ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΗ ΣΧΟΛΗ
ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Π.Μ.Σ.
“Πολιτισμός, Παιδεία & Ανθρώπινη Ανάπτυξη”
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
Παιδεία: με έμφαση στους Εκπαιδευτικούς Θεσμούς και Πολιτικές, τα Αναλυτικά Προγράμματα και την Κοινωνιολογία και Ιστορία της Εκπαίδευσης
Βασιλειάδης Αλέξανδρος
Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία
Συμβολή στην Νοηματοδότηση και Υιοθέτηση Μαθηματικών Εν- νοιών από τους Μαθητές και τις Μαθήτριες της Στ΄ Τάξης του Δη-
μοτικού Σχολείου: Έρευνα-Δράση με Παρεμβάσεις στον Μετα-
σχηματισμό Διδακτικού Υλικού και Διδασκαλίας
Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία
Βασιλειάδης Αλέξανδρος
Συμβολή στην Νοηματοδότηση και Υιοθέτηση Μαθηματικών Εν- νοιών από τους Μαθητές και τις Μαθήτριες της Στ΄ Τάξης του Δη-
μοτικού Σχολείου: Έρευνα-Δράση με Παρεμβάσεις στον Μετα- σχηματισμό Διδακτικού Υλικού και Διδασκαλίας
Επιβλέπουσα Καθηγήτρια
Κατσαρού Ελένη, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Τμήματος Φιλοσοφικών και Κοι- νωνικών Σπουδών, Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μέλη Συμβουλευτικής Επιτροπής
Δεσλή Δέσποινα, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια, Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτι- κής Εκπαίδευσης, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης
Χρονάκη Άννα, Καθηγήτρια, Παιδαγωγικού Τμήματος Προσχολικής
Εκπαίδευσης, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
αφιερώνεται με πολλή αγάπη στα δύο μου “Λ”
Αισθάνομαι την πραγματική ανάγκη να ευχαριστήσω θερμά την επιβλέπουσα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια του Τμήματος Φιλοσοφικών & Κοινωνικών Σπουδών του Πανεπιστημίου Κρήτης, κα Ελένη Κατσαρού, για την αποδοχή του αιτήματός μου ως προς την εισήγηση της παρούσας εργασίας αλλά και τις στοχευμένες παρατηρήσεις που αφορούσαν τη συγγραφή της και τη διεξαγωγή της ερευνητικής προσπάθειας.
Παράλληλα, θα ήθελα να ευχαριστήσω και τα άλλα δύο μέλη της τριμελούς συμ- βουλευτικής επιτροπής, κα Άννα Χρονάκη, Καθηγήτρια του Παιδαγωγικού Τμήματος Προσχολικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας και κα Δέσποινα Δεσλή, Ανα- πληρώτρια Καθηγήτρια του Παιδαγωγικού Τμήματος Δημοτικής Εκπαίδευσης του Αρι- στοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, τόσο για την άμεση ανταπόκριση του αιτήμα- τος για συμμετοχή στην τριμελή επιτροπή, όσο και για την υποστήριξη και τις υποδείξεις τους.
Ευχαριστώ, επίσης, το Θανάση Στράντζαλο, όχι μόνο για την “κριτική φιλία” που προσέφερε στην παρούσα Έρευνα-Δράση, αλλά για το ανατροφοδοτικό, συνεργατικό και υποστηρικτικό πλαίσιο που υπάρχει και έχει δημιουργηθεί εδώ και αρκετά χρόνια και εκτός της παρούσας ερευνητικής προσπάθειας.
Ιδιαίτερες ευχαριστίες αρμόζουν και σε όλους τους ανθρώπους (“παρέα” από το Πανεπιστήμιο, συναδέλφους/-ισσες, “δασκάλους/-ες” μου, κτλ) που μεταξύ μας έχουν αναπτυχθεί “δημιουργικές” συζητήσεις και που πάντα στο τέλος αποκομίζαμε το “κάτι”, συνειδητοποιώντας το ρόλο μας ως “δάσκαλοι”. Εξάλλου, η παρούσα ερευνητική προ- σπάθεια “παραδίδεται”, πλέον, στη δημοσιότητα με σκοπό τη διάχυση και τη συνέχιση των δημιουργικών συζητήσεων.
Επίσης, οι ευχαριστίες απευθύνονται και στους γονείς μου, που όλα αυτά τα χρόνια μου προσέφεραν τα “αυτονόητα” (όταν για άλλους είναι ζητούμενα) για το ρόλο τους για να γίνω αυτό που είμαι.
Τέλος, οφείλω να ευχαριστήσω εξίσου θερμά (ίσως και λίγο περισσότερο) τη σύ- ντροφό μου Λέττα και την κόρη μου Λίλα για το οικογενειακό, ψυχολογικό, υποστηρι- κτικό και, κυρίως, ανθρώπινο πλαίσιο που μου προσέφεραν, παρά το χρόνο που “ανα- γκαστικά” απουσίαζα από πλάι τους.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ
1. Εισαγωγή ……….…….……….. σελ. 4 1.1 Η οριοθέτηση του προβλήματος …….………. σελ. 4 1.2 Σκοπός της εργασία ……….……….. σελ. 6 1.3 Η δομή της εργασία ……….……….. σελ. 7
ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ
2. Θεωρητικές Προσεγγίσεις στη Διδασκαλία των Μαθηματικών ……...……….. σελ. 10 2.1 Η “παραδοσιακή” αντίληψη της διδασκαλίας των Μαθηματικών ……...……... σελ. 11 2.2 Οι απόψεις του Freudenthal και η Ρεαλιστική Μαθηματική Εκπαίδευση …….. σελ. 15 2.2.1 Η Συγκρότηση και το Πλαίσιό της ……….. σελ. 16 2.2.2 Βασικά Χαρακτηριστικά των απόψεων του Freudenthal και της Ρεαλιστικής Μα- θηματικής Εκπαίδευσης που υιοθετήθηκαν στην παρούσα Έρευνα-Δράση ……. σελ. 17 2.3 Η Κριτική Μαθηματική Εκπαίδευση …….……….. σελ. 21 2.3.1 Η Συγκρότηση και το Πλαίσιό της ………….……….. σελ. 21 2.3.2 Βασικά Χαρακτηριστικά της Κριτικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης που υιοθετήθη- καν στην παρούσα Έρευνα-Δράση ………..……….. σελ. 23 2.4 Ο Συνδυασμός Κριτικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης και Ρεαλιστικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης στη διδακτική πράξη …………..……….. σελ. 29 2.5 Μία προσπάθεια μεταφοράς των δύο θεωρητικών προσεγγίσεων των Μαθηματικών που υιοθετήθηκαν στην εκπαίδευση μέσα από το πρίσμα της νοηματοδότησης της σύγχρο- νης Μαθηματικής Εκπαίδευσης και των ευρύτερων ερευνητικών δεδομένων …….. σελ. 31 3. Θεωρίες Αναλυτικών Προγραμμάτων ………..………. σελ. 41 3.1 Εννοιολογικός προσδιορισμός …...……..……….. σελ. 41 3.2 Μορφές, Προσανατολισμοί και Μοντέλα σχεδιασμού Αναλυτικών Προγραμ- μάτων ………..………... σελ. 42 3.2.1 Το ΑΠ ως προϊόν ……….…..……….. σελ. 43 3.2.2 Το ΑΠ ως πρακτική ………..……….….. σελ. 44 3.2.3 Το ΑΠ ως πράξη ………..………. σελ. 44
4. Έρευνα-Δράση στο σχολικό περιβάλλον ………..……….. σελ. 46 4.1 Η Έρευνα-Δράση – Εννοιολογικός προσδιορισμός και πώς διενεργείται ……... σελ. 46 4.2 Χαρακτηριστικά της Έρευνας-Δράσης ………..………... σελ. 48 4.2.1 Ο πρακτικός χαρακτήρας της ………... σελ. 48 4.2.2 Ο συνεργατικός χαρακτήρας της ………... σελ. 48 4.2.3 Ο χαρακτήρας της (σχολικής) γνώσης ……….……… σελ. 50 4.2.4 Ο (ανα)στοχασμός ……….…….. σελ. 50 4.2.5 Ο ρόλος του/της εκπαιδευτικού και η επαγγελματική ανάπτυξή του …..… σελ. 51 4.2.6 Ο ρόλος του/της μαθητή/-ήτριας ………...……….. σελ. 52 5. Η επιστημολογική συνάφεια της θεωρίας που υιοθετήθηκε ……….. σελ. 54
ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ
6. Έρευνα-Δράση στο μάθημα των Μαθηματικών της Στ δημοτικού ……….…... σελ. 58 6.1 Σκοποί, επιμέρους στόχοι και ερευνητικά ερωτήματα ………. σελ. 58 6.2 Αφετηρία - Η ανάδειξη της προβληματικής κατάστασης ……… σελ. 59 6.2.1 Η κριτική ανάγνωση του ΑΠΣ και του σχολικού εγχειριδίου των Μαθηματικών της Στ τάξης Δημοτικού ………. σελ. 61 6.2.2 Η διερεύνηση της προβληματικής κατάστασης μέσα από τη διδακτική πράξη ………. σελ. 64 6.2.2.1 Μεθοδολογία – Η Μελέτη Περίπτωσης ……… σελ. 64 6.2.2.2 Το πλαίσιο διεξαγωγής της Μελέτης Περίπτωσης ………... σελ. 66 6.2.2.3 Η Υλοποίηση της Μελέτης Περίπτωσης ……….. σελ. 68 6.2.3 Η συγκεκριμενοποίηση-οριοθέτηση της προβλημ0ατικής κατάστασης και η ανα- γκαιότητα διδακτικής παρέμβασης ……… σελ. 72 6.3 Το Εκπαιδευτικό Πλαίσιο Διεξαγωγής της Διδακτικής Παρέμβασης – Συμμετέχοντες/- ουσες ………... σελ. 76 6.4 Σχεδιασμός της Έρευνας-Δράσης-Προετοιμασία της Διδακτικής Παρέμβασης .. σελ. 78 6.4.1 Το “Ανοικτό πρόβλημα” ………... σελ. 81 6.4.2 Η Ομαδοσυνεργατική διδασκαλία ……… σελ. 82 6.5 Εργαλεία Συλλογής Δεδομένων – Μέθοδος Ανάλυσης ………... σελ. 84 6.5.1 Εργαλεία Συλλογής Δεδομένων ……… σελ. 84
6.5.2 Μέθοδος Ανάλυσης Δεδομένων ………... σελ. 88 6.5.2.1 Η Ποιοτική Ανάλυση Περιεχομένου ……… σελ. 88 6.5.2.2 Το σύστημα κατηγοριών/υποκατηγοριών ως προς το οποίο υλοποιείται η ανάλυση ……… σελ. 88 7. Σχεδιασμός – Υλοποίηση – Αποτίμηση Διδακτικής Παρέμβασης ………. σελ. 93 7.1 Πρώτος Κύκλος ……… σελ. 93 7.1.1 Σχεδιασμός ……… σελ. 93 7.1.2 Υλοποίηση Πρώτου Κύκλου – Συλλογή και Ανάλυση Δεδομένων …….. σελ. 100 7.1.2.1 Στοιχεία παρατήρησης ως προς τη φάση της υλοποίησης του πρώτου κύκλου ………. σελ. 109 7.1.2.2 Οι δυσκολίες του εγχειρήματος ……….. σελ. 113 7.1.3 Αποτίμηση – Διαπιστώσεις ως προς τον πρώτο κύκλο της διδακτικής παρέμβασης ……….. σελ. 114 7.2 Δεύτερος Κύκλος ……… σελ. 124 7.2.1 Σχεδιασμός ……….. σελ. 124 7.2.2 Υλοποίηση Δεύτερου Κύκλου – Συλλογή και Ανάλυση Δεδομένων ……. σελ. 128 7.2.3 Αποτίμηση – Διαπιστώσεις ως προς το δεύτερο κύκλο της διδακτικής παρέμβασης ……….. σελ. 141 7.3 Τρίτος Κύκλος ……… σελ. 150 7.3.1 Σχεδιασμός ……….. σελ. 150 7.3.2 Υλοποίηση Τρίτου Κύκλου – Συλλογή και Ανάλυση Δεδομένων ………. σελ. 153 7.3.3 Αποτίμηση – Διαπιστώσεις ως προς τον τρίτο κύκλο της διδακτικής παρέμβασης ……….. σελ. 157 8. Διαγράμματα Ροής – Μετάβαση από κύκλο σε κύκλο ………. σελ. 161 9. Συμπεράσματα ………... σελ. 164
10. Βιβλιογραφία ………... σελ. 177 11. Παράρτημα ……….. σελ. 192
1. Εισαγωγή
1.1 Η οριοθέτηση του προβλήματος
Από την εμφάνιση του σύγχρονου σχολείου μέχρι σήμερα, τα Μαθηματικά κατέχουν κεντρι- κή και αδιαμφισβήτητη θέση στο σχολικό πρόγραμμα, τόσο της πρωτοβάθμιας όσο και της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, τόσο στο ελληνικό εκπαιδευτικό σύστημα, αλλά και διεθνώς.
Η πολιτεία αναγνωρίζει τη σπουδαιότητα του αντικειμένου των Μαθηματικών, το οποίο ανα- γνωρίζει ως διδακτικό αντικείμενο που κατέχει από την έναρξη μέχρι το τέλος της σχολικής ζωής αρκετές διδακτικές ώρες στο επίσημο ωρολόγιο πρόγραμμα. Στην περίπτωσή μας, όπου θα ασχοληθούμε με τα Μαθηματικά της Στ τάξης δημοτικού, προβλέπονται τέσσερις διδακτι- κές ώρες την εβδομάδα σε ένα πολυθέσιο δημοτικό σχολείο (ΦΕΚ1324Β’, 2016: 16146), κα- τατάσσοντάς το, δεύτερο σε πλήθος διδακτικών ωρών, πίσω μόνο από τη διδασκαλία του δι- δακτικού αντικειμένου της ελληνικής γλώσσας.
Από την άλλη μεριά, το πλήθος των εβδομαδιαίων διδακτικών ωρών δε θα μπορούσε να σημαίνει απαραίτητα και την επίτευξη ενός βασικού σκοπού του Διαθεματικού Ενιαίου Πλαισίου Προγράμματος Σπουδών (ΔΕΠΠΣ) και Αναλυτικού Προγράμματος Σπουδών (ΑΠΣ) των Μαθηματικών που αφορά την ανάπτυξη της κριτικής ικανότητας των μαθητών/- ριών (ΔΕΠΠΣ - ΑΠΣ, 2003: 250) αλλά και του Νέου Προγράμματος Σπουδών για τα Μαθη- ματικά στην Υποχρεωτική Εκπαίδευση (ΝΠΣ για τα Μαθηματικά, 2011: 6). Ένας σκοπός που, μεταξύ άλλων, εμφανίζεται πολύ παλαιότερα από τα ισχύοντα ΑΠΣ – ΔΕΠΠΣ και συ- γκεκριμένα από το ΑΠΣ του 1982 που αφορούσε αποκλειστικά τις Α και Β τάξεις του δημο- τικού σχολείου με την αναφορά: “οι μαθητές … να εθισθούν στην κριτική σκέψη” (ΦΕΚ107Α, 1982: 944).
Γίνεται, επομένως, αντιληπτό ότι πέρα από τη συζήτηση σχετικά με το μαθηματικό πλαίσιο, εμπεριέχεται και το ΑΠ (Αναλυτικό Πρόγραμμα), το οποίο διαχρονικά αποτελεί αντικείμενο έρευνας και βρίσκεται στο επίκεντρο συζητήσεων γύρω από τα εκπαιδευτικά θέματα και αντιπαραθέσεων με βάση τις διαφορετικές προσεγγίσεις που υφίσταται. Αυτές οι συζητήσεις περιστρέφονται έντονα είτε με την πιστή τήρηση και εφαρμογή του ΑΠ, είτε γύρω από την αναδιάρθρωσή του (Χατζηγεωργίου, 2004: 17).
Παράλληλα με την παραπάνω οπτική και ανατρέχοντας στη βιβλιογραφία που αφο- ρά τη Μαθηματική εκπαίδευση, συναντούμε πολύ συχνά έναν έντονο προβληματισμό σε ότι αφορά τις “προγραμματικές της επιδιώξεις” των ΑΠΣ (στην περίπτωσή μας των Μαθηματι- κών της Στ δημοτικού) σε σχέση με το τι πραγματικά αναπτύσσεται μέσα στη σχολική τάξη σε σχέση με τα υποκείμενα της διδακτικής πράξης, δηλαδή τους/τις μαθητές/-ήτριες και τους/
τις εκπαιδευτικούς. Ο προβληματισμός αυτός αναφέρεται κατά κύριο λόγο στην αρνητική στάση των μαθητών/-ριών απέναντι στο αντικείμενο ίδιο των Μαθηματικών, κάτι το οποίο γί- νεται παραδεκτό και στο ΑΠΣ μέσα από τη διατύπωση του ειδικού σκοπού που αφορά την
“καλλιέργεια θετικής στάσης απέναντι στα Μαθηματικά” (ΔΕΠΠΣ - ΑΠΣ, 2003: 254). Ο πα- ραπάνω προβληματισμός ενισχύεται μέσα και από τη θεματική διαμόρφωση της ύλης και αφορά, κυρίως, τον “εθισμό” των μαθητών/-ριών σε αλγοριθμικές διαδικασίες στην κατεύ- θυνση απλής επίλυσης ασκήσεων και εφαρμογών και αποθέωσης του φορμαλισμού, διαμορ- φώνοντας έτσι ένα περιβάλλον μερικής στόχευσης. Μέσα από μία τέτοια οπτική, γίνεται αντι- ληπτό ότι ο μαθητής/-ήτρια μετατρέπεται κυρίως σε παθητικό/-ή δέκτη/-ρια και ο/η εκπαιδευ- τικός σε διεκπεραιωτή μια προδιαγεγραμμένης και προσχεδιασμένης διδασκαλίας, ομολο- γώντας έκαστος ότι στην πράξη αντιμετωπίζουν δυσκολίες στο να ανταποκριθούν στις απαι- τήσεις του μαθήματος.
Μέσα από αυτόν τον τρόπο ανάπτυξης του ΑΠΣ, όπως γίνεται αντιληπτό λείπουν τα πολιτισμικά και διεπιστημονικά στοιχεία και εφαρμογές, που με τη δραστική ενίσχυση της προσωπικής εμπλοκής του/της μαθητή/-τριας στα δρώμενα της διδακτικής πράξης, θα ανα- θέρμαιναν την ενασχόλησή του/της με το αντικείμενο της διδασκαλίας. Τούτο βέβαια δεν εί- ναι ανεξάρτητο και από τη μετατροπή του ρόλου του/της διδάσκοντα/-ουσας που, στο πλαί- σιο μιας ποιοτικής αναβάθμισης, θα μπορεί να συνδιαμορφώνει θέματα και να αναμορφώνει το ΑΠΣ με σκοπό την απάντηση του ερωτήματος “τι πρέπει να διδαχθεί και γιατί” αλλά και του “πώς θα διδαχθεί”, νοώντας, παράλληλα τα Μαθηματικά “σαν μία διαδικασία οικο- δόμησης της κατανοησιμότητας όψεων της πραγματικότητας” (Χασάπης, 1986: 33), θεω- ρώντας τη γνώση ως “κατασκεύασμα”. Επομένως, πώς θα επιτευχθεί η ανάπτυξη της πολυ- πόθητης κριτικής ικανότητας των μαθητών/-ριών της τάξης μας, που αποτελεί στόχευση τόσο δική μας όσο και των ΔΕΠΠΣ – ΑΠΣ;
Η απάντηση των παραπάνω ερωτημάτων θεωρούμε ότι βρίσκεται στην ποιοτική αναβάθμιση των πλαισίων, των στόχων και της διδασκαλίας των Μαθηματικών. Μέσα σε αυ- τού του είδους την αναβάθμιση θεωρούμε ότι τα όποια είδους χαρακτηριστικά προέκυψαν μέσα από την ερευνητική μας προσπάθεια δεν είναι “προς αναπαραγωγή”. Φιλοδοξία μας αποτέλεσε η τροφοδοσία δεδομένων στο πεδίο της έρευνας που αφορά τη διδακτική του αντι- κειμένου των Μαθηματικών για τη δημιουργία γόνιμου προβληματισμού και ανατροφοδότη- σης. Σε αυτό το πλαίσιο κρίναμε σημαντική τη συμβολή της Έρευνας-δράσης, όπου αν ανα- τρέξουμε στη βιβλιογραφία μέχρι σήμερα, παρατηρούμε πολύ περιορισμένη την ανάπτυξη
όχι μόνο της Έρευνας-δράσης, αλλά και γενικά διδακτικών παρεμβάσεων που να σχετίζεται με το διδακτικό αντικείμενο των Μαθηματικών στο δημοτικό σχολείο.
Παράλληλα, η παρούσα ερευνητική προσπάθεια πραγματοποιήθηκε σε μία ενδια- φέρουσα χρονική συγκυρία μετασχηματισμών και διαρθρωτικών αλλαγών της πολιτείας που επανακαθορίζουν τη νοηματοδότηση της εκπαιδευτικής πράξης και, αντίστοιχα, το ρόλο του εκπαιδευτικού και του/της μαθητή/ήτριας στη διδακτική πράξη, την αλλαγή των ΑΠΣ και ορισμένων σχολικών εγχειριδίων1 και τη μετάβαση από την παραδοσιακή στην περιγραφική αξιολόγηση. Όλα αυτά, βέβαια, δεν είναι ανεξάρτητα, κατά συνέπεια, στην προετοιμασία των μαθητών/-ριών (εν όψει της μετάβασής τους στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση) για την εισα- γωγή τους στη “συστηματική και θεωρητική σκέψη” (ΔΕΠΠΣ - ΑΠΣ, 2003) επί αντικειμένων και θεματικών που θα έχουν αποκτήσει νόημα για αυτούς/-ές.
1.2 Σκοπός της εργασίας
Σε μια ευρεία ερμηνευτική στο πλαίσιο της Κριτικής Εκπαίδευσης, θεωρούμε το Αναλυτικό Πρόγραμμα (ΑΠ) όχι μόνον ως περιεχόμενο, αλλά και ως μια ερμηνευτική θεωρία των εκπαιδευτικών δυνατοτήτων του περιεχομένου (Doyle & Carter, 2003) κάτω από την οπτική:
ό,τι μελετάται εδώ ως παρέμβαση ή μετασχηματισμός του ΑΠΣ, συνεπιφέρει και διαμόρφωση στάσης και θέσης ως προς το περιεχόμενο και την διδακτική/παιδευτική του αξία.
Η αντίληψή μας για το ΑΠΣ μετασχηματίζεται, έτσι, από “[…] επιλογή αντικειμένων και κειμένων που θα διδαχτούν, συγχρόνως καθορίζοντας τον ασφυκτικό χρόνο, τη φιλόδοξη μέθοδο και τους μαξιμαλιστικούς στόχους της διδασκαλίας τους [...]” (Δ. Μαρωνίτης: εφ. «Το Βήμα της Κυριακής», 21/9/2003) προς τον δυναμικό όρο «Lehrplan» (Westphalen, 1980), δηλαδή “πλάνο – πρόγραμμα διδασκαλίας”, όρο που θεωρούμε ότι έχει μια διαφορετική σημασία και περιεχόμενο από τον αποδιδόμενο ως “Αναλυτικό Πρόγραμμα”, στην πάγια ελληνική απόδοσή του (Μπουζάκης & Φωτεινός, 2006: 1).
Επομένως, σε αυτή την ερευνητική προσπάθεια βασικό σκοπό της προτεινόμενης διπλωματικής εργασίας αποτέλεσε η διδακτική διερεύνηση, η διαμόρφωση κατάλληλου περιεχομένου και μετασχηματισμού του διδακτικού υλικού των Μαθηματικών της Στ δημοτικού προς την κατεύθυνση υποστήριξης ή/και ανάπτυξης της κριτικής ικανότητας των
1 Στην περίπτωση μας που αφορά το διδακτικό αντικείμενο των Μαθηματικών το σχολικό εγχειρίδιο της ‘Ε δημοτικού (Βιβλίο Εκπαιδευτικού, Βιβλίο Μαθητή, Τετράδιο Εργασιών) αντικαταστάθηκε από νέο κατά το
μαθητών/-ριών. Πάνω σε αυτό το σκοπό μας και με την ταυτόχρονη υιοθέτηση της Έρευνας- Δράσης και του μεθοδολογικού πλαισίου που προσφέρει, ειδικότερα στοχεύσαμε:
• αρχικά στην ανάδειξη της προβληματικής κατάστασης μέσα από την ανάπτυξη μιας διερευνητικής φάσης, αποτιμώντας χαρακτηριστικά που υιοθετεί το προτεινόμενο πλαίσιο2, όπως αυτό υποδεικνύεται από το ΑΠΣ των Μαθηματικών της Στ δημοτικού ως προς τη διδακτική πράξη και το σχεδιασμό του μαθήματος, και
• στον μετέπειτα σχεδιασμό, υλοποίηση και αποτίμηση μιας διδακτικής παρέμβασης που θα βασιζόταν στα παραπάνω δεδομένα της διερευνητικής φάσης και θα απέβλεπε στην υποστήριξη ή/και ανάπτυξη του βασικού μας σκοπού που προαναφέρθηκε πάνω στο διδακτικό αντικείμενο των Μαθηματικών αφορώντας τη διαμόρφωση του κατάλληλου περιεχομένου και της μεθοδολογίας μέσα από δραστηριότητες που θα πραγματοποιούνταν στην τάξη.
1.3 Η δομή της εργασίας
Η παρούσα εργασία στηρίζεται στην ανάπτυξη μιας ευρείας ερευνητικής προσπάθειας που θα αναπτύσσεται πάνω στον προαναφερθέντα σκοπό. Για την καλύτερη κατανόηση της έρευνας και όσον αφορά τη διάρθρωση της εργασίας, αρχικά παρατίθεται το Θεωρητικό μέρος, το οποίο περιλαμβάνει τέσσερα κεφάλαια.
Το πρώτο κεφάλαιο του θεωρητικού μέρους, το οποίο αριθμείται ως δεύτερο, περι- λαμβάνει την ανάπτυξη της “παραδοσιακής” αντίληψης της διδασκαλίας των Μαθηματικών, όπως νοηματοδοτήθηκε από τον γράφοντα μελετώντας τη βιβλιογραφία, σε αντιδιαστολή με δύο θεωρητικές προσεγγίσεις της διδασκαλίας των Μαθηματικών, της Ρεαλιστικής Μαθημα- τικής Εκπαίδευσης (Realistic Mathematics Education (RME)) και της Κριτικής Μαθηματικής Εκπαίδευσης (Critical Mathematics Education (CME)).
Το δεύτερο κεφάλαιο, με τον αριθμό 3, αναφέρεται σε βασικά σημεία της θεωρίας των ΑΠ με βασικό σκοπό την αποσαφήνιση του όρου και κυρίως σε μία ταξινόμησή τους στη βιβλιογραφία και περιγράφονται τα είδη με κριτήριο την εστίασή τους και τη θεωρία που πλαισιώνονται.
Στο τρίτο κεφάλαιο, με τον αριθμό 4, καταγράφονται οι θεωρητικές παραδοχές που ακολουθήθηκαν για τη μεθοδολογία της έρευνας που πραγματοποιήθηκε. Πιο συγκεκριμένα, παρουσιάζεται η υιοθέτηση της Έρευνας-δράσης, το πώς διενεργείται στο σχολικό περιβάλ- λον και ποια είναι τα χαρακτηριστικά της.
Στο τέταρτο κεφάλαιο, με τον αριθμό 5, γίνεται μία απόπειρα περιγραφής της επι- στημολογικής “συμβατότητας” των επιλογών προκειμένου να αναπτυχθεί η ερευνητική προ- σπάθεια, η οποία παρουσιάζεται στην παρούσα διπλωματική εργασία.
Κατόπιν, ακολουθεί το Ερευνητικό μέρος της εργασίας το οποίο περιλαμβάνει δύο κεφάλαια.
Το πρώτο κεφάλαιο, με τον αριθμό 6, αρχικά περιέχει τους σκοπούς, τους επιμέρους στόχους και τα ερευνητικά ερωτήματα της έρευνας. Επίσης, περιλαμβάνει τη φάση της προε- τοιμασίας της έρευνας μέσα από το μεθοδολογικό πλαίσιο που προσφέρει η Έρευνα-Δράση.
Πιο συγκεκριμένα, περιλαμβάνεται το στάδιο της αφετηρίας-ανάδειξης της προβληματικής κατάστασης μέσα από την κριτική ανάγνωση του ΑΠΣ και του σχολικού εγχειριδίου των Μα- θηματικών της Στ δημοτικού με υλικό που προέκυψε από τα φύλλα εργασίας των μαθητών/- ριών της συγκεκριμένης τάξης που αναπτύχθηκε η ερευνητική προσπάθεια αλλά και το ημε- ρολόγιο που διατηρούσε ο εκπαιδευτικός της τάξης. Με τη συγκεκριμενοποίηση-οριοθέτηση της προβληματικής κατάστασης, κατόπιν περιγράφεται η ανάδειξη της αναγκαιότητας μιας διδακτικής παρέμβασης, με το εκπαιδευτικό πλαίσιο διεξαγωγής της, το σχεδιασμό της και την υιοθέτηση συγκεκριμένων “εργαλείων”. Τέλος, περιγράφονται τα εργαλεία συλλογής δε- δομένων (ημερολόγιο εκπαιδευτικού, φύλλα διδακτικών δραστηριοτήτων, ημερολόγια μαθη- τών/-ριών) και η μέθοδος ανάλυσής τους.
Το δεύτερο κεφάλαιο, με τον αριθμό 7, περιέχει το σχεδιασμό, την υλοποίηση και την αποτίμηση της διδακτικής παρέμβασης, έτσι όπως τελικά επιμερίστηκε μέσα από τρεις κύκλους. Ουσιαστικά παρουσιάζεται η αναμόρφωση του ΑΠΣ των Μαθηματικών της Στ δη- μοτικού, εστιασμένη στις ενότητες “Λόγοι-Αναλογίες” και “Γεωμετρία”.
Τέλος, με το κεφάλαιο 8 αναφέρονται τα συμπεράσματα, με το κεφάλαιο 9 η σχετική βιβλιογραφία που μελετήθηκε/χρησιμοποιήθηκε και με το κεφάλαιο 10 το παράρτημα στο οποίο παρατίθεται το πρωτογενές υλικό που συλλέχθηκε και επεξεργάστηκε ο εκπαιδευτικός της τάξης και γράφων της παρούσας εργασίας. Πιο συγκεκριμένα, παρατίθεται φύλλα εργασί- ας των μαθητών/-ριών της τάξης τόσο από το στάδιο της ανάδειξης της προβληματικής κα- τάστασης όσο και από αυτό της διδακτικής παρέμβασης, συγκεκριμένες ημέρες από το ημε- ρολόγιο του εκπαιδευτικού και τα αντίστοιχα των μαθητών/-ριών της τάξης που διατηρού- νταν και, τέλος, η απομαγνητοφωνημένη συνέντευξη από μία συναδέλφισσα.
ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ
2. Θεωρητικές Προσεγγίσεις στη Διδασκαλία των Μαθηματικών
Η Μαθηματική Εκπαίδευση και το αντίστοιχο περιεχόμενό της διαχρονικά έχουν περάσει από πολλά στάδια και βρίσκονται υπό συνεχή διαπραγμάτευση (Κολέζα, 2006: 47). Κατά συ- νέπεια είναι φυσικό και επακόλουθο αυτές οι αλλαγές να αποτυπώνονται σε κάποιο βαθμό και στα εκάστοτε ισχύοντα ΑΠΣ. Σήμερα στην Ελλάδα, τα ΑΠΣ, συμπεριλαμβανομένων και των Μαθηματικών όλων των τάξεων του Δημοτικού σχολείου, ισχύουν από το 2003, συμπε- ριλαμβάνοντας, παράλληλα, και την αναμόρφωση των Νέου Προγράμματος Σπουδών για τα Μαθηματικά (ΝΠΣ) το 2011. Αντίστοιχα, τα σχολικά εγχειρίδια που η συγγραφή τους βασί- στηκε πάνω σε αυτή τη θεωρητική βάση, εντάχθηκαν στη σχολική πρακτική το 2006.
Ειδικότερα, μελετώντας το ΑΠΣ των Μαθηματικών της Στ τάξης δημοτικού, όπως αυτό έχει μεταφερθεί και εκφραστεί στο Βιβλίο του Εκπαιδευτικού, γίνεται αμέσως αντιλη- πτή η προσπάθεια διαχωρισμού της τρέχουσας Μαθηματικής Εκπαίδευσης και των “νεότε- ρων διδακτικών αντιλήψεων” με την αντίστοιχη “παραδοσιακή” Μαθηματική Εκπαίδευση και διδακτική. Σε αυτό το δίπολο γίνεται εκτενής αναφορά στα χαρακτηριστικά που αφορούν τη διδασκαλία και αφορούν ειδικότερα το ρόλο του/της εκπαιδευτικού, τον αντίστοιχο ρόλο του/της μαθητή/-ήτριας και τον τρόπο της αξιολόγησής τους.
Στις παρακάτω ενότητες του θεωρητικού μέρους θα παρουσιαστούν τα βασικά χαρα- κτηριστικά που διέπουν την “παραδοσιακή” αντίληψη της διδασκαλίας των Μαθηματικών σε συνάρτηση με την RME και την CME. Ο σχεδιασμός και η συγγραφή των ισχυόντων σχολι- κών εγχειριδίων βασίστηκε πάνω στο προαναφερθέν δίπολο μέσα από την ανάγκη της “ανα- τροπής” της παραδοσιακής αντίληψης, των χαρακτηριστικών και όπως αυτή επιτελείται επι- φέρουν στη διδακτική πράξη. Παράλληλα, τα χαρακτηριστικά που επιφέρει η παραδοσιακή αντίληψη στη διδακτική πράξη είναι εκ διαμέτρου αντίθετα με αυτά της RME που υιοθετήθη- κε και από τη συγγραφική ομάδα του σχολικού εγχειριδίου στην ανάπτυξή και στον σχεδια- σμό του, εκφράζοντας ουσιαστικά τη νεότερη διδακτική αντίληψη, κλείνοντας αυτό το δίπο- λο. Επομένως, για τους ίδιους λόγους, δε θα μπορούσε να απουσιάζει από την κριτική μας ματιά. Παράλληλα, φεύγοντας από το επίπεδο της κριτικής και εισχωρώντας σε αυτό της αντιμετώπισης της προβληματικής κατάστασης έτσι όπως διαμορφώθηκε, η RME προσέδιδε στη διδακτική παρέμβαση, έτσι όπως σχεδιάστηκε και υλοποιήθηκε, το κοινωνικοπολιτισμικό πλαίσιο. Τέλος, πάλι τόσο σε επίπεδο κριτικής όσο και σε επίπεδο σχεδιασμού του ΑΠΣ και κυρίως σε άμεση συνάρτηση-εξάρτηση με την αρχική μας στόχευσης που αφορούσε την ανάπτυξη της κριτικής ικανότητας των μαθητών/-ριών μας, επιλέχθηκε και η CME που προ- σέδιδε το πλαίσιο της “πολιτειότητας”.
2.1 Η “παραδοσιακή” αντίληψη της διδασκαλίας των Μαθηματικών
Πριν ξεκινήσουμε την αναφορά στα βασικά χαρακτηριστικά της “παραδοσιακής” αντίληψης της διδασκαλίας των Μαθηματικών, οφείλουμε πρώτα να οριοθετηθεί το τι εννοούμε στη συ- γκεκριμένη περίπτωση με τον όρο “παραδοσιακή”. Ο όρος δεν αναφέρεται σε κάποια συγκε- κριμένη βιβλιογραφική πηγή, αλλά ούτε και συναντάται στη βιβλιογραφία κάποια συγκεκρι- μένη χρονική περίοδος που να γίνεται χρήση του, παρά μόνο για να αποδοθεί η μετάβαση από μία περίοδο σε μία άλλη κατά την οποία πραγματοποιούνται αλλαγές: Στη Μαθηματική Εκπαίδευση τέτοιες αλλαγές δηλώνονται για παράδειγμα από την υιοθέτηση (τουλάχιστον) διαφορετικών αντιλήψεων για την ίδια τη διδακτική ανάπτυξη της διδακτικής επιστήμης που αντιπαρατίθενται από την προηγούμενη περίοδο, αυτήν της κυριαρχίας “των new Mathemat- ics”. Έτσι, στην περίπτωσή μας, συμπεραίνουμε μέσα από την ανάγνωση και μελέτη του Βι- βλίου του Εκπαιδευτικού, ότι αναφέρεται στην περίοδο πριν από τη συγγραφή του ισχύοντος σχολικού εγχειριδίου (2006) αλλά και του ΔΕΠΠΣ και ΑΠΣ των Μαθηματικών. Συνεπώς, η συγκρότηση του “παραδοσιακού” πλαισίου αναφέρεται σε εκείνα τα χαρακτηριστικά που απορρέουν και συνθέτουν τη διδασκαλία των Μαθηματικών μέχρι το 2003 και την εφαρμογή του ΑΠΣ.
Επομένως, η παραδοσιακή Μαθηματική Εκπαίδευση αναφέρεται σε μία αρκετά με- γάλη χρονική περίοδο κατά την οποία έχουν συντελεστεί πολλές αλλαγές, που φυσικά η εκτε- νής αναφορά και περιγραφή τους δεν αποτελεί στόχο της παρούσας εργασίας. Ωστόσο, θεω- ρούμε ότι οι όποιες αλλαγές πραγματοποιούνται στο χώρο της εκπαίδευσης, συμπεριλαμβα- νομένων και των Μαθηματικών, δεν πραγματοποιούνται ποτέ με αυθαίρετο τρόπο. Αντίθετα, αναφέρονται πάντα σε μία πρότερη κατάσταση με σκοπό να την “αλλάξουν” ή ακόμη και να την “ανατρέψουν”, συμβαδίζοντας με το ευρύτερο εκπαιδευτικό πλαίσιο και της θεωρίας που προκύπτει, τόσο από το ΑΠΣ όσο και της θεωρίας που το συνθέτει.
Έτσι, μελετώντας τη βιβλιογραφία, μία τέτοια περίοδος μετάβασης σηματοδοτείται με την εμφάνιση των “New Mathematics” και τη συνειδητοποίηση της τεράστιας ποιοτικής και ποσοτικής απόστασης ανάμεσα στην ανάπτυξη των Μαθηματικών της δεκαετίας του 1950 και των Μαθηματικών που διδάσκονταν μέχρι τότε στη σχολική τάξη (Καλαβάσης, 1984: 65). Παράλληλα, η συγκροτούμενη τότε Μαθηματική Εκπαίδευση, ως κομμάτι της εκ- παίδευσης γενικότερα, ακολουθούσε τη στροφή στα “στοχοθετικά” και “γραμμικά” μοντέλα ανάπτυξης ΑΠΣ, συνδυάζοντας μια τέτοια διαδικασία με το διαμορφούμενο ψυχροπολεμικό κλίμα και του “σπούτνικ σοκ” (Καψάλης & Λεμονίδης, 1999: 97) με όρους “αποτελεσματι- κότητας” που σηματοδότησε τη στροφή προς τις επιστήμες και την τεχνολογία μέσα από την
ανάδειξη “αντικειμενικοτήτων” και γνώσης που μπορεί να μετρηθεί και τελικά να αξιολογη- θεί ποσοτικά.
Σε μία τέτοια κατεύθυνση τα New Mathematics θεωρούνταν ότι διακατέχονταν από μεγάλη “αυστηρότητα” όχι αποκλειστικά με όρους ασυνέπειας, αλλά το κυριότερο λογίζο- ντας αποκλειστικά τους μη-αυστηρούς συλλογισμούς ως λανθασμένους. Κάτι τέτοιο έβγαζε από το πλαίσιο τη διαίσθηση, την ενόραση αλλά και τη μεταγνώση, καθώς δεν έπαιρνε υπόψη της την ιδιαιτερότητα ότι ένας μη-αυστηρός συλλογισμός ενδεχομένως μπορεί να κρύβει μια ιδέα σωστή και μεγαλοφυή, αρκεί μετέπειτα να αποσαφηνιστεί μέσα από διαδικασίες επεξερ- γασίας με παιδευτική αξία για να βρεθεί τελικά ο σωστός συλλογισμός (Καλαβάσης, 1984:
67).
Παράλληλα, τα New Mathematics υιοθέτησαν τη λογική ενός συστήματος που τοπο- θετεί το δάσκαλο και το βιβλίο στο κέντρο της διδασκαλίας προσδίδοντάς τους την ταυτότη- τα του “κατόχου της απόλυτης αλήθειας”. Σε αυτό το πλαίσιο ο/η μαθητής/-ήτρια οφείλει να αφοσιωθεί στη μάθηση (νοούμενη ως αποστήθιση) αυτής της απόλυτης αλήθειας. Αντίστοι- χα, κατά τη διδασκαλία ο/η μαθητής/-ήτρια καλείται να ξαναβρεί κάτι που είναι ήδη γνωστό και ταξινομημένο και δεν εισχωρεί σε διαδικασίες όπου η λύση ή/και ο τρόπος εύρεσής της δεν (μπορεί να) είναι γνωστός σε κανένα υποκείμενο της διδακτικής πράξης ή ακόμη και σε διαδικασίες που δεν υπάρχει λύση. Το αποτέλεσμα των διαδικασιών της διδασκαλίας που ακολουθείται είναι προδιαγεγραμμένο και ποσοτικά μετρήσιμο, ρίχνοντας το “βάρος” της αποτυχίας αποκλειστικά στον/στην μαθητή/-ήτρια (Καλαβάσης, 1984: 69-70), δημιουρ- γώντας και χαρακτηρίζοντας ταυτόχρονα μαθητές/-ήτριες που “έχουν κλίση στα Μαθηματι- κά” ή “δεν τα παίρνει τα Μαθηματικά”.
Ειδικότερα στο χώρο της Μαθηματικής Εκπαίδευσης, η μετάβαση στα “New Mathe- matics” Μαθηματικά προέκυψε λόγω της διαπίστωσης, κυρίως από πανεπιστημιακούς καθη- γητές, ότι η διδασκόμενη ύλη των Μαθηματικών στα σχολεία ήταν σταθερή και αναλλοίωτη επί πολλές δεκαετίες και ότι έπρεπε να συμπεριληφθούν μερικές από τις νέες (για τότε) μαθη- ματικές ιδέες των προηγούμενων εκατό χρόνων που έλειπαν (Καψάλης & Λεμονίδης, 1999:
97). Επομένως, γίνεται αμέσως αντιληπτό, ότι οι όποιες αλλαγές πραγματοποιήθηκαν είχαν
“συγκεντρωτικό” και “κλειστό” χαρακτήρα, μιας και η φωνή των εκπαιδευτικών και των μα- θητών/-ριών ήταν απούσα και οι όποιες κατευθύνσεις δόθηκαν ήταν σχεδιασμένες “κεντρικά”
και απευθύνονταν σε όλους, γεγονός που συνάδει με τα στοχοθετικά και γραμμικά μοντέλα ανάπτυξης ΑΠΣ που προαναφέρθηκαν. Παράλληλα, αυτές οι αλλαγές αφορούσαν, κυρίως, το
ίδιο το αντικείμενο και περιεχόμενο των Μαθηματικών και όχι τον τρόπο της διδασκαλίας τους.
Στην Ελλάδα, η εισαγωγή των “New Mathematics” γίνεται, ομολογουμένως, με μία μεγάλη καθυστέρηση στις αρχές της δεκαετίας του 1980 μέσα από τα τότε σχολικά εγχειρίδια που υπήρχαν στη σχολική πρακτική μέχρι και το σχολικό έτος 2005-2006. Επομένως, η πα- ραδοσιακή αντίληψη που είχε διαμορφωθεί διεθνώς μέχρι τα μέσα της δεκαετίας του 1950, στην Ελλάδα παρατείνεται για επιπλέον 25 περίπου χρόνια. Μέχρι τότε η διδασκαλία των Μαθηματικών στο ελληνικό δημοτικό σχολείο χαρακτηρίζεται από “τις πολλές και διάφορες απομνημονευτικές ασκήσεις αριθμών, πράξεων, διαδικασιών και μηχανισμών. Σύμφωνα με την φιλοσοφία αυτή η μέθοδος διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο στηρίζεται κυρίως στις διαρκείς επαναλήψεις, επιδιώκει με τη μηχανική επανάληψη την εξάσκηση και όχι την κατανόηση. Στα πλαίσια της παραδοσιακής διδασκαλίας των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο ζητείται από τους μαθητές να μιμηθούν αυτό που λέει το βιβλίο και ο δάσκαλος. Οι μα- θητές καλούνται συνήθως να εφαρμόζουν μια διαδικασία και όχι να κατανοούν και λιγότερο βεβαίως να καταλήγουν σε αυτήν την κατανόηση” (Καψάλης & Λεμονίδης, 1999: 98). Είναι, επομένως, εμφανής η συμπεριφοριστική κατεύθυνση που επικρατούσε και ακολουθούνταν μέχρι τότε και η οποία κρίθηκε ότι έπρεπε να αλλάξει.
Από την άλλη, η εισαγωγή των “New Mathematics” στην Ελλάδα γίνεται σε μία πε- ρίοδο που διεθνώς έχει αρχίσει να φαίνεται ότι η διδασκαλία τους έχει ήδη αποτύχει (Καλα- βάσης, 1984: 70), αμφισβητούνται, συνειδητοποιείται η ανάγκη αλλαγής στόχευσης και λίγα χρόνια μετά εγκαταλείπονται. Παρόλα αυτά, στην Ελλάδα τα σχολικά εγχειρίδια που η συγ- γραφή τους βασίστηκε πάνω στα “New Mathematics” διατηρούνται, όπως προαναφέραμε, μέχρι και το σχολικό έτος 2005-2006. Η κριτική που ασκήθηκε αφορούσε κυρίως την έλλει- ψη σύνδεσης των Μαθηματικών με καταστάσεις της πραγματικής ζωής και την εμμονή από τους δασκάλους στη διδασκαλία εννοιών και αριθμητικών δεξιοτήτων (Καψάλης & Λεμονί- δης, 1999: 102). Σε αυτό το σημείο αξίζει να αναφερθεί ότι πρέπει να ληφθεί υπόψη, αν και δεν αποτελεί στοιχείο διερεύνησης της παρούσας εργασίας, ο βαθμός επηρεασμού που προ- έκυπτε συνεχώς από τη διεθνή εκπαιδευτική πραγματικότητα στην αντίστοιχη ελληνική, λόγω της αυτής της χρονικής απόκλισης. Για παράδειγμα: Σε ποιο βαθμό επηρέασαν τα “New Mathematics” τη διδακτική πράξη στην Ελλάδα πριν την εισαγωγή τους το 1982, ενώ διεθνώς ήταν σε πλήρη ανάπτυξη; Σε ποιο βαθμό επηρέασε η διεθνής αμφισβήτηση και μετέπειτα εγκατάλειψη των “New Mathematics” όταν αυτά εισάγονταν στην ελληνική σχολική πραγμα- τικότητα το 1982; Πώς επηρέασε η αμφισβήτηση των “New Mathematics” τη σχολική πραγ-
ματικότητα στην Ελλάδα μέχρι το 2005 που ίσχυαν τα σχολικά εγχειρίδια που συντέθηκαν με βάση τα “New Mathematics”;
Αυτά τα σχολικά εγχειρίδια, τα οποία ήταν στη σχολική πράξη μέχρι και το 2005 και αντικαταστάθηκαν από τα ισχύοντα, ολοκληρώνουν τη σύνθεση της εικόνας της “παραδοσια- κής” αντίληψης της διδασκαλίας των Μαθηματικών, την οποία επικαλείται συνεχώς, όπως προαναφέρθηκε, το Βιβλίο του Εκπαιδευτικού. Κοινό χαρακτηριστικό όλης αυτής της πε- ριόδου είναι ότι βασικό στόχο της αποτελεί το “να μάθει το παιδί να κάνει κάτι” (Τζεκάκη, 2010: 14) μέσα από την “άμεση υπόδειξη” κανόνων και τύπων (Τρέσσου, 1997: 15) που πολ- λές φορές δεν κατανοεί επαρκώς (Καψάλης & Λεμονίδης, 1999: 99). Στην παραδοσιακή δι- δασκαλία το εκπαιδευτικό υλικό και το περιεχόμενο είναι προαποφασισμένο και σχεδιάζεται κεντρικά με την “από πάνω προς τα κάτω” διαδικασία (up-down) με απώτερο σκοπό τη μετα- φορά του στους/στις μαθητές/-ήτριες (Σκουμιός & Σκουμπουρδή, 2015: 24).
Πιο συγκεκριμένα, η διδασκαλία έχει επίκεντρο το δάσκαλο ως διεκπεραιωτή που αποτελεί την πηγή γνώσης (Van de Walle, 2007: 21) όπου έχει το ρόλο να παρουσιάσει, να δείξει ή να εξηγήσει στην τάξη, επιδιώκοντας να μάθουν οι μαθητές/-ήτριες κάποια γνώση ή δεξιότητα που συνήθως αναφέρεται στο σχολικό εγχειρίδιο ή στο ΑΠΣ ή να απομνημονεύ- σουν περίπλοκες μαθηματικές έννοιες και διαδικασίες (Τζεκάκη, 2010: 21), μετατρέποντάς τους σε παθητικούς δέκτες της εκπαιδευτικής διαδικασίας (Van de Walle, 2007: 21). Κα- τόπιν, ο εκπαιδευτικός μέσα από ερωτήσεις θα κληθεί να ελέγξει τις απαντήσεις που θα πάρει ώστε να κρίνει αν η γνώση τελικά “κατακτήθηκε”. Οποιαδήποτε άλλα στοιχεία όπως η ανα- ζήτηση, η επίλυση προβλήματος, η παρουσίαση ιδεών, η τεκμηρίωση, ο έλεγχος, η ανταλλα- γή απόψεων και τα ανοικτά ερωτήματα δεν εντάσσονται μέσα σε αυτό το πλαίσιο (Τζεκάκη, 2010: 14). Παράλληλα, γίνεται αντιληπτό ότι υπάρχει μία συγκεκριμένη, αδιαπραγμάτευτη και προκαθορισμένη ύλη, στον καθορισμό της οποίας δεν έχουν “φωνή” ούτε ο/η εκπαιδευτι- κός, ούτε ο μαθητής/-ήτρια. Η διδασκαλία συνίσταται στο να δείξει ο/η εκπαιδευτικός στους/
στις μαθητές/-ήτριες πώς θα φέρουν εις πέρας τις προσδιορισμένες και επιλεγμένες από αλ- λού, εκτός της κοινότητας της τάξης, εργασίες, οι οποίες τις περισσότερες φορές βρίσκονται στην επόμενη σελίδα του βιβλίου (Van de Walle, 2007: 21).
Στην “παραδοσιακή” αντίληψη της διδασκαλίας των Μαθηματικών, όπως αναφέρθη- κε, ο εκπαιδευτικός κάνει ερωτήσεις και όσοι/-ες μαθητές/-ήτριες γνωρίζουν, απαντούν. Αυ- τοί/-ες που δε γνωρίζουν την απάντηση πολλές φορές θα κληθούν να επαναλάβουν άμεσα τη σωστή, είτε μετά από τον εκπαιδευτικό, είτε μετά από κάποιον/-α συμμαθητή/-ήτριά του (Τζεκάκη, 2010: 44). Επομένως, μέσα σε αυτό το πλαίσιο παρουσιάζεται το “σωστό” στην
τάξη χωρίς συζήτηση και επεξεργασία, αλλά με προκαθορισμένο τρόπο και όλοι/-ες οι μαθη- τές/-ήτριες οφείλουν να το αποδεχθούν, χωρίς να παρουσιαστεί κάποια άλλη εναλλακτική πρόταση. Μια τέτοια στάση, πολλές φορές οδηγεί τους/τις μαθητές/-ήτριες στο να στρέφουν την προσοχή τους στις οδηγίες του διδάσκοντα και όχι στις μαθηματικές ιδέες που αναπτύσ- σονται εκείνη τη στιγμή στην τάξη (Van de Walle, 2007: 21). Γίνεται, επομένως, αντιληπτό ότι στην παραδοσιακή διδασκαλία ο/η εκπαιδευτικός δεν αποτελεί ουσιαστικό φορέα ανάπτυ- ξης της εκπαιδευτικής διαδικασίας, αλλά φορέα διεκπεραίωσης της ύλης και των προδιαγε- γραμμένων φάσεων της διδακτικής πράξης.
Επίσης, σε μία τέτοια οπτική οι μαθητές/-ήτριες εργάζονται ατομικά ύστερα από την
“επίδειξη” της νέας γνώσης από τον/την εκπαιδευτικό. Τις περισσότερες φορές καλούνται να προχωρήσουν σε “εκτέλεση” πράξεων ή σε λύσεις προβλημάτων, ακολουθώντας κάποιους φορμαλιστικούς κανόνες, που παρουσιάζουν πολλές ομοιότητες με αυτό αυτό που έλυσε ή ανέφερε ο εκπαιδευτικός στην αρχή του μαθήματος (Van de Walle, 2007: 22).
2.2 Οι απόψεις του Freudenthal και η Ρεαλιστική Μαθηματική Εκπαίδευση
Η Ρεαλιστική Μαθηματική Εκπαίδευση (RME) αποτελεί μια διδακτική προσέγγιση των Μαθη- ματικών όπου γενικό χαρακτηριστικό της είναι ότι οι πλούσιες και "ρεαλιστικές" καταστάσεις που έχουν νόημα για τους/τις μαθητές/-ήτριες κατέχουν μια εξέχουσα θέση στη διαδικασία της μάθησης. Αυτές οι καταστάσεις χρησιμεύουν ως πηγή για την έναρξη της ανάπτυξης των μαθηματικών εννοιών, εργαλείων και διαδικασιών και ως ένα πλαίσιο στο οποίο οι μαθητές/- ήτριες μπορούν σε μεταγενέστερο στάδιο να εφαρμόσουν τις μαθηματικές τους γνώσεις, οι οποίες στη συνέχεια βαθμιαία έχουν γίνει πιο τυπικές και γενικές και λιγότερο συγκεκριμένες (van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014: 521).
Παρακάτω, αρχικά θα παρουσιαστεί η συγκρότηση και το πλαίσιο της RME μέσα από το έργο αρχικά του Ολλανδού Μαθηματικού Hans Freudenthal, ο οποίος ουσιαστικά υπήρξε ο θεμελιωτής της διδακτικής προσέγγισης, αλλά και της συνέχεια που δόθηκε από τους/τις συνεργάτες/-τριές του στα πλαίσια του Ινστιτούτου για την Ανάπτυξη της Μαθηματι- κής Εκπαίδευσης (IOWO) στην Ολλανδία που στις μέρες μας ονομάζεται Ινστιτούτο Freudenthal (Freudenthal Institute). Κατόπιν, θα παρουσιαστούν τα βασικά χαρακτηριστικά της RME τα οποία υιοθετήθηκαν στην παρούσα Έρευνα-Δράση τόσο στο κομμάτι της ανάδειξης της προβληματικής κατάστασης, όσο και στο κομμάτι του σχεδιασμού όλων των κύκλων της διδακτικής μας παρέμβασης. Κάτι τέτοιο δεν έγινε από τη δική μας σκοπιά αυ- θαίρετα, αλλά σκοπίμως, μιας και το σύνολο των χαρακτηριστικών της RME συνάδουν με
την αρχική στόχευσή μας που αφορούσε την ανάπτυξη της κριτικής ικανότητας των μαθη- τών/-ητριών μας. Από την άλλη, η νοηματόδοτηση που θα πραγματοποιούσαμε (και τελικώς πραγματοποιήσαμε), τόσο ως προς το σχεδιασμό, όσο και ως προς την υλοποίηση της Έρευ- νας-Δράσης, κρίναμε ότι όφειλε να τη συμπεριλαμβάνει και για έναν επιπλέον λόγο. Ήταν αυτή που αποτέλεσε τη βασική διδακτική προσέγγιση σύμφωνα με την οποία συγγράφηκε το υπάρχον σχολικό εγχειρίδιο. Επομένως, η κριτική στάση μας τόσο απέναντι στο σχολικό εγ- χειρίδιο, όσο και απέναντι στο ΑΠΣ των Μαθηματικών της Στ τάξης δημοτικού, όφειλε να τη συμπεριλαμβάνει και να γίνει σύμφωνα με το περιεχόμενό της και το σύνολο των χαρακτηρι- στικών της, έτσι όπως είχαν διαμορφωθεί μέχρι τότε.
2.2.1 Η Συγκρότηση και το Πλαίσιό της
Τα θεμέλια της RME τέθηκαν, όπως ειπώθηκε, από τον Hans Freudenthal. Ο Freudenthal από το 1968, σε μία περίοδο που έχει αρχίσει ήδη η αμφισβήτηση των “New Mathematics” διε- θνώς, υποστήριξε ότι τα Μαθηματικά πρέπει να συνδέονται με την πραγματικότητα, να μένουν κοντά στα παιδιά και να έχουν σημασία για την κοινωνία, για να έχουν ανθρώπινη αξία. Ο ίδιος, αντί να δει τα Μαθηματικά ως θέμα που πρέπει να μεταδοθεί, τόνισε την ιδέα των Μαθηματικών ως “ανθρώπινης δραστηριότητας”. Η εκπαίδευση θα πρέπει να δώσει στους/στις μαθητές/-ήτριες την "καθοδηγούμενη" ευκαιρία να "ανακαλύψουν" τα Μαθηματι- κά (van den Heuvel-Panhuizen, 2001: 1-2). Επομένως, η διδακτική προσέγγιση που θα ακο- λουθείται πρέπει να βασίζεται σε “πραγματικές” καταστάσεις οι οποίες βοηθούν στη δόμηση και ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης των μαθητών/-ριών (Freudenthal, 1999/1983: ix - x).
Όταν τα Μαθηματικά απαντούν σε πραγματικές ανάγκες των μαθητών/-ριών, τότε αποκτούν ρόλο και λόγο ύπαρξης στη ζωή τους (Streefland, 2000). Από αυτό, γίνεται αντιληπτό ότι το πλαίσιο των προβλημάτων-προβληματικών καταστάσεων πρέπει και οφείλει να βασίζεται στις καθημερινές και αυθεντικές ανάγκες των μαθητών/-ριών, οι οποίες θα χαρακτηρίσουν, αναπόφευκτα, τη διδασκαλία των Μαθηματικών ως “ρεαλιστική”.
Η μορφή της RME έχει επηρεαστεί σημαντικά από την οπτική του Freudenthal για τα Μαθηματικά. Ένα από τα βασικά χαρακτηριστικά της, “προδίδεται” και αναφέρεται στον τίτλο, καθώς προέρχεται από το “zich REALISEren” που σημαίνει “να φανταστούμε”. Συνε- πώς, αυτές οι “ρεαλιστικές” - “πραγματικές” καταστάσεις κατέχουν μια εξέχουσα θέση στη διαδικασία μάθησης και αποτελούν καταστάσεις τις οποίες οι μαθητές./-ήτριες μπορούν να φανταστούν (Streefland, 2000 . van den Heuvel-Panhuizen, 2001: 3). Χρησιμεύουν ως πηγή για την ανάπτυξη των μαθηματικών εννοιών, εργαλείων και διαδικασιών καθώς και προ-
σφέρουν ένα πλαίσιο μέσα στο οποίο οι μαθητές/-ήτριες μπορούν σε μεταγενέστερο στάδιο, να εφαρμόσουν τις μαθηματικές τους γνώσεις (van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014:
521). Συμπερασματικά, η διδασκαλία των Ρεαλιστικών Μαθηματικών στην πρωτοβάθμια εκ- παίδευση της Ολλανδίας “επικεντρώθηκε σε πλούσιες θεματικές και εμπειρικά θέματα, στην προσαρμογή των μαθηματικών με άλλα αντικείμενα, διαφοροποίησε την διαδικασία της ατομι- κής μάθησης και τη συλλογική εργασία σε ανομοιογενείς ομάδες” (Λεμονίδης, 2002: 3).
2.2.2 Βασικά Χαρακτηριστικά των απόψεων του Freudenthal και της Ρεαλιστικής Μα- θηματικής Εκπαίδευσης που υιοθετήθηκαν στην παρούσα Έρευνα-Δράση
Κατά τον Freudenthal τα Μαθηματικά δεν είναι το “σώμα” της μαθηματικής γνώσης, αλλά νοούνται ως μία “ανθρώπινη δραστηριότητα”. Θεωρεί την πραγματικότητα ως σημείο εκκί- νησης της διαδικασίας μάθησης και, επομένως και τα ίδια Μαθηματικά πρέπει να είναι πραγ- ματικά για τους/τις μαθητές/-ήτριες, να συνδέονται με την καθημερινή ζωή τους, να καλλιερ- γούνται κοντά στη ζωή τους, (Gravemeijer, 1994) να έχουν σχέση με την κοινωνία (van den Heuvel-Panhuizen, 2003: 105) και να είναι, εν τέλει, χρήσιμα για αυτούς/-ές.
Ο Freudenthal απορρίπτει, έτσι, την ιδέα ότι πρώτα μαθαίνουμε τα Μαθηματικά και κατόπιν προσπαθούμε να βρούμε το πού θα τα εφαρμόσουμε (Gravemeijer & Terwel, 2000:
780). Επομένως, δε θα πρέπει να “μαθαίνονται” ως/σε ένα κλειστό σύστημα ως έτοιμη και προκατασκευασμένη γνώση που διαβιβάζεται (van den Heuvel-Panhuizen & Drijvers, 2014:
521) όπου φυσικά σε ένα τέτοιο πλαίσιο οι μαθητές/-ήτριες δεν μπορούν παρά να αποτελούν τους/τις παθητικούς δέκτες των “έτοιμων” Μαθηματικών και τους/τις εκπαιδευτικούς διεκπε- ραιωτές διδασκαλίας μιας προκαθορισμένης ύλης.
Αντ’ αυτού, ο Freudenthal θεωρούσε ότι η οποιαδήποτε προσπάθεια αλλαγής της Μαθηματικής εκπαίδευσης δεν μπορεί να ξεκινάει από οπουδήποτε αλλού εκτός της πράξης (Gravemeijer, 2000: 788). Παράλληλα, ο ίδιος ο Freudenthal έθετε την εξερεύνηση των πραγ- ματικών καταστάσεων και φαινομένων ως σημείο εκκίνησης μιας μαθησιακής ανακαλυπτι- κής διαδικασίας (Gravemeijer, 1999: 158) μέσω ρεαλιστικών προβλημάτων όπου θα ευνοεί- ται μία ευρεία ποικιλία διαδικασιών λύσης και η πορεία δράσης θα σχεδιάζεται σύμφωνα με τις αντιδράσεις των μαθητών/-ριών (Gravemeijer, 2000: 787). Έτσι, θα επιτρέπεται στους/
στις μαθητές/-ήτριες να θεωρήσουν τη γνώση που αποκτούν ως δική τους, προσωπική γνώση, γνώση για την παραγωγή της οποίας ευθύνονται οι ίδιοι/-ες.
Ο Freudenthal προσεγγίζει τη Μαθηματική Εκπαίδευση ως ανθρώπινη δραστηριότη- τα (όπως προαναφέρθηκε) και θέτει το ερώτημα “Πώς να δοθεί στους/στις μαθητές/-ήτριες το