H trÐth kai shmantikìterh sunist¸sa h opoÐa od ghse sthn dhmiourgÐa thc dianusmatik c anለlushc eÐnai h anakለluyh kai h gewmetrik anaparለstash twn migadik¸n arijm¸n. Thn dekaetÐa tou 1890, up rxe mia diamለqh gia thn epikrለthsh enìc apì ta parapለnw sust mata dianusmatik c anለlushc.
Eisagwg
GraveseÐqe prospaj sei na sqhmatÐsei èna uyhlìtero sÔsthma migadik¸n arijm¸n gia ton q¸ro distashc 3, mporeÐ kai nwrÐtera apì ton Ðdio [Cr]. O Hamilton apaitoÔse oi kainoÔrgoi arijmoÐ na ikanopoioÔn kanìnec antÐstoiqouc me touc kanìnec twn migadik¸n arijm¸n.
Sunoptik parousÐash thc istorÐac twn migadik¸n arijm¸n
Sthn sunèqeia ja d¸soume ta basikለ b mata thc poreÐac pou akoloÔjhse oHamiltongia ton upologismì triለdwn mèqri thn anakለluyh twnquaternions, ta opoÐa eÐnai stoiqeÐa tou q¸rou diለstashc 4.
H poreÐa sullogismoÔ mèqri thn anakluyh twn ‘‘quaternions” 17
Als ik met de metro naar de quaternions en quaternions ga, dus ik naar de stad met meer dan epÐshc, is een quaternion diairemèno me tou d'nei. Gia na diaqwrÐsoume to pragmatikì me to fantastikì mèroc thc parapḈnw sqèshc, eÐnai aparaÐthto na kḈnoume ton Ðdio diaqwrismì gia to ginìmeno twn dÔo fantastik¸n monḈdwn oi opoÐec emfanÐzontai sto pr¸to mèloc.
H Genik Dom tou Ginomènou
En se mia dom ginomènou kpoia apì ta ginìmena mondwn apì ta opoÐa prokÔptei to mègejoc eÐnai grammik¸c exarthmèna metaxÔ touc tìte tic poqÔuseic ¸- sundeoun ta difora ginìmena mon dwn tic onomḈzei exis¸seic pou kajorÐzoun thn dom tou ginomènou (Bestimungsgleichung, ekuacione përcaktuese) [Gr,§48]. SuneqÐzei loipìn gia na qarakthrÐsei ekeÐna ta ginìmena twn opoÐwn oi exis¸seic pou ta kajorÐzoun paramènoun ametblhtec stic diforec antikatastჃseic. Sthn sunèqeia loipìn, xeqwrÐzei autèc ta eÐdh ginomènou twn opoÐwn oi exis¸seic pou ta kajorÐzoun paramènoun ametblhtec stic diᖈforec allagèc bᖈsewn kai tic domèmmècèdomèc domèmmècèc autèc.
Efìson h parapḈnw exÐswsh isqÔei gia opoiad pote tim pḈroun ta xs,v, xr,u tìte jètontac sthn exÐswsh (3.9) èna apì ta megèjhxr,u, èstw megèjhxr,u, èstw megèso, oume tic ekziston ¸seic pou prokÔptoun thn mia apì thn Ḉllh kai diairèsoume dia tou 2 paÐrnoume. 3.12) An t¸ra jèsoume katḈllhlec timèc se èna apì ta megèjhxr,utìte ja pḈroume thn exÐswsh.
Genikeumèno Exwterikì Ginìmeno
- To sunduastikì ginìmeno
- OrÐzousec
- Sust mata mondwn
- To exwterikì ginìmeno
- EpÐlush Grammik¸n Susthmtwn Exis¸sewn
- ParagontopoÐhsh megej¸n
Oloi oi pollaplasiastikoÐ sunduasmoÐ m-to pl joc monለdwn tou prwtogenoÔc sust matoc monለdwn pou upojèsame parapለnw ja kaloÔntai monለdecm-bajmÐdac. EḈn èna mègejoc opoiasd pote dosmènhc bajmÐdac, èstw r, mporeÐ na parastajeÐ wc to sunduastikì ginìmenor-to pl joc megej¸n pr¸thc bajmÐdac ja kaleÐtai èna stoiqei¸dec mègejocr-bajmÐdac, alli¸c èna sÔnjeto mègejoc [Gr, §77 ]. Sunep¸c, to sunduastikì ginìmeno r to pl joc megej¸n pr¸thc bajmÐdac eÐnai èna stoiqei¸dec mègejoc r-bajmÐdac kai prokÔptei arijmhtik.
Hy het jroisma megej ̧nm-bajmÐdacSdÐnei mhdèn ìtan pollaplasia- steÐ exwterik kaniak kajèna apì ta m gegee om pl joc megejh pr ̧thc bajmÐdac a1, a2,.
To Sumpl rwma
Gia na eisḈgei thn ènnoia tou sumplhr¸matoc ìrise to exwterikì ginìmeno twn n stoiqeÐwn tou prwtogenoÔc sust matoc monḈdwn na eÐnai Ðso me thn apøda . Ja melet soume loipìn thn ènnoia tou sumplhr¸matoc megej¸n se èna prwtogenèc qwrÐo dosmènhc diለstashc, èstw n, me sÔsthma monለdwn til e1, e2,. Opwc anafèrame kai se prohgoÔmeno kefለlaio, to sÔnolo ìlwn twn diaforetik¸n megej¸nm-to pl joc stoiqeÐwn tou prwtogenoÔc sust matoc monለdwn sqhmonÐsthÈnሔcd Ènሔc qwrÐou mig diለstash¡n.
H antisummetrik idiìthta tou exwterikoÔ ginomènou dhl¸nei ìti to qwrÐo ìlwn twn megej¸n (n −m)-bajmÐdac perièqei tìsa stoiqeÐa sto sÔsthma ìlwn twn megej¸n (n −m)-bajmÐdac perièqei tìsa stoiqeÐa sto sÔsthma ìlwn ìsthma ìn wn megej¸nm-bajmÐdac, diìti.
To Palindromikì Ginìmeno
SÔndesh exwterikoÔ kai palindromikoÔ ginomènou
H parapለnw idiìthta isqÔei kai gia opioad pote stoiqei¸dh megèjh, dhlad , eለnAèna mègejocm-bajmÐdac,B èna mègejock-bajmÐdac kaiCèna mègejoc t-bajmÐdac kai ta trÐa stoiqei¸dh megèjh, me m+k+t= n , ìpou n eÐnai Het is niet verstandig om dit te doen. 3.20). H parapḈnw idiìthta isqÔei kai gia genikìtera megèjh me thn proupìjesh ìti o koinìc parḈgontac C eÐnai stoiqei¸dhc. Sunep¸c, h parapለnw idiìthta isqÔei kai ìtan o koinìc parለgontac eÐnai stoi- qei¸dhc en¸ ta ለlla dÔo megèjh sÔnjeta.
Antijètwc, eḈn o koinìc parḈgontac Aden eÐnai stoiqei¸dhc kai ta megèjh B, C eÐnai stoiqei¸dh tìte h parapḈnw sqèsh paÔei na isqÔei.
Amigèc kai Meiktì ginìmeno
Om qwrÐo enìc amig¸c exwterikoÔ ginomènou eÐnai Ðso me to epikalu-ptikì qwrÐo ìlwn twn paragìntwn tou kai to qwrÐo enìc amig¸c palindromikoÔ ginomènou eÐnai Ðso me to koinì qwrÐo Ik wil u graag helpen met mijn mening over mh mhdenikì. SÔmfwna mij tot een ta stoiqeÐa thc bḈshc eÐnai pr¸thc bajmÐdac (n−1)-bajmÐdac, tot Ðqnoc eÐnai exwterikì palindromikì antÐstoiqa. Ta Ðqnh poikÐlwn megej¸n eÐnai parmèna me to Ðdio nìhma ìtan skiÈzontai sto Ðdio qwrÐo kai exairoÔn to Ðdio qwrÐo [Gr,§127].12.
Om exwterikì Ðqnoc enìc amig¸c exwterikoÔ ginomènou kai to palindromikì Ðqnoc enìc amig¸c palindromikoÔ ginomènou eÐnai Ðsa me ta ginìmena twn iqn¸n, me to Ðdio nìhma, twn paragìntwn aut¸ n twn ginomènwn, dhlad , eĖn.
Genikeumèno Eswterikì Ginìmeno
Jemeli¸deic kanìnec tou EswterikoÔ Ginomènou
Epeita apodeiknÔei ìti to eswterikì ginìmeno dÔo Ðswn monzdwn eÐnai Ðso me thn apìluth monda, en¸ dÔo diaforetik¸n mondwn thc ÐhènÐadia djalosh. SumperaÐnei wc epakìloujo twn parapạnw sqèsewn ìti to eswterikì ginìmeno dÔo megej¸n A, B thc Ðdiac bajmÐdac eÐnai èna bajmwtÐ eswterikì ginìmeno dÔo megej¸n A, B thc Ðdiac bajmÐdac eÐnai èna bajmwtÐ eswterikìs nou dÔo bajmÐdwn ja einai Ðsh me thn dia- forạn twn bajmÐdwn dÔo paragìntwn, h opoÐa ja eÐnai Ðsh me to mhdèn, kai wc ek toÔtou to ginìmeno ja eÐnai èna bajmwtì mègejoc. To genikeumèno eswterikì ginìmeno dÔo monለdwn pou emperièqe- tai h mia sthn ለllh eÐnai diaforetikì tou mhdenìc en¸ ìtan den emperièqetai h mia sthn ለtehshon ለtehdÐ me sthn.
Για να πω ότι θέλω λίγο παραπάνω, τότε πρέπει να πω ότι πρέπει να έχω tetrለgwno tou megèjouc. Μια τουαλέτα kai to sum ex c.
H ènnoia thc orjogwniìthtac se sqèsh me to eswterikì
Als u dit proosteal, kunt u het beste weten wat u moet doen om uw geld verdienen en om uw sÔsthma te recenseren. Kạje orjogønio sÔsth-ma tou opoÐou h arijmhtik tim eÐnai Ðsh me thn apìluth monạda eÐnai èna orjokanonikì sÔsthma [Gr, §153]. Om sÔsthma twn prwtogen¸n monḈnai èna pl rec orjog¸nio sÔsthma, tou opoÐou h arijmhtik tim eÐnai Ðsh me thn apìluth maandag.
SÔmfwna me thn anexarthsÐa epilog c sust matoc monለ- dwn oi parapለnw sqèseic eÐnai diajèsimec kai gia kለje pl rec prwtogenèc orjog¸nio sÔsthma.
Gewmetrikèc Efarmogèc
Jemeli¸deic ènnoiec
Epeita kinhjeÐ apì to shmeÐo B katზ èna eujÔgrammo tm ma BC to opoÐo eÐnai Ðso me to α2e2 kai tèloc kinhjeÐ apì toC katზ èna eujÔgrammo tm maBC, to opoàiÐ me. ApodeiknÔei loipìn ìti to ზjroisma poikÐlwn dianusmtwn dÐnei èna dinus- sma to opoÐo èqei to Ðdio m koc kai thn Ðdia kateÔjunsh me to ejÔi togrammoìu pr¸tou dianÔsmatoc me to telikì shmeÐo tou teleutaÐou dianÔsmatoc, efarmìzontac ta dianÔsmata na èna metለ na ለllo ètsi ¸ste ekeÐ pou stamatለei na èna na arqÐzei na ለllo qwrÐc na allለxoume to m koc kai shn. Oson aforለ to ginìmeno enìc arijmoÔ à me èna diለnusmaxprokÔptei èna diለnusmay to opoÐo èqei thn Ðdia thn antÐjethkateÔjunsh my to diለnusma x, sìmeÔc awrija jena oa tikìc, kai tou opoÐou to m koc se sqèsh my to m koc tou x eÐnai ìso h analogÐa tou α me to 1 [Gr,§220,221].
Sunep¸c, apèdeixe ìti to ზjroisma dÔo apl¸n shmeÐwn eÐnai Ðso me dÔo forèc to aplì shmeÐo to opoÐo brÐsketai metaxÔ twn dÔo shmeÐwn.
Trisdistata qwrÐa
Ola ta shmeÐa tou q¸rou prokÔptoun arijmhtikለ apì opoiad pote tèssera shmeÐa ta opoÐa den brÐskontai sto Ðdio epÐpedo [Gr,§232]. Ola ta dianÔsmata miac eujeÐac prokÔptoun arijmhtikለ apì èna au- jaÐreto diለnusma aut c thc eujeÐac [Gr,§230A]. Ola ta dianÔsmata enìc epipèdou prokÔptoun arijmhtikለ apì dÔo au- jaÐreta mh parለllhla dianÔsmata tou epipèdou autoÔ [Gr,§230].
Ola ta dianÔsmata tou q¸rou prokÔptoun arijmhtik¨ apì trÐa aujaÐre- ta dianÔsmata mh par¨llhla sto Ðdio epÐpedo [Gr,§229].
To sunduastikì ginìmeno
OrÐzei to ginìmeno[AB]dÔo shmeÐwn na eÐnai èna eujÔgrammo stoiqeÐo (Li-nientheil, linijski element) kai eÐnai èna stoiqeÐo thc eujeÐacAB, kai èqei to Ðdio m koc kai thn Ðdia kateÔjunsh me to eujÔgrammo tm maAB. Opìte, dÔo eujÔgramma stoiqeÐa eÐnai Ðsa an kai mìno an èqoun to Ðdio m koc kai thn Ðdia kateÔjunsh kai brÐskontai epÐ thc Ðdiac eujeÐac. Tèloc to ginìmeno enìc eujÔgrammou stoiqeÐou me èna bajmwtì mègejoc eÐnai Ðso me èna eujÔgrammo stoiqeÐo to opoÐo brÐsketai sthn Ðdia eujeÐa kai sqetÐzetai me to pr¸to eujÔ grammo stoiqeÐo ìpwc to à me to 1, diìti.
To sunduastikì ginìmeno dÔo sh- meÐwnA, B kai enìc dianÔsmatoc ceÐnai Ðso me to epÐpedo stoiqeÐo tou opoÐou to embadìn eÐnai Ðso me ekeèi koi BCÐno tou parallh kai kateÔjunsh me to diÈnusma c, diìti.
Ajroisma eujÔgrammwn kai epÐpedwn stoiqeÐwn
EḈn to ginìmeno eÐnai Ðso me to mhdèn, tìte o ìgkoc tou tetrẈedrou mhdenÐzetai kai sunep¸c ta tèssera shmeÐa ja eÐnai sunepÐpeda. Sunep¸c to Ḉjroisma dÔo eujÔgrammwn stoiqeÐwn eÐnai Ðso me to eujÔgrammo stoiqeÐo Ðdiou m kouc kai kateÔjunshc me thn diag¸nio tou parallhlogrለmmou. Sunep¸c, to ለjroisma dÐnei èna parለllhlo wc proc ta ለlla dÔo eujÔgramma stoiqeÐa stoiqeÐo sto Ðdio epÐpedo, tou opoÐou to m koc eÐnai Ðso me to ለjroisma twn mhk¸n twn d Ôo eujÔgrammwn stoiqeÐwn kai tou opoÐou h eujeÐa brÐsketai metaxÔ twn eujei¸n twn dÔo eujÔgrammwn stoiqeÐwn kai se apìstash apì autèc tic grammèc ìso h antÐstrofh analogÐa twn mhk¸n twn dÔo eujÔgrammwn stoiqeÐwn.
Sunep¸c, to ሃjroisma ja eÐnai Ðso me to to ginìmeno dÔo dianusmለtwn to opoÐo ja èqei Ðso embadìn kai to Ðdio prizhmo me to parallhlìgrammo ABC.
Embadometrikìc kai stereometrikìc pollaplasiasmìc . 105
Dhlad , to ginìmeno dÔo parለllhlwn eujÔgrammwn stoiqeÐwn eÐnai Ðso me èna diለnusma parለllhlo sto eujÔgrammo tm maABkai sqetÐzetai me toABìqeÈpwc to[1BCD. ] kai [DEF] eÐnai metaxÔ touc par¨llhla, tìte të ginìmeno touc eÐnai èna ginìmeno dÔo dianusm¨twn ta opoÐa eÐnai par¨llhla se autì to epÐpedo kai e¨n taA, B, C, D, E, F eÐnai apl¨meÐa, tÐnÐa eÐnai të em. te epÐpedo stoiqeÐo[ ABC]ìpwc në parallhlepÐpedo[ADEF]me deri në 1. Për stereometrikì ginìmeno dÔo eujÔgrammwn stoiqeÐwn [AB]kai [CD], eĖn ta shmeÐa A, B, C, D eÐnai apl ሆhÐepedo .
Autì to parallhlìgrammo sÔmfwna me ta parapḈnw eÐnai èna tetrḈgwno to opoÐo èqei to Ðdio pryshhmo me to [e1e2].