Probleme de aritmeticd pentru performan!5:

SrwnruR IoNESrr, MrHRrm CnruGR, Coontru Pnrcupnuu, BEMus NrcH[R, SuRnnruoa MlHoN, Guroneu[A Nrsron

Probleme de aritmeticd pentru performan!5:

metode de rezolvare, teste ^gi subiecte de concurs

clasele lll-lV

editia a

V-a

CUPRINS

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE ARITMETICA...5

Metoda

comparatiei

...5

Metoda

figurativ[

...8

Metoda falsei ipoteze

...

...13

Metoda mersului

invers

... 15

Metoda reducerii la

absurd

... 18

Probleme de

numirare

...21

Principiul cutiei

...

^...26

Probleme de perspicacitate

...,...

^...29

Probleme cu caracter

geometric

...33

Operatii

aritmetice

...38

Adunarea gi sclderea numerelor

naturale

...38

inmullirea qi impdrfirea numerelor

naturale

...40

Ordinea efectudrii operaliilor gi folosirea

parantezelor

...43

Teorema

impirfirii

cu

rest

...47

TESTE

...52

SUBIECTE DE CONCURS

...

...98

rNDrcATrr $r RASPUNSURT

...

...109

PROBLEMELOR DE ARITMETICA

Mnrooa

coMPARATTET

1.

Radu

cumplri

cu 14 lei

trei

caiete de matematici gi

doui

de desen.

Dac[

ar

fi cumpirat trei

caiete de matematicl gi patru de desen, ar

fi pliltit22lei.

Cflt costl un caiet de fiecare fel?

Solulie:

Notdm preful unui caiet de matematic[ cu m qi

ct d

cel al unui caiet de desen.

Avem rela{iile:

3m+2d=14lei

3m

*

4d = 22 lei.

Scdzdnd membru cu membru cele doud rela{ii, ob{inem cL 2d

= 8

lei.

Deci un caiet de desen costE 4 lei, iar pre{ul unui caiet de matematicd este

(14-8):3:2lei.

2.

Dacil 2 kg de mere ^qi 3 kg de portocale

costi

23 lei, cflt costi 6 kg de mere gi 9 kg de portocale de aceeagi calitate?

Solulie:

Dacd 2m a 3P = 23

* 3'

^{(2m + 3p)}

: _23'

₃

:

_{69 lei, unde} m estepreful unui kilogram ^de mere, iar

p,

cel al unui kilogram de portocale.

3. intr-o zi din

vacanfa de

vari t2 bilie[i

qi 6 fete

din

clasa a

IV-a

^au

cules 150

kg

de cireqe.

A

doua

2i,24

de

biiefi qi

13 fete

au

cules 305 kg de cireqe. C0te kilograme de cirege culege zilnico

in

medie, o

fati

^qi c0te un biliat?

Solulie:

Fie/numirul

^{de kilograme pe care}

il

culege zilnic o fate $i b num[ru] de kilograme culese de un b[iat. Atunci:

6f+ 12b:

150

kg I^

t3f+

24 ^.

b:30sks)-

tzf+24b

= 300

kg

_I

l3f+24b=305kg I' -

1,f= 5 kg.

Se ob{ine apoi

c[

^lD _{= 10} ^kg.

4.

Dacil preful unei

clr(i

este c0t pre{ul unui stilou 9i ^a

doui

caiete la un loc,

iar

3 stilouri costi c0t

7

caiete, afla{i cAte

c[r[i

^{se pot curnplra}

in

locul unui stilou ^{gi 15 caiete} la un loc.

Solulie:

Fie

ct:

preful unei

cirfi, sl:

preful unui stilou, ^iar

c:

pre{ul unui caiet.

Atunci:

lct:

lst + 2c1.3

* 3ct:3st

^{+ 6c}

Dar

3st:7c

^qi oblinem

cd3ct:

^13c. Din prima ^rela{ie obfinem, adundnd membru cu membru,

cd4ct:

^lsl

*

15c. Rdspunsul este: 4 cdtli'

5.

Se gtie c5 8 pixuri qi 20 de CD-uri costd 36 lei. CAt vor costa 2 pixuri gi 5 CD-uri?

6.

Suma

a

dou6 numere este 65,

iar

suma dintre dublul primului numir

qi triptul celui de-al doilea este 170. Care sunt cele dou[ numere?

7.

La o cofetdrie ¹

kg

de tort costi c6t 3

kg

de fursecuri. Maria

cumpir[

4 kg de fursecuri ^qi un tort de 2 kg,

pl[tind in

total 70 lei. C6t cost[ un kilogram de fursecuri? Dar un tort de 3 kg?

8.

5 c6r{i gi 3 albume foto costl ¹⁹⁵

lei,

iar

3

cdrliqi 5 albume costd ¹⁶⁵ lei.

Aflafi cdt costi ^o carte ^gi c0t costi un album.

9.

11 bile albe ^qi 7 bile negre cdntdresc 166 g, iar 15 bile albe 9i ¹⁰ bile negre cdnt[resc 230 g. Cdt cdntbregte o cutie cu ⁵ bile albe gi 5 bile negre, dacd cutia goal6 are200 g?

10.

Pentnr 5 kg de roqii gi 7 kg de castraveti s-au pldtit 58 lei, iar pentru 3 kg de roqii gi 8 kg de casffaveli s-au plEtit 50 lei. $tiind

ci

^{penfu 16 kg}

de roqii qi castraveli la un loc ^s-au

pl[tit in

total 78 lei, sb se afle ^c6te kilograme de fiecare fel s-au cumpdrat.

11.

Numerele naturale

a,

b, c indeplinesc condiliile: 2a

+ b *

5c

=

^305,

a + 2b + 10c

:

_{550. DacS} IOb

:

3c, care sunt cele trei numere?

12.

4 kg de mere costl cu ¹⁶ lei mai pu{in decdt 6 kg de portocale. $tiind

cl

pentru

2 kg

de mere

gi 5 kg

de portocale s-au

plitit 24 lei,

aflali

cdt cost6 un kilogram din fiecare.

14.

15.

16.

t7.

18.

L9.

20.

copiii?

3 stilouri costd c6t 5 creioane, iar pre{ul unei

c[r[i

este cAt preful unui stilou qi al unui creion la un loc.

Afla{i

c6te cdrfi pot

fi

cumpirate cu preful unui stilou ^qi a noul creioane la un loc.

Determinafi valoareaexpresiei: E

:

_{a + 2b + 3c} + 4d, qtiind cd a + _{b +} + s + fl

:36,

_{b + c}

*

d = ^{20, c}

*

d

=

15,iar

d:

^{a: 2 + b: 5.}

Simona are 7 bomboane, o ciocolatl gi 5 napolitane care cdntdresc 235 g, iar Robert are o bornboand, 7 ciocolate qi 3 napolitane in greutate de 445 g.

Cdt cdntiresc irnpreund 3 ciocolate gi o napolitan[?

2 perechi de pantofi gi 3 cdmdqi costd 230 lei, iar ^{3 perechi} de pantofi qi 2

cimlqi

costd270lei. ^CAt costi 7 perechi de pantofi qi o c[maq[?

Pentru confeclionarea unui ^pardesiu se folosesc tot a$\ia metri de stofb

cit

pentru un sarafan qi

dou[

fuste la un loc.

La

confec{ionarea unei fuste se foloseqte

jumitate din num[rul

de metri necesari pentru un sarafan. Cdte pardesie se pot obline din stofa destinat[ pentru 6 sarafane qi 12 fuste?

Pentru o biblioteci s-au cumpdrat 9 dulapuri, ¹⁶ mese qi 64 de scaune.

O masi, un scaun qi un dulap costb 2808 lei. $tiind

c[

o ^mas6 cost[ c6t ftei scaune, iar un dulap costd c6t trei ^mese, afla(i valoarea mobilierului achizifionat.

2

trandafri costd cdt

3

crizanteme sau c6t 5 ^garoafe, iar 6 trandafiri gi

5 crizanteme costi 56 lei. Cdt apldtit Radu pentru 5 crizanteme, 5 tran- dafiri qi 5 garoafe?

Mnrool ncunarrvA

1.

Suma a

doul

numere naturale impare este 24,

iar

diferen{a

lor

este o

cifri. Si

se afle numerele.

Solutie:

Not6m cu

a

gi b cele dou[ numere gi cu

d

diferenla lor. O reprezentare graficd este:

a

Din enunf reniltd: a

*

b

:

_{24, b}

:

_a

* d

Si,ca ufinare,

2'

a

*

d

:

₂₄

+

= a: ^ea

^_

^e:2.

Diferenfa a doud numere impare este un numdr par. Deci

d

este o cifrS pard, adic5-

d

^poate lua valorile 0, 2,

4,6

sau 8. Distingem urm6toarele situatii:

l.

d:

⁰

= a:

^{12, b}

:

12, solu{ie care nu convine (a qi b trebuie ^s5 fie impare!).

IL d

:

2

=

^a

:

_{11, b}

:

13, o primE solufie.

IlI. d:

⁴

=

^a

⁼

^10,

b:

^{14, solu{ie care nu convine.}

lY. d:6 * a:9, b:15,

a doua solutie.

Y.

d:8 = ^a:8, b:

^{16, solutie care} nu convine.

2. intr-un

coq se

aflI

^{24 de} fructe: mere qi pere. $tiind

cI numlrul

merelor este de

trei ori mai

mare decflt

numlrul

perelor, str se afle

in

cf,te moduri putem lua din coq o

pari

qi un

mlr?

Solulie:

Notim ot

m rumdrul merelor ^gi

cup

numIrul perelor. Din enun{ rezlttltd cL m + p

:

_{24 Si} m = 3 ^. p. O reprezentare grafic[ este:

p& l

*,, P , P , P ^,J24

Obfinem: 4 ^.

p :

₂₄

_{> p}

_{= 24}

_:4 :

_{6 pere qi} 18 mere. Un m6r se poate alege

ln

¹⁸ moduri, iar o par6 in 6 moduri. Ca urmare un m6r gi o parl se

pot lua din cop ln 6 . 18 = ¹⁰⁸ moduri.

afle dimensiunile dreptunghiului.

Solulie:

Not[m cu Z lungimea qi cu / l6fimea. Din datele problemei rezult[ L +

l:

:48

_$i

L:3' _0- 8).CumI

⁺

(/- 8):40,

sugerimreprezentareagrafrcd:

l-8 t-l

]-,

Ob(inem:

4'(l- 8):40 = ^/-

^{8 = 40:4}

= /:

^{10 +}

8:

^{18 cm}

;iZ:48- ^18:30

^cm.

4. Un

vas

plin

cu

apl

cAntlregte 32 kg, Vasul

umplut cu apl

doar la

jumltate

din capacitatea sa cAnt[reqte 17 kg. Cfft cflntireqte vasul ^gol?

Solulie:

Notdm cu v greutatea vasului gol gi cu

a

^jtmdtate din greutatea apei ce incape in vas. Din enun{ ren;Jtd: v

* 2a:

32, v +

a:

^{17. O} reprezentare

grafrcd poate fi:

=

^{ct = 15}

=

^v

:

32

-2'

¹⁵

: _2kg.

5.

Un zugrav

stI

pe o

scari

^gi observtr

ci

sub treapta ^pe care

st[ sunttot

atitea trepte cAte sunt deasupra ^sa.

Ztgravul coboarl trei

trepte ^gi constati

cI,

acum, deasupra treptei pe care

stI

sunt de

trei ori

mai multe trepte decf,t sub aceasta. Cflte trepte are scara?

Solulie:

Ini{ial, zugravul are un numlr egal de trepte sub el qi deasupra sa. Not6m cu

a

acest num[r. Scara are deci

2

^. a

* I

trepte.

Dup[

ce coboar6 trei trepte, din datele problemei rezultd cd a

t

3

:3

' (a

-3).

l-8 l-8 t-8

32

T7

a*3 a*3 a*3

#