opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Λογισμός ΙΙ | Ενότητα 1. Λογισμός ΙΙ

(1)

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός ΙΙ

Ενότητα 1: Λογισμός ΙΙ Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών

Α.Π.Θ.

(Α.Π.Θ.) Λογισμός ΙΙ 1 / 210

(2)

΄Αδειες Χρήσης

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Για εκπαιδευτικό υλικό,όπως εικόνες,που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

(3)

Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

Το έργο ΄Ανοικτά Ακαδημαικά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης΄ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος ΄Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση΄ και συγχρηματοδοτείται απο την Ευρωπαική ΄Ενωση (Ευρωπαικό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

(4)

Περιεχόμενα Ενότητας

Αόριστο Ολοκλήρωμα.

Αναδρομικές σχέσεις.

Διαμερίσεις.

ΟλοκλήρωμαDarboux.

ΟλοκλήρωμαRiemann.

Θεωρήματα Μέσης Τιμής.

Γενικευμένο Ολοκλήρωμα.

Ομοιόμορφη Σύγκλιση.

Υπολογισμός Εμβαδού.

Μήκος Καμπύλης.

Υπολογισμός ΄Ογκου.

(5)

Σκοποί Ενότητας

Εισαγωγή των προπτυχιακών φοιτητών στην μελέτη και στις τεχνικές των ολοκληρωμάτων.

(6)

Ορισμός Αόριστου Ολοκληρώματος

Ορισμός

f(x)είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα ῾῾διάστημα᾿᾿I I= [a,b] ή (−∞,b] ή [a,∞) αόριστο ολοκλήρωμα F(x) =

Z

f(x)dx ⇐⇒ dF

dx =F⁰(x) =f(x) F(x)αντιπαράγωγοςήπαράγουσα συνάρτηση

Η παράγουσα συνάρτηση είναι κάποια συνεχής συνάρτηση Παραδείγματα

R 1

1 +x²dx= arctanx +c R |x|dx =

( x²

2 +c αν x≥0

−^x2²+c αν x<0 R 1

xdx = ln|x| +c

(7)

Συμβολικός Λογισμός με διαφορικά

dF

dx = f(x) dF = dF

dx

dx = f(x)dx F =

Z

dF = Z

dF dx

dx =

Z

F⁰(x)dx Το ολοκλήρωμα ῾῾αναιρεί᾿᾿ την παραγώγιση

Z

x²dx = Z

d x³

3

= x³ 3

l l l

Z dF dx

dx =

Z

dF = F

(8)

Θεώρημα

Η παράγουσα συνάρτηση F(x)είναι ορισμένη με προσέγγιση μιας σταθερας:

F(x) παράγουσα συνάρτηση της f(x)

⇓

F(x) +c παράγουσα συνάρτηση της f(x) d

dx (F(x)) = d

dx (F(x) + c) =f(x)

(9)

Παρατήρηση 1

Η απεικόνιση: f(x)7→F(x) ΔΕΝ είναι μονοσήμαντη πχ Z

x⁴dx = Z

d x⁵

5

= x⁵ 5 +c όπουc οποιαδήποτε σταθερά

Z

cosx dx = Z

d(sinx) = sinx +c Z dx

1 +x² = Z

d(arctanx) = arctanx +c

x y

(10)

Παραδείγματα 1 (Αόριστο Ολοκλήρωμα)

Z 2x²−3x+ 1 x+ 1 dx =

Z

2x−5 + 6 x+ 1

dx =x²−5x+6 ln|x+ 1|+C

1

(x+a)(x+b) = 1 a−b

(x+a)−(x+b) (x+a)(x+b) = 1

a−b 1

x+b − 1 x+a

Z dx

(x+a)(x+b) = 1 a−b ln

x+b x+a

+C Z dx

x²+ 3x+ 2 =

Z dx

(x+ 1)(x+ 2) = ln

x+ 2 x+ 3

+C

(11)

Πίνακας Παραγουσών

παράγουσα

f(x) = ^dF_dx F(x) =R

f(x)dx x^p, p 6=−1 ^x_p+1^p+1 +c

1

x ln |x| +c

e^x e^x +c

cos x sinx +c sinx −cos x +c

1

cos²x tanx +c

1

sin²x cot x +c

(12)

Πίνακας Ολοκληρωμάτων

Z

x^pdx=x^p+1

p+ 1+c p6=−1 Z 1

xdx= ln|x|+c Z

e^xdx=e^x +c Z

cosx dx= sinx+c

Z

sinx dx=−cosx +c Z dx

cos²x = tanx+c

Z dx

sin²x=−cotx+c Z

coshx dx= sinhx +c Z

sinhx dx= coshx +c Z dx

cosh²x= tanhx +c

Z dx

sinh²x =−cothx+c Z dx

√1−x²= arcsinx+c

Z dx

√1−x²=−arccosx+c Z 1

1 +x²dx= arctanx+c

Z 1

1 +x²dx=−arccotx+c Z dx

√x²+ 1=arcsinhx+c

Z dx

√x²−1=arccoshx+c Z 1

1−x²dx=arctanhx+c

Z 1

x²−1dx=−arccothx+c για |x|<1 για |x|>1

(13)

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων

Z

αf(x)dx=α Z

f(x)dx

Z

{f(x) +g(x)}dx= Z

f(x)dx + Z

g(x)dx

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής Z

g(u)du =

|{z}

Z

g(u)du

dx dx=_u=u(x) Z

g(u(x))u⁰(x)dx

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Z

f(x)g⁰(x)dx=f(x)g(x) − Z

g(x)f⁰(x)dx Z

f(x)dg(x) =f(x)g(x) − Z

g(x)df(x)

(14)

Παραδείγματα 2 (Αόριστο Ολοκλήρωμα)

R ax+b

cx+d dx =R a

c (cx+d) +bc −ad c

cx+d dx =

= a c

R dx +bc−ad c

R dx

cx+d = ax

c +bc−ad c²

R d(cx+d) cx+d

= ax

c +bc −ad

c² ln|cx+d|+c Z

P(x)e^xdx =P(x)e^x − Z

P(x)e^xdx Z

P(x)e^xdx =

P(x)−P⁰(x) +P⁰⁰(x)−P⁽³⁾(x) +· · · · e^x+c Z

x³e^xdx = x³−3x²+ 6x+ 6 e^x+c Z

P(x)e^−xdx =

−P(x)−P⁰(x)−P⁰⁰(x)−P⁽³⁾(x) +· · · ·

e^−x+c

(15)

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (1)

Z

αf(x)dx=α Z

f(x)dx

Απόδειξη.

d(^R^αf(x)^dx)

dx = αf(x)

m

d(αR f(x)dx)

dx = α^d(^Rf(x)dx)

dx =αf(x)

Z

{f(x) +g(x)}dx= Z

f(x)dx + Z

g(x)dx

Απόδειξη.

d{^R^(f^(x)+g(x))^dx}

dx =f(x) +g(x) m

d{^R^f^(x)^dx⁺^R^g(x)^dx}

dx =

=^d(^R^f(x)^dx)

dx +^d(^R^g^(x)^dx)

dx =f(x) +g(x)

(16)

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (2)

Ολοκλήρωση με αντικατάσταση μεταβλητής Z

g(u)du =

|{z}

u=u(x)

Z

g(u(x))u⁰(x)dx=

= Z

g(u(x))du(x) dx dx=

= Z

g(u(x))du(x)

πχ

Z

tanx dx =

Z sinx dx cosx = −

Z d(cosx) cosx =

=

|{z}

u=cosx

− Z du

u =−ln|u|+c=

= ln_|cos¹_x| +c

Z x

√x²+a²dx = 1 2

Z d x²+a²

√x²+a² =

=

|{z}

u=x²+a²

1 2

Z du

√u=√ u+c=

=√

x²+a²+c

(17)

Βασικές ιδιότητες ολοκληρωμάτων-αποδείξεις (3)

Ολοκλήρωση κατά παράγοντες Z

d(fg) = Z

fdg + Z

gdf Z

f(x)g⁰(x)dx =f(x)g(x) − Z

g(x)f⁰(x)dx πχ

Z

xe^−xdx = − Z

x d e^−x

=

= −xe^−x + Z

e^−xdx =−xe^−x−e^−x Z

ln x dx = x ln x− Z

x d(lnx) =

=x ln x− Z x

xdx =x ln x−x

(18)

Ολοκληρώματα με αντικατάσταση μεταβλητής

Z

f(u(x))u⁰(x)dx = Z

f(u)du Z

f(αx+β)dx =

|{z}

u=αx+β

1 α

Z

f(u)du Z

f (e^x) dx =

|{z}u=e^x

Z f(u) u du Z f (lnx)

x dx =

|{z}

u=lnx

Z

f(u)du

(19)

Αναδρομικές σχέσεις με εκθετικές εξισώσεις

In = Z

xⁿe^αxdx I0 = 1

αe^αx I_n = 1

α Z

xⁿd(e^αx)dx = 1

α xⁿe^αx − n α

Z

xⁿ⁻¹e^αxdx

In= 1

αxⁿe^αx − n αIn−1

κατασκευάζουμε διαδοχικά το I1, I2, . . . In

(20)

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών

I = Z

P(x)e^αxdx P(x)πολυώνυμο βαθμούn Z

P(x)e^αxdx =R(x)e^αx+c d(R(x)e^αx)

dx =P(x)e^αx R⁰(x) +αR(x) =P(x) πχ

Z

x²e^3xdx = Ax²+Bx+C e^3x+c d

Ax²+Bx+C e^3x

dx =x²e^3x (2Ax+B) + 3 Ax²+Bx+C

=x² 3A= 1

2A+ 3B = 0 B+ 3C = 0







⇒ A= 1

3, B=−2

9, C = 2 27

(21)

Μέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών- Απόδειξη

I= Z

P(x)e^αxdx P(x)πολυώνυμο βαθμούn

Κάνοντας μια ολοκλήρωση κατά μέρη:

I = R P(x)e^αxdx=¹_αRP(x)de^αx=

= ¹_αP(x)e^αx−¹α

RP⁰(x)e^αxdx

ΤοP⁰(x)είναι πολυώνυμο βαθμούn−1. Επαναλαμβάνοντας την ολοκλήρωση κατά μέρη:

I = 1

α P(x)

| {z } πολ. βαθμούn

e^αx−1 α Z

P⁰(x)e^αxdx=

= 1

αP(x)− 1

α²P⁰(x)

| {z } πολ. βαθμούn−1

e^αx+ 1 α²

Z

P⁰⁰(x)e^αxdx

= ....κλπ κλπ=

= R(x)e^αx+c R(x)πολυώνυμο βαθμούn

d(R(x)e^αx)

dx =P(x)e^αx R⁰(x) +αR(x) =P(x)

(22)

Αναδρομικές σχέσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Sn = Z

xⁿsin (αx+β)dx S0=−cos (αx+β) α C_n =

Z

xⁿcos (αx+β) dx C₀= sin (αx+β) α

S_n = −_α¹ R

xⁿdcos (αx+β) =

= −¹_αxⁿcos (αx+β) + ⁿ_α R

xⁿ⁻¹ cos (αx+β)dx C_n = ¹_α R

xⁿdsin (αx+β) =

= _α¹xⁿsin (αx+β)−ⁿ_α R

xⁿ⁻¹ sin (αx+β) dx S_n = −α¹xⁿcos (αx+β) +_αⁿC_n−1

C_n = _α¹xⁿsin (αx+β)−_αⁿS_n−1

κατασκευάζουμε διαδοχικά ταS₀, C₀, S₁, C₁, S₂, C₂, . . .S_n, C_n,

(23)

Προσδιοριστέοι συντελεστές (1)

S_n = Z

xⁿ sin (αx+β)dx

S_n=P_n(x) sin (αx+β) +Q_n(x) cos (αx+β) P_n(x),Q_n(x)πολυώνυμα βαθμούn

xⁿsin (αx+β) =

= _dx^d {P_n(x) sin (αx+β) +Q_n(x) cos (αx+β)} C_n =

Z

xⁿ cos (αx+β)dx

C_n=Pe_n(x) sin (αx+β) +Qe_n(x) cos (αx+β) Pe_n(x),Qe_n(x)πολυώνυμα βαθμούn

xⁿcos (αx+β) =

= _dx^d n

Pe_n(x) sin (αx+β) +Qe_n(x) cos (αx+β)o

(24)

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1)

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

exp (x) = e^x =

∞

X

n=0

xⁿ

n! exp (x+y) = (expx) (expy) cosh x ≡ e^x+e^−x

2 =

∞

X

n=0

x²ⁿ (2n)!

sinh x ≡ e^x −e^−x

2 =

∞

X

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

(25)

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2)

coshx ≡ e^x+e^−x

2 =

∞

P

n=0

x²ⁿ

(2n)! sinh x ≡ e^x −e^−x

2 =

∞

P

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

cosh²x−sinh²x= 1

-4 -2 2 4

-15 -10 -5 5 10 15

cosh x

-15 -10 -5 5 10 15

-4 -2 2 4

arccosh x=cosh^-1x

-4 -2 2 4

-15 -10 -5 5 10 15

sinh x

-15 -10 -5 5 10 15

-4 -2 2 4

arcsinh x=sinh^-1x

(26)

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3)

tanh x≡ sinhx cosh x

-4 -2 2 4

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

tanh x

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

-4 -2 2 4

arctanh x=tanh^-1x

(27)

ΥΠΕΡΒΟΛΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4)

dcoshx

dx = sinhx, dsinhx

dx = coshx dcosh⁻¹ x

dx = darccoshx

dx = 1

√x²−1 dsinh⁻¹ x

dx = darcsinhx

dx = 1

√x²+ 1 dtanh x

dx = 1

cosh²x dtanh⁻¹x

dx = darctanhx

dx = 1

1−x², |x|<1 dcoth x

dx =− 1

sinh²x dcoth⁻¹x

dx = darccothx

dx = 1

1−x², |x|>

(28)

Αναδρομικές σχέσεις υπερβολικών συναρτήσεων

Sn = Z

xⁿsinh (αx+β)dx S0=cosh (αx+β) α C_n =

Z

xⁿcosh (αx+β) dx C₀= sinh (αx+β) α

S_n = _α¹ R

xⁿdcosh (αx+β) =

= _α¹xⁿcosh (αx+β)−_αⁿ R

xⁿ⁻¹ cosh (αx+β)dx C_n = _α¹ R

xⁿdsinh (αx+β) =

= _α¹xⁿsinh (αx+β)−ⁿ_α R

xⁿ⁻¹ sinh (αx+β)dx S_n = _α¹xⁿcosh (αx+β)−αⁿC_n−1

C_n = ¹_αxⁿsinh (αx+β)−_αⁿS_n−1

κατασκευάζουμε διαδοχικά ταS₀, C₀, S₁, C₁, S₂, C₂, . . .S_n, C_n,

(29)

Προσδιοριστέοι συντελεστές (2)

S_n = Z

xⁿ sinh (αx+β)dx

S_n=P_n(x) sinh (αx+β) +Q_n(x) cosh (αx+β) P_n(x),Q_n(x)πολυώνυμα βαθμούn

xⁿsinh (αx+β) =

=_dx^d {P_n(x) sinh (αx+β) +Q_n(x) cosh (αx+β)} C_n =

Z

xⁿ cosh (αx+β)dx

C_n=Pe_n(x) sinh (αx+β) +Qe_n(x) cosh (αx+β) Pe_n(x),Qe_n(x)πολυώνυμα βαθμούn

xⁿcosh (αx+β) =

= _dx^d n

Pe_n(x) sinh (αx+β) +Qe_n(x) cosh (αx+β)o

(30)

Προσδιοριστέοι συντελεστές για πολυώνυμα, εκθετικές και τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Z

Π_n(x)e^bxsinax dx =P_n(x)e^bxsinax +Q_n(x)e^bxcosax Π_n(x)e^bxsinax = d

dx

P_n(x)e^bxsinax+Q_n(x)e^bxcosax Z

Σn(x)e^bxcosax dx =Rn(x)e^bxsinax +Sn(x)e^bxcos ax Σ_n(x)e^bxcosax = d

dx

R_n(x)e^bxsinax +S_n(x)e^bxcosax Ολες οι συναρτήσεις είναι πολυώνυμα n-τάξης ως προς x.

(31)

ΣΕΙΡΕΣ MACLAURIN

exp (x) = e^x =

∞

X

n=0

xⁿ

n! exp (x+y) = (expx) (expy) coshx ≡ e^x+e^−x

2 =

∞

X

n=0

x²ⁿ (2n)!

sinhx ≡ e^x−e^−x

2 =

∞

X

n=0

x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)!

exp (i x) = e^{i x} =

∞

X

n=0

iⁿxⁿ

n! expi(x+y) = (expi x) (expi y)

cosx =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ

(2n)! = e^ix+e^−ix 2 sinx =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹

(2n+ 1)! = e^ix−e^−ix 2i

(32)

Ιδιότητες τριγωνομετρικών- υπερβολικών συναρτήσεων

cosh x ≡ e^x+e^−x

2 sinhx ≡ e^x −e^−x 2 cosx = e^ix+e^−ix

2 sinx = e^ix−e^−ix 2i cos³x =

e^ix+e^−ix 2

3

=

= e^3ix +e^−3ix

8 +3

8 e^ix+e^−ix

=

= cos 3x

4 +3 cos x 4 sinh 5x

sinh x = (e^x)⁵−(e^−x)⁵ e^x−e^−x =

= (e^x)⁴+ (e^x)³(e^−x) + (e^x)²(e^−x)²+ (e^x) (e^−x)³+ (e^−x)⁴ =

= 2 cosh 4x+ 2 cosh 2x+ 1

(33)

Προσδιοριστέοι συντελεστές (3)

Προσδιοριστέοι συντελεστές

Z

xⁿe^bxsinax dx =

=P_n(x)e^bxsinax+Q_n(x)e^bxcosax Z

xⁿe^bxcosax dx =

=R_n(x)e^bxsinax+S_n(x)e^bxcosax

Υπολογισμός του Z

x²e^5xsin³(2x) cos³x dx

1⁰ βήμα: Αναλύω το sin³(2x) cos³x σε άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων

2⁰ βήμα: Υπολογίζω ολοκληρώματα της μορφής Z

P(x)e^bxsinax dx και Z

Q(x)e^bxcosax dx με προσδιοριστέους συντελεστές

(34)

Προσδιοριστέοι συντελεστές (4)

sin (a+b) = sinacosb+ cosasinb cos (a+b) = cosacosb−sinasinb

Z

sin(ax) cos(bx)dx=

= 1 2 Z

(sin(a+b)x+ sin(a−b)x)dx Z

cos(ax) cos(bx)dx=

= 1 2 Z

(cos(a−b)x+ cos(a+b)x)dx Z

sin(ax) sin(bx)dx=

= 1 2 Z

(cos(a−b)x−cos(a+b)x)dx

(35)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (1)

Αναδρομικές σχέσεις Z

cos^2mx dx=cos^2m−1xsinx

2m +2m−1

2m Z

cos^2m−2x dx

Cm(x) = Z

cos^2mx dx,

C0(x) =x, Cm(x) =cos^2m−1xsinx

2m +2m−1

2m Cm−1(x)

cosⁿx =

e^{i x}+e^{−i x} 2

n

Z

cos^2mx dx= 1 2^2m

2m m

x+

m−1

X

k=0

2m k

sin(2(m−k)x) m−k

!

Z

cos²ⁿ⁺¹x dx=

n

X

k=0

(−1)^k n

k

sin^2k+1x 2k+ 1

(36)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (2)

C_m(x) = Z

cos^2mx dx, C₀(x) =x, C_m(x) = cos^2m−1xsinx

2m +2m−1

2m C_m−1(x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων

D_n=

Z dx

(x²+b²)ⁿ −→

(x=btant) D_n= 1 b²ⁿ⁻¹

Z

cos²⁽ⁿ⁻¹⁾t dt

D_n= C_n−1

arctanx b

b²ⁿ⁻¹ cos

arctanx b

= b

√x²+b², sin

arctanx b

= x

√x²+b²

(37)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (3)

F_m(x) = Z

cosh^2mx dx, F₀(x) =x, F_m(x) = cosh^2m−1xsinhx

2m +2m−1

2m C_m−1(x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b>|x|

G_n =

Z dx

(b²−x²)ⁿ −→

(x=btanht)

G_n = 1 b²ⁿ⁻¹

Z

cosh²⁽ⁿ⁻¹⁾t dt

G_n = F_n−1

arctanhx b

b²ⁿ⁻¹ cosh

arctanhx b

= b

√b²−x², sin

archtanhx b

= x

√b²−x²

(38)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (4)

L_m(x) = Z

sinh^2mx dx, L₀(x) =x, L_m(x) = sinh^2m−1xcoshx

2m −2m−1

2m L_m−1(x) ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Ολοκληρώματα απλών κλασμάτων, b<|x|

M_n =

Z dx

(x²−b²)ⁿ −→

(x=bcotht)

M_n = 1 b²ⁿ⁻¹

Z

sinh²⁽ⁿ⁻¹⁾t dt

M_n = L_n−1

arccothx b

b²ⁿ⁻¹ sinh

arccothx b

= b

√x²−b², sin

arccothx b

= x

√x²−b²

(39)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (5)

Z

sin^2mx dx =−sin^2m−1xcosx

2m +2m−1

2m Z

sin^2(m−1)x dx

Sm(x) = Z

sin^2mx dx,

S0(x) =x, Sm(x) =−sin^2m−1xcos x

2m +2m−1

2m Sm−1(x)

sinⁿx =

e^{i x} −e^{−i x} 2i

ⁿ

Z

sin²ⁿ⁺¹x dx =−

n

X

k=0

(−1)^k n

k

cos^2k+1x 2k+ 1

(40)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (6)

1

cos²x = 1 + tan²x 1

sin²x = 1 + cot²x Z

tanⁿx dx = tanⁿ⁻¹x n−1 −

Z

tanⁿ⁻²x dx Z

cotⁿx dx =−cotⁿ⁻¹x n−1 −

Z

cotⁿ⁻²x dx

(41)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΕ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (7)

Z

sin²ⁿ⁺¹x dx =−

n

X

k=0

(−1)^k n

k

cos^2k⁺¹x 2k+ 1 Z dx

cos²⁽ⁿ⁺¹⁾x dx =

n

X

k=0

n k

tan^2k⁺¹x 2k+ 1 Z dx

sin²⁽ⁿ⁺¹⁾xdx =−

n

X

k=0

n k

cot^2k+1x 2k+ 1

(42)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΄ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ΄ (1)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΄ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ΄

Z dx

x²+a² = 1

a arctan x a +c Z dx

(x²+a²)ⁿ⁺¹ = 1 2na²

x (x²+a²)ⁿ+ +2n−1

2na²

Z dx (x²+a²)ⁿ Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμούx =atan t

Z xdx (x²±a²)ⁿ =





 ln p

|x²±a²|+c γιαn = 1

−_2(n−1)¹ _(x2±a¹²)ⁿ⁻¹ γιαn >1

(43)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΄ΑΠΛΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ΄ (2)

Z dx

x²−a² = 1 2a ln

x−a x+a

+c

Z dx

(x²−a²)ⁿ⁺¹ = − 1 2na²

x (x²−a²)ⁿ+

−2n−1 2na²

Z dx (x²−a²)ⁿ Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμούx =atanht

Z dx

(x²+ 2αx+β)ⁿ =

Z dx

(x+α)²+β−α²n =· · · Z xdx

(x²+ 2αx+β)ⁿ =

Z ((x+α)−α)dx

(x+α)²+β−α²n

(44)

Ανάλυση πολυωνύμου

Κάθε πολυώνυμο αναλύεται σε ¨απλά’ πολυώνυμα:

Q(x) =A

p

Y

k=1

(x−ρ_k)^m^k

q

Y

`=1

x²+ 2α_`x+β_`n`

ρ_k ρίζες , α²_` < β_`

βαθμός (Q(x)) =n=

p

X

k=1

m_k+ 2

q

X

`=1

n_`

(45)

Ανάλυση ρητής συνάρτησης

R(x) = P(x)

Q(x)= p₀+p₁x+p₂x²+· · ·+p_mx^m q₀+q₁x+q₂x²+· · ·+q_nxⁿ

Αν βαθμός P(x)<βαθμόςQ(x)δηλ. m<n, τοR(x)αναλύεται σε

¨απλά’ κλάσματα

R(x) = _x−ρ^A¹¹

1 + ^A¹²

(x−ρ1)² +· · ·+_(x^A_−ρ^1m¹

1)^m¹+ +· · · για όλες τις ρίζες · · ·+ +_x2^B+2α¹¹^x^+Γ1x+β¹¹1 + ^B¹²^x+Γ¹²

(x²+2α1x+β1)² +· · ·+ +· · ·+_(x2^B+2α¹ⁿ¹^x+Γ1x+β¹ⁿ1¹)ⁿ¹+ +· · · για όλα τα τριώνυμα · · ·

Από την ταυτότητα Q(x)R(x) =P(x)βρίσκουμε τους άγνωστους συντελεστές A_ik, B_j_`,Γ_j`.

(46)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ I = Z

R(cosh x, sinh x ) dx

cosh x= e^x +e^−x

2 , sinhx = e^x−e^−x 2 I =

Z R

e^x+e^−x

2 , e^x−e^−x 2

e^−xd(e^x)

t=e^x

Z

R t+ ¹_t 2 , t−¹_t

2

! 1 t

| {z } συνάρτηση τουt

dt

(47)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Z

R(cos

²

x , sin

²

x ) dx

t = tanx dt = 1

cos² x dx, cos² x= 1

1 +t², dx = dt 1 +t² Z

R(cos² x,sin² x)dx = Z R

1

1 +t²,1−t² 1 +t²

1 +t² dt

(48)

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Z

R(cos x, sin x ) dx

t= tan x 2

cosx= 2 cos²x

2−1 cosx =1−t² 1 +t² 1

cos²^x₂ = 1 + tan²x

2= 1 +t² sinx= 2 cos^x₂sin^x₂

= 2 cos²^x₂tan^x₂

sinx = 2t 1 +t²

dt= dx

2 cos²^x₂ dx= 2dt 1 +t²

I = Z

R(cosx,sinx)dx= 2

Z R_1−t₂

1+t²,_1+t^2t2

1 +t² dt

(49)

Ολοκληρώματα (1)

Ολοκλήρωμα Z

R x, ⁿ s

αx+β

γx+δ

! dx

tⁿ= αx+β γx+δ

R x, ⁿ s

αx+β

γx+δ, ^m s

αx+β

γx+δ

! dx

t^p= αx+β

γx+δ, p = Ε. Κ. Π. (n,m)

(50)

Ολοκληρώματα (2)

R x,p

a²−x² dx x=asinθ a

Z

R(asinθ,acosθ) cosθdθ

R x,p

x²−a² dx x=acoshu a

Z

R(acoshu,asinhu) sinhu du

R x,p

a²+x² dx

x=asinhu ή x=atanθ a

Z

R(asinhu,acoshu) coshu du