Mullimi de numere reale

(1)

Marius PERIANU

Costel ANGHEL Grafian SAFTA Lucian PETRESCU

ESENTIAL

Matematici

clasa a Vlll-a

I

/ )w4 ^cLueuL \

/urreumcteutton\

(2)

Cuprins

nLcesnA

Capitolul

1.

Numere ralionale

1.1. Mullimi

de numere reale.

N cZ

_{c. Q}

c iR

⁷

1.2.

Reprezentarea numerelor reale pe axa numerelor.

Compararea 5i ordonarea numerelor reale

...

¹³

1.3.

Modulul unui numSr real

...

¹⁹

"1.4. lntervale

in

iR.. Definilie, reprezentare ^peaxd

...'.

²³

Teste de evaluore

,...,...

²⁹

1.5.

Operalii cu numere reale

...

³³

1.6.

Ralionalizarea

numitorilor ...'...

⁴²

Testedeevaluare

⁴⁷

1.7.

Calcul cu numere reale reprezentate prin litere 1.7.1. Adunarea _5isciderea

...'...'.'....

⁵¹

1.7.2.

inmullirea

^giimpdrlirea. Puteri cu exponent

intreg ...'...

⁵⁴

1.8.

Formule de calcul

prescurtat

⁵⁸

1.9.

Descompunerea in factori 1.9.1. Metoda

factorului comun

⁶⁵ 1.9.2. Utilizarea

formulelor

^de^calcul

prescurtat

⁶⁷ 1.9.3. Descompunerea in factori folosind metode

combinate

⁷⁰ Teste de evaluore

...

⁷²

1.10. Rapoarte de numere reale reprezentate prin litere. Amplificarea. Simplificarea

.'...

⁷⁵

1.1

1.

Operalii cu rapoarte de numere reale reprezentate prin litere 1.1 1.1. Adunarea _5i

scdderea "

⁷⁹ 1 ."1 ^"1.2. in m u l1i rea, im perti rea, rid ^icarea la putere. Expresii cu toate

oPeraliile

⁸² Teste de evaluare

...

⁸⁷

GEOMETRIE l

Capitolul

2.

Corpuri geometrice i

2.1.

Puncte, drepte,

p1ane... oa= zJ

_o

2.2.

Piramida

... 97

₃

2'3' Prisma' """""""""""' 102 _€

Teste de evaluare

...

.'...'...'

106 6

2.4.

Poziliile relative a doud drepte

in spaliu

^..'...

¹⁰⁹ _E

2.5.

Unghiul a

doui

drepte

in

spaliu. Drepte perpendiculare ...'..."""' ¹

12 =

Teste de evaluore

...

'..." ¹

15

_E

=

3

(3)

119

"t22

"t26 129 2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

Poziliile relative ale unei drepte fa15 de un plan.

Dreapti paraleli

cu un plan...

Dreapti perpendiculari

pe un plan.

Distanla de la un

punct

la un

plan.lnillimea

piramidei...

Teste de evaluare

Poziliile relative a

doui

^gi

trei

plane

Plane paralele. Teoreme de

paralelism

;i...

Secliuni paralele cu baza in corpurile studiate.

Trunchiulde piramidi

Teste de evaluare

Capitolul 3. Proieclii ortogonale

3.1.

Proieclii de puncte, segmente ^gidrepte pe un

plan

... 141

3.2.

Unghiul uneidrepte cu un plan. Lungimea proiecliei

unuisegment

... 145

3.3.

Teorema celor

trei

perpendiculare

...

... 149

Teste de

evaluare

.... 153

3.4. Unghiuldiedru.

Plane

perpendiculare...

... ^"tS7

3.5.

Calculul unor distanle gi

misuri

de

unghiuri

pe

felele

sau

in

interiorul corpurilor

studiate

... 162

Teste de evoluore

...

... 167

Capitolul

4.

Variante de subiecte pentru tezi ...

... "t73

Solulii

₁₇₉

132 136

3

rJ vtTI

gE

uI

4

ct!

U

=

J

lt rn .9(!

|J ut

-

I 2

E

1,,o f

z

AEut

r

f (!

=

(4)

ALGEBRA

Irlum*;;;;i;t

1.1. Mullimi

^de

numere reale: N cZ c

_Q

c

IR

1.2. Reprezentalea

^pe

axi

a

numerelor reale.

Compararea

numerelor reale 1.3. Modulul unui numir real 1.4. lntervale

de

numere reale

Teste de

evaluare

1.5. Operalii

cu

numere reale 1.6. Ralionalizarea numitorilor

Teste de

evaluore

1.7.

Calcule cu

numere

reale

reprezentate prin litere

1.7.1.

Adunarea

_9i

sciderea

1.7.2.

inmultirea fi impirlirea. ^Puteri

^Gu

^exponent ^intreg 1.8. Formule

^de^calcul

Prescurtat

1.9.

Descompunerea in

factori

Teste de

evaluare

1.10.

Rapoarte de

numere

^reale

reprezentate prin litere.

Amplificarea. SimPlificarea

1.11. operalii

cu

rapoarte

^de

numere

^reale

reprezentate prin litere

1.1 1.1.

Adunarea

_9i

sciderea

1.11.2.inmutlirea

5i

impirfirea.

^Expresii^Gu

^toate operaliile

Teste de

evaluare

(5)

CAPITOLUL

¹

Ir{umere reale

1.1. Mullimide numere reale: ^N c Z c _Q c

^IR

Mullimea numerelor naturale

Notalii.

^N

- {0,1,2,...,2,'..}

^estemullimea numerelor naturale;

N* = ^{N \}{0} =

{1,2,...,n,...\

^estemullimea numerelor naturale nenule.

Observalie. Mu[imea

numerelor naturale

N

este stabild

in

raport cu operaliile de

odunie

Si inmullire,

adic[

^{suma a}

doul

numere naturale este un numdr natural, iar produsul a

doul

^numere^naturale^este^tot^unnum6r natural.

Mullimea numerelor intregi

Notalii.

^Z=

{...,-2,-1,0,+1,+2,...\

^estemul\imea numerelor intregi;

Z* =Z\{0}

^estemullimeq numerelor intregi nenule.

observalia 1.

^N

c Z _si Z={t"l"e ^N}

=

{-"1,e N}u{o}uN

^'

Observalia 2.

^Mulfimea^numerelor

intregi

^estestabild

in

raport cu operafiile ^de adunare,'scddere

gi tnmullire,

^adicd^suma,diferenta 9i produsul

a doul

numere intregi sunt numere intregi.

Mullimea numerelor ralionale

Notalii. *

⁼

{;

I

a

eZ,

b

eZ*l

^estemullimea numerelor ralionale;

)

q*

_{= Q}\

{0}

^estemullimea numerelor ralionale nenule'

Observalia l.

^Mulfimea^numerelor^ralionale^este^stabild

ⁱⁿ

^raport^cuoperaliile de adunare,'scddere, tnmul1ire qi tmpdrlire, adictr suma, diferenia, produsul gi c6tul ^a

doui

numere ralionale (dintre care

implrtitorul

este nenul) sunt numere ralionale.

Observalia 2. Pentru orice numlr ralional nenul q existi o

unicd

fraclie ireductibild 1

,

"u

^o

eZ

Si ^D^e

N*,

astfel incdt q

=9.

b,--'

^b

Observalia 3. ^Un ^num[r rational poate fi

reprezentat

prin fraclii

^ordinare

echivaleite sau

printr-o fraclie

^zecimald

finitd

^sau^periodicd.

12"

24

Exemple'

"' ; =; _{=2'4 '}

^fractie

zecimallfinitd;

250

¹²¹

=

41,666... =

41,(6), fraclie

^zecimalb^periodicd

sinpld;

b'o=l

c. T

ls05 =250,8333-.. =

250,s(3),

fraclie zecimalbperiodicd mixtd'

(6)

Mullimea numerelor reale Nota;ii.

IR. este mullimea numerelor reale;

lR.* este mulyimea numerelor reale nenule;

IR

\Q

este mullimea numerelor irayionale.

Observalia 1.

N

c

Z

c

Q

c

^JR..

Observalia 2. Orice numdr iralional

este reprezentat

de

o

fraclie

^zecimald

infinitd

_Sineperiodicd.

Observalia 3.

Reciproc, dacl un numdr

real

este reprezentat de

ofraclie

zecimald infinitd _Sineperiodicd, atunci numdrul este

iralional.

CUNOA$TERE 9I ^EXERSARE

f. in dreptul fiecireia dintre propoziliile de mai jos, inscrieli litera A

dacd propozilia este adevlratii, sau F dacl propozilia este fals6:

a,)

l0l

e

N; _D J25 eQ; c) l,(5) eQ\Z;

d)S-teR\Q; elffez; f-.

a ^2.

^inscrieli

ⁱⁿ

celulele tabelului de mai jos cuvdntul

da

^sau

nu in

func{ie de relafia

g

de apartenen!5

a

numerelor aflate pe

prima coloani la mullimile

indicate pe

Y

^orima^linie:

F

E

.gCu Jf lt

Utc

(E l!

I

rlj

I z

E

\Jo

N ^.77

Z\N Q\Z a ^R\Q

^R

-Je

0,2

l.(3)

6 (+) ^' 4 Jo2s

4

5

$2

J8

? ^3.

^Se^considerrsecvenla de numere:

-(-2); -It -6, (;)' ^;0,2013; -JF;

G

E ^t,(2)

;2,0(3)

; -J025.

^Dintre^acestea,

=

a/ numerele naturale sunt ...

;

^b)^numerele^intregigi negative sunt ... ;

S

c) numerele iralionale sunt

... ;

d)numerele ralionale gi neintregi sunt

...

.

-;-

(7)

4. Fie

mut{im ea

A={*' (i)

^'

^;

z,o(14\;s20ra'

-

t

elementele fiectrreia dintre urmltoarele

mu[imi:

a/ z4nN ; b),4n(Z\N) ; ^c) lnQ;

d) Aa(Q\Z); ^e) AaQ*; l) ^ln(iR\Q)'

5. Asociafi

fiecirei

litere aflatii

in

^coloana^din^st6nga^cifracorespunzltoare aflatii

in

coloana din dreapta astfel inc6t numIrul real scris in dreptul literei

sI

aparfini

mulfimii

scrise in drePtul cifrei:

4 -Jef

B)

5-1+0,8

c)

0,1(6)

D ,ltE , ^z\N

6. Asociali

fieclrei

litere

aflati in

coloana din stlinga

numirul

corespunzltor aflat

in

coloana

din

dreapta astfel incdt

calculul

^scris

in

dreptul

literei s[ aib[

ca reanllatnumIrul aflat in dreptul cifrei:

1)N

2) Q\v, 3) Q_\z

4) R\Q

1)1

2') 3

3)e 4\2 s)0

A)

sumadintre un numdr real gi opusul sdu

B)

inversul numtrrului 0,5

C) produsul dintre un numtrr real nenul _9iinversul s[u

D)

rfuddcina pdtrati

anumirului

.,6

I

7. Asociafi

fiecirei

litere

aflati in

coloana din st6nga numdrul corespunzitor aflat

in

coloana din dreapta astfel

incit numlrul

^real^scris

in

dreptul literei

sI

fie egal cu cel aflat in drePtul cifrei:

al

42

'24' -.-

el: _'92

100

or1#,

n#,

c)

33

,t;

.

²⁰¹³

ol -'

- ^2ot4'

1)

0,5

2)

0,(6)

3)

0,(3)

4)

0,75

5)

^1,5

dt

1005

-.

' _105' ..

²⁴²⁴

h) 3$6'

A)E

" ^(?)'

" ^-?i)

DJ7

8.

Dintre urm6tdarele fraclii, indicati fracfiile reductibile:

J5'-+' _t

|.

Determinati

I (E

I t!(!

s

\J rJ F

=

l|l

F

=

-

9

(8)

DlJ tilI EF

talG .cc

=

J

F lt

ra

c

.g

(,

|!

ut

-

r, z

c,

(Jo D

z s E

ut

o

)

t!

=

II

ACUMULARE $I CONSOTIDARE

9. Reprezentali _sub

forml

de fracfie ordinar6 fiecare dintre numerele:

10. Reprezentafi sub

formi

de fraclie ordinard ireductibilE fiecare dintre numerele:

a) 5,21;

e)

l,(02);

a)

1,2;

e) 1,0(3);

s) -17

to;

. ll e) oo;

a) A)

fi,:

e) .6 u;

ol,

e) .30 +t;

o) -12 i;

-

123

e) ,o;

b)

^11,22;

fi

^1,2(32);

b) 0,75;

fl

^O,tQ);

r) *;

n?,

t)ffi,

a _133,

t) t;

t*,

o>#,

t#'

c) 3,(5);

I ^2,33(2);

c) l,(2);

p l,10(6);

c) .1

zoi

I .41 _ss)

"'"

o ^2,(6);

h) 0,20(t4).

o

^0,(12);

h)

3,1(45).

a*'

b251. '

990

o#'

D#

o*,

DE

o#,

,.

9898

n)-. '

8989

11. Transformali urmrtoarele

fraclii

ordinare

in fracfii

zecimale, amplificdndu-le, eventual, convenabil:

12. Transformali urmrtoarele

fractii

ordinare

in fractii

zecimale, simplificdndu-le, eventual, mai int/ii:

13. Reprezentali urmrtoarele numere ralionale sub formr de fraclie zecimald:

cl ,35 ' -. _500'

0 .21 _uo;

-

¹²³

c) a;

ei; .12

-

120

") x;

,

5000

I

_oooo;

14. Dinhe urmltoarele fractii, indicati fracfiile echivalente cu fractia

_

-100

150 15. Determinali numerele naturale nenule

a

gi 6 pentru care fracfia ireductibile

f

este echivalentii _cufracfia:

) 3'

12. n)#; o*, ^o 18'

n*, e#;

^h)

a) ,6 s;

e) .36

sqi

(9)

16. Reprezentati numerele ralionale de mai jos _subforma

ot-*;

fl ^4,(56);

b) 0,123;

/)

^3,(09);

ct -z1,;

S) -5,2(6);

aeZ

Si

beN*:

o ^0,125;

h) 0,65(4).

d) 13,579 ;

h)

t,23(45).

;'CU

a b a)

--7 -'=l

-o

e)

l,(6);

17. Dati cite un exemplu de ^:

a) numdr intreg al c6rui opus este

numlr

^natural;

D) numdr ralional al

clrui

înversêste^numlrîntreg;

c)

numir

iralional al

clrui pitrat

^este^numir^natural;

tl)

mtmdr real exprimat sub forma unei

fraclii

zecimale neperiodicd _9i

infiniti.

18. Reprezentali inbaza 10 urmitoarele numere ra{ionale:

a) 321;

e) 20,(1);

c) 65,43;

a

^0,1(2);

Rezolvare. c) 321 = 3.10'z + 2.101 +1'100 .

c)

65,43= 6. 10r + 5' 100 + 4' 10-1 + 3' 10-2 = 6' ^10r⁺5' 100 *

* _10'

^*

*'

_10'

19. Determinafi,

in

fiecare

din

situafiile urmltoare, ^numereleintregi

n

pentru care relaliile urmdtoare reprezinti propozrlii ^adevirate:

20. Numerele 12,12; 0,(12) 9i ^1,1(6)^sescriu sub formd de fraclie zecimal[' c) Scrieli a 100-a

cifr[

^de^dupl

virguli

^a

fiecirui numlr;

D) Determinali a2013-a cifr6 de dupd

virgul[

^a

fieclrui

numdr;

c) Calculali suma primelor 2014 zecimale pentru fiecare numdr.

21. Dali cite trei exemple de numere naturale,4 penffu care

fraclia !2

_este:

a) subunitarl;

d)

zecimaldfrniti,;

22. Aflali cel mai

mic

reprezintii simultan numere naturale.

2' ₂

sub formd de:

23.

Scrieli un num[r raJional cuprins intre

! ^Si ,

a)

^fraclie

zecimaldfinlti; ^b)

fuaclie zecimald

periodicl;

c) fraclie ordinard.

24.

Demonstrali

ci

numerele urm[toare sunt rafionale:

or ;f ^eN;

0 fr-rez.;

u *ez\N;

. 4n+2

4 V;eui

D)

ireductibill;

e) periodicd

simpll;

numir

natural nenul

a

_Pentru

4 ffiez;

fl ^6r+15.N.

3n

+2

c,) reductibil5;

;fl

^periodicd

mixti.

carelraclule aacl g,6 ^$,

12

a1

(sJn +tJi),J1; ^al ^(4.6 -ralra)' ^(:zJlz)

^;

O #,unde

^{a e lR*}^'

,(

I

f

(! (! l!

s

\J rJ

=

^ul

_F

=

-

11

r/x * B E),n,

(10)

25.

Stabiliri dac6

numlrul J7

^este^ra{ionalⁱⁿfiecare dintre urmitoarele cazuri:

a)

A=12

+23;

c) A=1.2...2014+2;

b)

A

=l+3+5+7+

^...+2013^;

26.

Scrieti elementele

mu[imilor:

a)

A

={.r

^e^N_I

*

₌

Ji, ^n. {t,2,...,t0\\

^;

c)c={reNlr<l0eiGex};

Determinafi cifrele a, D, c astfel inc6t

a/ rffieN; ^ol _'Ftc,tt

27.

.g

Jf

tt

vt

c

.g

(E

(,

IU

I

z

E

\Jo

l z s E

uto.

a

lE

=

12

*1

-= =

S *,fi= IV;E=...= @S

b) B={,.r1#.r\,

d) D={r.xlrf,,.r.x}

si

aib[ loc rela]iile:

:

l0; d ^tlab+ba ^el\,

28.

Se considerl

num[rul

o

=ft

9i

mu{imea I ={a;2a;3a:...;l8a}.

a,) Determinali numIrul de elemente din mulflmea

lnN;

b) Calculali probabilitatea ca, aleg6nd la int6mplare un element din M, acesta s6

fie num[r natural.

rII

H APRoFUNDARE 9I DEZVoLTARE

F H

29. Aratat' cd

dac[ p

€

Q,

^atunci

numirul Jap' +tf -(p' -tf

^este^rafional.

30.

Fie n) 2 un numlr

natural.

Adtali cd

dacd

numirul

x e

IR* verificd

relalia

.+=JTi,atunci ffi..

31.

inscrieli in

celulele

tabelului

aldturat

patru

numere iralionale, respect6nd,

in

fiecare caz de mai jos, condiliile precizate:

a,) sumele numerelor aflate pe fiecare

linie,

respectiv coloan[ sd

fie ralionale;

D) produsele numerelor aflate pe fiecare linie, respectiv coloanl

s[

fie rafionale;

Q

^ati./-^sumele,

^{cdt gi}

produsele numerelor .aflate

pe

fiecare

linie,

respectiv coloanl

sI

fie ralionale.

32. Marius face urmdtoarea afirmalie cltre prietenul sdu Cristi: _,,oricenum[r natural

nenul n ai

^alege,

eu ili pot glsi

dimensiunile

unui

dreptunghi

(qi

care nu pdtrat!),

a clrui

arie

sI fie

egal6

cu n gi in

care diferenla

dinhe

lungime gi

lilime

sd

fie egal[

cu

2".

Este oare

adeviratii

afirmalia

lui

^Marius?Justificali rlspunsul.

(11)

Testul

¹

(3p)

1. Transformali

in fraclii

ordinare

ireductibile:

^a)

2,5;

b)

0,(3);

^c,)^0,1(3)'

(2pl

2. ComParali numerele:

,t ) ^tt It ^b)3,4 ^si3.3e; ⁴ + _rl2 ^si *; 0 ^3J'$i ^Jr8

^'

V3

(1p)

3.Determinafi ^a100-a zecimald a

numIrului

0,(12)'

(1p)

4. Calculali partea intreagd gi partea

fraclionar[

a

num[rului -5,6

^'

(1p)

5.

Aflali

x e

N

pentru care

numirul

o =

-:- _2x-l

^este^intreg^'

(1p)

5. Determinali

xeZ

pentrucarc

-7 <3x-l<2.

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se acordd

I

^punctdin oficiu.

Testul2

(3p) 1. Determinali inversul urmltoarelor numere reale:

a) - tl;

-; ^b) -Y, ⁴ ^Ji+l

^.

'Jto

2

(2p) 2. Comparali numerele:

q

Q3Ji si2Jl; ^U 'm ^qi3; ^{c) 1,7} ei.6; ^d) -i ^$i -Jt.

(1p)

3.

Determinali n e

N

pentru

"ur" nJi =.b2

^.

(tp) 4.

Determinali k e

Z

astfelinc|fi

-3Ji ^<k ^<-2J,

^.

(1p) S. Demonstrafi

cI

dacd

+ ⁼ ^all ^,atunci

^{a e}^Q^'

"10,12

(1 p)

6. Aritali c[

pentru

. = E*!. Jz-t

^numdrul

^,

⁺

¹ ^x _",te

^natural'

NOTA. Timp de lucru 50 minute. Se

acordi I

^punctdin

oficiu'

I

llE

l!

(E

U

lr,

E

uJ

F

=

-

29

Mullimi de numere reale

Marius PERIANU

Costel ANGHEL Grafian SAFTA Lucian PETRESCU

ESENTIAL

Matematici

clasa a Vlll-a

I

/ )w4 cLueuL \

Cuprins

nLcesnA

Capitolul

Numere ralionale

1.1. Mullimi

N cZ

c iR

1.2.

...

1.3.

...

in

...'.

,...,...

1.5.

...

1.6.

numitorilor ...'...

Testedeevaluare

1.7.

...'...'.'....

inmullirea

intreg ...'...

1.8.

prescurtat

1.9.

factorului comun

formulelor

prescurtat

combinate

...

.'...

1.

scdderea "

oPeraliile

...

GEOMETRIE l

Capitolul

Corpuri geometrice i

2.1.

p1ane... oa= zJ

2.2.

... 97

2'3' Prisma' """""""""""' 102 €

...

106 6

2.4.

in spaliu

109 E

2.5.

doui

in

12

=

...

15

=

Dreapti paraleli

Dreapti perpendiculari

punct

plan.lnillimea

doui

trei

paralelism

Trunchiulde piramidi

Capitolul 3. Proieclii ortogonale

3.1.

plan

3.2.

unuisegment

3.3.

trei

/ )w4 ^cLueuL \

2'3' Prisma' """""""""""' 102 _€

¹⁰⁹ _E

inmultirea fi impirlirea. ^Puteri

^exponent ^intreg 1.8. Formule

^toate operaliile

1.1. Mullimide numere reale: ^N c Z c _Q c