I. Irodalmi áttekintés

Tudományos hallgatói munkám során Kemény Sándornál jöttem rá, hogy érdekelnek a numerikus módszerek és a programozás. Végül, de nem utolsósorban szeretném megköszönni családomnak, szeretteimnek és barátaimnak a türelmet és a sok biztató szót. Doktori munkám célja az intervallum módszerek alkalmazhatóságának tanulmányozása és fejlesztése volt a vegyészmérnöki problémák megoldásában.

Irodalmi áttekintés

Megbízható módszereket igénylı problémák

• Fázisok stabilitásának ellenırzése
• Több állandósult állapot

Az iparban egy oszlop megjósolhatatlannak tűnő viselkedése akkor jelentkezhet, ha az oszlopnak több állandósult állapota van. Balashov és munkatársai (1970) közleménye tűnik elsőnek, amely a háromkomponensű keverékek desztillációjában különböző álló állapotok létezésére utal. Később a homogén azeotróp desztillációban különböző stacionárius állapotok létezését kísérletileg is igazolták (Güttinger, Dorn, Morari 1997; Dorn, Güttinger, Wells, Morari, Kienle 1998).

A legrobusztusabb nem megbízható módszerek

• Homotópia-folytatásos módszerek
• Homotópia függvény
• A folytatás módszere
• A homotópia-folytatásos módszerek elınyei
• A homotópia-folytatásos módszerek hátrányai
• Relaxációs eljárások

A homotópia-folytatási módszerek elméleti háttere és gyakorlati megvalósítása jól kidolgozott, és egy professzionális szimulátorba is beépül (HYSYS®, ritka folytatásos megoldó). Ezekkel a módszerekkel nem az állandósult állapotot számoljuk, hanem a rendszer állapotát figyeljük az idő függvényében, remélve, hogy a rendszer állandósult állapotba kerül. Relaxációs eljárások Egyszerre csak egy egyensúlyi állapotot találhatunk, ezért esettanulmányt kell készíteni a lehetséges egyensúlyi állapotok feltérképezésére.

Megbízható módszerek

• Egy globális szélsıérték-keresési módszer, az α -BB

Az α-BB a megoldandó egyenletrendszer szélsőérték-kereső feladattá alakításával egyenletrendszerek megoldására is alkalmas (Maranas, Floudas 1995; Harding, Maranas, McDonald 1997; Harding, Floudas 2000b). Az irodalmi példákat tekintve elmondható, hogy az általános α-BB módszer és az intervallummódszerek alkalmazhatósági területei között nincs jelentős különbség (általában csak kis feladatok oldhatók meg elfogadható időn belül); jó alternatívái egymásnak, bár részletes összehasonlító tanulmány nem készült az egyes módszerek hatékonyságáról.

Intervallum módszerek

• A függıségi probléma
• Túlbecslés csökkentése
• Egyenletrendszerek megoldása intervallum módszerrel általában
• A keresési tér szőkítése a linearizált rendszer segítségével
• Intervallum Newton módszerek
• Lineáris paraméteres közrefogás
• Valós együttható-mátrixú közrefogások
• Vágás
• Konzisztencia technikák

Ennek az az oka, hogy az intervallum aritmetika nem tárol függőséget a változók és a számított mennyiségek között, ezért függetlenként kell kezelnie azokat. Például, ha a J együtthatómátrix középpontjának inverzét választja előkondicionáló mátrixnak ("centrális inverz"), akkor az M mátrix középpontja az azonosságmátrix. Hansen és Walster (2004) a konzisztencia technikák alkalmazását elsősorban - de nem kizárólag - "széles" dobozokban javasolja, ahol az intervallum Newton módszer várhatóan nem vagy csak elhanyagolható mértékben képes leszűkíteni a keresési teret, míg a konzisztencia a technikát általában nagy részek dobhatják ki a keresőmezőből.

Számítási módszerek bemutatása

Intervallum Newton módszer (IN/GS)

Valós együttható-mátrixú közrefogás

• Linearizálás
• Szőkítési technikák
• Egyenletenkénti szőkítés (AA/CP)
• Szőkítés a legszőkebb burkoló módszerével
• Lineáris programozás – LP szőkítés (AA/LP)

Az x2 függvény szigorúan pozitív a vizsgált tartományban, de látható, hogy a minimax közelítéssel kapott linearizált forma negatív értékeket is tartalmaz, és túlbecsüli az eredmény értékkészletét. A min-tartomány közelítéssel kapott linearizált forma ugyan optimális az értékkészlethez képest, de a minimax közelítéshez képest kevesebb információt őriz meg a függőségekről (a szürke terület nagyobb). Ha minimax közelítés esetén az eredmény értékkészletét is hagyományos intervallum-aritmetikával számítjuk ki, akkor a vegyes affin és intervallum aritmetikai modellt kapjuk (röviden: vegyes modell), ezt a 4d ábra szemlélteti.

Linearizálás, hogy a függvény kiértékelése során más korlátokat is figyelembe lehessen venni, erre mutatunk be példát a III. a) hagyományos intervallum aritmetikával, (b) affin aritmetikával és minimális tartomány közelítéssel, (c) affin aritmetikával és Csebisev közelítéssel, (d) vegyes affin és intervallum aritmetikával (Csebisev közelítés). Ha a nulla nem eleme az i-edik függvény értékkészletét tartalmazó intervallumnak, akkor a (2.2-1) egyenletnek nincs megoldása, és akkor az eredeti egyenletrendszernek biztosan nem lehet megoldása az adott mezőben bármelyik. A konzisztenciatechnikák szempontjából a (2.2-6) nem más, mint a j-edik linearizált egyenlet változó intervallumának konzisztenciája a j-edik egyenlethez képest.

Az affin aritmetikával történő linearizálás előnye a hagyományos intervallumú Newton-módszerekhez képest, hogy lehetővé teszi a keresési tér közvetlen szűkítését lineáris programozással, amit a következő LP szűkítésnél említek. Ha az LP feladatnak nincs elfogadható megoldása, akkor az eredeti nemlineáris feladatnak nincs megoldása az adott mezőben. A konzisztenciatechnikák szempontjából a fenti eljárás úgy is felfogható, hogy az összes változó intervallumát konzisztenssé tesszük a teljes linearizált rendszerre.

A (b) esetben X és W metszéspontja egy üres halmaz, vagyis X-nek biztosan nincs megoldása az eredeti nemlineáris egyenletrendszerre.

A számítások hardver és szoftver környezete

Eredmények

A zérushelykeresı eljárás algoritmikus vázlata

Linearizálási és szőkítési technikák összehasonlítása

• Folyadék-folyadék megoszlási feladat
• Változók
• Egyenletek
• Implementációs részletek
• Numerikus eredmények és értékelésük
• Ellenáramú gız-folyadék egyensúlyi kaszkádok számítása
• Változók
• Egyenletek
• Specifikációk és a változók kezdeti intervallumai
• Numerikus eredmények és értékelésük

Háromkomponensű rendszer esetén az NRTL modell egyenleteit analitikusan transzformáltam, abban a reményben, hogy a kapott forma a számításoknál kedvezőbb lesz (a függőségek miatti túlbecslés csökken). Ami a linearizációs technikákat illeti, az AA/CP (II. rész 2.2. rész, III. rész 1. fejezet) sokkal gyorsabb megoldást adott, mint az IN/GS (II. rész 1. fejezete) a bináris keveréshez. Ez annak köszönhető, hogy kevesebb iterációra volt szükség a megoldáshoz, mivel egy iteráció átlagos időigénye körülbelül négyszerese az IN/GS-nek.

Terner IN/GS keveréke esetében három nap alatt nem talált megoldást, viszont az AA/CP 24 másodperc alatt sikeresen megoldotta a feladatot. Az AA/CP és az AA/LP fehérítési technikáit tekintve (II. rész 2.2, III. rész, 1. fejezet) ezeknél a feladatoknál nincs jelentős különbség a kiindulási terület és az alkalmazott megvalósítás alapján. Az AA/LP valamivel kevesebb iterációt igényel a megoldás megtalálásához, de az iterációnkénti átlagos idő hosszabb, így a megoldáshoz szükséges teljes idő nem különbözik jelentősen a két módszer között.

Mivel egy iteráció átlagos ideje AA/CP-vel körülbelül 2,5-szer hosszabb az IN/GS-hez képest, az AA/CP-vel gyorsabban találtuk meg a megoldást, mivel két nagyságrenddel kevesebb iteráció volt. Az ellenáramú egyensúlyi gőz-folyadék kaszkádok kiszámítása AA/CP esetén egy iteráció átlagos ideje körülbelül az AA/LP esetén mért idő háromnegyede. Négy fok esetén az AA/CP módszerben nagyfokú klaszterezés volt tapasztalható, ami lehetetlenné tette az AA/LP-vel való összehasonlítást.

A klaszterezés feltehetően az AA/CP esetében is csökkenthető lenne, ha keskeny dobozok esetén a megfelelően megválasztott iterációs hatásfok függvényében a vágás helyett a ritkítás iterációját részesítenénk előnyben.

A zérushelykeresı eljárás fejlesztése

• Linearizálás fejlesztése
• Az LP szőkítés fejlesztése
• Implementáció fejlesztése
• Vágás
• Linearizálás és az implementáció fejlesztésének hatása

Nyilvánvalóan 2n LP feladatot kell megoldanunk az LP fehérítés során, a korábbi implementáció tulajdonképpen ezt is megvalósította. LP Thinning fejlesztése A heurisztika mögött meghúzódó feltételezés az, hogy olyan részfeladatot kell megoldanunk, amelynek optimális megoldása "nem messze" van a kiinduló alapmegoldástól. Az új megvalósításban az adatok tárolása a beépített adattípusoknak (int és double) le van foglalva, és a program futása során újrafelhasznált blokkokkal van feloldva (memóriakészlet).

A gáz-folyadék egyensúlyi számításoknál a változó intervallumok szélessége több nagyságrenddel eltérhet, ezért az egyes komponensekben az első LP hígítás után az adott komponens szélességét vettem hosszegységnek. Ha az első LP-szőkítés után választok egy egységet, akkor a hámlást károsító, túlbecsült intervallumok hatása várhatóan kevésbé lesz hatékony. Ugyanis az első LP fehérítés olyan széles mezőket töröl ki a keresési térből, amit eredetileg megtehettünk volna.

Vágás Sajnos a legszélesebb rész felezésének szabálya nem minden esetben elég robusztus, ahogy a számpéldák is mutatják. A vizsgált osztóoszlop esetében lehetőség nyílt egy egyszerű és hatékony feladatspecifikus felezési szabály megalkotására arra az esetre, ha a korábbi egyszerű felezési szabály nem volt elég hatékony. Az összehasonlításhoz csak a korábbi AA/CP módszer eredményeit használtam, és az új megvalósításban szintén nem használtam LP-t a fehérítéshez.

Az ok egyszerű: az összehasonlításhoz használt módszerek csak az összehasonlítás tárgyát képező komponensben térhetnek el, de az új megvalósításban az LP vékonyítást is módosítottam.

Extraktív desztilláció számítása

• Specifikációk
• Változók
• Egyenletek
• Tisztasági követelmények
• Változók kiindulási intervallumának számítása
• Numerikus eredmények és értékelésük
• Feladatspecifikus felezési szabály
• LP-szőkítés fejlesztésének hatása
• Az implementáció korlátai

A feladat azonban ez utóbbi esetben is megoldható, ha a desztillátumban lévő aceton móltörtére adott intervallum szélességét a vágási szabály segítségével megszorozzuk egy megfelelő w tömeggel. A vágási stratégiához használt w szorzótényező változtatásának hatása. lemezre, az aceton és metanol elegyét a 12. lemezre tápláljuk; a desztillátum tisztasági követelménye: 0,78 ≤ xaceton.

Több állandósult állapot számítása

• Specifikációk
• Változók
• Egyenletek
• Változók kezdeti intervallumai
• Numerikus eredmények és értékelésük

Jacobsen és Skogestad közleményéből sajnos nem derül ki, hogy n-propanolról vagy i-propanolról van szó, végig csak a propanolról írnak. Kienle, Groebel és Gilles (1995) n-propanollal számították ki és végezték el a kísérleteket; Koggersbøl, Andersen, Bagterp, Jørgensen (1996) i-propanollal.) Az oszlop egyensúlyi szakaszainak száma megadva: N = 8, a lemezeket felülről számozzuk (ellentétben Jacobsen és Skogestad jelentésével). Adott a kazánból kilépő gőz moláris áramlása VN, és vagy a visszafolyó Lw tömegáram vagy L moláris áramlása adott.

Ez a fajta szorzás akkor is tapasztalható, ha a kazánból felszálló gőz moláris áramlását (amely nagyjából arányos a forrásteljesítménnyel) és a reflux moláris áramlását megadjuk, és az egyensúlyi egyenleteket sem hagyjuk figyelmen kívül (nem használjuk állandó moláris túlcsordulás feltételezése) . Ezek együttes eredménye, hogy a túlbecslés kevesebb problémát okoz a számításokban, mint az extraktív desztillációs számításoknál.

• Motiváció
• A számítások menete
• Numerikus példák és értékelésük

Referenciaértékek olyan hatásokhoz, amelyek általános kísérleti tervekkel kimutathatók egy adott nagyságrendű eltérés kimutatására - bizonyos fokú biztonsággal. A megbízható referenciaértékek ismerete elengedhetetlen az algoritmusok és táblázatok helyességének és pontosságának teszteléséhez. Az intervallum módszerek automatikusan hibahatárt adnak a számított végeredményhez, így kiváló eszközt jelentenek a megbízható értékek kiszámításához.

Ha a mintastatisztika nevezőjének szabadságfokai egyenlőek, akkor a következő összefüggésekkel egy olyan algoritmushoz jutunk, amelyhez csak a négy alapművelet, a hatványfüggvény és az intervallum aritmetikai exponenciális függvény kiszámítása szükséges, más függvény nem. szükségesek, így a megvalósítás egyszerű. A vizsgált értéket egy előre meghatározott szélességi intervallumba zárjuk, majd ebben a szűk intervallumban megkeressük a nullapontot az intervallum Newton módszerével. Ennek a nullapont-keresésnek az intervallum Newton módszerével három kimenetele van, mindig világos, hogy melyik esettel van dolgunk (Hammer, Hocks, Kulisch, Ratz 1995; 6. Nemlineáris egyenletek egy változóban).

Intervallum Newton módszerével a (6.2-3) képlet alapján számítunk ki egy intervallumot, amely tartalmazza az elméletileg helyes xα értékét, az x kezdeti intervalluma x0. Ha a kezdeti intervallumok tartalmazzák az elméletileg helyes értékeket, és ezt a Newton-féle intervallummódszer sikeresen tudja igazolni (az A eset az 1. és 2. lépésben is előfordul), akkor a vizsgált esetben a vizsgált εx és ελ nem intervallum módszer a helyes. Hasonlóképpen, ha a kiindulási intervallumok nem tartalmazzák az elméletileg helyes értékeket, és ezt a Newton-féle intervallummódszer sikeresen tudja igazolni (B eset), akkor a vizsgált nem-intervallum módszer pontossága a vizsgált esetben rosszabb, mint εx vagy ελ. .

Referenciaértékek A kerekítési állapotok közötti változás általános kísérleti tervekkel kimutatható hatásokra csökkenthető, ha minden esetben figyelembe vesszük, hogy a > 0, b > 0, 0 ≤ x ≤ 1.

Új tudományos eredmények összefoglalása tézispontokban

Beach reef; Conference of MSc Students; When calculating the non-centrality parameter for the non-central F distribution; Supervisor: S. Feasibility Study by interval arithmetics: Application of interval arithmetics to explore the feasibility of extractive distillation variants; International workshop on global optimization. Deterministic Global Optimization for Error-in-Variables Estimation; AIChE J. Perry; Perry's Chemical Engineers' Handbook; 2007, McGraw-Hill T. Güttinger;.

Floudas; Decomposition-based and branch and bound global optimization approaches to the phase equilibrium problem; Journal of Global Optimization. Floudas; Global optimization and analysis for the Gibbs Free Energy Function for the UNIFAC, Wilson and ASOG equations; Industrial and Engineering Chemistry Research, 1995a. Floudas; Global Optimization for Phase and Chemical Equilibrium Problem: Application to the NRTL Equation; Computers and Chemical Engineering, 1995b.

Mongeau; A generic global optimization algorithm for the chemical and phase equilibrium problem; Journal of Global Optimization. Ratz; Box-Splitting strategies for the interval Gauss-Seidel step in the global optimization method; Computer science. Csendes; On the choice of division direction in interval branches and bindings for global optimization; Journal of Global Optimization.

Seider; Homotopy continuation method for stability analysis in the global minimization of the Gibbs free energy; Liquid phase equilibria.