amp; % & + & % &amp amp; % & + & % &amp y y x v x y v x v y y x x v z z v y y x u x y u x u y y x x u z z u z z jv z z u z z f amp y y x v x j v y y x u x z u f z z f

LE TRASFORMAZIONI CONFORMI E L’EQUAZIONE DI LAPLACE

Un altro potente metodo per determinare le soluzioni dell’equazione di Laplace si basa sulla teoria delle funzioni analitiche. Anche in questo caso si utilizzerà un approccio inverso al problema:

invece di determinare una soluzione di un problema di Laplace con determinate condizioni al contorno, si trova una soluzione e si analizza a quali condizioni al contorno essa può essere adattata.

Come ricorderete l’estensione del concetto di derivata ad una funzione complessa di una variabile complessa f(z)=u(z)+ jv(z)=u(x,v)+ jv(x,y) con z=x+ jy, solleva qualche problema.

Se infatti si vuole conservare al concetto di derivata, il tradizionale significato di limite del rapporto incrementale:

z z f z z z f

f z !

"

!

= +

#

!

) ( ) lim (

) (

' ^{0 0}

0 , occorre che tale limite sia lo stesso in qualsiasi modo si faccia tendere a zero Δz e quindi il punto P a P0 (vedi fig.1):

fig. 1 Proviamo ad imporre tale condizione. Sarà:

!!

"

!!#

$

& %

&

+

& %

&

+

=

% +

% +

=

% +

& %

&

+

& %

&

+

=

% +

% +

=

% + '

% + +

% +

=

% +

y y x v x y v x v y y x x v z z v

y y x u x y u x u y y x x u z z u z z jv z z u z z f

) , ( ) ,

( ) (

) , ( ) ,

( ) (

) (

) ( ) (

!!"

$$% #

& '

( +( ( ' + ( ( ' +( ( '

=( )

'

+ y

y x v x j v y y

x u x z u f z z

f( ) ( )

( )

₌

! +

!

! +

! +

! +

= !

!

"

! +

y j x

y v x u j y u x u z

z f z z

f( ) ( ) x y x y

= !x u"# x!x+u_y!y$%+!y v"# x!x+v_y!y$%

!x² +!y² + j!x v"# x!x+v_y!y$% & !y u"# _x!x+u_y!y$%

!x²+!y² Ponendo: !y="!xsi ottiene:

!f

!z = !x²

!x²(1+"²)#$u_x +"u_y%&+ "!x²

!x²(1+"²)#$v_x +"v_y%&+ j !x²

!x²(1+"²)#$v_x+"v_y%& ' j "!x²

!x²(1+"²)#$u_x+"u_y%&

Con parte reale:

1

1+!² "#u_x+!

(

v_x+u_y

)

^+!2vy$%

e parte immaginaria:

1

1+!² "#v_x+!

(

v_y+u_x

)

^+!2uy$%

Perché il limite sia indipendente da α, deve essere:

!"

!#

$

=

%

=

y x

y x

v u

u

v Condizioni di Cauchy

Ma allora:

v_xx =!u_yx u_xy =v_yy

"

#$

%$ & '²u=0 '²v=0

"

#$

%$

Concludendo: la parte reale e la parte immaginaria di una funzione analitica sono funzioni armoniche.

Ma c’è di più perché risulta anche:

=0

!

"

!u v

Quindi le linee u = cost. e quelle a v = cost. sono ortogonali, il che significa che se u(x,y) rappresenta il potenziale, le curve v(x,y) = cost. che sono sempre ortogonali alle curve u = cost.

rappresentano le linee del campo, e viceversa.

Consideriamo ad esempio la funzione w(z)=z². Essa è analitica come tutte le potenze di z e quindi gli sviluppi in potenza di z.

La parte reale e quella immaginaria di w(z) sono:

( ) ( ) _{( )} ^{( )}

!"

#

=

$

% = +

$

= +

= v x y xy

y x y x xy u

j y x jy x

z , 2

2 ,

2 2 2

2 2 2

Nella figura 2 sono rappresentate le curve equipotenziali nei due casi.

Per ^u

( )

^{x,y =x2 !y2 =0} tali curve si riducono alle rette x=±y, bisettrici dei quattro quadranti nel piano (x,y). Per ^u

( )

^{x,y =x2 !y2 =c} le curve saranno le parabole simmetriche rispetto agli assi riportati in figura.

Nell’altro caso, per ^v

( )

^{x,y =2xy=0} le curve equipotenziali sono gli assi x=0ed y=0, mentre per ^v

( )

^{x,y =2xy=c} esse sono le iperboli

y x c

=2 che hanno come asintoti gli assi stessi.

fig.2

Se tutto si limitasse a questo sarebbe in effetti di ridotta utilità. Ma c’è molto di più.

Consideriamo una funzione analitica ^w

( ) ( ) ( )

^{z =u z + jv z} , essa può essere interpretata come una trasformazione che associa ogni punto del piano (x,y) ad un punto del piano (u,v) e viceversa.

Curve nel piano z si trasformeranno in curve del piano w.

Un’importante proprietà di tali trasformazioni è che esse conservano gli angoli.

Infatti dall’espressione ^dw=^w'

( )

^z0 ^dz= ^w'

( )

^z0 ^ej!dz si vede che ogni segmento elementare dz passante per un punto z0 viene trasformato in un segmento elementare dw che ha modulo amplificato (o ridotto) secondo il fattore w'

( )

z0 ed è ruotato di alfa rispetto a dz. Si noti che questa affermazione è stata possibile perché la derivata in z è univocamente definita in un punto, visto che la funzione è analitica.

Se ne deduce che due curve che si intersecano in un punto z0 del piano z saranno trasformate in due curve che si intersecano del piano w nel punto w

( )

z0 formando lo stesso angolo.

Per tale motivo tali trasformazioni vengono dette “conformi”, nel senso che conservano gli angoli.

Consideriamo ora una funzione ^f

( )

^u,v che nel piano w sia armonica: ²,

( )

^{, 2}₂ ²₂ =⁰

! +!

!

= !

"

y f x

v f u

vf

u

Se consideriamo ora la funzione ^f

(

^u

( ) ( )

^{x,y ,v x,y}

) ( )

^{= f~ x,y} cosa accadrà del _x2y~f

! , ?

Calcoliamolo:

2 2

x f

!

! = ₂

2 2

2 2

x v x f x v x u v u

f x v v

f

!

!

! +!

!

"!

#

% $

&

'

!

!

!

! + !

!

!

!

!

e analogamente per ²₂ y

f

!

! , scambiando x con y. Otteniamo dunque:

0

2 ^{2 2}

2 2 2 2

2 2 2

2 2

, =

!

" !

! +

" !

#+

$

& % ' (

!

!

! +!

!

!

!

!

!

! + !

##

$

%

&

&

'

( ))*+

,,-.

! + ! )* , + - .

!

!

! +!

##

$

%

&

&

'

( ))*+

,,-.

! + ! )* , + - .

!

!

!

=!

"

v v f u u f y

u y v x u x v v u

f y

v x

v v

f y

u x

u u f f

y x

Quindi la nuova funzione nel piano z è ancora armonica.

Questo significa che se noi conosciamo una soluzione dell’equazione di Laplace in un determinato dominio, conosciamo anche la soluzione in tutti quei domini che si possono ottenere da quello di partenza con una trasformazione conforme.

Proviamo a fare un esempio: consideriamo la funzione ^!

"

w

z= e studiamo la trasformazione che essa sovraintende. Se usiamo coordinate polari in entrambi i piani, avremo:

!"

!#

$

= +

=

= +

=

%

&

' ^j

j

e jv u w

re jy x

z e quindi: ^{z=rej$ =w!# =}

( )

^{%ej" #! =%!#ej"#!}

fig. 3 Cioè:

r=!^"#

$ =%"

E quindi l’asse delle u, cioé v=0, che corrisponde a ϕ uguale a 0 o π per ρ qualsiasi, si trasformerà # in:

!=0

"=qualsiasi

#$

% & ' =0

r=qualsiasi

#$

%

!="

#=qualsiasi

$%

& ' ( =) r=qualsiasi

$%

&

E quindi il semipiano v>0 si trasforma nel dominio compreso tra l’asse delle x positive e la retta con coefficiente angolare α mostrato in figura 4

Quindi mentre il semiasse positivo delle u si trasforma nel semiasse positivo delle x, quello negativo si trasforma nella semiretta di equazione "=! (vedi fig.4).

Cioé il semipiano v>0 si trasforma nel dominio compreso tra l’asse delle x positive e la retta con coefficiente angolare α

fig. 4

Questo ci consente di calcolare la soluzione del problema di Laplace nel settore trasformando quella nota nel semipiano.

Si ha infatti, in quest’ultimo caso, che una ^!

( )

^u,v armonica che rispetti le condizioni al contorno 0"!=!0

=

v deve, per simmetria, dipendere solo dalla v e quindi: ^{2 2}₂!

( )

^, =⁰

"

"

=

!

# u v

v cioè:

2 1v k k +

=

! . Per v=0"!=!₀ e quindi: k₂ =!₀ e si ha anche che il modulo del campo E, che è diretto lungo v, è pari a: k₁

E v =!

"

#

"

!

=

Dalla conoscenza della densità di carica σ sul piano v=0 si ha: " =!E =#!k₁ e cioè:

!

"

#

1 =

k .

In definitiva: !

( )

u,v =" v+!0

#

$ Passando al piano

( )

^{x,y si ha:}

( ) ( )

[

^{, , ,}

]

⁼⁽

( )

^{, +!0 =( sin%}_&^{' "}_#^{$+!0 =(}

(

^{2 + 2}

)

^{2 sin%}_&^{' "}_#^$arctan%_&^{' "}_#^$+!0

! x

y y x r

v y

x v y x

u )

* +

- , )

* +

. , + /

, ₎^{* *}₎

che è il risultato cercato. Si può verificare direttamente derivando, che tale funzione di x ed y è effettivamente armonica.

θ

fig. 5 Dal potenziale si può calcolare il campo:

( ) ( )

!!

"

!!

#

$

%

=

=

=

=

&

!!

"

!!

#

$

'(

* ) +

= ,

'(

* ) +

= ,

%

%

%

%

1

0 1

0 1

0 1

0

0 cos

sin

- . /

- . /

- . /

- .

- . 0 - 1 /

- . 0 / 1

-/ . -

. 0

1

-/ . -

. 0

1

r E

r E

r E

r E_r

Si noti che, come era prevedibile per simmetria, per (vedi figura 5):

! ="

2 # E_r = $

%0

&

" r

&

"'1

E_! =0 ( )* +*

Un altro esempio interessante è descritto dalla funzione:

!1

"

"

= ! z w z

La trasformazione che essa sovraintende è descritta dalla figura.

Questa trasformazione ci consente di determinare le soluzioni di problemi cilindrici non coassiali conoscendo quella per cilindri coassiali, che abbiamo già illustrato in altra occasione.