‘ç¨â ¥âáï, çâ® ¯à¨ â ª¨å £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå áâநâì ¤¢ã¬¥à­ë¥ ¡ §¨á­ë¥ ä㭪樨, ª®â®àë¥ ®¤­®¢à¥¬¥­­® â®ç­® 㤮¢«¥â¢®- à﫨 ¡ë ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ãà ¢­¥­¨ï¬, â ª ¨ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ § ¤ ç¨

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Н. Паймушин, Точные аналитические решения задачи о плоских формах сво- бодных колебаний прямоугольной пластины со свободными краями,Изв. вузов.

Матем., 2006, номер 8, 54–62

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6 ноября 2022 г., 23:21:32

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2006 Œ€’…Œ€’ˆŠ€ ò 8 (531)

“„Š 539.3:517.958

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1. ®áâ ­®¢ª  § ¤ ç¨ ¤«ï ¯« á⨭ë á ­¥§ ªà¥¯«¥­­ë¬¨ ªà ï¬¨

’®ç­ë¥  ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï â¥å ¨«¨ ¨­ëå § ¤ ç ¬¥å ­¨ª¨ â®­ª®á⥭­ëå í«¥¬¥­â®¢ ª®­- áâàãªæ¨© ¢ ¢¨¤¥ ¯« á⨭ ¨ ®¡®«®ç¥ª ¨§¢¥áâ­ë «¨èì ¤«ï ­¥ª®â®àëå ç áâ­ëå ¢¨¤®¢ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨©, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ®¯à¥¤¥«¥­­ë¬ ᯮᮡ ¬ § ªà¥¯«¥­¨ï ªà®¬®ª (­ ¯à., ¯à¨ è à­¨à­®¬

¨å ®¯¨à ­¨¨). ’ ª¨å à¥è¥­¨© ¤«ï í«¥¬¥­â®¢ ª®­áâàãªæ¨© ᮠ᢮¡®¤­ë¬¨ ¨ ­¥§ ªà¥¯«¥­­ë¬¨

ªà ï¬¨, ¤«ï ª®â®àëå ¯à¨ ¯®áâ ­®¢ª¥ ¤¢ã¬¥à­ëå § ¤ ç ä®à¬ã«¨àãîâáï áâ â¨ç¥áª¨¥ £à ­¨ç­ë¥

ãá«®¢¨ï, ¢ «¨â¥à âãà¥, ¯®-¢¨¤¨¬®¬ã, ­¥ ¨¬¥¥âáï. ‘ç¨â ¥âáï, çâ® ¯à¨ â ª¨å £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå

­¥¢®§¬®¦­® ¯®áâநâì ¤¢ã¬¥à­ë¥ ¡ §¨á­ë¥ ä㭪樨, ª®â®àë¥ ®¤­®¢à¥¬¥­­® â®ç­® 㤮¢«¥â¢®- à﫨 ¡ë ª ª ᮮ⢥âáâ¢ãî騬 ãà ¢­¥­¨ï¬, â ª ¨ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ § ¤ ç¨.

à¥¤¬¥â®¬ ¨áá«¥¤®¢ ­¨ï ¤ ­­®© áâ âì¨ ï¢«ï¥âáï «¨­¥©­ ï § ¤ ç  ® ¯«®áª¨å ä®à¬ å ᢮¡®¤-

­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¯àאַ㣮«ì­®© ®àâ®âய­®© ¯« á⨭ë á ­¥§ ªà¥¯«¥­­ë¬¨ ªà ï¬¨, ᢮¡®¤­ë¬¨

®â ãᨫ¨©. ã¤¥¬ áç¨â âì, çâ® ¯« á⨭  ¨¬¥¥â ⮫騭ã ^h, ¤«¨­ã ^a, è¨à¨­ã ^b ¨ ¢ë¯®«­¥­ 

¨§ ã¯à㣮£® ®àâ®âய­®£® ¬ â¥à¨ «  á å à ªâ¥à¨á⨪ ¬¨^{E1 E2},^G12, ¹², ²¹. „«ï ­¥¥ ãà ¢­¥-

­¨ï ¤¢¨¦¥­¨ï ¢ ¯àאַ㣮«ì­®© ¤¥ª à⮢®© á¨á⥬¥ ª®®à¤¨­ â ^x, ^y ¯à¥¤áâ ¢¨¬ë ¢ ¢¨¤¥ ( |

¯«®â­®áâì ¬ â¥à¨ « )

f

1=^g1@2u

@x

2 + (1 +^21g1) ^@2v

@x@y

+^@2u

@y 2

;

@ 2

u

@t 2 = 0^;

f

2=^g2@2v

@y

2 + (1 +^12g2) ^@2u

@x@y

+ ^@2v

@x 2

;

@ 2

v

@t

2 = 0^; (1.1)

£¤¥ ^g1 =^B11=B12,^g2 =^B22=B12, =^h=B12, ^B11 = ^1;1221E1h ,^B22 = ^1;1221E2h , ^B12 =^hG12, ^E121 =

E

2

12. …᫨ ªà ï ¯« á⨭ë ᢮¡®¤­ë, â® ¤«ï ãà ¢­¥­¨© (1.1) ¤®«¦­ë ¡ëâì áä®à¬ã«¨à®¢ ­ë

£à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï

@u

@x

+^21@v

@y

= 0^{; @u}

@y

+^@v

@x

= 0 ¯à¨ ^x= 0^;a; (1.2)

@v

@y

+^12@u

@x

= 0^{; @u}

@y

+^@v

@x

= 0 ¯à¨ ^y= 0^;b: (1.3)

„«ï § ¤ ç ® ᢮¡®¤­ëå ª®«¥¡ ­¨ïå ¯« á⨭ë ãà ¢­¥­¨ï (1.1) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤

f

1=^g1@2u

@x

2 + (1 +^21g1) ^@2v

@x@y

+^@2u

@y

2 + ^2u= 0^;

f

2=^g2@2v

@y

2 + (1 +^12g2) ^@2u

@x@y

+ ^@2v

@x

2 + ^2v= 0^; (1.4)

£¤¥ ²=^!2,^!2 | ª¢ ¤à â ªà㣮¢®© ç áâ®âë ᢮¡®¤­ëå ª®«¥¡ ­¨©.

®áâ ¢¨¢ § ¤ çã ¯®áâ஥­¨ï â®ç­ëå  ­ «¨â¨ç¥áª¨å à¥è¥­¨© ãà ¢­¥­¨© (1.4) ¯à¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå (1.2), (1.3), ¯à¨¢¥¤¥¬ á­ ç «  à¥è¥­¨¥ ¯à®á⥩襩 ®¤­®¬¥à­®© ¯® ¯à®áâà ­á⢥­­ë¬

ª®®à¤¨­ â ¬ § ¤ ç¨

f

1=^g1d2u

dx

2 + ^2u= 0 (^x2(0^;a))^; (1.5)

du

dx

x=0;a

= 0^; (1.6)

ª®â®à®¥ ¬®¦­® ­ ©â¨ ¢ ã祡­®© «¨â¥à âãà¥.

à¥¤áâ ¢¨¬ ¢å®¤ïéãî ¢ (1.5), (1.6) äã­ªæ¨î^u(^x) ¢ ¢¨¤¥

u=^uncos^nx+^uensin^nx+^{u0; n} = ⁿ

a

; n= 1^;2^;::: (1.7)

®¤ç¨­¨¢ (1.7) ãá«®¢¨ï¬ (1.6), ¯®«ã稬 ®ç¥¢¨¤­®¥ à ¢¥­á⢮^uen= 0 ¨ à¥è¥­¨¥

u(^x) =^uncos^nx+^u0: (1.7a)

‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á (1.7a) «¥¢ ï ç áâì ãà ¢­¥­¨ï (1.5) ¯à¨¬¥â ¢¨¤

f

1=^;g12nuncos^nx;(^uncos^nx+^u0)^: (1.8)

® áâàãªâãॠ(1.7a) ¢¨¤­®, çâ® ¤«ï ¨­â¥£à¨à®¢ ­¨ï (1.5) ¯® ª®®à¤¨­ â¥^x­¥®¡å®¤¨¬® á®áâ -

¢¨âì ¤¢  ãà ¢­¥­¨ï ¬¥â®¤  ã¡­®¢ :

Z

a

0 f

1cos^nxdx= 0^; (1.9)

Z

a

0 f

1

dx= 0^: (1.10)

Š ª ¨ á«¥¤®¢ «® ®¦¨¤ âì, ¨§ (1.10) ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ (1.8) á«¥¤ã¥â ®ç¥¢¨¤­®¥ à ¢¥­á⢮

u

0 = 0, â.ª. ®¡®¡é¥­­ë¬ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥¬^u0 = const ®¯¨á뢠¥âáï ¦¥á⪮¥ ᬥ饭¨¥ ¯« á⨭ë,  

¨§ (1.9) ¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ (1.8) ¯®«ã稬 ä®à¬ã«ã ¤«ï ¯ à ¬¥âà  ªà㣮¢®© ç áâ®âë ᢮¡®¤­ëå ª®«¥¡ ­¨©

²=^{g12n ;!2}=^E1n2=(1^;1221)^; (1.11)

¨¬¥îé¨å ä®à¬ã

u=^uncos^nx: (1.12)

ˆ§«®¦¥­­ë©  «£®à¨â¬ à¥è¥­¨ï ¯à®á⥩襩 § ¤ ç¨ «¥£ª® ®¡®¡é ¥âáï ­  à¥è¥­¨¥ ¨ ¤¢ã-

¬¥à­®© § ¤ ç¨, áä®à¬ã«¨à®¢ ­­®© ¢ ¢¨¤¥ ãà ¢­¥­¨© (1.4) ¯à¨ £à ­¨ç­ëå ãá«®¢¨ïå (1.2), (1.3).

à¥¦¤¥ 祬 ¯¥à¥©â¨ ª â ª®¬ã ®¡®¡é¥­¨î, § ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ ¢¢¥¤¥­¨¨ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï ® ­ã«¥¢®©

¨§¬¥­ï¥¬®áâ¨^u ¨ ^v ¯® ª®®à¤¨­ â¥ ^y, ª®£¤  ^@(^:::)^=@y 0, äã­ªæ¨ï (1.12) ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé ï

¥© ç áâ®â  ᢮¡®¤­ëå ª®«¥¡ ­¨© (1.11) ïîâáï à¥è¥­¨¥¬ ¯¥à¢®£® ãà ¢­¥­¨ï á¨á⥬ë (1.1),   äã­ªæ¨ï

v=^vncos^nx (1.13)

¨ ç áâ®â  ç¨á⮠ᤢ¨£®¢ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ­¨©

²=²ⁿ (^!2 =^G122n=) (1.14)

| à¥è¥­¨¥¬ ¢â®à®£® ãà ¢­¥­¨ï á¨á⥬ë (1.1), ª®â®àë¥ ­  ªà®¬ª å ^x = 0^{; a} 㤮¢«¥â¢®àïîâ

£à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1.2) ¯à¨ «î¡ëå 楫®ç¨á«¥­­ëå §­ ç¥­¨ïå ⁿ,   ­  ªà®¬ª å ^y = 0^{; b}

㤮¢«¥â¢®àïî⠣࠭¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1.3) ⮫쪮 ¯à¨ ⁿ = 0 (â. ¥. ¯à¨ ⁿ = 0). €­ «®£¨ç­ë¬

®¡à §®¬, ¯®« £ ï^@(^:::)^=@x= 0, ¨§ (1.1) ­ å®¤¨¬ ç áâ®âë

² =^2k (^!2=^G122k=)^{; k} =^k=b; (1.15) ²=^{g22k ;!2} =^E22k=(1^;1221) (1.16)

¨ ᮮ⢥âáâ¢ãî騥 ¨¬ ä®à¬ë ª®«¥¡ ­¨©

u=^u0cos^ky; (1.17)

v=^v0cos^ky: (1.18)

”㭪樨 (1.17), (1.18), 㤮¢«¥â¢®àïî騥 £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1.3) ¯à¨ «î¡ëå^k, £à ­¨ç­ë¬

ãá«®¢¨ï¬ (1.2) 㤮¢«¥â¢®àïîâ ⮫쪮 ¯à¨^k = 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¨§ á®áâ ¢«¥­­ëå à¥è¥­¨© ¤«ï

¯« á⨭ ª®­¥ç­ëå à §¬¥à®¢ ­¥âਢ¨ «ì­ë¬¨ ïîâáï «¨èì à¥è¥­¨ï (1.12) ¨ (1.18), ª®â®à묨

®¯¨á뢠îâáï ­¥ ᤢ¨£®¢ë¥ ä®à¬ë ª®«¥¡ ­¨© á ç áâ®â ¬¨ (1.11) ¨ (1.16),   ç áâ®âë (1.14) ¨ (1.15) ᮮ⢥âáâ¢ãîâ ç¨á⮠ᤢ¨£®¢ë¬ ä®à¬ ¬ ª®«¥¡ ­¨© ¡¥áª®­¥ç­® ¤«¨­­®© (ä®à¬  (1.13)) ¨

¡¥áª®­¥ç­® è¨à®ª®© (ä®à¬  (1.17)) ¯« á⨭, ã ª®â®àëå ªà ï^y;x= const ®âáãâáâ¢ãîâ.

2. ’®ç­ë¥  ­ «¨â¨ç¥áª¨¥ à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ¢ ª« áᥠ¤¢®©­ëå

âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨å ¡ §¨á­ëå ä㭪権

®«®¦¨¬

u =^un(^y)cos^nx+^uensin^nx+^U(^y)^{; v}=^vnsin^nx+^evncos^nx+^V(^y)^; (2.1)

£¤¥^un(^y)^;:::;V(^y) | ¯®¤«¥¦ é¨¥ ®¯à¥¤¥«¥­¨î ®¤­®¬¥à­ë¥ ä㭪樨 ®â^y. ‘ç¨â ï, çâ® ¢å®¤ï- 騥 ¢ (2.1) ç¨á« ⁿïîâáï ­¥ç¥â­ë¬¨, ¯®¤ç¨­¨¬ (2.1) £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1.2). ‚ १ã«ì- â â¥ ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢠

n e u

n+^21ev0n+^V0 = 0^{; ;nuen;21ven0} +^V0 = 0^;

u 0

n+^U0+^nvn = 0^{; ;u0n}+^U0;nvn = 0^;

¨§ ª®â®àëå á«¥¤ã¥â

V =^Ce1= const^{; U} =^Ce2= const^; (2.2)   â ª¦¥ ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï § ¢¨á¨¬®áâ¨

e u

n =^;21

n e v 0

n

; v

n =^; 1

n u

0

n

: (2.3)

‡ ¯¨á ¢ ¢ëà ¦¥­¨ï (2.1) ¢ ᨫã (2.2) ¨ (2.3) ¢ ¢¨¤¥

u=^uncos^nx;21

n e

v 0

nsin^nx+^{Ce2; v}=^;u0n

n

sin^nx+^vencos^nx+^Ce1; (2.4)

¯à¨¬¥¬ ¤«ï ¢å®¤ïé¨å ¢ (2.4) ®¤­®¬¥à­ëå ä㭪権 ®â ^y ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ï

u

n =^unksin^ky+^uenkcos^ky+^{C1; ven} =^Vnksin^ky+^Venkcos^ky+^C2; (2.5)

£¤¥^C1,^C2, ª ª ¨  ¬¯«¨âã¤­ë¥ §­ ç¥­¨ï^unk,^uenk,^Vnk,^Venk, | ¯®áâ®ï­­ë¥ ¢¥«¨ç¨­ë,  ^k ¯à¨­¨-

¬ ¥â ⮫쪮 ­¥ç¥â­ë¥ §­ ç¥­¨ï. ‚ १ã«ìâ â¥ ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ (2.5) ¢ (2.4) ¯®«ã稬

u= (^unksin^ky+^uenkcos^ky+^C1)cos^nx;21k

n

(^Vnkcos^ky;Venksin^ky)sin^nx+^Ce2;

v=^;k

n

(^unkcos^ky;uenksin^ky)sin^nx+ (^Vnksin^ky+^Venkcos^ky+^C2)cos^nx+^Ce1: (2.6)

‚­¥á¥¬ ⥯¥àì ¯®áâ஥­­ë¥ ä㭪樨 (2.6) ¢ £à ­¨ç­ë¥ ãá«®¢¨ï (1.3) ¨ ¯à¨à ¢­ï¥¬ ­ã«î ª®íää¨æ¨¥­âë ¯à¨ sin^nx ¨ cos^nx¢ á¨«ã ¨å «¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨. ‚ १ã«ìâ â¥ ¯®«ã稬

à ¢¥­á⢠

C

1=^C2 = 0^;   â ª¦¥ ãá«®¢¨ï

e

u

nk

6= 0^; ¥á«¨ ^2k;122n = 0; (2.7)

V

nk

6= 0^; ¥á«¨ ^k = 0; (2.8)

e

V

nk

6= 0^; ¥á«¨ ^2n;212k = 0^: (2.9)

’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ®¡é¥¥ à¥è¥­¨¥ ¨§ãç ¥¬®© § ¤ ç¨, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ¢á¥¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨- ï¬ (1.2) ¨ (1.3), ¯à¨ ®â¡à á뢠­¨¨ ª®¬¯®­¥­â ¦¥á⪨å ᬥ饭¨©^Ce1¨^Ce2¤«ï ­¥ç¥â­ëå §­ ç¥­¨©

n¨^k ¡ã¤¥â ¨¬¥âì ¢¨¤

u= (^unksin^ky+^uenkcos^ky)cos^nx;21k

n

(^Vnkcos^ky;Venksin^ky)sin^nx;

v =^;k

n

(^unkcos^ky;uenksin^ky)sin^nx+ (^Vnksin^ky+^Venkcos^ky)cos^nx; (2.10) ª®â®à®¥, ª ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï, ï¥âáï á¯à ¢¥¤«¨¢ë¬ ¨ ¯à¨ ç¥â­ëå §­ ç¥­¨ïåⁿ ¨ ^k, ¥á«¨

¢ ¨á室­ëå ¯à¥¤áâ ¢«¥­¨ïå (2.1) ¯à¨­¨¬ îâáï à ¢¥­á⢠ ^U =^V = 0.

®áâ஥­­ë¥ ä㭪樨 ¯¥à¥¬¥é¥­¨© (2.10) ᮤ¥à¦ â ¢ ᥡ¥ ç¥âëॠ«¨­¥©­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ç áâ­ëå à¥è¥­¨ï, ¨§ ª®â®àëå âਠà¥è¥­¨ï ïîâáï â ª®¢ë¬¨ ⮫쪮 ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãáâ -

­®¢«¥­­ëå ãá«®¢¨© (2.7){(2.9), ¯à¨ç¥¬ ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® ¯à¨ ¢á¥å ᮤ¥à¦ é¨åáï ¢ (2.10) à¥è¥­¨ïå ᤢ¨£®¢ ï ¤¥ä®à¬ æ¨ï à ¢­  ­ã«î ­¥ ⮫쪮 ­  ªà ïå, ­® ¨ ¢® ¢á¥å ¢­ãâ७­¨å â®çª å

¯« á⨭ë.

„ «ì­¥©è¥¥ à¥è¥­¨¥ ¨§ãç ¥¬®© § ¤ ç¨ ¬®¦¥â ¡ëâì ®áãé¥á⢫¥­® ¤¢ã¬ï ¬¥â®¤ ¬¨. ¥à¢ë©

¨§ ­¨å ï¥âáï ¢ à¨ æ¨®­­ë¬ ¨ âॡã¥â ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥ ¢ à¨ æ¨®­­®£® ãà ¢­¥-

­¨ï, ᮮ⢥âáâ¢ãî饣® ¨á¯®«ì§®¢ ­¨î ¯à¨­æ¨¯  ¢®§¬®¦­ëå ¯¥à¥¬¥é¥­¨©. ’ ª®¥ ¢ à¨ æ¨®­­®¥

ãà ¢­¥­¨¥ ¯à¨ ãá«®¢¨¨ ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­®£® 㤮¢«¥â¢®à¥­¨ï ¢á¥¬ áâ â¨ç¥áª¨¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨- ï¬ § ¤ ç¨ § ¯¨è¥âáï ¢ ¢¨¤¥

Z

a

0 Z

b

0

(^f1u+^f2v)^dxdy= 0^; (2.11)

£¤¥ ^f1 ¨ ^f2 | «¥¢ë¥ ç á⨠ãà ¢­¥­¨© (1.4). …᫨ ¢ ãà ¢­¥­¨¨ (2.11) ¢ à¨ æ¨¨ ^u ¨ ^v áç¨- â âì  ¡á®«îâ­® ¯à®¨§¢®«ì­ë¬¨, â® ¨§ ­¥£® ¨ á«¥¤ãîâ ¤¨ää¥à¥­æ¨ «ì­ë¥ ãà ¢­¥­¨ï ᢮¡®¤­ëå ª®«¥¡ ­¨© (1.4). Ž¤­ ª®, ¢ ᨫã áâàãªâãàë ¯®áâ஥­­ëå ä㭪権 (2.10) ®­¨ ïîâáï ¯à®¨§-

¢®«ì­ë¬¨ ⮫쪮 ¢ ᨫ㠯ந§¢®«ì­®á⨠¢ (2.10) ®¡®¡é¥­­ëå ¯¥à¥¬¥é¥­¨© ^unk, ^uenk, ^Venk,

V

nk. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¢ ᨫ㠢 à¨ æ¨®­­®£® ãà ¢­¥­¨ï ‹ £à ­¦  (2.11) ¨ áâàãªâãàë ¯®áâ஥­-

­ëå ä㭪権 (2.10) ¤«ï ¤ «ì­¥©è¥£® à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ­¥®¡å®¤¨¬® á®áâ ¢¨âì ãà ¢­¥­¨ï ¬¥â®¤ 

ã¡­®¢  á«¥¤ãîé¨å ¢¨¤®¢:

Z

a

0 Z

b

0

f

1sin^kycos^{nx; k}

n f

2cos^kysin^nxdxdy= 0 ¯à¨ ^{unk 6}= 0^;

Z

a

0 Z

b

0

f

1cos^kycos^nx+ ^k

n f

2sin^kysin^nxdxdy= 0 ¯à¨ ^{uenk 6}= 0^;

Z

a

0 Z

b

0

;

21

k

n f

1cos^kysin^nx+^f2sin^kycos^nxdxdy= 0 ¯à¨ ^Vnk6= 0^;

Z

a

0 Z

b

0

21

k

n f

1sin^kysin^nx+^f2cos^kycos^nxdxdy= 0 ¯à¨ ^Venk6= 0^;

¢ ª®â®àëå ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (1.4) ¨ (2.10)

f

1= [^;g12n+^21g12k+ ²](^unksin^kycos^nx+^uenkcos^kycos^nx) + +^213k

n

;

n

k

;

21

k

n

²(^Vnkcos^kysin^nx;Venksin^kysin^nx)^; (2.12)

f

2=^g23k

n

;

12 g

2

n

k

;

k

n

²(^unkcos^kysin^nx;eunksin^kysin^nx) +

+[^;g22k;2n+(1 +^12g2)^212k+ ²](^Vnksin^kycos^nx+^Venkcos^kycos^nx)^: (2.13)

®á«¥ ¯®¤áâ ­®¢ª¨ (2.12) ¨ (2.13) ¢ (2.11) ¢ ᨫã^unk6= 0 ¯à¨å®¤¨¬ ª ä®à¬ã«¥

²= 1

2

n+^2k[^g14n+^g24k;2^12g22k2n]^; (2.14) ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 ®¤­®¬ã ¨§ ç áâ­ëå à¥è¥­¨© ¨§ãç ¥¬®© § ¤ ç¨ ¢ ¢¨¤¥

u=^unksin^kycos^{nx; v}=^;k

n u

nkcos^kysin^nx; (2.15)  ¢â®­®¬­® 㤮¢«¥â¢®àïî饬㠣࠭¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ (1.2), (1.3) ¡¥§ ­ «®¦¥­¨ï ª ª¨å-«¨¡® ãá«®-

¢¨©.”®à¬ã«  (2.14) ¯à¨ ^k = 0 ᢮¤¨âáï ª (1.10),   ¯à¨ ⁿ = 0 | ª (1.16). Ž¤­ ª® ¯à¨ ^k = 0

¨§ (2.10) ­¥ á«¥¤ã¥â à¥è¥­¨¥ (1.12). à¨ ⁿ = 0 ¨§ (2.15) á«¥¤ã¥â à¥è¥­¨¥ ^u = ^unksin^ky,

v=^;kunkxcos^ky, â ª¦¥ ­¥ ᮢ¯ ¤ î饥 á (1.18).

‚­¥á¥¬ ⥯¥àì (2.12) ¨ (2.13) ¢ (2.11) ¨ ¯®âॡ㥬 ¢ë¯®«­¥­¨ï ãá«®¢¨ï (2.7). ‚ १ã«ìâ â¥ ¢ ᨫã^{uenk 6}= 0 ¤«ï ² ¯®«ã稬 âã ¦¥ ä®à¬ã«ã (2.14). Ž¤­ ª® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ ®­  ¤®«¦­  ¡ëâì

¯à¥®¡à §®¢ ­  ¯ã⥬ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨ï ãá«®¢¨ï^2k =¹²²ⁿ, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ª ä®à¬ã«¥

²=^ge11 +^2n12; (2.16)

£¤¥^ge1=^g1(1^;1221) =^E1=G12.

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ë¢¥¤¥­­ ï ä®à¬ã«  (2.16) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ¥é¥ ®¤­®¬ã ç áâ­®¬ã à¥è¥­¨î § -

¤ ç¨

u=^uenkcos^kycos^{nx; v}= ^k

n e

u

nksin^kysin^nx; (2.17)

­  ª®â®à®¥ ­ «®¦¥­® ãá«®¢¨¥^2k =¹²²ⁿ, ¯®§¢®«ïî饥 â®ç­® 㤮¢«¥â¢®à¨âì £à ­¨ç­ë¬ ãá«®-

¢¨ï¬ (1.2), (1.3). à¨ í⮬ ^y = 0 ­¥ ⮫쪮 ­  ªà ïå ¯« á⨭ë, ­® ¨ ¢® ¢á¥å ¥¥ ¢­ãâ७­¨å â®çª å,   äã­ªæ¨ï¬¨ (2.17) ®¯¨á뢠¥âáï ¥¥ ç¨á⮥ ¨§£¨¡­®¥ á®áâ®ï­¨¥ ¡¥§ ¯®ï¢«¥­¨ï ª á â¥«ì-

­ëå ­ ¯à殮­¨©^xy, ª®£¤  ^x6= 0.

à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ (2.12) ¨ (2.13) ¢ (2.11) ¨ ãç¥â¥ ãá«®¢¨ï ^k = 0 ¢ ᨫã ^{Vnk 6}= 0 ¯à¨å®¤¨¬ ª ä®à¬ã«¥

²=^2n; (2.18)

ᮮ⢥âáâ¢ãî饩 à¥è¥­¨î

u=^;21k

n V

nkcos^kysin^{nx; v}=^Vnksin^kycos^nx: (2.19)

„ ­­®¥ à¥è¥­¨¥ 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢á¥¬ £à ­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬ ⮫쪮 ¯à¨ ^k = 0, çâ® ¯à¨¢®¤¨â ¢ ª« áᥠ¨§ãç ¥¬ëå ä㭪権 ⮫쪮 ª âਢ¨ «ì­®¬ã à¥è¥­¨î ^u 0, ^v 0, ¢ â® ¢à¥¬ï ª ª ²

¯® (2.18) ï¥âáï ç áâ®â®© ç¨á⮠ᤢ¨£®¢ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ­¨©, ॠ«¨§ æ¨ï ª®â®àëå ¢®§¬®¦­ 

⮫쪮 ã ¡¥áª®­¥ç­® è¨à®ª®© ¯« á⨭ë.

ˆ, ­ ª®­¥æ, ¯à¨ ¯®¤áâ ­®¢ª¥ (2.12) ¨ (2.13) ¢ (2.11) á ãç¥â®¬ ãá«®¢¨ï ²ⁿ = ^122k ¢ ᨫã

e

V

nk

6= 0 ¯à¨å®¤¨¬ ª ä®à¬ã«¥

²=^ge21 +^2k21; (2.20)

£¤¥^ge2=^g2(1^;1221) =^E2=G12. „ ­­®© ä®à¬ã«¥ ᮮ⢥âáâ¢ã¥â à¥è¥­¨¥ ¢¨¤ 

u= ^21k

n e

V

nksin^kysin^{nx; v}=^Venkcos^kycos^nx; (2.21)

­  ª®â®à®¥ ¤®«¦­® ¡ëâì ­ «®¦¥­® ãá«®¢¨¥ (2.9) ¤«ï 㤮¢«¥â¢®à¥­¨ï áä®à¬ã«¨à®¢ ­­ë¬ £à -

­¨ç­ë¬ ãá«®¢¨ï¬. à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨ï (2.9) ^x = 0 ­¥ ⮫쪮 ­  ªà ïå ¯« á⨭ë, ­® ¨

¢® ¢á¥å ¥¥ ¢­ãâ७­¨å â®çª å,   äã­ªæ¨ï¬¨ (2.21) ¯®  ­ «®£¨¨ á (2.17) ®¯¨á뢠¥âáï ¥¥ ç¨á⮥

¨§£¨¡­®¥ á®áâ®ï­¨¥ á^{y 6}= 0.

‡ ¬¥â¨¬, çâ® ä®à¬ã«  (2.20), ª ª ¨ (2.16), â ª¦¥ ¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭  ¯ã⥬ ¯à¥®¡à §®¢ -

­¨ï ä®à¬ã«ë (2.14), ­® ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ãá«®¢¨ï²ⁿ =^122k. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

®á­®¢­ë¥ ç áâ®âë ¡¥áᤢ¨£®¢ëå ä®à¬ ª®«¥¡ ­¨© ®¯à¥¤¥«ïîâáï ¯® ä®à¬ã«¥ (2.14) ¯à¨ §­ ç¥­¨ïå

n= 0,^k = 0,   â ª¦¥ ¯à¨ⁿ= 1^;2^;:::,^k = 1^;2^;::: ˆ§ ­¥¥ ¯à¨ ¢ë¯®«­¥­¨¨ ãá«®¢¨©

k 2

n

2 =^12b2

a 2

; n

2

k

2 =^21a2

b 2

á«¥¤ãîâ ä®à¬ã«ë (2.16) ¨ (2.20).

‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á® ¢â®àë¬ ¬¥â®¤®¬, áç¨â î騬áï ¢ «¨â¥à âãॠâ®ç­ë¬, ¯®¤áâ ¢«ïï ¢ ãà ¢-

­¥­¨ï (1.4) ä㭪樨 (2.15), (2.17), (2.19) ¨ (2.21), ¯®«ã稬 à ¢¥­á⢠

(^;g12n+^21g12k+ ²)^unksin^kycos^nx= 0^;

g

2

3

k

n

;

12 g

2

n

k

;

k

n

^2unkcos^kysin^nx= 0; (2.22) (^;g12n+^21g12k+ ²)^uenkcos^kycos^nx= 0^;

g

2

3

k

n

;

12 g

2

n

k

;

k

n

^2uenksin^kysin^nx= 0; (2.23)

21

3

k

n

;

n

k

;

21

k

n

^2Vnkcos^kysin^nx= 0^;

(^;eg22k;2n+^212k+ ²)^Vnksin^kycos^nx= 0; (2.24)

21

3

k

n

;

n

k

;

21

k

n

^2Venksin^kysin^nx= 0^;

(^{;eg22k;2n;212k}+ ²)^Venkcos^kycos^nx= 0^; (2.25)

¨§ ª®â®àëå à ¢¥­á⢠ (2.23){(2.25) ¯à¨ ­ «®¦¥­¨¨ ãá«®¢¨© (2.7){(2.9) ¯à¨­¨¬ îâ ¢¨¤

(^;eg12n+ ²)^uenkcos^kycos^nx= 0^; (2.26)

k^2uenksin^kysin^nx= 0^; (2.27) (^2;2n)^Vnksin^kycos^nx= 0^; (2.28)

21

k^2Venksin^kysin^nx= 0^; (2.29) (^;eg22k+ ²)^Venkcos^kycos^nx= 0^: (2.30)

ˆ§ (2.22) ¯à¨ ãá«®¢¨¨^unk6= 0 á«¥¤ãîâ ¤¢¥ ä®à¬ã«ë ¤«ï ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ²:

²=^g1(^2n;212k)^{; 2} =^g2(^2k;122n)^; (2.31)

¯®í⮬ã á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮

g

1(^2n;212k) =^g2(^2k;122n)^; (2.32)

¯à¨ ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ª®â®à®£® ¨§ (2.31) á«¥¤ãîâ ª ª ä®à¬ã«  (2.16), â ª ¨ ä®à¬ã«  (2.20).

à¨ ãá«®¢¨ïå ²⁶= 0, ^{uenk 6}= 0 à ¢¥­á⢮ (2.27) ¬®¦¥â ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­® ⮫쪮 ¯à¨ ¢ë¯®«­¥-

­¨¨ à ¢¥­á⢠^k = 0, çâ® ­¥ ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¯®«­¥­¨î ¤à㣮£® à ¢¥­á⢠ (2.26). ˆ§ ­¥£® ¯à¨

ãá«®¢¨¨^uenk6= 0 á«¥¤ã¥â ä®à¬ã« 

² =^eg12n: (2.33)

…é¥ ®¤­  ä®à¬ã« 

²=²ⁿ (2.34)

á«¥¤ã¥â ¨§ (2.28) ¯à¨ ãá«®¢¨¨^Vnk6= 0,   ¤¢  à ¢¥­á⢠ (2.29) ¨ (2.30), ª®â®àë¥ ¤®«¦­ë ¢ë¯®«-

­ïâìáï ⮫쪮 ¯à¨ ¨å ᮢ¬¥áâ­®¬ à áᬮâ७¨¨, âॡãî⠢믮«­¥­¨ï à ¢¥­á⢠^Venk= 0.

”®à¬ã«®© (2.33) ®¯à¥¤¥«ïîâáï ç áâ®âë ¯à®¤®«ì­ëå ª®«¥¡ ­¨© ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ®á¨^x, ª®â®àë¥

ᮮ⢥âáâ¢ãî⠨ᯮ«ì§®¢ ­¨î ®¤­®¬¥à­®£® ãà ¢­¥­¨ï, ¯®«ã祭­®£® ¯à¥¤¢ à¨â¥«ì­ë¬ ।ãæ¨- ஢ ­¨¥¬ ¨á室­ëå ãà ¢­¥­¨© ª áâ¥à¦­¥¢®© ¬®¤¥«¨ ­  ¡ §¥ ¯à¥¤¯®«®¦¥­¨ï^yy= 0. € ä®à¬ã« 

(2.34), ª ª ¡ë«® ®â¬¥ç¥­® à ­¥¥, ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ç¨á⮠ᤢ¨£®¢®© ä®à¬¥ ª®«¥¡ ­¨© «¨èì ¡¥áª®-

­¥ç­® è¨à®ª®© ¯« á⨭ë, ã ª®â®à®© ªà ï^y= 0^{; b}®âáãâáâ¢ãîâ.

®ï¢«¥­¨¥ ¢ ä®à¬ã« å (2.16) (¯® áà ¢­¥­¨î á (2.33)) ¨ (2.20) §­ ¬¥­ â¥«¥© (1 +¹²) ¨ (1 +²¹) ¨¬¥¥â ¢¯®«­¥ ®¡êïá­¨¬ë© 䨧¨ç¥áª¨© á¬ëá«. Œ®¦­® ã¡¥¤¨âìáï ¢ ⮬, çâ® ®­® á¢ï§ ­®

á ãç¥â®¬ ¯¥à¥¬¥é¥­¨© ®â á¢ï§¥© ^"y =^;12"x,^"x =^;21"y ¨ ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¨¬ ¨­¥à樮­­ëå ᨫ ¢ ¯¥à¢®¬ á«ãç ¥ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ®á¨ ^y, ª®£¤  ¯« á⨭  ᮢ¥à蠥⠨§£¨¡­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¯®

ä®à¬¥ (2.17),   ¢® ¢â®à®¬ á«ãç ¥ ¢ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ ®á¨^x, ª®£¤  ¨§£¨¡­ë¥ ª®«¥¡ ­¨ï ¨¬¥îâ ä®à¬ã (2.21).

‘à ¢­¨¢ ï १ã«ìâ âë, ¯®«ã祭­ë¥ à §­ë¬¨ ¬¥â®¤ ¬¨, ¬®¦­® ã¡¥¤¨âìáï «¨èì ¢ ¨å ç - áâ¨ç­®¬ ᮢ¯ ¤¥­¨¨, çâ® ­  ¯¥à¢ë© ¢§£«ï¤ ï¥âáï ­¥®¦¨¤ ­­ë¬. Ž¡êïá­¥­¨¥ ¢ë¥­­®¬ã

¯ à ¤®ªáã á«¥¤ã¥â ¨§ ¢ à¨ æ¨®­­®£® ãà ¢­¥­¨ï (2.11). ‚ ᨫã ⮣®, çâ® ¢ à¨ æ¨¨ ^u ¨ ^v ­¥

ïîâáï  ¡á®«îâ­® ­¥§ ¢¨á¨¬ë¬¨,   ¢ ¤ ­­®¬ á«ãç ¥ á¢ï§ ­ë § ¢¨á¨¬®áâﬨ ¢¨¤®¢

u=^A (^x;y)^{; v}=^cA'(^{x; y})^; (2.35)

¢ ª®â®àëå^A| ­¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥­­®¥ ¯¥à¥¬¥é¥­¨¥, ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ãà ¢­¥­¨© ª®«¥¡ ­¨©

f

1=^L1(^u;v) = 0^{; f2}=^L2(^u;v) = 0 (2.36)

¢ à ¬ª å ¢â®à®£® ¬¥â®¤  à¥è¥­¨ï § ¤ ç¨ ï¥âáï ­¥ª®à४â­ë¬. „«ï ¯®«ã祭¨ï ª®à४⭮£®

à¥è¥­¨ï ¢ ᮮ⢥âá⢨¨ á (2.35) ¢¬¥áâ® ãà ¢­¥­¨© (2.36), ®ç¥¢¨¤­®, ¤®«¦­® ¡ëâì á®áâ ¢«¥­®

ãà ¢­¥­¨¥ ¢¨¤ 

[^L1( ^;c') +^cL2( ^;c')]^A= 0^;

¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥ ª®â®à®£® ¢ à ¬ª å ¢â®à®£® ¬¥â®¤  ¨ ¯à¨¢®¤¨â ª १ã«ìâ â ¬, ¯®«ã祭­ë¬ ¯à¨

¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨ ¢ à¨ æ¨®­­®£® ¬¥â®¤ .

¥®¡å®¤¨¬® ®â¬¥â¨âì, çâ® ¯®«ã祭¨¥ ä®à¬ã« (2.16) ¨ (2.20) ¨§ à ¢¥­á⢠(2.31), (2.32), â.¥. ¨§

ãà ¢­¥­¨© (2.22), ï¥âáï á«ãç ©­ë¬, â. ª. ª®«¥¡ ­¨ï¬ á ç áâ®â ¬¨ (2.16) ᮮ⢥âáâ¢ã¥â ä®à¬ 

(2.17).   á ¬®¬ ¤¥«¥ ᮢ¬¥áâ­®¥ ª®à४⭮¥ à¥è¥­¨¥ ãà ¢­¥­¨© (2.22) ¤®«¦­® ¡ëâì ¢ë¯®«­¥­®

⮫쪮 ¯® ¬¥â®¤ã ã¡­®¢  á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ¢ à¨ æ¨®­­®£® ãà ¢­¥­¨ï (2.11), १ã«ìâ â®¬ ª®â®- ண® ¨ ï¥âáï ä®à¬ã«  (2.14),   ­¥ ä®à¬ã«  (2.16). „ ­­®¥ § ¬¥ç ­¨¥ ®â­®á¨âáï ª ᮢ¬¥áâ­®¬ã à¥è¥­¨î ¨ ®áâ «ì­ëå á®áâ ¢«¥­­ëå ãà ¢­¥­¨© (2.23){(2.25).