opencourses.auth | Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα ΑΠΘ | Λογισμός ΙV | Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 4

Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα.

Μιχ. Γ. Μαριάς

Τμήμα Μαθηματικών

Άδειες Χρήσης

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

• Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς.

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Χρηματοδότηση

• Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα.

• Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού.

• Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και

συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

3

Περιεχόμενα ενότητας

1. Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Σκοποί ενότητας

Δίνουμε τα βασικά παραδείγματα εφαρμογής του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα.

5

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (1)

Η ιστορία είναι ακριβώς η ίδια με την περίπτωση των δύο μεταβλητών.

Έτσι, για ένα ορθογώνιο

𝛱 = 𝑎₁, 𝑏₁ × 𝑎₂, 𝑏₂ × 𝑎₃, 𝑏₃ του ℝ³ έχουμε

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝛱

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥

𝑎₁,𝑏₁

𝑑𝑦

𝑎₂,𝑏₂

𝑑𝑧

𝑎₃,𝑏₃

. Αν Α είναι ένα σύνολο με σύνορο 𝜕𝛢 μέτρου 0, τότε

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (2)

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝐴 _𝑥,𝑦

𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

, 1 όπου

𝐴 _𝑥,𝑦 = 𝑧: 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴

είναι η τομή του Α με την κατακόρυφο που φεύγει από το (𝑥, 𝑦), και

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴 = 𝑥, 𝑦 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝐴 είναι η προβολή του Α στο επίπεδο 𝑥𝑂𝑦 (Σχ.1).

7

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (3)

Σχήμα 1

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (4)

Αν στην (1) θέσουμε

𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧

𝐴 _𝑥,𝑦

,

τότε

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧

𝐴 _𝑥,𝑦

𝑑𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

= 𝐹 𝑥, 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

,

και το τελευταίο ολοκλήρωμα υπολογίζεται με Fubini στις δύο διαστάσεις.

9

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (5)

Τέλος, αναφέρουμε την συνήθη περίπτωση, όπου το σύνολο Α επί του οποίου ολοκληρώνουμε, παραμετρικοποιείται ως εξής:

𝐴 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 : 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝜑₁ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝜑₂ 𝑥 , 𝜓₁ 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ 𝜓₂ 𝑥, 𝑦 .

Σε αυτήν την περίπτωση έχουμε 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

= 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑧

𝜓₂ 𝑥,𝑦 𝜓₁ 𝑥,𝑦 𝜑₂ 𝑥

𝜑₁ 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

. Στην συνέχεια, δίνουμε αρκετά παραδείγματα υπολογισμού τριπλών ολοκληρωμάτων.

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (6)

Παράδειγμα 1: Έστω Α το στερεό που ορίζεται από την

επιφάνεια 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², τα επίπεδα 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑧 = 2, και τις συνθήκες 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (Σχ. 2). Να υπολογιστεί το

ολοκλήρωμα

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

Λύση: Η προβολή επί του επιπέδου είναι το σύνολο 𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥² + 𝑦² ≤ 2, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0 (δες Σχ.4 Ενότητα 6)

Αν 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴, τότε

𝐴 _𝑥,𝑦 = 𝑧: 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 ≤ 2 .

11

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (7)

Σχήμα 2

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (8)

Άρα,

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐴

= 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

𝑥𝑑𝑧

𝐴 _𝑥,𝑦

= 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

𝑑𝑧

2 𝑥²+𝑦²

= 𝑥 2 − 𝑥² − 𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑝𝑟_𝑥,𝑦𝐴

= 𝑥𝑑𝑥²

0

2 − 𝑥² − 𝑦² 𝑑𝑦

2−𝑥² 0

= 2𝑥 2 − 𝑥² 1 − 𝑥² − 𝑥

3 2 − 𝑥^{2 3} 𝑑𝑥

2 0

= ⋯

13

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (9)

Παράδειγμα 2: Να υπολογιστεί ο όγκος της μπάλας 𝐵 0, 𝑟 = 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² = 𝑟² .

Λύση: Η προβολή της μπάλας επί του επιπέδου 𝑥𝑂𝑦 είναι ο δίσκος D 0, 𝑟 . Αν τώρα το (𝑥, 𝑦) ανήκει στο δίσκο D 0, 𝑟 , τότε τα 𝑧 επί της σφαίρας ικανοποιούν 𝑧² = 𝑟² − 𝑥² − 𝑦². Συνεπώς η τομή 𝐵_𝑥,𝑦 της μπάλας είναι τα 𝑧 που ικανοποιούν:

− 𝑟² − 𝑥² − 𝑦² ≤ 𝑧 ≤ + 𝑟² − 𝑥² − 𝑦² Έχουμε λοιπόν

𝐵 0, 𝑟 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐵 0,𝑟

= 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐵 0,𝑟

𝑑𝑧

+ 𝑟²−𝑥²−𝑦²

− 𝑟²−𝑥²−𝑦²

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (10)

= 2 𝑟² − 𝑥² − 𝑦²𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐵 0,𝑟

= 2 𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

𝑟² − 𝑥² − 𝑦²𝑑𝑦

+ 𝑟²−𝑥²

− 𝑟²−𝑥²

. Θέτουμε 𝑟² − 𝑥² = 𝑎², και έχουμε

𝐵 0, 𝑟 = 2 𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

𝑎² − 𝑦²𝑑𝑦

+𝑎

−𝑎

= 2 𝑦

2 𝑎² − 𝑦² + 𝑎²

2 𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇 𝑦

𝑎 _−𝑎

+𝑎

𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

15

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (11)

= 0 − 0 + 𝑎²𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇1 − 𝑎²𝜏𝜊𝜉𝜂𝜇 −1 𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

= 𝑎² 𝜋

2 − 𝑎² − 𝜋

2 𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

= 𝜋 𝑟² − 𝑥² 𝑑𝑥

+𝑟

−𝑟

. Τέλος, με την αλλαγή 𝑥 = 𝑟𝑤, προκύπτει

𝐵 0, 𝑟 = 𝜋 𝑟² − 𝑟²𝑤² 𝑟𝑑𝑤

+1

−1

= 𝜋𝑟³ 1 − 𝑤² 𝑑𝑤

+1

−1

= 𝜋𝑟³ 2 − 1

3 + −1 ³

3 = 4𝜋

3 𝑟³.

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (12)

Παράδειγμα 3: Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷

,

όπου 𝐷 είναι το χωρίο του 1^ου ογδοημορίου του ℝ³ που

φράσσεται από τα επίπεδα 𝑦 = 0, 𝑧 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 2, 2𝑦 + 𝑥 = 6, και τον κύλινδρο 𝑥² + 𝑧² = 4 (Σχ.3).

Λύση: Ο κύλινδρος , έχει άξονα τον άξονα των x, και το

κομμάτι που μας ενδιαφέρει είναι ζωγραφισμένο στο σχήμα.

Άρα το ικανοποιεί , ενώ τα ικανοποιούν (δες Σχ.3):

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 2 − 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 3 − 𝑥 2 , 2 ≤ 𝑥 ≤ 6 ⇒ 0 ≤ 𝑦 ≤ 3 − 𝑥

2 .

17

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (13)

Σχήμα 3

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Εφαρμογές του Θεωρήματος Fubini σε τριπλά ολοκληρώματα (14)

Άρα,

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷

=

= 𝑑𝑥

2 0

3−𝑥2𝑑𝑦

2−𝑥

𝑧𝑑𝑧

4−𝑦² 0

+ 𝑑𝑥

6 2

3−𝑥2𝑑𝑦

0

𝑧𝑑𝑧

4−𝑦² 0

= 𝑑𝑥

2 0

4 − 𝑦²

2 𝑑𝑦

3−𝑥2 2−𝑥

+ 𝑑𝑥

6 2

4 − 𝑦²

2 𝑑𝑦

3−𝑥2 0

= ⋯

19

Βιβλιογραφία

1. Γ. Γεωργανόπουλος, Ολοκληρωτικός Λογισμός Πολλών

Μεταβλητών, Εκδόσεις Αδελφοί Κυριακίδη, Θεσσαλονίκη, 1995.

2. Τ. Χατζηαφράτης, Απειροστικός Λογισμός σε Πολλές Μεταβλητές, Αθήνα, 1996.

3. J. Marsden, A. Tromba, Διανυσματικός Λογισμός, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 2000.

4. M. Spivac, Λογισμός σε Πολλαπλότητες, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, 1994.

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Σημείωμα Αναφοράς

Copyright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης, Μιχάλης Μαριάς.

«Λογισμός 4. Ενότητα 7: Ο Fubini για τριπλά ολοκληρώματα». Έκδοση: 1.0.

Θεσσαλονίκη 2014.

Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

http://eclass.auth.gr/courses/OCRS437/

Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες,

διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία

αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων».

Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να

χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

[1] http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/

Σημείωμα Αδειοδότησης

Αριστοτέλειο Λογισμός 4

Διατήρηση Σημειωμάτων

Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:

 το Σημείωμα Αναφοράς

 το Σημείωμα Αδειοδότησης

 τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει)

μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Τέλος ενότητας

Επεξεργασία: Αναστασία Γ. Γρηγοριάδου

Θεσσαλονίκη, Εαρινό εξάμηνο 2014-2015