Rozwiàzanie równania: x = 11 0 x = 5 5 , 0 x = 0

1. Wyznaczenie ilorazu ciàgu

^ h a

_n :

q = 2

i wzoru ogólnego:

a

_n

= 6 2

$ ^n-1. 1 Obliczenie drugiego i piàtego wyrazu ciàgu:

a

₂

= 12 , a

₅

= 96

. 1

U∏o˝enie równaƒ wynikajàcych z treÊci zadania: 2

x x x

2 12 1 3 2

4 96

2 12 1

4 96

3 2

2 4

96 3 2

12 1

0 0

+ + + = + +

= + + +

= +

.

Rozwiàzanie równania:

x = 11

0

x = 5 5 ,

0

x = 0

. 1

2. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych 1 oznaczeƒ: a b c

, ,

– kàty odpowiednio przy wierzcho∏kach

A B C , ,

^,

AC = 10

^,

BC = 10 2

,

R = 10

.

Obliczenie sinusów kàtów (np. z twierdzenia sinusów):

sin , sin 2

2

2

= = 1

a b ^{. 1}

Wyznaczenie kàtów trójkàta: a

= 45

c 0 a

= 135

c

,

b

= 30

c 0 b

= 150

c^{. 1} Wyznaczenie szukanego kàta trójkàta: c

= 105c

^lub c

= 15c

^{. 1}

3. Przekszta∏cenie wzoru funkcji do postaci:

f x ( )

x x

x x x

2 1

1 1 2

= + -

- + +

^ ^

^ ^ ^

h h

h h h

. 1

Zapisanie wzoru funkcji w postaci:

f x ( ) = x + 1

/

x

!

R

[

" - 2 1 , ,

. 1 Narysowanie wykresu funkcji

f

: prosta o równaniu

y = x + 1

bez punktów 1

, , , 2 1 1 2 - -

^ h ^ h

.

Wyznaczenie wzoru funkcji

g

:

( ) ,

g x x ,

x x

0 1 1

2 2 1 2

dla dla

3 3

[ [

!

= -

!

+

+ ^ - h - -

" h

"

( ,

,

^{. 1}

Narysowanie wykresu funkcji

g

^{. 1}

Podanie zbioru wartoÊci funkcji

g : D

^-1

= - ^

3

, 0

[

" - 2 ,

. 1

4. Obliczenie wspó∏czynnika

b

:

b = - 16

. 1

Obliczenie wspó∏czynnika

c

:

c = 24

. 1

Przekszta∏cenie wyra˝enia

x

₁²

+ x

₂²do postaci umo˝liwiajàcej zastosowanie 1 wzorów Vi¯te’a:

^ x

₁

+ x

₂

h

²

- 2 x x

_{1 2}.

Obliczenie wartoÊci wyra˝enia

x

₁²

+ x

₂²:

x

₁²

+ x

₂²

= 40

. 1

1

w w w. o p e r o n . p l

Modele odpowiedzi do arkusza próbnej matury z OPERONEM

Matematyka Poziom rozszerzony

Grudzieƒ 2007

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów

5. Zapisanie d∏ugoÊci kolejnych boków czworokàta za pomocà wyrazów ciàgu 1 arytmetycznego:

a a , + r a , + 2 r a , + 3 r

.

Wykorzystanie twierdzenia o czworokàcie opisanym na okr´gu do zapisania 1 równania:

a + a + 2 r = a + + r a + 3 r

.

Rozwiàzanie równania i zapisanie wniosku:

r = 0

, wi´c boki majà równe d∏ugoÊci, 1 czyli czworokàt jest rombem.

6. Przekszta∏cenie równania do postaci:

x a ^ + 7 h = a

²

- 49

. 1 Zapisanie warunków, które muszà byç spe∏nione, aby równanie mia∏o 1 nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a + 7 = 0

/

a

²

- 49 = 0

.

Rozwiàzanie równania:

a

²

- 49 = 0

^:

a = - 7

0

a = 7

^{. 1} Rozwiàzanie równania

a + 7 = 0

i wyznaczenie wartoÊci parametru

a

, dla którego 1 równanie ma nieskoƒczenie wiele rozwiàzaƒ:

a = - 7

.

7. Wykonanie rysunku z oznaczeniami lub wprowadzenie dok∏adnie opisanych 1 oznaczeƒ, np:

ABCD -

dany trapez,

AB = a CD , = b K L , ,

– Êrodki przekàtnych

odpowiednio

AC BD ,

^,

M N ,

– punkty przeci´cia prostej

KL

odpowiednio z ramionami

AD BC ,

.

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KN

:

KN a

= 2

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

LN

:

LN b

= 2

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci odcinka

KL

:

KL a b

= - 2

_{. 1}

8. Obliczenie odleg∏oÊci

d

Êrodka okr´gu

S

od prostej

y 4 x

3 2

= - +

^:

d = 2

^{. 1} Zapisanie warunku stycznoÊci prostej i okr´gu i podanie d∏ugoÊci promienia

okr´gu

r

:

d = r

,

r = 2

. 1

Zapisanie równania okr´gu:

^ x - 10 h

²

+ ^ y + 3 h

²

= 4

. 1 9. Podanie dziedziny równania:

D , 2

2

=

r r

& 3

r

0

^{. 1}

Przekszta∏cenie równania trygonometrycznego do postaci: 1 tg

x cos x ^ 2 sin x + 1 h = 0

.

Zapisanie alternatywy równaƒ: tg

x = 0

0

cos x = 0

0

2 sin x + 1 = 0

. 1 Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania tg

x = 0 : x

!

"

r r

, 2 ,

i równania 1

: cos x = 0 x

!Q.

Rozwiàzanie w wyznaczonej dziedzinie równania

2 sinx + 1 = 0

:

x , 6 7

6

!

&

r

11

r

0

. 1

Zapisanie zbioru rozwiàzaƒ równania tg

x ^ 2 sin cos x x + cos x h = 0

: 1

, , ,

x 6

7 6 11 2

!

&

r r r r

0

^.

2

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów

10. Wyznaczenie mocy zbioru X:

2 n 1

= 2 +

X

c m

. 1

Wyznaczenie liczby zdarzeƒ sprzyjajàcych zdarzeniu

A

– wylosowanie liczby 1 parzystej i nieparzystej:

A n 1 n

1 1

= c + m m c

.

Obliczenie prawdopodobieƒstwa zajÊcia zdarzenia

A

:

P A ( ) n n

2 1

= 1 +

+

_{. 1}

Zapisanie nierównoÊci:

>

n n

2 1

1 13

7 +

+

_{. 1}

Rozwiàzanie nierównoÊci w

N

⁺:

n

!

" 1 2 3 4 5 , , , , ,

. 1 11. Wykonanie rysunku z oznaczeniami i zaznaczenie na nim odpowiedniego kàta 1

dwuÊciennego (podstawa ostros∏upa –

ABCD

, kàt dwuÊcienny –

BED

^).

Obliczenie d∏ugoÊci kraw´dzi bocznej:

b = a 5

. 1

Obliczenie d∏ugoÊci

h

:

h a 5 4 5

=

. 1

Wyznaczenie d∏ugoÊci przekàtnej podstawy:

DB = 2 a 2

. 1 Zastosowanie twierdzenia cosinusów dla trójkàta

DBE

: 1

a a a a cos

5 4 5

5 4 5

2 5

4 5 5 4 5

2 2

+ -

a

e o e o e o e o = _ 2 a 2 i

².

Obliczenie szukanego cosinusa:

cos 4

= - 1

a ^{. 1}

3

w w w. o p e r o n . p l

Matematyka. Poziom rozszerzony

Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”

Numer

Modelowe etapy rozwiàzywania zadania Liczba

zadania punktów