[PENDING] HELLENIC OPEN UNIVERSITY

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ

Μαθηματικά πρότυπα για την διάχυση ρύπων σε υδατικά περιβαλλοντικά συστήματα

ΟΝΟΜΑ ΦΟΙΤΗΤΗ: ΠΕΡΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ (112817)

Α′ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΝΙΚΟΛΟΠΟΥΛΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ Β′ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΣΤΡΑΤΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ

ΑΘΗΝΑ, ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2019

HELLENIC OPEN UNIVERSITY

SCIENCE AND TECHNOLOGY DEPARTMENT

POSTGRADUATE STUDIES IN MATHEMATICS PROGRAMME

POSTGRADUATE THESIS

Mathematical models for pollution diffusion in equatic environmental systems

STUDENT’S NAME: EMMANUEL PERAKIS

SUPERVISING PROFESSORS: C. NIKOLOPOULOS, J. STRATIS

ATHENS, SEPTEMBER 2019

«Όταν οι νόμοι των Μαθηματικών ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα, δεν είναι σαφείς και όταν είναι σαφείς, δεν ανταποκρίνονται στην πραγματικότητα».

Albert Einstein (1879-1955)

Η εργασία αυτή είναι αφιερωμένη στην οικογένειά μου, που υπεραγαπώ:

την σύντροφο της ζωής μου Τζούλη και την λατρεμένη μου κόρη Ιωάννα.

Ευχαριστίες

Πολλοί συνάνθρωποί μας υποστηρίζουν σθεναρώς ότι ένα από τα χειρότερα ανθρώπινα ελαττώματα είναι σαφώς η αγνωμοσύνη και, πιστεύω ότι έχουν πέρα για πέρα δίκιο...

Θα ήθελα, λοιπόν, να ευχαριστήσω, αρχικώς, το ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ, για την θαυμάσια αυτή ευκαιρία, την οποία μου έδωσε να ολοκληρώσω έναν μεταπτυχιακό κύκλο σπουδών στα Μαθηματικά, τα οποία τόσο αγαπώ. Ήταν, άλλωστε, κάτι, το οποίο επιθυμούσα διακαώς, πολλά χρόνια τώρα, αλλά δεν είχα καταφέρει, για λόγους υπεράνω των δυνάμεών μου.

Θα ήταν απαράδεκτο, επίσης, να παραλείψω να ευχαριστήσω θερμώς τους καθηγητές του προγράμματος Μ.Σ.Μ του Ε.Α.Π, για την αμέριστη στήριξη και δημιουργική συνεργασία τους, αλλά και τους διοικητικούς υπαλλήλους του Πανεπιστημίου. Όλοι συνέβαλαν αποφασιστικώς, ο καθένας από την θέση του και με τον τρόπο του, στην επιτυχή και απρόσκοπτη ολοκλήρωση της μεταπτυχιακής μου εκπαίδευσης, βοηθώντας ακατάπαυστα αυτή την προσπάθειά μου να εξερευνήσω σε μεγαλύτερο βάθος, μαθηματικά και γενικότερα γνωστικά πεδία των θετικών επιστημών.

Επιπροσθέτως, ευχαριστώ ιδιαιτέρως τους επιβλέποντες καθηγητές μου, τους κ.κ. Χρήστο Νικολόπουλο και Γιάννη Στρατή, οι οποίοι με ανέχθηκαν τόσους μήνες, καθοδηγώντας με, οπλισμένοι με υπομονή και επιμονή, αναλώνοντας τον πολύτιμο χρόνο τους και μεταλαμπαδεύοντας τις ακαδημαϊκές γνώσεις τους, για να προκύψει ως τελική συνισταμένη των προσπαθειών μας αυτό το πόνημα. Η συνεργασία μας ήταν άψογη και (ελπίζω!) αποτελεσματική.

Απέδειξαν, έτσι, περίτρανα, για άλλη μία φορά, ότι είναι σωστοί διδάσκαλοι, «δίδοντας την δάδα καλώς». Επίσης, θα ήθελα να πω ένα «ευχαριστώ» στον καθηγητή του Γεωλογικού Τμήματος του Ε.Κ.Π.Α κ. Θεόδωρο Γκουρνέλο, ο οποίος αρχικώς μου ενέπνευσε το θέμα αυτής της διπλωματικής εργασίας, συνεργαζόμενοι πάνω σε σχετικά επιστημονικά ζητήματα, όπως, επίσης και στον συνάδελφο ηλεκτρολόγο μηχανικό Ε.Μ.Π κ. Χρήστο Δήμα, ο οποίος με βοήθησε αποτελεσματικώς όσο αφορά τον υπολογιστικό τομέα της MATLAB.

Άφησα για το τέλος το μεγάλο «Ευχαριστώ». Αυτό θα το δώσω στην οικογένειά μου, την ίδια μου την ζωή: την γυναίκα μου και πολύχρονη σύντροφο της ζωής μου Τζούλη και την υπέροχη κόρη μου Ιωάννα, οι οποίες μου πρόσφεραν απλόχερα και αγόγγυστα την αμέριστη στήριξή τους, σε όλα τα επίπεδα, όλη αυτή την χρονική περίοδο των μεταπτυχιακών μου προσπαθειών.

Επέδειξαν πλήρη κατανόηση της επιφορτισμένης καθημερινότητάς μου-και όχι μόνο-και συνέβαλαν σημαντικώς στο τελικό αποτέλεσμα. Πολλές φορές, λειτουργώντας ως αφανείς ήρωες, μου έδιναν στην πράξη την ψυχική ώθηση, την οποία χρειαζόμουν, για να προχωρήσω απρόσκοπτα και να επιτύχω στο τέλος τους στόχους μου.

Ελπίζω να μην ξέχασα κάποιους άλλους παράγοντες. Αν ναι, ας με συγχωρήσουν, δεν έγινε σκοπίμως. Πάντως, τους ευχαριστώ πολύ και εκείνους, έστω και ανώνυμα._

Μάνος Περάκης.

Περιεχόμενα

Ευχαριστίες... 5

Περιεχόμενα... 6

Περίληψη... 7

Πρόλογος... 8

Υπόμνημα... 9

Μέρος Α′: Βασικές εισαγωγικές έννοιες... 10

Κεφάλαιο A1: Στοιχεία θεωρίας μ.δ.ε... 11

Α1.0. Εισαγωγή... 12

Α1.1. Μ.δ.ε πρώτης τάξης... 16

Α1.2. Γραμμικές μ.δ.ε δεύτερης τάξης... 19

Α1.3. Μ.δ.ε διάχυσης... 22

Α1.4. Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση μ.δ.ε... 25

Κεφάλαιο A2: Μέθοδοι μαθηματικής προτυποποίησης... 28

Α2.0. Εισαγωγή στην μαθηματική προτυποποίηση... 29

Α2.1. Διαστατική ανάλυση και κανονικοποίηση... 31

Α2.2. Μέθοδοι διαταραχών... 36

Α2.3. Στατιστική βαθμονόμηση μαθηματικών προτύπων... 38

Μέρος Β′: Διάχυση ρύπων σε ποταμούς και λίμνες... 41

Κεφάλαιο Β0: Εισαγωγικές έννοιες... 42

Β0.1. Στοιχεία Μηχανικής ρευστών... 43

Β0.2. Μορφές ρύπων και ισοζύγια μάζας... 46

Β0.3. Φαινόμενα και εξισώσεις διάχυσης και εφαρμογές σε ποταμούς.... 51

Κεφάλαιο Β1: Φαινόμενα μεταφοράς... 55

Β1.0. Βασικές έννοιες... 56

Β1.1. Συναγωγή... 58

Β1.2. Διάχυση/διασπορά... 60

Β1.3. Τμηματοποίηση... 67

Κεφάλαιο Β2: Συμβατικοί ρύποι... 74

Β2.0. Εισαγωγικά στοιχεία... 75

Β2.1. Ισοζύγιο σταθερής ροής μάζας σε ποταμό... 77

Β2.2. Διάχυση μόλυνσης σε λίμνη... 79

Κεφάλαιο Β3: Ρύποι υπόγειων υδάτων... 81

Β3.0. Εισαγωγή... 82

Β3.1. Νόμος του Darcy... 83

Β3.2. Εξισώσεις ροής... 86

Β3.3. Εξίσωση μεταφοράς διαλυμένου ρύπου... 87

Β3.4. Ρόφηση, επιβράδυνση και αντιδράσεις... 89

Κεφάλαιο Β4: Επίλυση μαθηματικού προτύπου ρύπανσης ποταμού... 94

Β4.1. Περιγραφή και ενδεικτική αναλυτική επίλυση του προτύπου... 95

Β4.2. Ενδεικτική αριθμητική επίλυση του προτύπου... 99

Παραρτήματα... 107

Ευρετήριο όρων... 113

Βιβλιογραφική αναφορά... 128

Περίληψη

Το κύριο θέμα της πραγματείας αυτής είναι η διάχυση των ρυπογόνων ουσιών στους ποταμούς και τις λίμνες, μέσα πάντα από το πρίσμα της μαθηματικής προτυποποίησης των σχετικών φαινομένων.

Αρχικώς, γίνεται μία σύντομη υπενθύμιση των απαραίτητων βασικών στοιχείων για τις μερικές διαφορικές εξισώσεις (και, ειδικότερα, τις παραβολικού τύπου εξισώσεις διάχυσης) και, γενικότερα, για την διαδικασία της μαθηματικής προτυποποίησης.

Αναφέρονται στην συνέχεια, εισαγωγικές έννοιες, αναφορικώς με την στοιχειώδη Ρευστομηχανική, τα ισοζύγια μάζας και τις εξισώσεις που διέπουν τα φαινόμενα διάχυσης. Η ανάπτυξη συνεχίζεται με τα φαινόμενα μεταφοράς των ρύπων, τους συμβατικούς ρύπους στα υδατικά περιβάλλοντα, καθώς και στους ρύπους των υπόγειων υδάτων.

Τέλος, γίνεται ειδική μνεία στην παρουσίαση της αναλυτικής και της αριθμητικής επίλυσης, με την βοήθεια της εφαρμογής MATLAB, ενός (ενδεικτικού) μαθηματικού προτύπου ρύπανσης της υδάτινης μάζας ενός ποταμού, μεταβάλλοντας καταλλήλως τις αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος._

Abstract

The main subject of this thesis is pollutant diffusion through rivers and lakes, in the light of mathematical modelling of the relevant phenomena.

At first, a brief reminding of all essential fundamental points on partial differential equations (and, particularly, of parabolic type diffusion equations) and, in general, of the process of mathematical modelling is provided.

In addition, some introductory concepts are mentioned, regarding fundamental fluid Mechanics, mass equilibriums and the equations, which rule the diffusion phenomena. Thesis’

development goes on with pollutant transportation phenomena, conventional pollutants of aquatic environments, as well as of pollutants of underground waters.

Finally, there is a special reference to the analytical and arithmetical solving, using MATLAB, of an indicative mathematical model of pollution of a river’s aquatic mass, alternating the initial and boundary conditions of the problem._

Πρόλογος

Αυτή η εργασία πραγματεύεται θέματα διάχυσης ρυπογόνων ουσιών σε υδατικά συστήματα του γήινου περιβάλλοντος και, ειδικότερα, σε ποταμούς και λίμνες. Βασίστηκε, σε βιβλιογραφικό επίπεδο, σε ελληνικά και ξένα βιβλία, μελέτες, διατριβές και εργασίες και καταγράφει, αναλύει και μελετάει ζητήματα ρύπανσης υδάτινων περιοχών, μέσα, όμως, πάντοτε από το πρίσμα των σχετικών μαθηματικών προτύπων, προσεγγίζοντας έτσι την πρόληψη, την αντιμετώπιση και την αποκατάσταση, τελικώς, των βλαβερότατων οικολογικών καταστροφών, οι οποίες τόσο απασχολούν και θα απασχολούν, θεωρώ, δυστυχώς, την επιστημονική (και όχι μόνο) κοινότητα σε παγκόσμιο επίπεδο.

Στο Α′ Μέρος γίνεται μία αναδρομή σε εισαγωγικά γνωστικά πεδία και, ειδικότερα, στο:

 1ο κεφάλαιο, υπενθυμίζονται βασικά στοιχεία της θεωρίας των μ.δ.ε, ειδικότερα 1ης και 2ης τάξης, με εξειδίκευση στις παραβολικού τύπου εξισώσεις διάχυσης και γίνεται μνεία για την αναλυτική και την αριθμητική επίλυσή τους.

 2ο κεφάλαιο, περιγράφονται γενικώς οι μέθοδοι της μαθηματικής προτυποποίησης, όπως η διαστατική ανάλυση και η κανονικοποίηση, οι μέθοδοι διαταραχών και, στην συνέχεια, αναφέρονται στοιχεία περί (στατιστικής) βαθμονόμησης ενός μαθηματικού προτύπου, με έμφαση στις εφαρμογές στο περιβάλλον.

Στο Β′ Μέρος καταγράφονται οι εφαρμογές της μαθηματικής προτυποποίησης στην ρύπανση ποταμών και λιμνών. Συγκεκριμένα, στο:

 0ό κεφάλαιο, γίνεται σύντομη αναφορά σε διάφορες απαραίτητες εισαγωγικές έννοιες, όπως βασικές γνώσεις Μηχανικής ρευστών, αναφορά στα ισοζύγια μάζας και γενικά στοιχεία για τα φαινόμενα διάχυσης και τις εξισώσεις, οι οποίες τα περιγράφουν.

 1ο κεφάλαιο, μελετώνται τα φαινόμενα μεταφοράς των ρυπογόνων ουσιών, διαμέσου των υδάτινων περιβαλλοντικών μέσων, όπως είναι οι ποταμοί και οι λίμνες.

 2ο κεφάλαιο, αναπτύσσονται οι συμβατικοί ρύποι, οι οποίοι ρέουν στο νερό μίας υδάτινης περιοχής, στην μονοδιάστατη, δισδιάστατη και τρισδιάστατη περίπτωση.

 3ο κεφάλαιο, η παρούσα μελέτη επεκτείνεται στους ρύπους των υπόγειων υδάτων και στους νόμους, οι οποίοι διέπουν το φαινόμενο αυτό.

 4ο κεφάλαιο, γίνεται μία απόπειρα παρουσίασης, καθώς και αναλυτικής και αριθμητικής επίλυσης ενός συγκεκριμένου ενδεικτικού μαθηματικού προτύπου διάχυσης ρύπων στην υδάτινη μάζα ενός ποταμού, με την χρήση της μεθόδου των πεπερασμένων διαφορών και την βοήθεια της υπολογιστικής εφαρμογής MATLAB, μεταβάλλοντας ενδεικτικώς τις α.σ και σ.σ του προβλήματος.

Παρατίθενται στο τέλος δύο απαραίτητα παραρτήματα, Α και Β, καθώς και ένα χρήσιμο, κατά την άποψή μου, αλφαβητικό ευρετήριο σχετικών όρων, εφαρμόζοντας και στην πράξη, με αυτόν τον τρόπο, το «Ordo ab Chaos» στην σχετική ορολογία!…._

Μάνος Περάκης.

Υπόμνημα βασικών συμβόλων και συντομογραφιών

du u (t)

dt  : (πρώτη) (ολική) παράγωγος ως προς την μεταβλητή t.

2 

2

d u u (t)

dt  : δεύτερη (ολική) παράγωγος ως προς την μεταβλητή t.

xj j

u u

x

 

 : (πρώτη) μερική παράγωγος ως προς την μεταβλητή x_j.

j j

2 2 x x j

u u x

 

 : δεύτερη μερική παράγωγος ως προς την μεταβλητή x_j.

j k 2

x x j k

u u x x

 

 : δεύτερη μερική παράγωγος ως προς τις μεταβλητές x_j και x_k. [Μ]: διαστάσεις μάζας

[L]: διαστάσεις μήκους [Τ]: διαστάσεις χρόνου

[Θ]: διαστάσεις θερμοκρασίας Ε: εικόνα

Θ: θεώρημα/πρόταση Μ: μεθοδολογία

Ο: ορισμός Π: παράδειγμα Σ: σχέση

π.α.τ: πρόβλημα αρχικών τιμών π.σ.τ: πρόβλημα συνοριακών τιμών

π.α.σ.τ: πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών σ.δ.ε: συνήθης διαφορική εξίσωση

σ.σ.δ.ε: σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων μ.δ.ε: μερική διαφορική εξίσωση

σ.μ.δ.ε: σύστημα μερικών διαφορικών εξισώσεων α.σ: αρχική συνθήκη

σ.σ: συνοριακή συνθήκη

ΜΕΡΟΣ Α′:

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

κεφάλαιο Α1

Στοιχεία θεωρίας μερικών

διαφορικών εξισώσεων

Α1.0. Εισαγωγή^[2]

Η μαθηματική προτυποποίηση ή μοντελοποίηση παίζει πλέον καθοριστικό ρόλο στην περιγραφή και μελέτη ενός μεγάλου πλήθους φαινομένων και προβλημάτων των εφαρμοσμένων επιστημών, καθώς και ποικίλων τεχνικών και βιομηχανικών δραστηριοτήτων. Η χρήση του όρου

«μαθηματικό πρότυπο» ή «μαθηματικό μοντέλο» αναφέρεται σε ένα σύνολο μαθηματικών εξισώσεων ή/και άλλων μαθηματικών σχέσεων, οι οποίες είναι ικανές να συλλάβουν τα βασικά χαρακτηριστικά περίπλοκων φυσικών ή τεχνητών συστημάτων, με στόχο την περιγραφή, την πρόβλεψη και, ενδεχομένως, τον έλεγχο της συμπεριφοράς και εξέλιξής τους. Σχεδόν πάντα, το μαθηματικό πρότυπο παρέχει μία προσεγγιστική (αλλά αξιόπιστη) μαθηματική περιγραφή του πραγματικού προβλήματος.

Η διαδικασία της προτυποποίησης βασίζεται σε γενικούς νόμους (αρχές) και θεμελιώδεις σχέσεις (οι οποίες συχνά προκύπτουν από πειραματικά δεδομένα) και είναι, συνήθως, μία διαφορική εξίσωση ή και ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων. Στα πλαίσια των σ.δ.ε, οι λύσεις οι οποίες αναζητούνται αποτελούν, όπως είναι γνωστό, συναρτήσεις μίας μεταβλητής. Από την άλλη πλευρά, όμως, χρησιμοποιούνται και, μάλιστα, ευρύτερα οι μ.δ.ε, με λύσεις, τις οποίες αποτελούν συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Αυτό σημαίνει ότι, σε πολλές περιπτώσεις φυσικών προβλημάτων, οι λύσεις τους περιγράφουν μεγέθη, τα οποία δεν είναι συναρτήσεις, γ.π μόνο του χρόνου, αλλά ενδέχεται να εξαρτώνται επιπλέον και από μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές. Φυσικά, υπάρχουν και άλλα προβλήματα, των οποίων οι λύσεις δεν παρουσιάζουν κάποια μεταβολή στον χρόνο, αλλά διαφοροποιούνται μόνο αναλόγως με την θέση στον χώρο.

 ΟΡΙΣΜΟΙ Ο1 (Μ.Δ.Ε-ΕΙΔΗ-ΤΑΞΗ-ΛΥΣΗ-ΣΥΝΘΗΚΕΣ): Έστω u: ℝⁿ→ℝ, πραγματική συνάρτηση u=u(x₁,x₂,…,x_n) n ανεξάρτητων μεταβλητών x_j, j∈{1,2,…,n}.

 Ονομάζεται μερική διαφορική εξίσωση (μ.δ.ε) η εξίσωση, η οποία περιέχει τις ανεξάρτητες μεταβλητές x₁,x₂,…,x_n, την συνάρτηση u(x₁,x₂,…,x_n) (εξαρτημένη μεταβλητή) και μερικές παραγώγους της (ενδεχομένως, διαφόρων τάξεων), δηλαδή είναι της μορφής:

F(x₁,x₂,…,x_n,u,

x1

u ,

x1

u ,...,

xn

u ,

x x1 1

u ,

x x1 2

u ,...)=0 Σ1.

 Η μ.δ.ε της μορφής:

G(u,u_x1,u_x1,...,u_xn,u_{x x1 1},u_{x x1 2},...)=0 Σ2 λέγεται ομογενής μ.δ.ε, ενώ η μ.δ.ε της μορφής:

H(u,u_x1,

x1

u _,...,

xn

u _,

x x1 1

u _,

x x1 2

u _{,...)=f(x1,x2,…,xn)} Σ3 μη ομογενής μ.δ.ε.

 Ορίζεται ως τάξη της μ.δ.ε η μέγιστη τάξη της μερικής παραγώγου της συνάρτησης u=u(x₁,x₂,…,x_n), η οποία εμφανίζεται στην εξίσωση.

 Λύση μίας μ.δ.ε αποτελεί κάθε μορφή της συνάρτησης u(x₁,x₂,…,x_n), η οποία επαληθεύει την εξίσωση.

 Αρχικές συνθήκες (α.σ) λέγονται οι συνθήκες, οι οποίες γενικώς αναφέρονται σε γνωστές τιμές της χρονικής μεταβλητής.

 Συνοριακές (ή οριακές) συνθήκες (σ.σ) ονομάζονται οι συνθήκες, οι οποίες γενικώς αναφέρονται σε γνωστές τιμές της χωρικής ή των χωρικών μεταβλητών.■

 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Π1 (ΤΑΞΗ-ΛΥΣΗ Μ.Δ.Ε):

 Οι μ.δ.ε: u_x-u_y=2xy μη ομογενής, u_x+uu_y=0, u_x+1

c^ut=0 ομογενής (εξίσωση μεταφοράς) είναι πρώτης τάξης, οι μ.δ.ε: ∆u=0 ομογενής (εξίσωση Laplace), ∆u(x₁,x₂,…,x_n)=f(x₁,x₂,…,x_n) μη ομογενής (εξίσωση Poisson), ∆u(x,y,z)- 1₂

c ^utt=0 ομογενής (κυματική εξίσωση), u_t+uu_x=vu_xx ομογενής (εξίσωση Burgers), είναι δεύτερης τάξης, ενώ οι μ.δ.ε: u_t-6uu_x+u_xxx=0 ομογενής (εξίσωση Korteweg-deVries) και u_xxxx-uu_t=0 ομογενής, τρίτης τάξης και τέταρτης τάξης αντιστοίχως.

 Η συνάρτηση u(x,y)=ln



^x2y2



αποτελεί λύση της εξίσωσης Laplace (∆u≡)u_xx+u_yy=0.

Πράγματι:

u_x= ₂x ₂

x y ⇒u_xx= ^y₂^{2 x}_{2 2}² (x y )



 , u_y= ₂y ₂

x y ⇒u_yy= ^x₂^{2 y}_{2 2}² (x y )



 .

Οπότε, u_xx+u_yy=0 και, άρα, είναι λύση της παραπάνω μ.δ.ε.▲

Όταν η λύση μίας μ.δ.ε αποτελεί συνάρτηση δύο μεταβλητών, δηλαδή u=u(x,y), γεωμετρικώς παριστάνει μία επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο xyu. Το ίδιο ισχύει και στην περίπτωση, κατά την οποία η μία μεταβλητή αντιστοιχεί σε χρόνο, δηλαδή κάθε λύση της μορφής u(x,t) αποτελεί μία επιφάνεια του χώρου xtu. Ωστόσο, εναλλακτικώς, σε αυτές τις περιπτώσεις, μία γεωμετρική απεικόνιση της λύσης προκύπτει από διαδοχικά στιγμιότυπα της λύσης σε διάφορες χρονικές στιγμές t₁,t₂,... . Τα γραφήματα των επίπεδων καμπύλων u=u(x,t_j), j∈ℕ*, είναι οι τομές της επιφάνειας u=u(x,t) με τα επίπεδα t=t₁, t=t₂,... .

Όπως συμβαίνει στις σ.δ.ε, έτσι και οι γενικές λύσεις των μ.δ.ε δεν προσδιορίζονται με μοναδικό τρόπο, δεδομένου ότι, για να είναι αυτό εφικτό, είναι απαραίτητες επιπρόσθετες συνθήκες. Μία βασική διαφοροποίηση είναι ότι, ενώ στις σ.δ.ε η γενική λύση εξαρτάται από αυθαίρετες σταθερές, οι γενικές λύσεις των μ.δ.ε εμπεριέχουν αυθαίρετες συναρτήσεις.

Ορισμένες μ.δ.ε μπορούν να επιλυθούν χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, με απλές ολοκληρώσεις. Οι

«σταθερές» ολοκλήρωσης, όμως, στην περίπτωση των μ.δ.ε, είναι συναρτήσεις.

Δεν υπάρχει κάποια γενική θεωρία, η οποία να αναφέρεται στην επίλυση όλων των μ.δ.ε.

Συνήθως, επικεντρώνεται το ενδιαφέρον σε μ.δ.ε, οι οποίες είναι σημαντικές στα πλαίσια διάφορων εφαρμογών και επιδιώκεται να προσδιοριστούν κάποια στοιχεία, τα οποία θα διευκολύνουν την επίλυσή τους, μέσω της κατανόησης της προέλευσής τους.

 ΘΕΩΡΗΜΑ Θ1 (ΑΡΧΗ ΥΠΕΡΘΕΣΗΣ): Αν L γραμμικός διαφορικός τελεστής και φ_j, j∈ℕ*, λύσεις των γραμμικών εξισώσεων L(u_j)=f_j, τότε κάθε γραμμικός συνδυασμός v=



^{n j j}

j=1

c φ , c_j∈ℝ, αποτελεί λύση της μ.δ.ε L(u)=



^{n j j}

j=1

c f .

Ουσιαστικώς, το παραπάνω θεώρημα επιτρέπει την κατασκευή περίπλοκων λύσεων από απλούστερες μορφές. Από το ίδιο θεώρημα προκύπτει αμέσως ότι οποιοσδήποτε γραμμικός συνδυασμός n λύσεων μίας ομογενούς γραμμικής μ.δ.ε αποτελεί και αυτός λύση της ίδιας μ.δ.ε.

Επιπλέον, αν u₁, u₂ αποτελούν λύσεις της μη ομογενούς γραμμικής μ.δ.ε L(u)=f, τότε η διαφορά

τους u₁−u₂ αποτελεί λύση της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης L(u)=0. Τέλος, η γενική λύση της γραμμικής μ.δ.ε L(u)=f προκύπτει από το άθροισμα της γενικής λύσης u_h της αντίστοιχης ομογενούς εξίσωσης L(u)=0 και μίας (μερικής) λύσης u_p της μη ομογενούς εξίσωσης, δηλαδή u=u_h+u_p.

Προφανώς, όταν χρειάζεται να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο μία συγκεκριμένη λύση κάποιας μ.δ.ε, είναι απαραίτητη η ύπαρξη επιπλέον πληροφοριών, πέρα από την ίδια την μ.δ.ε.

Αυτές οι πληροφορίες παρέχονται από βοηθητικές (συμπληρωματικές) συνθήκες. Μία μ.δ.ε, η οποία υπόκειται σε συγκεκριμένους περιορισμούς με την μορφή α.σ, χαρακτηρίζεται ως πρόβλημα αρχικών τιμών (π.α.τ), ενώ, όταν πρέπει να επαληθεύονται συγκεκριμένες συνθήκες στο σύνορο της περιοχής επίλυσης, τότε αποτελεί πρόβλημα συνοριακών τιμών (π.σ.τ). Ενδέχεται να απαιτείται ο συνδυασμός και των δύο ειδών συνθηκών, οπότε τότε γίνεται λόγος για πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών (π.α.σ.τ). Οι α.σ ικανοποιούνται από την άγνωστη συνάρτηση ή/και τις παραγώγους της σε ένα σημείο, το οποίο χαρατηρίζεται ως αρχικό, ενώ οι σ.σ ικανοποιούνται στα σημεία του συνόρου του τόπου, όπου αναζητείται η λύση της μ.δ.ε.

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο2 (ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ Σ.Σ Μ.Δ.Ε): Θεωρείται D ο τόπος, στον οποίο αναζητείται η λύση της μ.δ.ε. Τότε, οι συνοριακές συνθήκες ανήκουν γενικώς σε μία από τις ακόλουθες κατηγορίες:

 Σ.σ Dirichlet, οι οποίες προδιαγράφουν την τιμή της συνάρτησης u(x,y,z) στο σύνορο ∂D του D, δηλαδή:

u(x,y,z)=f(x,y,z), (x,y,z)∈∂D, όπου f γνωστή συνάρτηση.

 Σ.σ Neumann, οι οποίες αφορούν την τιμή της παραγώγου της u(x,y,z) κατά την κάθετη διεύθυνση n στο σύνορο ∂D του D, δηλαδή:

u n



 (x,y,z)=g(x,y,z), (x,y,z)∈∂D, όπου g γνωστή συνάρτηση.

 Σ.σ Robin, οι οποίες αποτελούν έναν συνδυασμό της u(x,y,z) και της κατευθυνόμενης παραγώγου, κατά την διεύθυνση του κάθετου διανύσματος n στα σημεία του συνόρου ∂D του D, δηλαδή:

Α un



 (x,y,z)+Β u(x,y,z)=h(x,y,z), (x,y,z)∈∂D, όπου h γνωστή συνάρτηση.■

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο3 (ΚΑΛΩΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΜΕΝΟ Π.Α.Σ.Τ): Ένα π.α.σ.τ χαρακτηρίζεται ως καλώς τοποθετημένο π.α.σ.τ, αν:

 έχει τουλάχιστο μία λύση ή

 έχει ακριβώς μία λύση ή

 υπάρχει συνεχής εξάρτηση της λύσης από τις α.σ ή/και σ.σ.■

Είναι πολύ σημαντικό και, σε κάποιες περιπτώσεις, απαραίτητο, τα μαθηματικά πρότυπα να έχουν τις παραπάνω ιδιότητες, αφού η ύπαρξη λύσεων εξασφαλίζει μερικώς το γεγονός ότι το πρότυπο περιγράφει με λογικό τρόπο το αντίστοιχο πρόβλημα, ενώ η μοναδικότητα και

ευστάθεια (η τρίτη ιδιότητα) των λύσεων αυξάνουν τις πιθανότητες τα αποτελέσματα που προκύπτουν να είναι αξιόπιστα.

Από την οπτική γωνία της επίλυσης μ.δ.ε με αριθμητικές μεθόδους, τόσο ο χώρος επίλυσης, όσο και τα δεδομένα, τα οποία σχετίζονται με τις α.σ και σ.σ του προβλήματος, δεν αναπαράγονται με ακριβή τρόπο στο προσεγγιστικό πρότυπο. Επιπρόσθετη πηγή σφαλμάτων αποτελεί η πεπερασμένη ακρίβεια σε αναπαραστάσεις και πράξεις, η οποία συνδέεται με την λειτουργία των υπολογιστών. Ωστόσο, αν ένα πρόβλημα είναι καλώς τοποθετημένο, τότε είναι πιθανό να υπολογιστεί μία ικανοποιητική προσέγγιση της ακριβούς λύσης, με την προϋπόθεση ότι τα δεδομένα του προβλήματος προσεγγίζονται και αυτά κανοποιητικώς. Μία τέτοια προοπτική δεν είναι καθόλου αυτονόητη, αν το μελετώμενο πρόβλημα δεν είναι καλώς τοποθετημένο._

Α1.1. Μ.δ.ε πρώτης τάξης^[2]

Μία μ.δ.ε πρώτης τάξης μπορεί να θεωρηθεί ότι προέρχεται από μία διπαραμετρική οικογένεια επιφανειών S: u=u(x,y,α,β)∈ℝ³.

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο4 (Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ): Μία μ.δ.ε ονομάζεται μ.δ.ε πρώτης τάξης, όταν παρουσιάζει την γενική μορφή:

F(x,y,u,u_x,u_y)=0 Σ4 .■

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο5 (ΟΜΟΓΕΝΗΣ Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ): Η μ.δ.ε της μορφής:

αu_x+βu_y=0, α,β∈ℝ Σ5 έχει λύση, με γενική μορφή:

u(x,y)=f(βx-αy) Σ6 ,

όπου f αυθαίρετη συνάρτηση, η επιφάνεια S: u=u(x,y) ονομάζεται ολοκληρωτική επιφάνεια, ενώ η ευθεία, με εξίσωση ℓ: βx-αy=c∈ℝ αποτελεί την χαρακτηριστική γραμμή της μ.δ.ε Σ5 .■

Η συγκεκριμένη μεθοδολογία μπορεί να εφαρμοστεί και στην περίπτωση, όπου η μ.δ.ε Σ5 περιέχει και μη ομογενή όρο.

H εξίσωση μεταφοράς:

u_t+αu_x=0, α∈ℝ Σ7

περιγράφει φαινόμενα μεταφοράς με σταθερή ταχύτητα (ίση με α), στην περίπτωση, κατά την οποία δεν υφίσταται κάποιος όρος, ο οποίος να αντιστοιχεί σε πηγή. Οι χαρακτηριστικές γραμμές της Σ7 είναι οι ευθείες, με εξίσωση ℓ: x−αt=c∈ℝ. Στην περίπτωση, κατά την οποία η εξίσωση Σ7 συμπληρώνεται από κάποια βοηθητική συνθήκη, τότε τα αρχικά δεδομένα διαδίδονται κατά τα θετικά x, χωρίς να μεταβάλλεται καθόλου το σχήμα τους.

 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π2 (ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ): Να επιλυθεί το π.α.τ:

2

t x

-(x-5)

u + 2u = 0 α

u(x,0) = e α.σ . Επίλυση:

Λόγω της Σ6, η λύση της μ.δ.ε α θα έχει την μορφή:

u(x,t)=f(x-2t), οπότε, εφαρμόζοντας την συνθήκη α.σ , θα είναι:

u(x,t)=e^{  (x 2t 5)2}.▲

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο6 (ΓΡΑΜΜΙΚΗ Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ-ΟΜΟΓΕΝΗΣ/ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΗΣ): Μία μ.δ.ε πρώτης τάξης λέγεται γραμμική μ.δ.ε, όταν είναι της γενικής μορφής:

α(x,y)u_x+β(x,y)u_y=γ(x,y)u+δ(x,y) Σ4α . Ειδικότερα, όταν δ(x,y):

 =0, η Σ4α θεωρείται ομογενής μ.δ.ε, ενώ

 ≠0, η Σ4α μη ομογενής μ.δ.ε.■

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ1 (ΕΠΙΛΥΣΗ Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ): Θεωρείται ο 2×2 μετασχηματισμός:

d

dx 1α

x ξ x η x

d y ξ y η y

dy

u u ξ u η u u ξ u η

 

 

 

 

 

 

 

  

ξ ξ(x,y)



η η(x,y)



 (αξ_x+βξ_y)u_ξ+(αη_x+βη_y)u_η=γu(ξ,η)+δ Σ8 . Για να απλοποιηθεί επιπλέον η σχέση Σ8, επιλέγεται καταλλήλως η ξ(x,y) ως εξής:

ξ(x,y)≡c∈ℝ Σ9 , ώστε να παριστάνει την λύση της σ.δ.ε:

dy

dx^{= β(x,y)}α(x,y),

την οποία επαληθεύουν οι χαρακτηριστικές της αρχικής μ.δ.ε.

Άρα, από την σχέση Σ9 ⇒αξ_x+βξ_y=0^Σ8(αη_x+βη_y)u_η=γu(ξ,η)+δ, η οποία μπορεί να επιλυθεί ως μία σ.δ.ε πρώτης τάξης της μορφής Α(ξ,η)u_η=Γ(ξ,η)u+Δ(ξ,η), αντικαθιστώντας τα x και y με συναρτήσεις x(ξ,η) και y(ξ,η), δηλαδή, αντιστρέφοντας τον αρχικό μετασχηματισμό: ξ ξ(x,y)

η η(x,y)





(προφανώς, υποθέτοντας ότι ικανοποιείται η γνωστή απαραίτητη προϋπόθεση αντιστροφής συστήματος:

(ξ,η) (x,y) 0

 

  ^.●

 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π3 (ΕΞΙΣΩΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ): Να επιλυθεί η εξίσωση μεταφοράς με απόσβεση, η οποία έχει την μορφή:

u_t+αu_x=-λu, α,λ∈ℝ  . Επίλυση:

Οι χαρακτηριστικές γραμμές της δοσμένης εξίσωσης έχουν εξίσωση την:

dt=dx

α ⇔x-αt=c∈ℝ.

Εφαρμόζοντας τον μετασχηματισμό:

ξ x αt η x

 

 ^{⇒ux=uξ+uη, ut=-αuξ,}

οπότε, η δοσμένη εξίσωση  απλοποιείται και, τελικώς, επιλύεται ως εξής:

u_η=-λ

α ^u⇔u=f(ξ)

λ ηα

e^ ⇔u(x,t)=f(x-αt)e^-λt.▲

 ΟΡΙΣΜΟΙ Ο7 (ΣΧΕΔΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ-ΗΜΙΓΡΑΜΜΙΚΗ Μ.Δ.Ε ΠΡΩΤΗΣ ΤΑΞΗΣ): Μία μ.δ.ε πρώτης τάξης ονομάζεται:

 σχεδόν γραμμική μ.δ.ε, αν έχει την γενική μορφή:

α(x,y,u)u_x+β(x,y,u)u_y=γ(x,y,u) Σ4β και έχει γενική λύση της μορφής:

F(φ(x,y,u),ψ(x,y,u))=0 Σ10,

όπου F αυθαίρετη συνάρτηση και φ(x,y,u) και ψ(x,y,u) συναρτήσεις, οι οποίες αποτελούν λύσεις των χαρακτηριστικών εξισώσεών της:

dx

α(x, y,u)= dy

β(x,y,u)= du

γ(x,y,u) Σ11.

 ημιγραμμική μ.δ.ε, αν είναι της γενικής μορφής:

α(x,y)u_x+β(x,y)u_y=γ(x,y,u) Σ4γ .■

Είναι φανερό ότι, τόσο οι γραμμικές, όσο και οι ημιγραμμικές μ.δ.ε μπορούν να θεωρηθούν ότι αποτελούν υποπεριπτώσεις των σχεδόν γραμμικών εξισώσεων.

 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π4 (ΣΧΕΔΟΝ ΓΡΑΜΜΙΚΗ Μ.Δ.Ε): Να προσδιοριστεί η γενική λύση της γραμμικής μ.δ.ε:

xu_x+yu_y=2u.

Επίλυση:

Οι χαρακτηριστικές καμπύλες της δοσμένης μ.δ.ε προκύπτουν από τις εξισώσεις:

dx

x ^{= dy}y =du 2u^, οπότε, θα είναι:

1

2 2

dy dx y

y x x c

du dx u c

2u x x

   



  



⇒F ^{y u}, ₂ x x

 

 

 =0⇔ u₂ x ^=f x^y

  

 ⇔u(x,y)=x²f ^y x

  

 ._▲

Α1.2. Γραμμικές μ.δ.ε δεύτερης τάξης^[8]

 ΟΡΙΣΜΟΙ Ο8 (ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ Μ.Δ.Ε ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ-ΕΙΔΗ):

 Μία μ.δ.ε, με άγνωστη συνάρτηση την u(x,y), ονομάζεται μ.δ.ε δεύτερης τάξης, όταν έχει την γενική μορφή:

Α(x,y)u_xx+Β(x,y)u_xy+Γ(x,y)u_yy+Δ(x,y)u_x+Ε(x,y)u_y+Ζ(x,y)u=Η(x,y), |Α(x,y)|+|Β(x,y)|+|Γ(x,y)|≠0 Σ12, όπου η παράσταση:

Α(x,y)u_xx+Β(x,y)u_xy+Γ(x,y)u_yy ονομάζεται κύριο μέρος της μ.δ.ε.

 Η μ.δ.ε Σ12 χαρακτηρίζεται, στο σημείο (x₀,y₀)∈ℝ², ως μ.δ.ε:

(1) υπερβολικού τύπου, αν Β²(x₀,y₀)-4Α(x₀,y₀)Γ(x₀,y₀)>0, (2) παραβολικού τύπου, αν Β²(x₀,y₀)-4Α(x₀,y₀)Γ(x₀,y₀)=0, (3) ελλειπτικού τύπου, αν Β²(x₀,y₀)-4Α(x₀,y₀)Γ(x₀,y₀)<0.■ Χαρακτηριστικά παραδείγματα γνωστών μ.δ.ε:

 υπερβολικού τύπου είναι η κυματική εξίσωση u_xx- 1₂

c ^utt=0.

 παραβολικού τύπου είναι η εξίσωση διάχυσης u_t-D∆u=0.

 ελλειπτικού τύπου είναι η εξίσωση Poisson ∆u=0.

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο9 (ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ Μ.Δ.Ε ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ): Ως κανονικές μορφές των μ.δ.ε δεύτερης τάξης ορίζονται οι ακόλουθες:

u_ξη≡Η₁, u_ξξ-u_ηη≡Η₂,

u_ξξ≡Η₃, u_ξξ+u_ηη≡Η₄,

όπου οι συναρτήσεις Η στα δεύτερα μέλη περιέχουν μόνο όρους χαμηλότερης τάξης.■

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ2 (ΕΠΙΛΥΣΗ Μ.Δ.Ε ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ ΜΕ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ): Έστω ο (αντιστρέψιμος) μετασχηματισμός:

ξ ξ(x,y) η η(x,y)



 ^,

δηλαδή ισχύει ότι (ξ,η) (x,y)



 ≠0 και οι ξ,η∈C². Παραγωγίζοντας, παίρνουμε ότι:

u_x=u_ξξ_x+u_ηη_x, u_y=u_ξξ_y+u_ηη_y⇒u_xx=u_ξξξ²_x+2u_ξηξ_xη_x+u_ηηη²_x+u_ξξ_xx+u_ηη_xx,

u_yy=u_ξξξ +2u²_{y ξη}ξ_yη_y+u_ηηη +u²_{y ξ}ξ_yy+u_ηη_yy, u_xy=u_ξξξ_xξ_y+u_ξη(ξ_xη_y+ξ_yη_x)+ u_ηηη_xη_y+u_ξξ_xy+u_ηη_xy. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση, προκύπτει η μ.δ.ε:

Α′u_ξξ+Β′u_ξη+Γ′u_ηη+Δ′u_ξ+Ε′u_η+Ζ′u=Η′, όπου:

 Α′≡Αξ²_x+Βξ_xξ_y+Γξ , ²_y

 Β′≡2Αξ_xη_x+Β(ξ_xη_y+ξ_yη_x)+2Γξ_yη_y,

 Γ′≡Αη²_x+Βη_xη_y+Γη , ²_y

 Δ′≡Αξ_xx+Βξ_xy+Γξ_yy+Δξ_x+Εξ_y,

 Ε′≡Αη_xx+Βη_xy+Γη_yy+Δη_x+Εη_y,

 Ζ′≡Ζ,

 Η′≡Η ή

Α′(ξ,η)u_ξξ+Β′(ξ,η)u_ξη+Γ′(ξ,η)u_ηη=f(ξ,η,u,u_ξ,u_η) Σ13 ,

Θα εφαρμοστεί τώρα η προηγούμενη επιλυτική διαδικασία στις ομογενείς μ.δ.ε δεύτερης τάξης, με σταθερούς συντελεστές, δηλαδή της μορφής:

Αu_xx+Βu_xy+Γu_yy=0, Α,Β,Γ∈ℝ Σ14 .

Στην περίπτωση αυτή, οι μετασχηματισμοί ξ και η έχουν την μορφή γραμμικών μετασχηματισμών:

ξ(x,y) αx + y η(x,y) γx+ y



 ^{, α≠γ} Σ15 ,

και, με την χρήση τους, παίρνοντας την κανονική μορφή της εξίσωσης, μπορεί να βρεθεί η γενική λύση της μ.δ.ε. Θα είναι:

u_x=αu_ξ+γu_η, u_y=u_ξ+u_η⇒

⇒u_xx=α²u_ξξ+2αγu_ξη+γ²u_ηη, u_xy=αu_ξξ+(α+γ)u_ξη+γu_ηη, u_yy=u_ξξ+u_ξη+u_ηη, οπότε, από την αρχική εξίσωση Σ14, θα προκύψει η:

(Αα²+Βα+Γ)u_ξξ+(Αγ²+Βγ+Γ)u_ηη+[2Ααγ+Β(α+γ)+2Γ)u_ξη=0, με α= ^{B B2 4AΓ}

2Α

   , γ= ^{B B2 4AΓ}

2Α

   .

Επομένως, θα έχουμε ότι:

(4ΑΓ-Β²)u_ξη=0 Σ16 . Αν:

 Β²-4ΑΓ≠0, η μ.δ.ε Σ14 είναι ελλειπτικού ή υπερβολικού τύπου, με λύση την:

u(x,y)=F(αx+y)+G(γx+y) Σ17 .

 Β²-4ΑΓ=0, η μ.δ.ε Σ14 είναι παραβολικού τύπου και, θέτοντας: ξ(x,y) αx + y η(x) x



 , προκύπτει η λύση:

u(x,y)=F(αx+y)+xG(γx+y) Σ18 .●

 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Π5 (Μ.Δ.Ε ΔΕΥΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ, ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΟΥΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ): Να προσδιοριστεί η γενική λύση της εξίσωσης Poisson:

(α) u_xx+u_yy=-4, (x,y)∈ℝ².

(β) u_xx-2u_xy+u_yy=-4, (x,y)∈ℝ². Επίλυση:

Επειδή:

(α) Α=Γ=1, Β=0, οπότε Β²-4ΑΓ=-4<0, ∀(x,y)∈ℝ², η δοσμένη μ.δ.ε είναι ελλειπτικού τύπου και α=i, γ=-i, άρα η λύση της είναι η:

u(x,y)=F(y+xi)+G(y-xi).

(β) Α=1, Β=-2, Γ=1, οπότε Β²-4ΑΓ=0, ∀(x,y)∈ℝ², η δοσμένη μ.δ.ε είναι παραβολικού τύπου και α=γ=1, άρα η λύση της είναι η:

u(x,y)=F(y+x)+xG(y+x) (x,y)∈ℝ², F,G∈C¹(ℝ)._▲

Α1.3. Μ.δ.ε διάχυσης^[2][8][17]

 ΟΡΙΣΜΟΣ Ο10 (Μ.Δ.Ε ΔΙΑΧΥΣΗΣ): Ως εξίσωση διάχυσης ορίζεται η μ.δ.ε:

C_t+D‧∆C=0 Σ19 ,

όπου D η σταθερά (συντελεστής) διάχυσης ή αγωγιμότητας του υλικού, ∆ ο τελεστής Laplace και C η (χωροχρονική) συνάρτηση, η οποία εκφράζει την συγκέντρωση της διαχεόμενης ουσίας σε ένα υλικό μέσο.■

Άρα, η μ.δ.ε διάχυσης περιγράφει τα φαινόμενα διάχυσης και είναι της μορφής:

 C_t+DC_xx=0 , όταν συμβαίνει διάχυση κατά μήκος γραμμικού άξονα x′x (μία χωρική και μία χρονική διάσταση), οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι η C=C(x,t).

 C_t+D(C_xx+C_yy)=0 , όταν πραγματοποιείται διάχυση σε δισδιάστατο χώρο xy (δύο χωρικές και μία χρονική διάσταση), οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι η C=C(x,y,t).

 C_t+D(C_xx+C_yy+C_zz)=0 , όταν λαμβάνει χώρα διάχυση σε τρισδιάστατο χώρο xyz (τρεις χωρικές και μία χρονική διάσταση), οπότε η ζητούμενη συνάρτηση είναι η C=C(x,y,z,t).

Οι α.σ C(x,0) εκφράζουν την συγκέντρωση στην αρχή μέτρησης του χρόνου του φαινομένου διάχυσης. Επιπλέον, για την καλή τοποθέτηση του προβλήματος, εμφανίζονται σ.σ τύπου:

 Dirichlet: C(x,t)=g₁(x,t), x∈∂D ή

 Neumann:

n

C

 (x,t)=g₂(x,t), x∈∂D ή

 Robin:

n

C

 (x,t)+β(x)C(x,t)=g₃(x,t), x∈∂D, αν το D είναι φραγμένο χωρίο.

Το πρόβλημα επιλύεται συνήθως με εφαρμογή της μεθόδου χωρισμού των μεταβλητών (η οποία και αναλύεται συνοπτικώς παρακάτω, σε διάφορες περιπτώσεις προβλημάτων). Τέλος, αν D=ℝ, θα πρέπει να τεθούν κάποιες συνθήκες στο ±∞.

Έστω f η συνάρτηση, η οποία περιγράφει αρχικώς την συγκέντρωση της ουσίας (πηγή).

Τότε¹:

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ3 (ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ, ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Σ.Σ DIRICHLET): Εξετάζεται το π.α.σ.τ, με ομογενείς σ.σ Dirichlet και σε πεπερασμένο χώρο:

C_t+D C = 0 Σ20 , 0 < x < L, t > 0 _xx C(0,t) = C(L,t) = 0, t > 0 σ.σ C(x,0) = f(x), 0 x L α.σ 

.

Εφαρμόζοντας την μέθοδο χωρισμού των μεταβλητών, όπου θεωρείται ότι η ζητούμενη συνάρτηση

C(x,t)≡X(x)T(t) Σ21^σ.σX(0)=X(L)=0 Σ22. Αντικαθιστώντας στην μ.δ.ε Σ20, προκύπτουν οι (δύο) ακόλουθες σ.δ.ε:

1 αυτές οι κατά περίπτωση διαδικασίες χρησιμοποιούνται αργότερα στην επίλυση των εξισώσεων για τους ρύπους των υπόγειων υδάτων.

Χ Χ

=1 T D T

≡-λ∈ℝ Σ23, όπου λ η σταθερά διαχωρισμού του προβλήματος.

Οπότε, παίρνουμε δύο προβλήματα, με τις αντίστοιχες συνθήκες:

 το πρόβλημα ιδιοτιμών:

20 X (x) λΧ(x) 0 19 X(0) X(L) 0

   

   ^⇒

2 n

n n

λ nπ L X (x) B cos nπx

L

   

   

   

 

 

   

  

 

Σ24, n∈ℕ*.

 η σ.δ.ε:

Τ′(t)=-D nπ 2

L

 

 

  T(t)⇒T_n(t)=C_n

nπ 2

D t

e L

 

   Σ25, n∈ℕ*.

Από τις σχέσεις Σ21, Σ24,Σ25⇒C(x,t)=

nπ2

D t

L n 1 n

B sin nπx e L

 

   

 



   

   

   

 



^Σ26.

Με εφαρμογή της συνθήκης α.σ , θα πάρουμε ότι:

C(x,0)=f(x)= _n

n 1

B sin nπx L





  

  

 



^⇒Bn=

L

0

2 f(x)sin nπx dx

L L

 

 

 



και, αντικαθιστώντας, τέλος, στην σχέση Σ23, προκύπτει η λύση:

C(x,t)=

nπ2 L

D t

L

n 1 0

2 sin nπx e f(x)sin nπx dx

L L L

 

   

 



     

     

     

 

 

^.●

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ4 (ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ, ΜΗ ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Σ.Σ DIRICHLET): Εξετάζεται το π.α.σ.τ, με μη ομογενείς σ.σ Dirichlet και σε πεπερασμένο χώρο:

C_t  _xx

1 2

= D C , 0 < x < L, t > 0 C(0,t) = C , t > 0 σ.σ1 C(L,t) = C , t > 0 σ.σ2 C(x,0) = f(x), 0 x L α.σ 

.

Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο (διαδικασία μεθόδου χωρισμού μεταβλητών), θα πάρουμε για την ζητούμενη συγκέντρωση:

C(x,t)=C² C¹ L

 x+C₁+

nπ2

D t

L n 1 n

B sin nπx e L

 

   

 



   

   

   

 



^{και B}n=

L

2 1

1 0

C C

2 f(x) x C sin nπx dx

L L L



     

   

 



και, αντικαθιστώντας, προκύπτει τελικώς η λύση:

C(x,t)=C² C¹ L

 x+C₁+

nπ2 L

D t

L 2 1

n 1 0 1

C C

2 sin nπx e f(x) x C sin nπx dx

L L L L

 

   

 



        

   

       

 

 

 

^.●

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ5 (ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ ΧΩΡΟΣ, ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Σ.Σ NEUMANN): Θεωρείται το π.α.σ.τ, με ομογενείς σ.σ Neumann και σε πεπερασμένο χώρο:

C_t  _xx

x x

= D C , 0 < x < L, t > 0 C (0,t) = C (L,t) = 0, t > 0 σ.σ C(x,0) = f(x), 0 x L  α.σ

.

Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο (διαδικασία μεθόδου χωρισμού μεταβλητών), θα προκύψει η:

C(x,t)=A₀+

nπ2

D t

L n 1 n

A cos nπx e L

 

   

 



   

   

   

 



^{και Α}0=

L

0

1 f(x)dx

L



^{, An= L}

0

2 f(x)cos nπx dx

L L

 

 

 



οπότε, τελικώς, η λύση:

C(x,t)=

L

0

1 f(x)dx

L



⁺

nπ2 L

D t

L

n 1 0

2 cos nπx e f(x)cos nπx dx

L L L

 

   

 



     

     

     

 

 

^.●

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ6 (ΑΠΕΙΡΟΣ ΧΩΡΟΣ): Στην περίπτωση αυτή, το π.α.σ.τ, το οποίο αφορά χώρο άπειρου μεγέθους, διαμορφώνεται ως εξής:

C_t= D C , - < x < , t > 0 _xx C(x,0) = f(x), - < x < α.σ

| C(x,t) |< - < x < , t > 0

 

 

  

.

Εργαζόμενοι με όμοιο τρόπο (διαδικασία μεθόδου χωρισμού μεταβλητών), θα πάρουμε την λύση για την συγκέντρωση:

C(x,t)= ^{Dk t2}

0

a(k)cos(kx) b(k)sin(kx) e dk



 

 

 



^,

με a(k)= 1 f(x)cos(kx)dx π







και b(k)= 1 f(x)sin(kx)dx π







(δηλαδή οι a και b είναι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης πηγής f).●

 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Μ7 (ΗΜΙΑΠΕΙΡΟΣ ΧΩΡΟΣ, ΟΜΟΓΕΝΕΙΣ Σ.Σ DIRICHLET): Στην περίπτωση αυτή, το π.α.σ.τ, το οποίο αφορά χώρο ημιάπειρου μεγέθους, διαμορφώνεται ως εξής:

t xx

C = D C , 0 < x < , t > 0 C(x,0) = f(x), 0 x < α.σ C(0,t) = 0, t > 0 σ.σ

| (x,t) |< , 0 x <C , t 0

 

 

   

.

Εργαζόμενοι με παρόμοιο τρόπο (διαδικασία μεθόδου χωρισμού μεταβλητών), θα προκύψει η λύση:

C(x,t)= ^{Dk t2}

0

b(k)sin(kx)e dk





 ^{, με b(k)=}

0

2 f(x)sin(kx)dx π





^._●

Α1.4. Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση μ.δ.ε^[1][16]

Οι αριθμητικές διαδικασίες επίλυσης διαφορικών εξισώσεων αποτελούνται από δύο είδη τεχνικών. Αυτές, οι οποίες:

(1) έχουν ως στόχο την εύρεση της λύσης ανάμεσα σε ένα καθορισμένο αριθμό κόμβων μέσα στην περιοχή, η οποία ορίζεται στην εξίσωση και στο σύνορό του.

(2) εκτείνουν την λύση ως ένα άθροισμα βασικών συναρτήσεων, οι οποίες ορίζονται στο χωρίο, στο οποίο ορίζεται η εξίσωση και, στην συνέχεια, έχουν ως στόχο τον καθορισμό των συντελεστών του αναπτύγματος.

Η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών προσεγγίζει τις παραγώγους μίας μ.δ.ε με αθροίσματα και διαφορές συναρτησιακών τιμών σε ένα σύνολο διακριτών σημείων, συνήθως ομοιομόρφως κατανεμημένο, σε συνάρτηση κάποιας ανεξάρτητης μεταβλητής. Έστω x,h∈ℝ, �