[PENDING] Magnetospheres: from pulsars to black holes

Εθνικόν και Κποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Τομέας Αστροϕυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής

Μαγνητόσϕαιρες: από pulsars μέχρι μελανές οπές

Αντώνιος Ναθαναήλ

Επιβλέπων: Θεοχάρης Αποστολάτος

Εθνικόν και Κποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών Σχολή Θετικών Επιστημών

Τμήμα Φυσικής

Τομέας Αστροϕυσικής, Αστρονομίας και Μηχανικής

Μεταπτυχιακό Δίπλωμα Ειδίκευσης στην Αστροϕυσική, Αστρονομία και Μηχανική

Μαγνητόσϕαιρες: από pulsars μέχρι μελανές οπές

Magnetospheres: from pulsars to black holes

Αντώνιος Ναθαναήλ Α.Μ. 201011

Τριμελής Επιτροπή:

Επιβλέπων: Θεοχάρης Αποστολάτος, Επίκουρος Καθηγητής

Νεκτάριος Βλαχάκης, Επίκουρος Καθηγητής

Ιωάννης Κοντόπουλος, Ερευνητής Α

Περίληψη

Μελετάμε τη δομή του μαγνητικού πεδίου γύρω από έναν αστέρα pulsar και γύρω από μια μελανή οπή. Η διαϕορά στα δύο συστήμα- τα για το μαγνητικό πεδίο είναι η εξής: στους αστέρες pulsars το πεδίο δημιουργείται από τον ίδιο το αστέρα, συγκεκριμένα από ρεύ- ματα στο εσωτερικό του, ενώ στη μελανή οπή κάτι τέτοιο δε μπορεί να συμβαίνει και το πεδίο συγκρατείται από κάποιο δίσκο προσαύ- ξησης. Δίνουμε μια παρουσίασης της θεωρίας και της πορείας της κατανόησης αυτών των συστημάτων μέχρι σήμερα. Γράϕουμε τις εξισώσεις των δύο προβλημάτων, οι οποίες είναι παρόμοιες. Δοκι- μάζουμε τη μέθοδο που χρησιμοποιήθηκε από τους Contopoulos, Kazanas και Fendt(1999) για να λυθεί το πρόβλημα της μαγνητό- σϕαιρας των pulsars. Αναπαραγάγουμε τα δικά τους αποτελέσματα και την εϕαρμόζουμε στη γενική σχετικότητα για τις μελανές οπές, δίνοντας κάποια πρώιμα αποτελέσματα. Η μέθοδος βασίζεται στην ασυνέχεια του κυλίνδρου ϕωτός.

Λέξεις κλειδιά:

pulsar, μελανές οπές, μαγνητόσϕαιρα, κύλινδρος ϕωτός

Abstract

We study the structure of the magnetic field around a pulsar and around a black hole. The main difference between these two systems for the field is: for pulsars the magnetic field is produ- ced by currents inside the star, whereas for the black hole the magnetic field needs the natural assumption of an accretion disk to hold it there. We give a presentation of the underlying theory and the understanding of it till today. We give the equations for the two systems, which are similar. We try the method used from Contopoulos, Kazanas and Fendt (1999) to solve the pro- blem of the pulsar magnetosphere. We reproduce their results and use the method in general relativity for black hole, we give some first results. The method depends on the discontinuity of the light cylinder.

Key words:

pulsars, black holes, magnetosphere, light cylinder

Σχήμα 1: Ο γαλαξίας M87, ένας τεράστιος ελλειπτικός γαλαξίας. 53.3 εκα- τομμύρια έτη ϕωτός από τη γη. Στον πυρήνα του έχει μια τεράστια μαύρη τρύπα (SMBH, Super Massive Black Hole), 6.5×10⁹M_⊙ ϕορές τη μάζα του ήλιου.

Γύρω από τη μαύρη τρύπα είναι ένας περιστρεϕόμενος δίσκος ιονισμένου αερίου κάθετος στο σχετικιστικό πίδακα που ϕαίνεται στην εικόνα. Ο πίδακας είναι αρκετά ευθυγραμμισμένος και έχει έκταση τουλάχιστον 5 χιλιάδες έτη ϕωτός.

Η εικόνα είναι από το Hubble Space Telescope.

Περιεχόμενα

1 Το ϕυσικό πρόβλημα 2

1.1 pulsars . . . 2 1.2 Μελανές οπές . . . 7

2 Pulsars 18

3 Μελανές Οπές Black Holes 33

4 Αποτελέσματα 59 4.1 Pulsars . . . 59 4.2 Μελανές Οπές . . . 63

5 Βιβλιογραϕία 71

6 Παράρτημα Α. Γεωμετρικοποιημένες μονάδες 72 7 Παράρτημα Β. Αριθμητική λύση ΜΔΕ 73 8 Παράρτημα Γ. Κώδικας για μαγνητόσϕαιρες των pul-

sar. 75

9 Παράρτημα Δ. Κώδικας για μαύρες τρύπες. 83

1 Το ϕυσικό πρόβλημα

Σε αυτό το κεϕάλαιο θα δούμε τις εξισώσεις που περιγράϕουν το μαγνητικό πεδίο γύρω από ένα πάλσαρ (pulsar) και γύρω από μια περιστρεϕόμενη μελανή οπή.

1.1 pulsars

΄Ενας pulsar είναι ένας υψηλά μαγνητισμένος, περιστρεϕόμενος αστέρας νετρονίων ο οποίος ακτινοβολεί μια δέσμη ηλεκτρομαγνη- τικής ακτινοβολίας. Αυτή η ακτινοβολία μπορεί να ανιχνευθεί μόνο αν η δέσμη δείχνει προς τη γη, όπως ένας ϕάρος ϕαίνεται μόνο όταν δείχνει προς τον παρατηρητή, για αυτό βλέπουμε την ακτινοβολία ως παλμούς καθώς περιστρέϕεται ο αστέρας. Η ανακάλυψή τους έγινε σχεδόν τυχαία. Μία διδακτορικός ϕοιτητής (Jocelyn Bell) καθώς δούλευε σε ένα νέο ραδιοτηλεσκόπιο, βρήκε μεταβλητές ραδιοπηγές με τεράστιες συχνότητες, η πρώτη τέτοια πηγή είχε περίοδο λίγο πάνω από 1sec.

Στην αρχή τους ονόμασανpulsars(κόβοντας τοpulsating stars=παλλόμενοι αστέρες, στα ελληνικά θα τους λέγαμε μετά τη σύντμηση παλλέρες).

Μελετώντας τον παλμό πιο προσεκτικά, είδαν ότι αυτοί οι αστέ- ρες πρέπει να είναι πολύ συμπαγή γαλαξιακά αντικείμενα, μικρότερα και πυκνότερα από τους λευκούς νάνους. Κατέληξαν ότι οι pulsars δεν είναι παλλόμενοι αστέρες, αλλά περιστρεϕόμενοι αστέρες νετρο- νίων, που σχηματίστηκαν από έκρηξη supernova. Η σχέση μεταξύ pulsars και supernovae έγινε κοινώς αποδεκτή μετά την ανακάλυ- ψη του pulsar του καρκίνου, με περίοδο 0.033s, στο κέντρο του νεϕελώματος του καρκίνου (Crab Nebula), το οποίο είχε ήδη προ καιρού αναγνωρισθεί ως απομεινάρι του supernova του 1054. Στο σχήμα 1 ϕαινεται ο pulsar στο νεϕέλωμα του καρκίνου (Crab Nebula), όπως ϕάνηκε από το τηλεσκόπιο Chadra. Φαίνεται η

Σχήμα 2: Σύνθετη εικόνα από παρατηρήσεις σε οπτικό και σε ακτίνες χ. Φαί- νεται το νεϕέλωμα του καρκίνου (Crab Nebula) και στο κέντρο ο ομώνημος pulsar.

εκπομπή ακτινοβολίας σύγχροτρον στον άνεμο που περιβάλλει το α- στέρι. ΄Αλλος pulsar απομεινάρι από supernova είναι ο pulsar Vela, με συχνότητα 0.089sec, ο οποίος ανακαλύϕθηκε σε ένα νεϕέλωμα που σχηματίστηκε από έκρηξη supernova πριν από 10000 χρόνια.

Ο μηχανισμός αυτών των αστέρων βασίζεται σε δύο πράγματα:

την περιστροϕή και το μαγνητικό πεδίο, τα οποία ενισχύθηκαν πάρα πολύ κατά την κατάπαυση του πυρήνα , δηλαδή της supernova.

Εργασά σταθμός στην αναζήτηση της δομής του μαγνητικού πε- δίου των pulsar ήταν αυτή των Goldreich και Julian (1969).

Στην εργασία τους προτείνανε ότι η συνιστώσα του ηλεκτρικού πε- δίου παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο, μπορούσε να τραβήξει ϕορτία

από την επιϕάνεια του αστέρος. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα το άνοιγ- μα των μαγνητικών γραμμών που διασχίζουν το κύλινδρο ϕωτός (Ο κύλινδρος ϕωτός θα συμβολίζεται LC, για ορισμό βλέπε σχήμα 3).

Σχήμα 3: Ο κύλινδρος ϕωτός (light cylinder) γύρω από ένα περιστρεϕόμενο αστέρα νετρονίων. Η ακτίνα του κυλίνδρου r_LC είναι η απόσταση στην οποία ένα σημείο που συμπεριστρέϕεται με τον αστέρα νετρονίων ταξιδεύει με την ταχύτητα του ϕωτός r_LC = c/ω = cP/2π. Στο σχήμα είναι ϕανερό ότι ο άξονας περιστροϕής δεν είναι ευθυγραμμισμένος με το μαγνητικό άξονα.

΄Ετσι δημιουργείται ένας μαγνητουδροδυναμικός (MHD) άνεμος.

Οι Scharlemann και Wagoner (1973), γράψανε την εξίσωση των pulsars για την πολοειδή μαγνητική ροή, η οποία περιγράϕει τη δομή της αξισυμμετρικής μαγνητόσϕαιρας. Ας δούμε πως μπορούμε να ϕτιάξουμε την εξίσωση αυτή.

Αρχικά, υποθέτουμε ότι έχουμε ιδανική μαγνητουδροδυναμική (ideal MHD). Δηλαδή θεωρούμε τα ϕαινόμενα απώλειας μικρές διατραχές της συνολικης εικόνας και άρα δεν την επιρρεάζουν. Οι πραγματι- κοί αστέρες είναι μαγμητισμένοι και η περιστροϕή δημιουργεί ένα τεράστιο ηλεκτρικό πεδίο το οποίο όχι μόνο τραβάει ϕορτισμένα σωμάτια από την επιϕάνεια του αστέρα αλλά και τα επιταχύνει σε καμπυλομένες τροχιές. Αυτά με τη σειρά τους ακτινοβολούν ϕω- τόνια καμπύλωσης (curvature photons) τα οποία παράγουν ζεύγη ηλεκτρονίων- ποζιτρονίων καθώς κινούνται κατά μήκος των καμ- πυλομένων μαγνητικών γραμμών. ΄Ετσι μέσα σε μερικές αστρικές ακτίνες η μαγνητόσϕαιρα έχει γεμίσει ϕορτία τα οποία διαλύουν τη ηλεκτρική συνιστώσα παράλληλη στο μαγνητικό πεδίο. Στη συνέ- χεια, όποτε η πυκνότητα του πλάσματος πέϕτει και η παράλληλη συνιστώσα επανεμϕανίζεται ο ίδιος μηχανισμός ξαναγεμίζει τη μα- γνητόσϕαιρα.

Επιπλέον, υποθέτουμε ότι οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις κυ- ριαρχούν και θεωρούμε τις αδρανειακές και τις βαρυτικές αμελητέες (force-free MHD). Η εξίσωση που περιγράϕει αυτή την κατάσταση είναι η εξής:

1

cJ × B + ρ_eE = 0

όπου J είναι η πυκνότητα του ηλεκτρικού ρεύματος, B το μαγνητικό πεδίο και E το ηλεκτρικό πεδίο. Ακομή, η πυκνότητα ηλεκτρικών ϕορτίων στην μαγνητόσϕαιρα είναι ρ_e = ∇ ·E/(4π). Θα δουλέψουμε σε κυλινδρικό σύστημα συντεταγμένων (R, ϕ, Z).

Μας ενδιαϕέρει το μη χρονοεξαρτόμενο (σταθερή κατάσταση-steady state), αξισυμμετρικό πρόβλημα και βολεύει να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση ροής Ψ η οποία ορίζεται ως εξής:

B_p = ∇Ψ×ϕˆ

R ,

όπου B_p είναι η πολοειδής συνιστώσα (R, Z) του μαγνητικού

πεδίου. Οι μαγνητικές γραμμές βρίσκονται πάνω στις επιϕάνειες μαγνητικής ροής σταθερού Ψ. Σε κάθε σημείο, η Ψ είναι ανάλογη της συνολικής μαγνητικής ροής που περιέχεται μέσα από αυτό το σημείο. Αν από την εξίσωση (1) πάρουμε τη ϕ συνιστώσα έχουμε ότι τα J_p και B_p είναι παράλληλα και από το νόμο του Ampere έχουμε ότι:

B_ϕ = A(Ψ) R

όπου A(Ψ) είναι μια συνάρτηση που πρέπει να προσδιοριστεί.

Το πολοειδές ηλεκτρικό ρεύμα I ≡ cA/2 είναι επίσης συνάρτηση του Ψ, το οποίο σημαίνει ότι τα πολοειδη ηλεκτρικά ρεύματα ρέουν κατα μήκος των επιϕανειών ροής. ΄Οσο για το ηλεκτρικό πεδίο από το νόμο του Ohm και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η πολοειδής ταχύτητα του πλάσματος είναι παράλληλη με το πολοειδές μαγνητικο πεδίο έχουμε ότι:

E = RΩ

c B_p × ϕˆ

είναι ϕανερό ότι είναι κάθετο με το B. Το Ω είναι η γωνιακή ταχύτητα περιστροϕής του αστέρα νετρονίων πάνω στον οποίο είναι κολλημένη η μαγνητόσϕαιρα. Οπότε, οι μαγνητικές γραμμές κρα- τάνε αυτή τη γωνιακή ταχύτητα σα να έχουμε περιστροϕή στερεού σώματος, βέβαια δεν ισχύει το ίδιο για το πλάσμα της μαγνητόσϕαι- ρας.Από την εξίσωση (1) μετά από πράξεις και παίρνοντας την ακτινική συνιστώσα καταλήγουμε στην εξής εξίσωση:

(1−x²)

(∂²Ψ

∂x² − 1 x

∂Ψ

∂x + ∂²Ψ

∂z² )

−2x∂Ψ

∂x = −R²_LCAA^′, (1) όπου έχουν γίνει οι αλλαγές x ≡ R/R_LC και z ≡ Z/R_LC, όπου R_LC ≡ c/Ω είναι η απόσταση από τον άξονα μέχρι το σημείο

όπου ένα σωμάτιο που συμπεριστρέϕεται με τον αστέρα, περιστρέ- ϕεται με την ταχύτητα του ϕωτός ( ο κύλινδρος ϕωτός LC). Αυτή είναι η εξίσωση των pulsars(Scharlemann και Wagoner (1973) εξίσωση (15),Michel (1973) εξίσωση (11), Mestel και Shibata (1994) εξίσωση (73), Beskin (1997) εξίσωση (130) και Contopou- los,Kazanas και Fendt (1999) εξίσωση (5) ). Λύνοντας αυτή την εξίσωση έχουμε μια πλήρη εικόνα της δομής όλης της μαγνητόσϕαι- ρας. ΄Αρα, μπορούμε να υπολογίσουμε το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο παντού στο χώρο. Να εκτιμήσουμε την επιτάχυνση των σωμα- τιδίων, δίνοντας κάποια αρχική τίμη του συντελεστή Lorentz στην επιϕάνεια του αστέρος και να υπολογίσουμε σε τι τιμές μπορεί να ϕτάσει.

Η εξίσωση (1) είναι μια μερική διαϕορική εξίσωση ελλειπτικού τύ- που με άγνωστη σύναρτηση τη συνάρτηση ροής Ψ. Η δυσκολία της αυξάνει εϕόσον η κατανομή του ρεύματος A(Ψ) κατά μήκος των ανοιχτών μαγνητικών γραμμών είναι μια άγνωστη-ελεύθερη συνάρ- τηση. Στο επόμενο κεϕάλαιο θα δούμε τη πορεία μέχρι να ϕτάσουμε σε αυτή την εξίσωση, το καθορισμό των συνοριακών συνθηκών τις προσπάθειες για λύση της θεωρώντας δεδομένες κατανομές ρεύμα- τος και τέλος την αριθμητική της λύση. Ακόμη, θα δούμε λύσεις που ο άξονας περιστροϕής και ο μαγνητικός άξονας δεν είναι ευθυ- γραμμισμένοι.

1.2 Μελανές οπές

Πριν τα μέσα της δεκαετίας του `60 το αντικείμενο που τώρα α- ποκαλούμε μελανή οπή (μαύρη τρύπα, black hole) χαρακτηριζό- ταν στην αγγλική βιβλιογραϕία ως «αστέρας που έχει καταρεύ- σει» (collapsed star) και στη ρωσική βιβλιογραϕία ως «παγωμένος αστέρας » (frozen star). Ο χαρακτηρισμός «παγωμένος αστέρας

» ωϕείλεται στο γεγονός ότι ένας παρατηρητής μακρυά από μια μελανή οπή Schwarzschild θα βλέπει την επιϕάνεια του αστέρα

παγωμένη στο χρόνο από τη στιγμή που λόγω της κατάρευσης θα περνάει την ακτίνα Schwarzschild, δηλαδή τον ορίζοντα γεγονότων.

Ενώ ένας παρατηρητής πάνω στην επιϕάνεια του αστέρα που καταρ- ρέει όχι μόνο δε θα βλέπει κάποια παγωμένη εικόνα αλλά θα βιώσει μια κατάρευση σε απειροελάχιστο χρόνο κατέυθείαν στο κέντρο της μελανής οπής. Ορίζοντας γεγονότων είναι το όριο του χωρόχρονου μέσα από το οποίο τίποτα δε μπορεί να ξεϕύγει, ούτε το ϕως. Ο όρος μελανή οπή = μαύρη τρύπα (black hole) δόθηκε από τον Wheeler.

Σχήμα 4: Σχηματική απεικόνιση περιστρεϕόμενης μελανής οπής με δίσκο προ- σαύξησης και τη δημιουργία πίδακα.

Εξ΄ ορισμού κανείς δεν έχει δει απ΄ ευθείας μια μελανή οπή.

Παρ’ολα αυτά, είναι κοινώς αποδεκτό ότι αστροϕυσικές μελανές οπές υπάρχουν. Μπορούμε να τις αναγνωρίσουμε μόνο μέσω της

αλληλεπίδρασης με την ύλη γύρω από αυτή. Η θεωρία προτείνει ότι δεν υπάρχει γνωστή υποατομική ϕυσική που μπορεί να εμποδί- σει μια αρκετά μεγάλη μάζα σε καταστροϕική κατάρευση σε μαύρη τρύπα. ΄Οταν σε ένα αστέρι τελειώσουν τα πυρηνικά του καύσιμα, γίνεται ένα συμπαγές εκϕυλισμένο απομεινάρι (compact degenera- te remnant). ΄Ενας λευκός νάνος ο οποίος συγκρατείται από την εκϕυλισμένη πίεση των ηλεκρονίων, ή ένας αστέρας νετρονίων ο ο- ποίος συγκρατείται από την εκϕυλισμένη πίεση τών νετρονίων. Η μέγιστη επιτρεπόμενη μάζα για έναν αστέρα νετρονίων εκτιμάται σε 2−3M_⊙. Πέρα από αυτή τη μέγιστη μάζα ένα απομεινάρι αστέρα δε μπορεί να υποστηριχθεί από τη πίεση λόγω εκϕυλισμού και καταρ- ρέει σε μαύρη τρύπα αναπόϕευκτα. Για αυτό το λόγο, η ανακάλυψη αόρατων συνοδών σε δυαδικά συστήματα αστέρων με δυναμική μάζα πάνω από 3M_⊙ ήταν η πρώτη ένδειξη για μαύρες τρύπες. Το υλικό από το οποίο δημιουργείται η μαύρη τρύπα έχει γωνιακή ορμή. Ακό- μη, η προσαύξηση υλικού από ένα δίσκο γύρω από τον καταρρέοντα αστέρα προσθέτει γωνιακή ορμή. Για αυτό το λόγο περιμένουμε οι αστροϕυσικές μελανές οπές να περιστρέϕονται.

Ακόμη, οι παρατηρήσεις μας δίνουν ενεργούς πυρήνες γαλαξιών (AGN) με πολύ μεγάλες σε ένταση ραδιο-εκπομπές. Βλέπουμε πίδακες να ξε-

πετάγονται από τα κέντρα γαλαξιών σε τεράστιες αποστάσεις. Η μάζα ενός τέτοιου αντικειμένου μπορεί να υπολογιστεί γύρω στις 10⁸M_⊙, το γεγονός ότι μια τέτοια μάζα βρίσκεται σε μια περιοχή ενός έτους ϕωτός μας πάει στο συμπέρασμα ότι η κεντρική μηχανή είναι μια τεράστια ταχύτατα περιστρεϕόμενη μαύρη τρύπα. Οπότε, οι δύο πιθανές πηγές ενέργειας για να έχουμε την εκπομπή που βλέ- πουμε είναι η μαύρη τρύπα ή η ροή πρόσαύξησης γύρω από τη μαύρη τρύπα. Οι Blandford και Znajek (1977) έδειξαν ότι μπορούμε να έχουμε έναν αποδοτικό μηχανισμό για εξαγωγή ηλεκρομαγνητι- κής ενέργειας από μία περιστρεϕόμενη μαύρη τρύπα. Θεωρήσανε μια περιστρεϕόμενη μαύρη τρύπα να διασχίζεται από πολύ ισχυρό μαγνητικό πεδίο και παντού το περιβάλλοντα χώρο να είναι γεμάτος από πλάσμα ηλεκτονίων ποζιτρονίων το οποίο έχει προέλθει από δια-

Σχήμα 5: Στην εικόνα ϕαίνονται οι πίδακες από τον αστερισμό του Κύκνου Α.

Ράδιο- γαλαξίας σε απόσταση 600M ly εκατομμύρια έτη ϕωτός. Είναι ϕανεροί οι δύο αντίθετοι πίδακες απο τον κεντρικό AGN.

δοχική παραγωγή ζευγαριών. ΄Ετσι έχουμε μια μαγνητόσϕαιρα που κυριαρχούν οι ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις (force-free). Ας δού- με πως μπορούν να δουλέψουν οι γρήγορα περιστρεϕόμενες μαύρες τρύπες.

Στην εργασία τους οι Blandford και Znajek (1977) δουλέ- ψανε με τις εξισώσεις στο τετραδιάστατο χωρόχρονο. Τα τελευταί- α χρόνια οι ερευνητές χρησιμοποούν τον 3 + 1 διαχωρισμό του χωρόχρονου όπως αναπτύχθηκε από τους Thorne και Macdo-

nald (1982)¹. Εμείς θα χρησιμοποιήσουμε τον ϕορμαλισμό των δύο τελευταίων.

΄Εχουμε μια περιστρεϕόμενη μαύρη τρύπα (Kerr), θέλουμε να επίλεξουμε προσεκτικά τους παρατηρητές (fiducial observers, FI- DOs) βάσει των οποίων θα γίνει ο 3 + 1 διαχωρισμός. Θέλουμε οι παρατηρητές να είναι ακίνητοι σε σχέση με τη μαύρη τρύπα. Η μαύρη τρύπα όμως, τραβάει όλα τα ϕυσικά αντικείμενα που βρίσκον- ται κοντά της σε κίνηση σε τροχιά γύρω από τη τρύπα με τη ίδια κατεύθυνση με αυτή της περιστροϕής της τρύπας. ΄Οσο πιο κοντά στον ορίζοντα βρίσκεται κάποιος τόσο πιο έντονο είναι το ϕαινόμε- νο αυτό. Οπότε, οι παρατηρητές μας (FIDOs) πρέπει να κινούνται με πεπερασμένη γωνιακή ταχύτητα ως προς τους απομακρυσμένους, στατικούς παρατηρητές. Ο μόνος τρόπος οι ίδιοι οι FIDOs να κα- ταλάβουν ότι έχουν μη μηδενική γωνιακή ταχύτητα είναι να δουν τα απομακρυσμένα άστρα από πάνω τους. Η γωνιακή τους ταχύτητα επιλέγεται ούτως ώστε η κοσμική τους γραμμή να είναι ορθογώνια σε υπερεπιϕάνειες σταθερού t. Η ιδέα είναι ότι συνεννώνουμε ό- λες τις υπερεπιϕάνειες σταθερού t σε ένα μοναδικό τρισδιάστατο χώρο, τον «απόλυτο χώρο»( «absolute space» ). Τα ϕυσικά γεγο- νότα συμβαίνουν σε ένα παγκόσμιο χρόνο t. Θεωρούμε ότι και ο απόλυτος αυτός χώρος συμπεριστρέϕεται με τη μαύρη τρύπα. ΄Αρα, θεωρούμε ότι οι FIDOs είναι σε ηρεμία στον απόλυτο χώρο ο ο- ποίος περιστρέϕεται γύρω από τη μαύρη τρύπα ( όπως ϕαίνεται από μακρυά) με γωνιακή ταχύτητα Ω.

Οι χωρικές συντεταγμένες θέλουμε να παραμένουν σταθερές (το μέγεθος και η μορϕή του συντεταγμενικόυ πλέγματος) σε σχέση με τα απομακρυσμένα άστρα, έτσι οι συντελεστές της μετρικής του απόλυτου χώρου είναι ανεξάρτητοι του χρόνου. Με αυτό τον τρόπο αυτό που περιστρέϕεται είναι ο απόλυτος χώρος και οι FIDOs σε σχέση με τις συντεταγμένες με (ανεξάρτητη του χρόνου, συντε- ταγμενική ) ταχύτητα

1Για μια πιο παιδαγωγική εισαγωγή στην ανάλυσή τους κάποιος μπορεί να δει το βιβλίο Black Holes:The Membrane Paradigm των Thorne,Price και Macdonald (1986).

(dx^j/dt)_{F IDO} = −β^j,

η οποία αντιστοιχεί σε ϕυσική περιστροϕή με γωνιακή ταχύτητα Ω (όπως τη βλέπουν οι απομακρυσμένοι παρατηρητές). Η ποσότητα β^j, είναι ένα διανυσματικό πεδίο στον απόλυτο χώρο. Συνήθως αποκαλείται «συνάρτηση αλλαγής θέσεως» ( «shift function» ).

Η μετρική του χωρόχρονου με χρόνο Boyer-Lindquist και αυ- θαίρετες χωρικές συντεταγμένες γράϕεται στη μορϕη

ds² = −α²dt² +g_jk(dx^j +β^jdt)(dx^k +β^kdt).

Οι συντελεστές α, β^j, gjk είναι ανεξάρτητοι του χρόνου. α είναι ο λόγος του ρυθμού που τρέχουν τα ρολόγια των FIDO πρός το ρυθμό που τρέχει ο παγκόσμιος χρόνος t, δηλαδή

α = (dτ /dt)_{F IDO},

όπου α είναι η «συνάρτηση για το πως παρέρχεται ο χρόνος» (

«lapse function» ) ή αλλιώς ο συντελεστής (βαρυτικής) ερυθρομε- τάθεσης.

Η ανάλυσή μας θα γίνει σε χρονο-ανεξάρτητο αξισυμμετρικό χω- ρόχρονο, όπου δηλαδή ∂/∂t(· · ·) = ∂/∂ϕ(· · ·) = 0. Θα χρησιμο- ποιηθούν Boyer-Lindquist σϕαιρικές συντεταγμένες (r, θ, ϕ) σε γεωμετρία Kerr. ΄Οπου M είναι η μάζα της μαύρης τρύπας και a η γωνιακή ορμή(0 ≤ a ≤M). Η μετρική παίρνει τη μορϕή αυτή

ds² = −α²dt² + Asin²θ

Σ (dϕ−Ωdt)² + Σ

∆dr² + Σdθ².

΄Οπου α ≡ (∆Σ/A)^1/2 ( «συνάρτηση για το πως παρέρχεται ο χρόνος» ) και Ω ≡ 2aM r/A η γωνιακή ταχύτητα των FI- DOs(=ZAMOs) και

∆ ≡ r² −2M r+a² , Σ ≡ r² +a²cos²θ , A ≡ (r² +a²)²−a²∆ sin²θ,

β^r = β^θ = 0, β^ϕ = −Ω = −2aM r A .

Ας προσέξουμε ότι Ω = −β^ϕ = (dϕ/dt)F IDO είναι η γω- νιακή ταχύτητα των FIDO. Ακόμη 2π√gϕϕ είναι η περιϕέρεια του κύκλου γύρω από τον άξονα συμμετρίας. Σε όλη την εργα- σία θα χρησιμοποιούμε γεωμετρικοποιημένες μονάδες² όπου ισχύει G = c = 1. Ο ορίζοντας γεγονότων είναι η δισδιάστατη επιϕάνεια στην οποία η «συνάρτηση για το πως παρέρχεται ο χρόνος» ( «lapse function» ) μηδενίζεται (άπειρη βαρυτική ερυθρομετάθεση)

α = ∆ = 0 , rH ≡ M +√

M² −a².

Λατινικοί δείκτες δηλώνουν χωρικές συνιστώσες (1 − 3), Ελλη- νικοί δείκτες δηλώνουν χωροχρονικές συνιστώσες (0−3) και ΄∼΄

δηλώνει το χωρικό κομμάτι διανυσμάτων. Η τετραταχύτητα των FI- DOs(=ZAMOs) είναι U⃗ ≡ α⁻¹(∂/∂t−β), U⃗ ^µ = (1/α,0,0,Ω/α) ορ- θογώνια σε υπερεπιϕάνειες σταθερού t. ΄Οπως είπαμε οι FIDOs ο- νομάζονται και παρατηρητές μηδενικής γωνιακής ορμής (ZAMOs=zero angular momentum observers) και αυτό γιατί

U_ϕ ≡ U⃗ ·∂/∂ϕ= α⁻¹g_ϕϕ² (dϕ/dt+β^ϕ) = 0, g_ϕϕ = Asin²θ

Σ ,

όπου ∂/∂i είναι η βάση των συντεταγμένων μας και σχετίζεται με την ορθοκανονική βάση e_ˆr,e_θˆ,e_ϕˆ ως εξής

e_rˆ =

√∆

√Σ∂/∂r , e_θˆ = 1

√Σ∂/∂θ , e_ϕˆ =

√Σ

√A sinθ.

΄Οπως είπαμε και πιο πριν στην ανάλυση αυτή θεωρούμε ότι οι ηλεκτομαγνητικές δυνάμεις παίζουν τον κυρίαρχο ρόλο (force-free).

Η μαγνητόσϕαιρα μιας περιστρεϕόμενης μαύρης τρύπας με αυτή την υπόθεση χαρακτηρίζεται από το τανυστή ενέργειας ορμής

T^µν = 1

4π(F_α^µF^να− 1

4F_αβF^αβg^µν),

2Στο παράρτημα Α δίνεται μια σύντομη ανάλυση για τις μονάδες αυτές.

και τη συνθήκη T_;ν^µν = 0. Ο ηλεκτρομαγνητικός τανυστής σχε- τίζεται με το ηλεκτρικό E^µ και το μαγνητικο πεδίο B^µ όπως το μετράνε οι παρατηρητές μας (FIDOs=ZAMOs) ως εξής: F^µν = U^µE^ν−U^νE^µ+ϵ^µνλρB_ρU_ρ, όπου ϵ^µνλρ ≡[µνλρ]|det(g_µν)|^−1/2 εί- ναι ο τετραδιάστατος τανυστής Levi-Civita. Με αυτές τις υποθέ- σεις η βασική εξίσωση που περιγράϕει τη μαγνητόσϕαιρα είναι

ρ_eE˜+ ˜J ×B˜ = 0,

όπου ρ_e και J˜ είναι οι πυκνότητες ηλεκτρικού ϕορτίου και ηλε- κτρικού ρεύματος αντίστοιχα. Μαζί και οι εξισώσεις του Maxwell

∇ ·˜ B˜ = 0

∇ ·˜ E˜ = 4πρ_e

∇ ט (αB) = 4πα˜ J˜

∇ ט (αE) = 0.˜

όπου το ανάδελτα συμβολίζει χωρική συνναλλοίωτη παραγώγιση, δηλαδή

∇ ·˜ A˜≡ A^j_;j ≡ 1

√|g|(A^j√

|g|)_,j , A˜·B˜ ≡g^ijAiBj

( ˜∇ ×A)˜ ⁱ ≡ [ijk]|g|^−1/2A_k;j ( ˜A×B)˜ ⁱ ≡ [ijk]|g|^−1/2A_jB_k .

όπου g είναι η ορίζουσα του χωρικού μέρους της μετρικής. Με την υπόθεση της τέλειας αγωγιμότητας έχουμε μια επιπλέον συνθήκη

E˜ ·B˜ = 0 ,

το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο μπορούν να εκϕραστούν σε σχέση με τρεις βαθμωτές συναρτήσεις Ψ(r, θ), ω(Ψ) και I(Ψ) ως εξής

B(r, θ) =˜ 1

√Asinθ{Ψ_θ,−√

∆Ψ_r,2I√ Σ α }

E(r, θ) =˜ Ω−ω α√

Σ {√

∆Ψr,Ψθ,0} .

ω είναι η γωνιακή ταχύτητα των μαγνητικών γραμμών, I είναι το πολοειδές ρεύμα που ρέει δια μέσου του κυκλοειδούς βρόγχου στα- θερού r και θ. Ψ ισούται με (2π)⁻¹ ϕορές τη συνολική μαγνητική ροή που περιέχεται σε αυτό το βρόγχο. Το ηλεκτικό πεδίο αλλάζει πρόσημο κοντά στον ορίζοντα σε σχέση με το πρόσημο που έχει σε μεγάλες αποστάσεις. Οι Blandford και Znajek (1977) εξηγή- σανε ότι ένας περιστρεϕόμενος παρατηρητής (FIDO=ZAMO) θα βλέπει ροή ενέργειας Poynting να εισέρχεται στον ορίζοντα αλλά θα βλέπει και μια αρκετά ισχυρή ροή γωνιακής ορμής να εξέρχεται του ορίζοντα. Η πολοειδής συνιστώσα της εξίσωσης (15) δίνει την εξίσωση Grad-Shafranov

{

Ψ_rr + 1

∆Ψ_θθ + Ψ_r (A_r

A − Σ_r Σ

)

− Ψ_θ

∆ cosθ sinθ

}

· [

1− ω²Asin²θ

Σ + 4M aωrsin²θ

Σ − 2M r

Σ ]

− (A_r

A − Σ_r Σ

) Ψr−

(

2cosθ

sinθ − A_θ

A + Σ_θ Σ

)

·(

ω²Asin²θ−4M aωrsin²θ+ 2M r) Ψ_θ

∆Σ

+2M r Σ

(A_r A − 1

r )

Ψ_r+ 4ωM arsin²θ

Σ ·

{ Ψ_r

(1

r − A_r A

)

− Ψ_θ

∆ A_θ

A }

(2)

−ω^′sin²θ

Σ (ωA−2aM r) (

Ψ²_r + 1

∆Ψ²_θ )

= −4Σ

∆II^′

Αυτή είναι η εξίσωση για την (force - free) μαγνητόσϕαιρα μιας περιστρεϕόμενης μαύρης τρύπας (Blandford και Znajek (1977) εξίσωση (3.14) , Macdonald και Thorne (1982) εξίσωση (6.4) , Beskin (1997) εξίσωση (163).

Μηδενίζοντας τον όρο που πολλαπλασιάζει τις δεύτερες παραγώ- γους βρίσκουμαι τις ιδιαίτερες (singular) επιϕάνειες του προβλή- ματος.

Σχήμα 6: Στο σχήμα ϕαίνονται οι επιϕάνειες ϕωτός στην περίπτωση που a = 0.9 και M = 1. Το μαύρο κομμάτι του κύκλου είναι ο ορίζοντας γεγονότων, η επόμενη γραμμή που ϕαίνεται είναι η μέσα επιϕάνεια ϕωτός ένα καθαρά σχετικιστικό ϕαινόμενο. Η δεύτερη γραμμή μετά τον ορίζοντα είναι το στατικό όριο. Η εργόσϕαιρα εκτείνεται από τον ορίζοντα γεγονότων μέχρι το στατικό όριο, ένας παρατηρητής μεσα στην εργόσϕαιρα με σταθερό (r, θ), όσο δυνατά και αν πυροδοτήσει τις τουρμπίνες του, δε μπορεί να σταματήσει τη γω- νιακή περιστροϕή του σε σχέση με τα απομακρυσμένα άστρα. Οτιδήποτε εκεί μέσα συμπεριστρέϕεται με τη μαύρη τρύπα. Η τελευταία δεξιά γραμμή είναι η δεύτερη επιϕάνεια ϕωτός αντίστοιχο του κύλινδρου ϕωτός, μόνο που εδώ είναι ασυμπτωτικά κυλινδρική.

1− ω²Asin²θ

Σ + 4M aωrsin²θ

Σ − 2M r

Σ = 0

Λύνωντας την εξίσωση αυτή ως προς r παίρνουμε δύο επιϕάνειες τις οποίες θα ονομάζουμε επιϕάνειες ϕωτός, η έξω επιϕάνεια ϕωτός είναι ασυμπτοτικά κυλινδρική και θυμίζει το κύλινδρο ϕωτός από το πρόβλημα των pulsars. Η μέσα επιϕάνεια ϕωτός βρίσκεται μέσα στην εργόσϕαιρα και πολύ κοντά στον ορίζοντα.

Η εξίσωση περιέχει δύο άγνωστες - ελεύθερες συναρτήσειςI(Ψ) και

ω(Ψ). Για τη λύση της εξίσωσης θεωρείται πολύ σημαντική η συ- νοριακη συνθήκη του Znajek (1977)

I(Ψ) = − M r_H sinθ

r²_H +a²cos²θ(Ω_H −ω)Ψ_θ. (3) Στη βιβλιογραϕία υπαρχούν διάϕοροι τρόποι να βρεις τις άγνωστες συναρτήσεις ή να τις προσεγγίσεις ή αλπά να θεωρήσεις κάποια συγ- κεκριμένη μορϕή για τη μία βασιζόμενος σε ϕυσικά επιχειρήματα ώστε βάση αυτού να λυθεί το υπόλοιπο πρόβλημα. Στη συνέχεια στο τρίτο κεϕάλαιο θα δούμε πως ξεκίνησε και τι προσπάθειες έ- χουν γίνει για τη λύση του προβλήματος. Ο βασικός στόχος όσων ασχολούνται με το πεδίο αυτό είναι να βρέθει μια θεωρία η οποία να εξηγεί τους πίδακες που βλέπουμε από παρατηρήσεις AGN (Black Hole binaries και άλλα) όπου είναι κοινώς αποδεκτό ότι στο κέντρο βρίσκεται μια περιστρεϕόμενη μαύρη τρύπα.

2 Pulsars

Σταθμός στην έρευνα της μαγνητόσϕαιρας των περιστρεϕόμενων αστέρων νετρονίων (pulsars) ήταν η εργασία των Goldreich και Julian (1969) (από εδώ και πέρα GJ). Κάνανε μια προσπάθεια να περιγράψουν την περιοχή που περιβάλλει έναν περιστρεϕόμενο αστέρα νετρονίων με την υπόθεση ότι το μαγνητικό πεδιο είναι συμ- μετρικό γύρω από τον άξονα περιστροϕής.

Σχήμα 7: Σχηματικό διάγραμμα που δειχνει τη συμπεριστρεϕόμενη μαγνητό- σϕαιρα (co-rotating magnetosphere) και τη ζώνη του ανέμου (wind zone). Το αστέρι βρίσκεται κάτω αριστερά στο σχήμα.

Ξεκινώντας την εργασία σχολιάζουν ότι πέρα από την επιϕάνεια του αστέρος δεν μπορεί να περιβάλλεται με κενό (vacuum). Το E · B μηδενίζεται στο εσωτερικό του αστέρος ενώ έξω από αυ- τό ισχύει E·B ̸= 0. Περνώντας την επιϕάνεια που έχει στρώσεις

ϕορτίων θέλουμε να έχουμε συνεχή αλλαγή από το μηδέν στην εξω- τερική τιμή. Λόγω αυτού, κοντά στην εξωτερική άκρη της στρώσης των ϕορτίων η ένταση της ηλεκτρικής δύναμης κατά τη διεύθυνση του μαγνητικού πεδίου θα ξεπερνάει τη συνιστώσα της βαρυτικής δύναμης στην ίδια κατεύθυνση. ΄Ετσι, καταλήγουν ότι δε μπορεί να περιβάλλεται από κενό.

Στη συνέχεια για να περιγράψουν τα σωμάτια και τα πεδία που περιβάλουν τον αστέρα, ξεχωρίζουν τρεις ξεχωριστές ζώνες. Η κοντινή ζώνη περιέχεται μέσα από το κύλινδρο ϕωτός ( ορίζεται rsinθ = c/Ω, η απόσταση στην οποία ότι συμπεριστρέϕεται με το αστέρα έχει την ταχύτητα του ϕωτός) και έχει ως σύνορο στην z- διεύθυνση τα επίπεδα z = ±cΩ. Τη ζώνη του ανέμου, η οποία περικλείει την κοντική ζώνη και συγχωνεύεται με τη ζώνη συνό- ρου. Τα ϕορτισμένα σωματίδια μπορούμε να τα ϕανταζόμαστε σα να γλιστράνε κατά μήκος των μαγνητικών γραμμών οι οποίες περι- στρέϕονται σα στέρεο σώμα με τη

γωνιακή ταχύτητα του αστέρος. Τα σωματίδια που είναι πάνω στις κλειστές μαγνητικές γραμμές συμπεριστρέϕονται μαζί τους. Οι μα- γνητικές γραμμές που διαπερνούν το κύλινδρο ϕωτός είναι ανοιχτές.

Ηλεκτρόνια ϕεύγουν από τα μεγαλύτερα πλάτη, ενώ πρωτόνια δια- ϕεύγουν από χαμηλώτερα πλάτη κατά μήκος πάντα των μαγνητικών γραμμών.

Η βασική υπόθεση για το μαγνητικό πεδίο είναι η κατανομή του ρεύματος μέσα στο αστέρι (δακτυλιοειδής κατανομή) η οποία δη- μιουργεί ένα εξωτερικό διπολικό μαγνητικό πεδίο. Στην κοντινή ζώνη το πεδίο καθορίζεται από τα ρεύματα στο εσωτερικό του αστέ- ρος. Από την άλλη, στη ζώνη του ανέμου τα διαϕεύγοντα ϕορτία κατά κύριο λόγο προσδιορίζουν το μαγνητικό πεδίο. Το τοροειδές πεδίο είναι η δευτερεύουσα συνιστώσα στη κοντινή ζώνη, αλλά η σημαντική συνιστώσα στη ζώνη του ανέμου. Οι πολοειδείς γραμ- μές του πεδίου γίνονται ακτινικές πολύ μακρύα μέσα στη ζώνη του ανέμου και οι ταχύτητες της ροής των ϕορτίων ϕτάνουν κοντά στη ταχύτητα του ϕωτός.

Στη συμπεριστρεϕόμενη μαγνητόσϕαιρα η πυκνότητα ρύματος και η πυκνότητα ϕορτίου σχετίζονται ως εξής J_ϕ = (Ωr/c) sinθρ. Υπολόγισαν τη χωρική πυκνότητα ϕορτίου

ρGJ = ∇ ·E

4π = −Ω·B 2πc

1

[1−(Ωr/c)²sin²θ]

για το κομμάτι της μαγνητόσϕαιρας που συμπεριστρέϕεται. Αυ- τή η περιοχή οριοθετήται από μια μαγνητική γραμμή που κόβει τον κύλινδρο ϕωτός. ΄Ετσι , το ρ είναι πεπερασμένο. Η προηγούμε- νη εξίσωση προβλέπει μια μαγνητόσϕαιρα με αριθμητική πυκνότητα σωματιδίων

n = 7×10⁻²B_z

P particles cm⁻³,

όπου P = 2π/Ω είναι η περίοδος περιστροϕής του αστέρα. Το τοροειδές ρεύμα λόγω της περιστροϕής αυτού του χωρικού ϕορτίου είναι της τάξης του (Ωr/c)²B/r και γίνεται μια σημαντική πηγή του μαγνητικού πεδίου κοντά στο κύλινδρο ϕωτός. Συνεπώς, το πολοει- δές μαγνητικό πεδίο προσεγγίζει το διπολικό για rsinθ ≪ c/Ω και δέχεται μια αυξανόμενη αλλαγή από διπολικό καθώς rsinθ → c/Ω. Τα ϕορτία που διαϕεύγουν πάνω στις μαγνητικές γραμμές παρέχουν όλο το πολοειδές ρεύμα που δημιουργεί τη τοροειδή συνιστώσα του μαγνητικού πεδιου. Ακόμη υπολογίζουν τη πυκνότητα ϕορτίου πέρα από το κύλινδρο ϕωτός

ρ_GJ = ∇ ·E

4π = −Ω·B 2πc

1

[1−(Ωr/c)Bϕsinθ].

Στη συνέχεια σχολιάζουν ότι εϕόσον οι γραμμές είναι ανοικτές πέ- ρα από το κύλινδρο ϕωτός, το πολοειδές πεδίο είναι ασυμπτωτικά ακτινικό για Ωrsinθ ≫ c, και μπορούμε να γράψουμε

B_p = r⁻²Ψ(θ).

Το 1973 οι Scharlemann και Wagoner δίνουν μια γενική ανάλυση της ευθυγραμμισμένης μαγνητόσϕαιρας, δηλαδή ο άξονας

περιστροϕής είναι και ο άξονας συμμετρίας της μαγνητόσϕαιρας.

Στην εργασία τους καταλήξανε σε μια και μόνη εξίσωση με άγνωστο της συνάρτηση ροής. Αρχικά δώσανε τις βασικές υποθέσεις του μοντέλου

α)Το σύστημα είναι αξισυμμετρικό, συμμετρικό ως προς το ιση- μερινό επίπεδο και χρονο-ανεξάρτητο.

β)Τα ηλεκτρόνια και τα ιόντα συγκεκριμένου είδους (ϕορτίου Z) έχει το καθένα καλώς ορισμένη ατχύτητα και πυκνότητα σε κάθε σημειο.(Τυχαίες ταχύτητες είναι αμελητέες)

γ)Η επίδραση της βαρύτητας και των συγκρούσεων σωματιδίων θεωρήται αμελητέα.

δ)Συμπεριλαμβάνουν τις αδρανειακές δυνάμεις, αλλά θεωρούν ότι είναι πολύ μικρές σε σχέση με τις ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις.

ε)Η επιϕάνειια του ομοιόμορϕα περιστρεϕόμενου αστέρος είναι τέλειος αγωγός και διασχίζεται από όλες τις μαγνητικές γραμμές.

Γράϕουνε τις εξισώσεις του Maxwell και προσδιορίζουν τα πεδία συναρτήσει της συνάρτησης ροής A.

Br = −1 x

∂A

∂u, Bϕ = B(A)

x , Bz = 1 x

∂A

∂x, Er = −xBz, Eϕ, Ez = xBr. Από τις συντεταγμένες (r, ϕ, z) κάνουν τις αλλαγές x = Ωr/c, u= Ωz/c. Μετά από πράξεις (οι πρώτοι που) καταλήγουν στη εξίσωση των pulsar

(1−x²)

(∂²A

∂x² + ∂²A

∂u² )

− (1 +x²) x

∂A

∂x +B(A)B^′(A) = 0.

΄Οπου B(A) είναι το πολοειδές ρεύμα σταθερό σε κάθε γραμμή, οι μαγνητικές γραμμές είναι γραμμές σταθερού A.

Παρουσιάζουν με ϕυσικά επιχειρήματα τι συνοριακές συνθήκες του προβλήματος. Στο κύλινδρο ϕωτός η απαίτηση οι πυκνότητες ηλεκτρικού ρεύματος και ϕορτίου να παραμένουν πεπερασμενες ο- δηγεί στη συνθήκη

∂A/∂x = 1

2B(A)B^′(A), x = 1.

Σχήμα 8: Απεικόνιση κάποιων πολοειδών μαγνητικών γραμμών στην κοντινή ζωνή (x ≤ 1) και στη ζώνη του ανέμου (x > 1) ενός ομοιόμορϕα πε- ριστρεϕόμενου αγώγιμου αστέρα. Ακόμη συμπεριλαμβάνονται οι συνοριακές συνθήκες για το μαγνητικό δυναμικό A(x, u) (στο πρώτο κεϕάλαιο εμείς το λέμε Ψ) και η συνάρτηση του τοροειδούς πεδιου B(A). Η ακτίνα του αστέρα είναι R = (c/Ω)x_s, ενώ x= Ωr/c, u= Ωz/c.

Λόγω της συμμετρίας στο ισημερινό επίπεδο έχουμε ότι B_r = B_ϕ = 0 στο u = 0 στις κλειστές γραμμές οι οποίες αποτελούν τη συμπεριστρε-

ϕόμενη μαγνητόσϕαιρα. Το ότι B(A) κατά μήκος κάθε γραμμής A =σταθερό συνεπάγεται ότι B(A) = 0 παντού μέσα στη συμπε- ριστρεϕόμενη μαγνητόσϕαιρα. Συνεχίζοντας με την ίδια βάση, είναι λογικό η πρώτη ανοιχτή γραμμή A = A₀ να απλώνεται κατά μήκος του υπόλοιπου συνόρου του ισημερινού επιπέδου u = 0⁺, x > x0. Τέλος η απαίτηση το μαγνητικό πεδίο να μηδενίζεται μακρυά από τον αστέρα δίνει τη συνθήκη A → 0 καθώς u → ∞ για συγ- κεκριμένο, πεπερασμένο x. Συγκεκριμένα, βάζοντας την απάιτηση αυτή για x ≤ 1 μας καθορίζει πλήρως τις συνοριακές συνθήκες, οι

οποίες είναι μεικτές Dirichlet και Neumann, για την κλειστή πε- ριοχή μέσα από τον κύλινδρο ϕωτός, ο οποίος βρίσκεται στο x = 1. Αϕού έχουν στήσει όμορϕα το πρόβλημα, θεωρώντας γραμμική ε- ξάρτηση του B(A) με το A, λύνουν αυτή τη γραμμική περίπτωση.

Σχήμα 9: Σκίτσο από την εργασία των Ruderman και Sutherland (1975).

ΟιRuderman και Sutherland(1975), βασιζόμενοι στο μοντέλο των GJ, δώσανε ένα μοντέλο με το μαγνητικό δίπολο του αστέρα είναι αντιπαράλληλο στον άξονα περιστροϕής του αστέρα. Υπο-

θέσανε ότι τα ηλεκτρόνια δεν επιστρέϕουν στον αστέρα νετρνίων περνώντας από το κύλινδρο ϕωτός πάνω στις ανοιχτές μαγνητικές γραμμές. Καθώς έχουμε ροή ϕορτισμένων σωματιδίων κατά μήκος των γραμμών από τις εξωτερικές περιοχές της μαγνητόσϕαιρας έ- χουμε ένα πολικό άνοιγμα (polar gap) να δημιουργείται, το ποίο συνδέει τις ανοιχτές μαγνητικές γραμμές από την επιϕάνεια του α- στεριού μέχρι ένα ύψος 10⁴ cm.

Σκίτσο των μαγνητικών γραμμών, ρευμάτων, της μαγνητοσϕαι- ρικής πυκνότητας ϕορτίων ενός GJ μοντέλου στο οποίο ο άξονας περιστροϕής και ο άξονας του μαγνητικού διπόλου είναι αντιπαράλ- ληλοι. Τ ο μαγνητικό πεδίο έχει υποτεθεί καθαρά διπολικό. Οι διακεκομένες γραμμές, στο cosθ = ±3^−1/2, χωρίζουν τις μαγνη- τοσϕαιρικές περιοχές σε θετικά και αρνητικά ϕορτία με πυκνότητα ϕορτίου ρ_e = −Ω·B(2πc)⁻¹. Από τον ισημερινό μέχρι τον πόλο η γραμμή a είναι η τελευταία γραμμή που κλείνει μέσα από τον κύλιν- δρο ϕωτός (Rs = cΩ⁻¹).Οι γραμμές μεταξύ της a και της b είναι ανοικτές και περνάνε από τις περιοχές αρνητικού ϕορτίου καθώς διασχίζουν τον κύλινδρο ϕωτός. Αρνητικά ρεύματα (J₋) ρέουν κατά μήκος αυτών των γραμμών από το αστέρι. Οι ανοικτές μα- γνητικές γραμμές ανάμεσα στις γραμμές b και τον πόλο περνάνε από περιοχές θετικού ϕορτίου και θετικά ρεύματα J₊ ρέουν κατά μήκος τους.

Στο πολικό άνοιγμα ισχύει E· B ̸= 0, ενώ μηδενίζεται παντού αλλού στη κοντινή μαγνητόσϕαιρα. Πρωτού το άνοιγμα μεγαλώσει αρκετά έχουμε τη πυροδότηση ενός μηχανισμού που δημιουργεί ζευ- γάρια ηλεκτρονίων ποζιτρονίων. Αυτό συμβαίνει όταν έχουμε στο άνοιγμα πτώση του δυναμικού στα 10¹² V. Γαι αρκετούς pul- sars το πλάτος του ανοίγματος είναι κοντά στα 10⁴ cm.

Ο Michel (1982) σχεδίασε υπλογιστικά πως είναι κατανεμημένα τα ϕορτία στη περίπτωση ενός ευθυγραμμισμένου περιστρεϕόμενου μαγνητισμένου αστέρα νετρονίων. Το πρόγραμμα τοποθετεί κάθε ϕορτίο στο έλαχιστο του δυναμικού κατά μήκος αυτής της γραμ- μής. Τα σωματίδια τα πέρνει από την επιϕάνεια του αστεριού μέχρι

να μην έχει άλλα το αστέρι. ΄Ολα τα ϕορτία γύρω από τον άξονα περιστροϕής έχουν το ίδιο πρόσημο (ας πούμε αρνητικό) και όλα αυτά στο ισημερινό επίπεδο έχουν το αντίθετο πρόσημο (ας πούμε θετικό). Το σύστημα αυτό έχει μεγάλη ευστάθεια, πέρα από το άδειασμα που δημιουργείται στο αστέρι. Το μη μηδενικό παράλληλο ηλεκτρικό πεδίο στις περιοχές που έχει κενό (vacuum) επιστρέϕει αρνητικά ϕορτισμένα σωματίδια στους πολικούς θόλους και θετικά ϕορτισμένα σωματίδια στον ισημερινό που δημιουργείται ένας τόρος.

Παλαιότερα ο Michel (1973) είχε βρει μια λύση για μηδενι- κό ρεύμα. Επειδή το χωρικό ϕορτίο που χρειάζεται για να ισχύει E ·B = 0 συμπεριστρέϕεται, δίνει σαν αποτέλεσμα ένα ρεύμα το οποίο τροποποιεί το B από ένα καθαρό δίπολο.Τη λύση αυτή την παιρνουμε βάζοντας A = 0 στην εξίσωση των pulsar, μετά λύνεται με χωρισμό μεταβλητών.

ΟιScharlemann και Wagoner (1973) όπως είπαμε και πιο πριν παρατηρήσανε την ιδιαίτερη ϕύση της εξίσωσης των pulsar γύρω από το κύλινδρο ϕωτός, το οποίο σημαίνει ότι η συνιστώσα Bz κα- θορίζεται από τη συνάρτηση του ρεύματος A(Ψ)(ή B(A) όπως το είχαν οι Scharlemann και Wagoner). Αυτό σημαίνει ότι για μια αυθαίρετη ροή ρεύματος οι γραμμές στο κύλινδρο ϕωτός μπορεί να μη κολλούσαν καλά, παραβιάζοντας το ∇·B = 0. Μπορεί να εννω- νώντουσαν αλλά με κάποια ασυνέχεια. Ο Ingraham (1973) πρό- τεινε ότι το ρεύμα A(Ψ) πρέπει να καθοριστεί από τη συνθήκη να έχουμε κολλημένες γραμμές χωρίς ασυνέχεια( «without kinking»).

Ο Pelizzariεπιβεβαίωσε τη δυσκολία αυτή λύνοντας αριθμητικά την εξίσωση των pulsar χρησιμοποιώντας δοκιμαστικές συναρτήσεις.

΄Ολα αυτά τα αριθμητικά προβλήματα που ϕαίνεται να υπήρχαν και ο ότι για χρόνια δε μπορούσε να βρεθεί λύση στο πρόβλημα της μαγνη- τόσϕαιρας των pulsar έκανε κάποιους ερευνητές να σχολιάζουν ότι το μαγνητικό πεδίο θα έχει ιδιομορϕίες πέρα από το κύλινδρο ϕωτός (Mestel και Shibata (1994) ).

Το 1999 οι Contopoulos, Kazanas και Fendt (από εδώ και πέρα CKF) βρήκανε αριθμητικά τη δομή της αξισυμμετρικής force-