έστω X 1, X …, 2, Xv διακριτές τυχαίες µεταβλητές ορισµένες στον δειγµατικό χώρο Ω ενός πειράµατος τύχης. Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο f x x( , ,..., )1 2 xv P X( 1 x X1, 2 x2,...,Xv xv)
PΩ({ω Ω : X1(ω) x X1, 2(ω) x2, ..., Xv(ω) xv}), ( , ,..., )x x1 2 xv Rv λέγεται από κοινού συνάρτηση πιθανότητας (α.κ.σ.π.) των τ.µ. X 1, X …, 2, Xv ή ισοδύναµα α.κ.σ.π. της v-διάστατης τυχαίας µεταβλητής ( ,X X1 2,...,Xv).
Σύνολο τιµών της ν-διάστατης τ.µ. ( ,X X1 2,...,Xv)
1, 2,..., v {( , ,..., )1 2 v : 1(ω) 1, 2(ω) 2,..., (ω) για κάθε ω Ω}
X X X v v v
R x x x R X x X x X x
Ιδιότητες της από κοινού συνάρτησης πιθανότητας
I1: f x x( , ,..., ) 01 2 xv για κάθε ( , ,..., )x x1 2 xv RX X1, ,...,2 Xv I2: f x x( , ,..., ) 01 2 xv για κάθε ( , ,..., )x x1 2 xv RX X1, ,...,2 Xv I3:
1 2 1 2, ,...,
1 2
( , ,..., )
( , ,..., ) 1
v X X Xv
v
x x x R
f x x x
Υπολογισµός πιθανοτήτων
Για οποιοδήποτε A Rv έχουµε
1 2 1 2, ,...,
1 2 1 2
( , ,..., )
(( , ,..., ) ) ( , ,..., ).
v X X Xv
v v
x x x A R
P X X X A f x x x
Περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας
1 2 1 1
1 2
, ,..., , ,...,
( ) ( , ,..., ),
i
v
i i
X i v i
x x x x x
f x f x x x x R
1 2 1 1 1 1
, 1 2
, ,..., , ,..., , ,...,
( , ) ( , ,..., ), ,
i j
v
i i j j
X X i j v i j
x x x x x x x
f x x f x x x x x R
Εφαρµογή
Για τρεις τ.µ. X, Y και Z µε α.κ.σ.π. ( , , )f x y z , έχουµε
X( ) ( , , ),
y z
f x
f x y z x R Y( ) ( , , ),
x z
f y
f x y z y R Z( ) ( , , ),
x y
f z
f x y z z R X Y, ( , ) ( , , ), ,
z
f x y
f x y z x y R X Z, ( , ) ( , , ), ,
y
f x z
f x y z x zR Y Z, ( , ) ( , , ), ,
x
f y z
f x y z y z RΑπό κοινού συνάρτηση κατανοµής και περιθώριες συναρτήσεις κατανοµής
Ορισµός: Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο F x x( , ,..., )1 2 xv P X( 1 x X1, 2 x2,...,Xv xv)
1 1 2 2
1 1 2 2 1 2
... ( , ,..., ), ( , ,..., )
v v
v
v v v
t x t x t x
P X t X t X t x x x R
ονοµάζεται από κοινού (αθροιστική) συνάρτηση κατανοµής (α.κ.σ.κ.) της v-διάστατης τυχαίας µεταβλητής ( ,X X1 2,...,Xv).
Εφαρµογή
Για τρεις τ.µ. X, Y και Z µε α.κ.σ.κ. ( , , )F x y z , έχουµε
X( ) lim ( , , ),
y z
F x F x y z x R
Y( ) lim ( , , ),
x z
F y F x y z y R
Z( ) lim ( , , ),
x y
F z F x y z z R
X Y, ( , ) lim ( , , ), , F x y z F x y z x y R
X Z, ( , ) lim ( , , ), , F x z y F x y z x z R
Y Z, ( , ) lim ( , , ), , F x y x F x y z y z R
Δεσµευµένες κατανοµές και µέσες τιµές
Για τέσσερις τ.µ. X, Y, Z και W µε α.κ.σ.π. ( , , , )f x y z w , έχουµε
| , ,
, ,
( , , , )
( | , , ) ,
( , , )
X Y Z W
Y Z W
f x y z w
f x y z w x R
f y z w
, | ,
,
( , , , )
( , | , ) , ,
( , )
X Y Z W
Z W
f x y z w
f x y z w x y R
f z w
, , | ( , , , )
( , , | ) , , ,
X Y W Z ( )
Z
f x y z w
f x y w z x y w R
f z
( | , , ) X Y Z W| , , ( | , , )
x
E X Y y Z z W w
xf x y z w ( | , , ) W X Y Z| , , ( | , , )
w
E W X x Y y Z z
wf w x y z ( ( , , , )) ( , , , ) ( , , , )
x y z w
E g X Y Z W
g x y z w f x y z w E aX( bY cZ dW) aE X( )bE Y( )cE Z( )dE W( )
1 1
α α ( )
k k
i i i i
i i
E X E X
3.4 Πολυδιάστατες συνεχείς τυχαίες µεταβλητές
Ορισµός:Έστω X 1, X …, 2, Xv συνεχείς τυχαίες µεταβλητές ορισµένες στον δειγµατικό χώρο Ω ενός πειράµατος τύχης. Έστω ακόµη ότι υπάρχει µια µη αρνητική συνάρτηση v µεταβλητών :f Rv [0, ) τέτοια ώστε «για κάθε» περιοχή Γ Rv ισχύει
1 2 1 2 1 2
Γ
(( , ,..., v) Γ) ... ( , ,..., )v ... v
P X X X
f x x x dx dx dx .Τότε η συνάρτηση f x x( , ,..., )1 2 xv λέγεται από κοινού συνάρτηση πυκνότητας (α.κ.σ.π.) των τ.µ. X 1, X …, 2, Xv ή ισοδύναµα α.κ.σ.π. της v-διάστατης τυχαίας µεταβλητής ( ,X X1 2,...,Xv).
Από τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι P X( 1 x X1, 2 x2,...,Xv xv) 0 .
Υπολογισµός πιθανοτήτων
Για οποιοδήποτε Γ=A1 A2 ...Av έχουµε
1 1
1 2 1 2 1 1
(( , ,..., ) Γ) ... ( , ,..., ) ... v
v v
v v x v
A A A
P X X X f x x x dx d dx .
Ιδιότητες της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας
I1: f x x( , ,..., ) 0,1 2 xv x x1, ,...,2 xv R I2: ... f x x( , ,..., )1 2 x dx dxv 1 2...dxv 1
Περιθώριες συναρτήσεις πυκνότητας
1 1 1 1 1 1
v-1 όροι
( ) ... ( ,..., , , ,... ) ... ...
Xi i i i i v i i v
f x
f x x x x x dx dx dx dxΕφαρµογή
Για τέσσερις τ.µ. X, Y, Z και W µε α.κ.σ.π. ( , , , )f x y z w έχουµε
f wW( )
f x y z w dxdydz( , , , ) , w R fZ W, ( , )z w
f x y z w dxdy( , , , ) , z w, R fX Z W, , ( , , )x z w
f x y z w dy( , , , ) , x z w, , RΑπό κοινού συνάρτηση κατανοµής και περιθώριες συναρτήσεις κατανοµής
Ορισµός: Η συνάρτηση που ορίζεται από τον τύπο
F x x( , ,..., )1