ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòüþ

ÑÀÍÊÒ-ÏÅÒÅÐÁÓÐÃÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ

Ìàòåìàòèêî-ìåõàíè÷åñêèé ôàêóëüòåò

Êàôåäðà òåîðèè âåðîÿòíîñòåé è ìàòåìàòè÷åñêîé ñòàòèñòèêè

Äóäíèê Ìàêñèì Åâãåíüåâè÷

Ñóììû íåçàâèñèìûõ íåîäíîðîäíûõ ïñåâäî-ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ ñî

ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòüþ

Äèïëîìíàÿ ðàáîòà

Çàâ. êàôåäðîé:

ä. ô.-ì. í., ïðîôåññîð Íèêèòèí ß.Þ.

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü:

ê. ô.-ì. í., äîöåíò Ðóñàêîâ Î.Â.

Ðåöåíçåíò:

ä. ò. í., ïðîôåññîð Áåëÿâñêèé Ã.È.

Ñàíêò-Ïåòåðáóðã 2016

SAINT PETERSBURG STATE UNIVERSITY

Mathematics and Mechanics Faculty

Maxim Dudnik

Sums of independent non-homogeneous pseudo-poissonian processes with stochastic

intensity

Graduation Thesis

Head of the chair:

professor Ya.Yu. Nikitin Scientic supervisor:

associate professor O. V. Rusakov Reviewer:

professor G. I. Belyavsky

Saint Petersburg 2016

Ñîäåðæàíèå

1 Ââåäåíèå 4

2 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïîñòàíîâêà çàäà÷è 7 2.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû . . . 7 2.2 Ïîñòàíîâêà ïðîáëåìû . . . 11 3 Ãëàâà 2. Ñëó÷àé äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé Ïóàññî-

íîâñêîãî ïðîöåññà 12

4 Ãëàâà 3. Ñëó÷àé íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé Ïóàññî-

íîâñêîãî ïðîöåññà 15

5 Ãëàâà 4. Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé

Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà 19

6 Çàêëþ÷åíèå 24

7 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû 25

8 Ïðèëîæåíèÿ 26

1 Ââåäåíèå

Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà îïèñàíèþ îñíîâíûõ ñâîéñòâ ñóìì íåçàâèñèìûõ ïñåâäî- ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ ñî ñëó÷àéíîé èíòåíñèâíîñòüþ â ñëó÷àå, åñëè èíòåíñèâíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó. Ïðè ýòîì êëþ÷å- âûì ïîíÿòèåì, íåîáõîäèìûì äëÿ àíàëèçà, ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà (ÏÑÈ).

Ïðè ýòîì ïîä÷åðêíåì, ÷òî ïðîöåññîì ñëó÷àéíîãî èíäåêñà ìû íàçûâàåì ïñåâäîïóàñ- ñîíîâñêèé ïðîöåññ, ïðèìåíåííûé ê ïðîèçâîëüíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à íå òîëüêî ê ìàðêîâñêîé. Îòìåòèì òàêæå, ÷òî â äàííîì ðàçäåëå áóäóò äàíû ëèøü êðàòêèå ââîäíûå ïîíÿòèÿ. Áîëåå ñòðîãèå îïðåäåëåíèÿ äàíû â Ãëàâå 1. Ïîä ïðîöåññîì ñëó÷àéíîãî èíäåê- ñà (ñóáîðäèíàòîðîì) ψ(t) = ψ_Π(t) ìû áóäåì ïîíèìàòü ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ñîñòàâëåííóþ èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξ} = {ξ₀, ξ₁, ...ξ_i, ...} ïóòåì ñëó÷àéíîé çàìåíû âðåìåíè, à èìåííî, ïî îïðåäåëåíèþ:

ψ_Π(t) = ξ_Πλ(t). (1)

Çäåñü è äàëåå Π_λ(t)ïðîöåññ Ïóàññîíà ñ ïîñòîÿííîé âåùåñòâåííîé èíòåíñèâíîñòüþ λ > 0. Çäåñü è äàëåå â êà÷åñòâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí {ξ} ìû áó- äåì ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåíòðèðîâàííûõ è íîðìèðîâàííûõ íåçàâèñè- ìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Ïóàññîíîâñêèå ïðîöåññû, ïðèìå- íåííûå ê ìàðêîâñêèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòÿì, íàçûâàþòñÿ ïñåâäîïóàññîíîâñêèìè ïðîöåñ- ñàìè (Pseudo-Poisson proceses). Êàê ïðîöåññû ñëó÷àéíîãî èíäåêñà, òàê è ïñåâäîïóàññî- íîâñêèå ïðîöåññû â äîñòàòî÷íîé ìåðå èññëåäîâàíû â ëèòåðàòóðå (ñì. íàïð. [1]). Îäíà- êî, ñóììû òàêèõ ïðîöåññîâ â óêàçàííûõ ðàáîòàõ íå ðàññìàòðèâàëèñü. Ïðèìå÷àòåëüíûì ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ñóììà óæå äâóõ ñëàãàåìûõ âèäà (1) äëÿξ, ñîñòîÿùåé èç íåçà- âèñèìûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, óæå íå áóäåò îáëàäàòü ñâîéñòâîì ìàðêîâîñòè.

 ðàáîòàõ Î.Â.Ðóñàêîâà (ñì. íàïð. [2], [3]) áûëè âïåðâûå ââåäåíû â ðàññìîòðåíèå ñóììû íåçàâèñèìûõ êîïèé ïðîöåññîâ âèäà (1), è äîêàçàíà èõ ñõîäèìîñòü â ñìûñëå ñõîäè- ìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ê ïðîöåññàì òèïà Îðíøòåéíà-Óëåíáåêà, à òàêæå ñõîäèìîñòü òàêèì ñóìì â ôèíêöèîíàëüíîì ïðîñòðàíñòâå Ñêîðîõîäà. Èíûìè ñëîâàìè,

áûëè ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà ïðîöåññîâ âèäà:

Ψ_N(t) := 1

√N

N

X

i=1

ψ_i(t), t≥0. (2)

Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû{ξ_t}íå îáëàäàþò âòîðûì ìîìåíòîì, íî ïðèíàä- ëåæàò îáëàñòè ïðèòÿæåíèÿαóñòîé÷èâîãî çàêîíà,0< α <2. Òàêæå áûëè ðàññìîòðåíû ñâîéñòâà ïðîöåññîâ âèäà:

Ψ_N(t) := 1 N^1/α

N

X

i=1

ψ_i(t), t ≥0. (3)

Äàëüíåéøèé àíàëèç ÏÑÈ ïðîõîäèë â áîëåå îáùèõ äîïóùåíèÿõ îá èíòåíñèâíîñòè âåäó- ùåãî ñëó÷àéíîãî ïðîöåññàΠ_λ(t)(ñì íàïð. [4]). Áûë ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà èíòåíñèâ- íîñòü ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà,λ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèñêðåòíóþ ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, îïðåäåëåííóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïóñòü λ èìååò ðàñïðåäåëåíèå P_λ. Ïîëîæèì, ÷òî λ ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ λ₁ < λ₂ < ... < λ_i < ...λ_n ñ âåðîÿòíîñòÿìè p₁, p₂, ..., p_i, ..., p_n, ãäå P

i=1

p_i = 1. Áûëè èññëåäîâàíû ñâîéñòâà ñóìì âèäà (2) â äàííîì ñëó÷àå ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòè ñ äèñêðåòíûì ðàñïðåäåëåíèåì, à òàêæå äîêàçàí ðÿä ïðåäåëüíûõ ñâîéñòâ äëÿ òàêèõ ñóìì.

Îñíîâíîé öåëüþ äàííîé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ èññëåäîâàòü àñèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà è îïèñàòü êîâàðèàöèîííûå ñâîéñòâà ïðåäåëüíîãî ïðîöåññà äëÿ ñóìì âèäà (2), êîãäà â êà-

÷åñòâå èíòåíñèâíîñòè âåäóùåãî ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà âûñòóïàåò ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà λ(ω), îáëàäàþùàÿ åñòåñòâåííûìè ñòîõàñòè÷åñêèìè ñâîéñòâà (íàïðèìåð, áåçãðàíè÷íîé äåëèìîñòüþ ðàñïðåäåëåíèÿ), à òàêæå:

1. λ èΠ₁(t)íåçàâèñèìû, ãäå Π₁(t)- ïðîöåññ Ïóàññîíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ 1;

2. λ èξ íåçàâèñèìû.

Êðîìå òîãî, â ðàáîòå áóäåò ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé ñóìì âèäà (2) ïðè ñëåäóþùèõ äîïóùåíèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñõåìå ñåðèé:

1. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äèñêðåòíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èíλ_j, j = 0..n

<N. Ïðè ýòîì äëÿ êàæäîãîj ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàλ_j ðàñïðåäåëåíà ïî çàêîíóP_λj

ñëåäóþùèì îáðàçîì: λ_j ïðèíèìàåò ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ λ_j,1 < λ_j,2 < ... <

λ_j,i < ...∞ ñ âåðîÿòíîñòÿìè p_j,1, p_j,2, ..., p_j,i, ..., ãäå P^∞

i=1

p_j,i = 1 è p_j,iðàöèîíàëüíûå

÷èñëà âèäà a_j,i/N;

2. Ðàñïðåäåëåíèå (λ_j, p_j), çàâèñÿùåå îò N, ñëàáî ñõîäèòñÿ ïðèN → ∞ê íåêîòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ ν ñ ïðåîáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà L_ν.

 òàêîì ñëó÷àå ðàññìîòðèì ñóììû âèäà:

Ψ_N(t) := 1

√N

n

X

i=1 aj

X

j=1

ψ_λ;j(t), t≥0, (4)

è ïîñòàâèì öåëüþ èññëåäîâàíèå ïðåäåëüíûõ ñâîéñòâ ñóìì âèäà (4) ïðèN ñòðåìÿùèìñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïîìèìî îçâó÷åííûõ öåëåé, â ðàìêàõ äèïëîìíîé ðàáîòû ïëàíèðóåòñÿ ðàññìîòðåòü ðÿä ñâîéñòâ ñóìì ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà ïðè íåêîòîðûõ êîíêðåò- íûõ âèäàõ ðàñïðåäåëåíèé èíòåíñèâíîñòåé, à òàêæå ðàñøèðèòü òàáëèöó èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà.

 Ãëàâå 1 ïëàíèðóåòñÿ äàòü îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ, íåîáõîäèìûå äëÿ äàëü- íåéøåãî àíàëèçà, à òàêæå ñôîðìóëèðîâàòü ïðîáëåìó.  Ãëàâå 2 ïëàíèðóåòñÿ îïèñàòü îñíîâíûå ïðåäâàðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû, èìåþùèåñÿ â ëèòåðàòóðå, äëÿ ñëó÷àåâ äèñêðåò- íî ðàñïðåäåëåííûõ èíòåíñèâíîñòåé.  Ãëàâå 3 ïëàíèðóåòñÿ îïèñàòü îñíîâíûå ïðåäâà- ðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû, èìåþùèåñÿ â ëèòåðàòóðå, äëÿ ñëó÷àåâ íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåí- íûõ èíòåíñèâíîñòåé.  Ãëàâå 4 ïëàíèðóåòñÿ ïðîèëëþñòðèðîâàòü è âûâåñòè ðÿä ñâîéñòâ ðàññìàòðèâàåìûõ ïðîöåññîâ ïðè íåêîòîðûõ êîíêðåòíûõ âèäàõ ðàñïðåäåëåíèé èíòåí- ñèâíîñòåé.

2 Ãëàâà 1. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è ïîñòàíîâêà çàäà÷è

2.1 Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ è òåîðåìû

Ðàññìîòðèì âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî{Ω,F,P}. Êëþ÷åâûì äëÿ âñåãî èçëîæåíèÿ â äàëüíåéøåì áóäåò ïîíÿòèå ïðîöåññà Ïóàññîíà:

Îïðåäåëåíèå 1. Ïðîöåññîì Ïóàññîíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ λ (íà äàííîì ýòàïå ìû íå îïèñûâàåì ïðèðîäó ïàðàìåòðà λ è ñ÷èòàåì åãî ïðîèçâîëüíîé, íî ôèêñèðîâàííîé ïîëîæèòåëüíîé êîíñòàíòîé), ãäåλ >0, íàçûâàåòñÿ ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Π_λ(t), t∈[0;∞) ñ íåçàâèñèìûìè ïðèðàùåíèÿìè, íà÷àëüíûì çíà÷åíèåìΠ_λ(0) = 0è ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïî çàêîíó Ïóàññîíà ñ ïàðàìåòðîìλ·(t−s) ïðèðàùåíèÿìè:

P(Π_λ(t)−Π_λ(s) = k) = λ·(t−s)^k

k! ·exp{−λ·(t−s)}, k= 0,1,2...(5)

Îïðåäåëåíèå 2. Ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå {Ω,F,P} çàäàíà ñëó÷àé- íàÿ âåëè÷èíà ξ(ω), ãäå ω èç Ω. Çäåñü è äàëåå ìû áóäåì îïóñêàòü àðãóìåíò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû. ÏóñòüF_ξ(x), ãäå x∈R çàêîí ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû ξ. Ïðå- îáðàçîâàíèåì Ëàïëàñà ñëó÷àéíîé âåëè÷èíàξ íàçûâàåòñÿ ñëåäóþùàÿ ôóíêöèÿ:

Lξ(t) = Z ∞

0

exp{−tv}dF_ξ(dv). (6)

Ïåðåä òåì, êàê ïðèñòóïèòü ê îïðåäåëåíèþ ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà (ÏÑÈ) çà- ìåòèì ñëåäóþùèé ôàêò: ïóñòüΠ₁(t) ïðîöåññ Ïóàññîíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ1. Ïóñòüλ ïîñòîÿííàÿ âåùåñòâåííàÿ êîíñòàíòà, ïðè÷åìλ >0. Ïðîöåññ Ïóàññîíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ λ ïîëó÷àåòñÿ èç ïðîöåññà ÏóàññîíàΠ₁(t) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Π_λ(t) := Π₁(λ·t). (7)

 ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòè ïðîöåññà Ïóàññîíà, Λ = Λ(t) íåóáûâàþùàÿ íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ (ò.÷. Λ(0) = 0 èëè ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëîæèòåëüíîé ìå- ðû áåç àòîìîâ, çàäàííîé íà ïðàâîé ïîëóîñè) êîíñòðóêöèÿ çàìåíû âðåìåíè â ïðîöåññå Ïóàññîíà ñòðîèòñÿ ïî ñóòè àíàëîãè÷íî ïðåäñòàâëåííîé âûøå:

ΠΛ(t) = Π1(Λ(t)). (8)

 ñëó÷àå, êîãäà èíòåíñèâíîñòü ïðîöåññà Ïóàññîíà, λ, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóλ(ω), ìû áóäåì óêàçûâàòü àðãóìåíò ω.

Ïåðåéäåì ê îïðåäåëåíèþ ïñåâäîïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ è ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà. Äàëåå ïóñòü íà âåðîÿòíîñòíîì ïðîñòðàíñòâå {Ω,F,P} çàäàíà ïîñëåäîâàòåëü- íîñòü íåçàâèñèìûõ îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí{ξ}={ξ₀, ξ₁, ...ξ_i, ...}

è ïðîöåññ Π_λ(t) = Π(t), ãäå t >= 0. Ïðîöåññ Π(t) ïóàññîíîâñêèé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ, íå çàâèñÿùèé îò {ξ}, λ >0 èíòåíñèâíîñòü ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà; λ∈IR.

Îïðåäåëåíèå 3. Çàäàäèì ñëó÷àéíóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ξ(t) := ξ_t, ãäå ξ_t ∈ {ξ}. Äàëåå ðàññìîòðèì ñëó÷àéíóþ çàìåíó âðåìåíè â ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ξ(t) ïîñðåäñòâîì ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà Π(t) ñëåäóþùèì îáðàçîì:

ψ(t) =ψ_Π(t) =ψ_Π,ζ(t) :=ζ_Π(t) =ζ_Π(t). (9) Ïðîöåññ ψ(t) íàçûâàþò ïðîöåññîì ñëó÷àéíîãî èíäåêñà (ÏÑÈ). Îòìåòèì, ÷òî ïðîöåññ ψ(t) èìååò êóñî÷íî-ïîñòîÿííûå, íåïðåðûâíûå ñïðàâà òðàåêîðèè, çàäàí íà IR+.Π(t) ìû áóäåò íàçûâàòü âåäóùèì, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξ(t) ôîðìèðóþùåé.

Åñëè íå óêàçàíî èíîå, ìû áóäåì çäåñü è äàëåå ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ξi, i = 1, ... íåçàâèñèìû, èìåþò îäèíàêîâîå ðàñïðåäåëåíèå Fξ(x), êîíå÷íûé âòîðîé ìî- ìåíò, èçâåñòíîå ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèþ.  äàëüíåéøåì, åñëè íå óêàçàíî èíîå, ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ξi, i = 1, ...ïðåäïîëà- ãàþòñÿ ðàâíûìè íóëþ è åäèíèöå ñîîòâåòñòâåííî.

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ñëó÷àå, åñëè ôîðìèðóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ÿâëÿåòñÿ ìàðêîâñêîé, òî êîíñòðóêöèÿ âèäà (9) íàçûâàåòñÿ ïñåâäîïóàññîíîâñêèì ïðîöåññîì. Îò- ìåòèì, ÷òî òàê êàê â ðàìêàõ äàííîé ðàáîòû áóäóò ðàññìàòðèâàòüñÿ ïî áîëüøåé ÷àñòè òîëüêî ïñåâäîïóàññîíîâñêèå ïðîöåññû, äëÿ êðàòêîñòè èçëîæåíèÿ áóäåì îïåðèðîâàòü òîëüêî òåðìèíîì ÏÑÈ, åñëè íå ïîòðåáóåòñÿ óòî÷íåíèÿ.

Ðàññìîòðèì òåïåðü ìåõàíèçì ôîðìèðîâàíèÿ ïðîöåññà (9). Ïóñòü åñòü äâà ìîìåíòà ñêà÷êîâ âåäóùåãî ïðîöåññà,tk< tk+1, k ∈Z+. Êàæäîìó èíòåðâàëó[tk, tk+1) ïîñòàâèì â ñîîòâåòñòâèå ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíóξ_k, çàâèñÿùóþ îò íîìåðà èíòåðâàëà. Ïðè ïåðåõîäå ê ñëåäóþùåìó èíòåðâàëó (k+ 1)ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàξk òàêæå çàìåíÿåòñÿ íà ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó ξ_k+1 èç âåäóùåé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξ}. Íàïîìíèì, ÷òî â ðàìêàõ äàííîé

ðàáîòû â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {ξ} âûñòóïàþò íåçàâèñèìûå îäèíà- êîâî ðàñïðåäåëåííûå âåëè÷èíû ñ íóëåâûì ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì è åäèíè÷íîé äèñïåðñèåé:

IEξ₀ = 0,IDξ₀ = 1

Îòìåòèì òàêæå î÷åâèäíîå ñâîéñòâî ïðîöåññà (9), íåîáõîäèìîå äëÿ ðÿäà äàëüíåéøèõ äî- êàçàòåëüñòâ: ïðîöåññ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà (9) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåí â âèäå ñëåäóþùåé áåñêîíå÷íîé ñóììû:

ψ_Π(t) =

∞

X

i=0

ξ_iII{Π(t) =i}, (10)

ãäå II{A} - èíäèêàòîð ìíîæåñòâà .

Çäåñü è äàëåå èíäåêñ ïðè ξ₀ ìû áóäåì îïóñêàòü, åñëè ýòî íåñóùåñòâåííî äëÿ àíàëèçà.

Ïåðåéäåì äàëåå ê îïðåäåëåíèþ ñóìì ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà. Áóäåì ðàññìàò- ðèâàòü íåçàâèñèìûå êîïèè ïðîöåññà (9) ïðè ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ äîïóùåíèÿõ:

1. Âåäóùèå ïðîöåññû Ïóàññîíà íåçàâèñèìû è èìåþò îäèíàêîâóþ èíòåíñèâíîñòü λ; 2. ξ_i, i = 0,1... íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû ñ ðàñ-

ïðåäåëåíèåì, ðàâíûì ðàñïðåäåëåíèþ ξ₀;

3. λ èΠ₁(t)íåçàâèñèìû, ãäå Π₁(t) ïðîöåññ Ïóàññîíà ñ èíòåíñèâíîñòüþ 1;

4. λ èξ íåçàâèñèìû.

Îòìåòèì, ÷òî îäèíàêîâàÿ èíòåíñèâíîñòü ïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâλâ ñëó÷àåλ(ω)îçíà-

÷àåò, ÷òî ðàññìàñòðèâàåòñÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíàλ(ω)áóäåò ñâîÿ äëÿ êàæäîé íåçàâèñè- ìîé êîïèè ïðîöåññà Π₁(λ(ω)t), íî âñå îíè îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû è íåçàâèñèìû.

Òî åñòü, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âèäà (s≥0):

{ξ_Π(s);ξ^[1]_Π

1(s);...;ξ_Π^[k]

k(s);...}={ξ_Π(s);ξ_Π1(s);...;ξ_Πi(s);...}. (11) Îïðåäåëåíèå 4. Ïóñòü ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå è äèñïåðñèÿ ξ0 ðàâíû íóëþ è åäèíèöå ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü t ≥ 0 , n ∈ IN. Íîðìèðîâàííûå ñóììû íåçàâèñèìûõ

êîïèé ÏÑÈ ïðîöåññîâ îïðåäåëèì ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Ψ_N(t) := 1

√N ·

N

X

i=0

ξ_Πi(t) = 1

√N ·

N

X

i=0

ψ_i(t), (12)

ãäå (ψ_i(t)) ñóòü íåçàâèñèìûå êîïèè ïðîöåññàψ(t).

Ó÷èòûâàÿ òîò ôàêò, ÷òî îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ ðàññìàòðèâàåìûõ â äàííîé ðàáîòå - ðàññìîòðåíèå ñõîäèìîñòè è ïðåäåëüíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ñóìì íåçàâèñèìûõ ïðîöåñ- ñîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà, ïðèâåäåì íèæå áåç äîêàçàòåëüñòâà îñíîâíóþ îïîðíóþ òåîðåìó î ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.

Îïðåäåëåíèå 5. Ñëó÷àéíûé ïðîöåññX(t)íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì â óçêîì ñìûñ- ëå, åñëè äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî n, äëÿ ëþáûõ t₁, t₂, ..., t_n ∈ T, T ⊂ IN, ãäå T âðå- ìåííîé ïðîìåæóòîê, äëÿ ëþáîãî ñäâèãà ïî âðåìåíè íà âåëè÷èíót â ðàìêàõ çàäàííîãî âðåìåííîãî ïðîìåæóòêà âûïîëíÿåòñÿ:

(X(t₁), X(t₂), ...X(t_n)) = (X(t₁+t), X(t₂+t), ...., X(t_n+t)),

ãäå ðàâåíñòâî ïîíèìàåòñÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàâåíñòâàn-ìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé.

Òåîðåìà 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ âåêòîðîâ. ÏóñòüX₁, X₂, ...

- íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâåIR^dñ ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì µè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé R. Òîãäà

√1 N ·

N

X

i=1

(Xi−µ)⇒N(0, R), (13)

ãäåN(0, R) îáîçíà÷àåò íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûé âåêòîð ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè÷åñêèõ îæèäàíèé0 è ìàòðèöåé âàðèàöèè-êîâàðèàöèèR, ñõîäèìîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ñëà- áîé ñõîäèìîñòè.

2.2 Ïîñòàíîâêà ïðîáëåìû

Êàê óæå îòìå÷àëîñü, ïðîöåññû ñëó÷àéíîãî èíäåêñà è ñóììû ÏÑÈ ïðîöåññîâ â ñëó÷àå âåùåñòâåííîé èíòåíñèâíîñòè äîñòàòî÷íî õîðîøî îïèñàíû è èçó÷åíû â ðàáîòàõ Ôåëëåðà è Ðóñàêîâà (ñì. íàïð. [1], [2], [3]). Îäíàêî íà äàííûé ìîìåíò íàáëþäàåòñÿ íåäîñòàòîê ëèòåðàòóðû è èññëåäîâàíèé, çàòðàãèâàþùèõ åñòåñòâåííûå îáîáùåíèÿ ñóìì âèäà (12) â ñëó÷àå íåîäíîðîäíîé èíòåíñèâíîñòè ïðîöåññà Ïóàññîíà è, â ÷àñòíîñòè, â ñëó÷àå åå íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ.  äàííîé ðàáîòå ïëàíèðóåòñÿ ïðèâåñòè îñíîâíûå èìåþ- ùèåñÿ ðåçóëüòàòû, îïèñàòü ñâîéñòâà ÏÑÈ ïðîöåññîâ â ñëó÷àÿõ êîíêðåòíûõ ðàñïðåäå- ëåíèé èíòåíñèâíîñòåé è ïðåäâàðèòåëüíî ñôîðìóëèðîâàòü óòâåðæäåíèå îòíîñèòåëüíî ñõîäèìîñòè áîëåå ñëîæíûõ êîíñòðóêöèé âèäà (12) â ñëó÷àå äèñêðåòíûõ, íî íå îäèíà- êîâî ðàñïðåäåëåííûõ èíòåíñèâíîñòåé.

Òàêæå, ó÷èòûâàÿ òî, ÷òî òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà ïî ñóòè ÿâ- ëÿþòñÿ èñòî÷íèêîì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîíêðåòíûõ ñëó÷àåâ ðàñïðåäåëåíèé ñòîõàñòè-

÷åñêèõ èíòåíñèâíîñòåé ïðîöåññà Ïóàññîíà, óïðàâëÿþùåãî çàìåíîé âðåìåíè â ñóììàõ ÏÑÈ-ïðîöåññîâ, îäíîé èç ïîòåíöèàëüíûõ öåëåé äàííîé ðàáîòû ìîæíî íàçâàòü ðàñøè- ðåíèå èìåþùèõñÿ ïðèìåðîâ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà â òàáëèöàõ èíòåãðàëüíûõ ïðåîá- ðàçîâàíèé (ñì. íàïð. [12]).

3 Ãëàâà 2. Ñëó÷àé äèñêðåòíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà

 äàííîé ãëàâå áóäóò ïðèâåäåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ Ãàéñèíà (ñì.

íàïð. [4]), â ðàáîòå êîòîðîãî ðàññìàòðèâàëèñü ñóììû ÏÑÈ ïðîöåññîâ âèäà (12) äëÿ ñëó÷àÿ äèñêðåòíî ðàñïðåäåëåííûõ èíòåíñèâíîñòåéλ(ω). Ïåðåä îïèñàíèåì îñíîâíûõ ðå- çóëüòàòîâ ïðåäâàðèòåëüíî ïîñòðîèì ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ, â ðàìêàõ êîòîðîé áóäóò îïèñàíû è äîêàçàíû óòâåðæåäèÿ: ïóñòüν(ω) äèñêðåòíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, çàäàí- íàÿ íà ïðîñòðàíñòâå {Ω,F,P} è èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå Pν. Ïóñòü ν(ω) ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ 0 < ν₁ < ... < ν_k < ... < ... < ν_j < .. < ∞ ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè âåðîÿòíîñòÿ- ìè {pj}, j = 1...∞.  äàííîì ñëó÷àå ïðîöåññ Ïóàññîíà, óïðàâëÿþùèé âðåìåíåì â (13), ñòðîèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:

Πν(t) := Π(ν·t). (14)

Èìåÿ ïðîöåññ Ïóàññîíà îïèñàííîãî âèäà, ìû ìîæåì ñîñòàâèòü ñóììû, àíàëîãè÷íûå ïî ïîñòðîåíèþ âûðàæåíèþ (12), íî èìåÿ â âèäó óæå â êà÷åñòâå âåäóùåãî ïðîöåññà ïðîöåññ Ïóàñîíà âèäà (14). Îáîçíà÷èì òàêèå ñóììû:

Ψ^ν_N(t). (15)

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êëþ÷åâóþ è èñ÷åðïûâàþùóþ ðîëü â Òåîðåìå 1 èãðàþò ïàðíûå êîâàðè- àöèè, ïðèâåäåì âíà÷àëå ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò:

Óòâåðæäåíèå 1. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî N è äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ s è t âåðíî

cov(Ψ^ν_N(t),Ψ^ν_N(t+s)) =

∞

X

i=1

p_iexp{−ν_i·s}. (16) Äîêàçàòåëüñòâî.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñëó÷àéíûå ïðîöåññû â âûðàæåíèè (15), à èìåííîξ_Πν(s), ïîïàðíî íåçàâè- ñèìû è îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåíû, ïîëó÷àåì:

cov(Ψ^ν_N(t),Ψ^ν_N(t+s)) = IE{ 1 N

N

X

i=1

ξ_(Πν(t))i ·

N

X

j=1

ξ_(Πν(t+s))j}= 1 N

N

X

j=1

cov(ξ_(Πν(t))i, ξ_(Πν(t+s))j).(17)

Äàëåå ðàññìîòðèì âûðàæåíèå ïîä çíàêîì ïîñëåäíåé ñóììû, èñïîëüçóÿ âûðàæåíèå äëÿ ÏÑÈ ïðîöåññà âèäà (10):

A :=cov(ξ_(Πν(t))i, ξ_(Πν(t+s))j) = IE{

∞

X

i=0

ξ_iII{Π_ν(t) =i}

∞

X

j=0

ξ_jII{Π_ν(t+s) =j}}.

Òàê êàê IEξ = 0, âñå ξ_i ñîâîêóïíî íåçàâèñèìû è íåçàâèñèìû ñ ïðîöåññîì Ïóàññîíà, òî îêîí÷àòåëüíî èìååì:

A= IE{

∞

X

i=0

ξ_i²II{Π_ν(t) = Π_ν(t+s) = i}=

∞

X

i=0

IE(ξ_i²)P{Π_ν(t) = Π(ν(t+s) =i}

,

ãäåP() - âåðîÿòíîñòíàÿ ìåðà íà Ω.

Òàê êàê IDξ = 1, òî äëÿ ëþáîãî i âûïîëíÿåòñÿ IEξ_i² = 1. Îòñþäà èìååì îêîí÷àòåëüíî:

A=

∞

X

i=0

P{Π_ν(t) = Π(ν(t+s) = i}.

Äàëåå ïî ôîðìóëå ïîëíîé âåðîÿòíîñòè ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå:

A=

∞

X

i=0

p_iP{Π_{ν i}(t) = Π(ν_i(t+s)}.

Ó÷èòûâàÿ îäíîðîäíîñòü ïðèðàùåíèé ïðîöåññà Ïóàññîíà èìååì:

A=

∞

X

i=0

p_iP{Π_{ν i}(t) = Π(ν_i(s)}=

∞

X

i=0

iexp{−ν_is}.

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì òðåáóåìîå:

cov(Ψ^ν_N(t),Ψ^ν_N(t+s)) = 1 N

∞

X

i=0

cov(ξ_Πi(t), ξ_Πi(t+s)) = (18)

=N · 1 N ·

∞

X

m=0

pmexp{−νms}=

∞

X

m=0

pmexp{−νms}.

Çàìåòèì, ÷òî ïî ñóòè, ïðàâàÿ ÷àñòü äîêàçàííîãî íàìè óòâåðæäåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà âåðîÿòíîñòíîé ìåðû, âûðîæäåííîé â òî÷êàõνi, i= 1...∞.

Ïîìèìî îáîçíà÷åííîãî ðåçóëüòàòà, â èìåþùèõñÿ ðàáîòàõ ðàññìîòðåíû ñëó÷àè ñëà- áîé ñõîäèìîñòè ðàñïðåäåëåíèé ñóáîðäèíàòîðîâ ïðè ñëàáîé ñõîäèìîñòè èíòåíñèâíîñòåé, à òàêæå âàæíûå ñâîéñòâà õàðàêòåðèñòè÷åñêîé ôóíêöèè âåêòîðà ñå÷åíèé äëÿ ñóáîðäè- íàòîðà. Ýòè ðåçóëüòàòû ïëàíèðóåòñÿ áîëåå ïîäðîáíî ïðåäñòàâèòü â Ïðèëîæåíèè ê äàí- íîé ðàáîòå. Îòìåòèì, ÷òî â íàñòîÿùèé ìîìåíò â ëèòåðàòóðå (ñì. íàïð [11]) îäíèì èç íàèáîëåå àêòóàëüíûõ íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèé ÿâëÿåòñÿèçó÷åíèå ñõîäèìîñòè ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðåäåëà êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé äëÿ ñóìì ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà, êîãäà ñëó÷àéíàÿ èíòåíñèâíîñòü ïóàññîíâîñêîãî ïðîöåññà èìååò âïîëíå êîíêðåòíîå äèñ- êðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå è áîëåå òîãî, ðàñïðåäåëåíèå çàâèñèò îò êîëè÷åñòâà ñëàãàåìûõ â ñóììå. Èíà÷å ãîâîðÿ, ðàññìàòðèâàþòñÿ ñëåäóþùóþ êîíñòðóêöèþ:

1. Ïóñòü(ξ) = ξ₀, ξ₁, ...ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí, èìåþùèõ α - óñòîé÷èâîå ðàñïðåäåëåíèå, ãäå α∈(0,2];

2. Òàêæå ïóñòü IEξ_o =µ,IDξ₀ =σ².Π(t)- ïóàññîíâîñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâíîñòüþ1, t ≥0;

3. λ(ω, N) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, èìåþùàÿ ñëåäóþùåå äèñêðåòíîå ðàñïðåäåëåíèå:

ïóñòüλ(ω;N)ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç ìíîæåñòâà{a₁, a₂, ..., a_n(N)}òàêèå, ÷òî P

k=1

a_k = N;

4. ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, îïðåäåëåííàÿ âûøå, ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîìó ðàñïðåäåëåíèþ â ñìûñëå ñõîäèìîñòè ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà.

4 Ãëàâà 3. Ñëó÷àé íåïðåðûâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà

Åñòåñòâåííûì îáîáùåíèåì èññëåäîâàíèé, ïðîâåäåííûõ â ðàìêàõ äîïóùåíèÿ î äèñ- êðåòíîì ðàñïðåäåëåíèè èíòåíñèâíîñòåé ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, ÿâëÿåòñÿ ðàñ- ïðîñòðàíåíèå ñôîðìèðîâàííîé òåîðèè íà ñëó÷àé íåïðåðûâíî ðàñïðåäåëåííûõ èí- òåíñèâíîñòåé.

Óòâåðæäåíèå 3. Ïóñòü (ξ) = ξ0, ξ1, ... ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñèìûõ, îäè- íàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ êîíå÷íûì âòîðûì ìîìåíòîì (åñëè íå óêàçàíî èíîãî, ýòî äîïóùåíèå â äàëüíåéøåì áóäåò îïóñêàòüñÿ). Òàêæå ïóñòü IEξ_o = µ,IDξ₀ = σ². Π(t) - ïóàññîíâîñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâíîñòüþ 1, t ≥ 0. λ(ω) - ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ëó÷å [0,∞) è èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå P_λ. Ïóñòü òàêæå L_λ(x), x ≥ 0 - ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó-

÷àéíîé âåëè÷èíûλ. Îêîí÷àòåëüíî, ïóñòü âñå âåëè÷èíû:ξ, λ,Π(t)âçàèìíî íåçàâè- ñèìû. Ïóñòü λ ðàçûãðûâàåòñÿ îäèí ðàç. Òîãäà: ïðîöåññ ñëó÷àéíîãî èíäåêñàξ_Πλ(t) ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì â øèðîêîì ñìûñëå è

cov(ξ_Πλ(t), ξ_Πλ(s)) = σ²·L_λ·(|t−s|), (19)

ãäå t, s ≥0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Ñì., íàïð. [5].

Íàïîìíèì äëÿ óäîáñòâà ôîðìóëèðîâêó Òåîðåìû 1:

Òåîðåìà 1. Öåíòðàëüíàÿ ïðåäåëüíàÿ òåîðåìà äëÿ âåêòîðîâ ÏóñòüX₁, X₂, ...

- íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå âåêòîðû â ïðîñòðàíñòâåIR^dñ ìàòåìàòè-

÷åñêèì îæèäàíèåì µè êîâàðèàöèîííîé ìàòðèöåé R. Òîãäà

√1 N ·

N

X

i=1

(Xi−µ)⇒N(0, R), (20)

ãäå N(0, R) îáîçíà÷àåò íîðìàëüíî ðàñïðåäåëåííûé âåêòîð ñ âåêòîðîì ìàòåìàòè-

÷åñêèõ îæèäàíèé0è ìàòðèöåé âàðèàöèè-êîâàðèàöèè R, ñ ñõîäèìîñòü ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòè.

Äàëåå îäíèì èç îñíîâíûõ ðåçóëüòàòîâ ðàáîò, èññëåäîâàâøèõ, ïîìèìî ïðî÷åãî, âî- ïðîñû ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòè Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà (ñì. íàïð. [5],[11]) ÿâëÿëîñü, ïî ñóòè, äîêàçàòåëüñòâî öåíòðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìû äëÿ âåêòîðîâ â îáùåì ñëó÷àå íåïðåðâíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòè ïóàññîíîâñêîãî ïðî- öåññà â îïðåäåëåíèè ñóìì ïðîöåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà. Èòîãî, ïðèâåäåì äîêà- çàòåëüñòâî ñëåäóþùåãî óòâåðæäåíèÿ:

Óòâåðæäåíèå 4. Ïóñòü(ξ) =ξ₀, ξ₁, ...êàê è ðàíåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçàâèñè- ìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òàêæå ïóñòü IEξ_o =µ,IDξ₀ = σ².Π(t)- ïóàññîíîâñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâíîñòüþ1,t≥0.λ(ω)- ñëó÷àéíàÿ âåëè-

÷èíà, ñîñðåäîòî÷åííàÿ íà ëó÷å [0,∞) è èìåþùàÿ ðàñïðåäåëåíèå P_λ. Ïóñòü òàêæå L_λ(x), x≥0- ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíûλ. Îêîí÷àòåëüíî, ïóñòü âñå âåëè÷èíû:ξ, λ,Π(t)âçàèìíî íåçàâèñèìû. Ïóñòüλðàçûã- ðûâàåòñÿ îäèí ðàç. Ñîñòàâèì íåçàâèñèìûå êîïèè ïðîöåññà ñëó÷àéíîãî èíäåêñà ξ_Πλ(t) âèäà (12), à èìåííî:

Ψ_N(t) := 1

√N ·

N

X

i=0

ξ_Πi(t)= 1

√N ·

N

X

i=0

ψ_i(t). (21)

Òîãäà Ψ_N(t)ñõîäèòñÿ â ñìûñëå ñëàáîé ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ê ñòàöèîíàðíîìó ïðîöåññóG(t)ñ ãàóññîâñêèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè è êîâàðèàöèåé.

cov(₍t),₍t+s)) =σ²·L_λ·(|t−s|), (22)

ãäå t, s ≥0.

Äîêàçàòåëüñòâî. Çàôèêñèðóåì äàííûå ìîìåíòû âðåìåíè: (t₁, t₂, ..., t_m) òàê, ÷òî t₁ ≥t₂)< ... < t_m è ðàññìîòðèì ñëó÷àéíûå âåêòîðà âèäà:

(ψ_k(t₁), ψ_k(t₂), ..., ψ_k(t_m)), k ∈[1 :N].

Òàê êàê äëÿ ðàçëè÷íûõ èíäåêñîâ i 6= jêîïèè ïðîöåññà ψ_j(t) è ψ_i(t) ÿâëÿþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî

cov(Ψ_N(t),Ψ_N(s)) = 1 X^N

cov(ψ_p(t), ψ_k(s)) = 1 X^N

cov(ψ_p(t), ψ_p(s)) =cov(ψ_p(t), ψ_p(s)).

Òåïåðü ïðèìåíèì öåíòðàëüíóþ ïðåäåëüíóþ òåîðåìó (Òåîðåìà 1) äëÿ âåêòîðîâ è ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñëàáóþ ñõîäèìîñòü ê ãàóññîâñêîìó ñëó÷àéíîìó âåêòîðó Gâ òåðìèíàõ êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé:

(Ψ_N(t₁),Ψ_N(t₂), ...,Ψ_N(t_m)) = 1

√N ·

N

X

p=1

(ψ_p(t₁), ψ_p(t₂), ..., ψ_p(t_m)) =⇒G(0, R), ïðè N ñòðåìÿùèìñÿ ê ∞.

Ãäå ìàòðèöà êîâàðèàöèé R îïðåäåëÿåòñÿ ÷åðåç ñâîè êîìïîíåíòû êàê:

R:= (r_ij :=cov(ψ₁(t_i), ψ₁(t_j))_i,j=1..m.

Ñîãëàñíî äîêàçàííîìó ðàíåå óòâåðæäåíèþ, èìååì:

cov(ξ_Πλ(ω)(t), ξ_Πλ(ω)(s)) =σ²L_λ(ω)(|t−s|), (23)

ãäå t, s ≥0.

Èòîãî èìååì: ìàòðèöà R ðàçìåðíîñòè d × d ïîëó÷åííîãî ãàóññîâñêîãî âåêòîðà ïðåäñòàâèìà â ñëåäóþùåì âèäå ÷åðåç ñâîè ýëåìåíòû:

R:= (rij :=σ²L_λ(ω)(|ti−tj|))i,j=1..m.

Òàê êàê íàìè ïîëó÷åí ðåçóëüòàò äëÿ ëþáûõ m èç IN è ëþáîãî íàáîðà èíäåêñîâ (t₁, t₂, ..., t_m) òàêèõ, ÷òî t₁ ≥t₂)< ... < t_m, òî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Ψ_N(t) ñõîäèòñÿ â ñìûñëå ñõîäèìîñòè êîíå÷íîìåðíûõ ðàñïðåäåëåíèé ê ïðîöåññó G(t), t ≥ 0 ñ ãàóññîâñêèìè êîíå÷íîìåðíûìè ðàñïðåäåëåíèÿìè. Ó÷èòûâàÿ ïîñëåä- íèé ôàêò ïî îïðåäåëåíèþ èìååì, ÷òî G(t)ÿâëÿåòñÿ ãàóññâîñêèì ñëó÷àéíûì ïðî- öåññîì. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà âòîðîãî óòâåðæäåíèÿ ïîëîæèì m = 2, t₁ =s, t₂ =t è ïðîâåäåì àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ. Ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ìàòðè- öà êîâàðèàöèé ÷åðåç åå ýëåìåíòû:

R := (r₁₁=r₂₂=σ²;r_1,2 =r_2,1 =cov(ψ(t), ψ(s))).

Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò ðàâåíñòâî êîâàðèàöèé, óêàçàííîå â ôîðìóëè- ðîâêå óòâåðæäåíèÿ. Èç ýòîãî ñëåäóåò, ÷òî ïðîöåññ G(t)ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì â

øèðîêîì ñìûñëå. Òàê êàê â ñëó÷àå ãàóññîâñêîãî ïðîöåññà ñòàöèîíàðíîñòü â øè- ðîêîì ñìûñëå ðàâíîñèëüíî ñòàöèîíàðíîñòè â óçêîì ñìûñëå, îêîí÷àòåëüíî èìååì,

÷òî ïðîöåññ G(t)ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì â óçêîì ñìûñëå è äîêàçàòåëüñòâî óòâåð- æäåíèÿ çàâåðøåíî.

5 Ãëàâà 4. Íåêîòîðûå ÷àñòíûå ñëó÷àè

ðàñïðåäåëåíèÿ èíòåíñèâíîñòåé Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà

Äëÿ öåëåé äàëüíåéøåãî àíàëèçà ââåäåì ðÿä îïðåäåëåíèé è îïèøåì ñâîéñòâà ÏÑÈ ïðîöåññå â íåñêîëüêèõ êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ îòíîñèòåëüíî âèäà ðàñïðåäåëåíèÿ èí- òåíñèâíîñòåé λ(ω).

Îïðåäåëåíèå 6. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ X(t), t≥0ÿâëÿåòñÿ ïðîöåññîì Ëåâè,åñëè:

Ψ_N(t) := 1

√N ·

N

X

i=0

ξ_Πi(t)= 1

√N ·

N

X

i=0

ψ_i(t), (24)

ãäå ψ_i(t) ñóòü íåçàâèñèìûå êîïèè ïðîöåññàψ(t).

(a) ïðîöåññ åñòü îòîáðàæåíèå èç âåðîÿòíîñòíîãî ïðîñòðàíñòâà (Ω,F,P)â IR^d; (b) X(0) = 0 ïî÷òè íàâåðíîå;

(c) ïðèðàùåíèÿ ïðîöåññà X(t)−X(t+s)íåçàâèñèìû äëÿ ëþáûõ t, s ≥0;

(d) ïðèðàùåíèÿ ïðîöåññà ñòàöèîíàðíû â óçêîì ñìûñëå, ò.å. äëÿ ëþáîãî íàáîðà èíäåêñîâ t₁, t₂, ..., t_n ≥ 0 êîíå÷íîìåðíûå ðàñïðåäåëåíèÿ ïðîöåññû íå çàâèñÿò îò ñäâèãà t;

(e) ïðîöåññX(t)ñòîõàñòè÷åñêè íåïðåðûâåí;

(f) òðàåêòîðèè ïðîöåññàX(t)äëÿ ïî÷òè âñåõωèçΩ(çà èñêëþ÷åíèåì ìíîæåñòâà ìåðû íóëü) ïðèíàäëåæàò ïðîñòðàíñòâó âåêòîðíûõ ôóíêöèé ñ íåïðåðûâíûìè ñïðàâà êîìïîíåíòàìè è êîìïîíåíòàìè, èìåþùèìè ïðåäåëû ñëåâà ïðè t >0. Îïðåäåëåíèå 7. Ãîâîðÿò, ÷òî ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Ëåâè X(t), t ≥ 0 ÿâëÿåòñÿ Ãàììà-ïðîöåññîì Ëåâè, åñëè åãî ïðèðàùåíèÿ èìåþò Ãàììà-ðàñïðåäåëåíèå.

Ïóñòü, êàê è ðàíüøå, {Ω,F,P} îïðåäåëÿåò âåðîÿòíîñòíîå ïðîñòðàíñòâî. Äàëåå ïóñòü èìååòñÿ ïðîöåññ Ïóàññîíà âèäà: Π1(t) = Π(t) = Π, t≥0. Ïóñòü, êàê è ðàíü- øå, λ(ω),ω ∈Ω, åñòü ñóòü íåçàâèñèìàÿ îò Π ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà íà âåðîÿòíîñò- íîì ïðîñòðàíñòâå. Ïóñòü λ ÿâëÿåòñÿ èíòåíñèâíîñòüþ Ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà.

Ò.å., êàê áûëî ïîêàçàíî â Ãëàâå 1: Π_λ(t) = Π_λ. Èëè Π_λ(s) = Π₁(sλ), Ïóñòü äàëåå F_λ(x), x >0 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàñïðåäåëåíèåλ. Òàêèì îáðàçîì çàìåòèì, ÷òî â îïèñàííîì ñëó÷àå ìû èìååì ñìåñü ðàñïðåäåëåíèé Π_x(t) èF_λ(x), x >0

Èç ñâîéñòâ ñìåñåé ðàñïðåäåëåíèé ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t >0, IEΠ_λ(t) =tIE{λ(ω)},

IDΠ_λ(t) = Z ∞

0

IDΠ_x(t)F_λ(x) + Z ∞

0

{IEΠ_x(t)−IEΠ_λ(t)}²F_λ(x)

=tIE{λ(ω)}+tID{λ(ω)}=t(IE{λ(ω)}+ ID{λ(ω)}) .

Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà èíòåíñèâíîñòü λ(ω) èìååò ðàñïðåäåëåíèå Γ ñ ïåðåìåííûì ïàðàìåòðîìγ >0è ïîñòîÿííûì ïàðàìåòðîìκ >0. (çäåñü äëÿ ýêñïî- íåíöèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ, ò.å. äëÿκ >0,ïëîòíîñòü åñòü(1/γ) exp(−t/γ),t ≥0).

 òàêîì ñëó÷àå IE{λ(ω)} =κγ, è ID{λ(ω)} = κγ². Ïðèìåíÿÿ ñêàçàííîå âûøå äëÿ IEΠ_λ(t) and IDΠ_λ(t), èìååì:

IEΠ_λ(t) = tκγ, IDΠ_λ(t) =tκγ+tκγ².

Äîïóñòèì òåïåðü, ÷òî λ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñëó÷àéíûé ïðîöåññ Ëåâè. Òî åñòü, ïóñòü òåïåðü, λ =λ(t, ω)âðåìåííûì ïàðàìåòðîì t ≥0. Ðàññìîòðèì ñîîòâåòñòâó- þùèé ïðîöåññ Êîêñà â êà÷åñòâå ñóáîðäèíàòîðà: Π_λ(t) = Π₁(λ(t, ω)), ãäå λ(t, ω)íå çàâèñèò Π₁(ω). Ïóñòü F_λ(t)(x), x > 0, îïðåäåëÿåò ðàñïðåäåëåíèå λ(t, ω) â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè t≥0.

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ïîëíîé âåðîÿòíîñòè è ñâîéñòâà ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà ìû ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ ïðîöåññà Êîêñà:Πλ(t),

IEΠλ(t) = IE{λ(t, ω)}, IDΠλ(t) =

Z ∞

0

IDΠ1(x)dFλ(t)(x) + Z ∞

0

{IEΠ1(x)−IEΠ1(λ(t))}²dFλ(t)(x)

= IE{λ(t, ω)}+ ID{λ(t, ω)}.

Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà λ(t, ω), t ≥ 0, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé Γ-ïðîöåññ Ëåâè ñ ñîîòâåòñòâóþùèìè ïàðàìåòðàìè γ >0 è κ > 0, òî åñòü λ(1, ω) èìååò Γ(γ, κ) ðàñ- ïðåäåëåíèå. Îòìåòèì, ÷òî, èñõîäÿ èç ñâîéñòâ ïðîöåññà Ëåâè, ñëåäóåò, ÷òî λ(t, ω),

Òàêèì îáðàçîì, â ñëó÷àå, êîãäà ñëó÷àéíàÿ èíòåíñèâíîñòü óïðàâëÿåòñÿ ïðîöåññîì Ãàììà ìû èìååì òî æå âûðàæåíèå äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ è äèñïåðñèè,

÷òî è â ñëó÷àå Ãàììà-ðàñïðåäåëåííîé èíòåíñèâíîñòè:

IEΠ_λ(t) =tκγ, IDΠ_λ(t) =tκγ+tκγ²Γ

Äàëåå ïî ïðîöåññó Ïóàññîíà ñî ñòîõàñòè÷åñêîé èíòåíñèâíîñòüþ, ñëåäóþùåé ïðî- öåññó Ëåâè, ïîñòðîèì íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûå ïðîöåññû ñëó÷àé- íîãî èíäåêñà è èõ ñóììû âèäà Ψ. Îíè ïðè ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîìåíòíûõ ïðåäïî- ëîæåíèÿõ íà ðàñïðåäåëåíèå ÷ëåíîâ ïîä÷èíÿþùèõñÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ïî öåí- òðàëüíîé ïðåäåëüíîé òåîðåìå äëÿ âåêòîðîâ ñõîäÿòñÿ ê ñòàöèîíàðíîìó ãàóññîâñêî- ìó ïðîöåññó ñ êîâàðèàöèåé âèäà (26).

Ðàññìîòðèì òåïåðü ïðîöåññû Îðíøòåéíà - Óëåíáåêà. Îñíîâíûì èíñòðóìåíòîì ïðè èçó÷åíèè ïðîöåññîâ òèïà Îðíøòåéíà - Óëåíáåêà â ñëó÷àå ñëó÷àéíîé èíòåíñèâíî- ñòè ÿâëÿåòñÿ âûðàæåíèå:

IE{Xt|X0 =z}=zΛλ(t), t≥0, z ∈IR,

X_t îïðåäåëÿåò çíà÷åíèå ïðîöåññà Îðíøòåéíà - Óëåíáåêà â ìîìåíò t ≥ 0, Λ_λ(t) åñòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ ôóíêöèè ðàñïðåäåëåíèÿ dF_λ(x),x ≥0, ñëó÷àé- íîé èíòåíñèâíîñòèλ. Äëÿ ñëó÷àÿλ(ω)∈Γ(γ, κ)ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà õîðîøî èçâåñòíî:

Λ_Γ(γ,κ)(t) = γ^κ (t+γ)^κ .

Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà èíòåíñèâíîñòü èìååò Γ-ðàñïðåäåëåíèå ñ íåîòðèöàòåëüíûì ïà- ðàìåòðîì ñäâèãà a, òî åñòü λ(ω) = a+λ₀(ω), λ₀(ω) ∈ Γ(γ, κ), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà èìååò âèä:

Λ_Γ(γ,κ;a)(t) = γ^κ

(t+γ)^κ exp(−at).

 ñëó÷àå, êîãäà ïðîöåññ Êîêñà óïðàâëÿåò ïðîöåññîì Ëåâè äëÿ λ(t, ω), t ≥ 0, âû- ðàæåíèå äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ áóäóþùåãî ñîñòîÿíèÿ â ôîðìå óñëîâíîãî ìàòåìàòè÷å- ñêîãî îæèäàíèÿ èìååò âèä:

IE{Xt|X0 =z}=zIE{e^−λ(t)}=zIE{e^{−λ(t, ω)·1}}.

Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå

IE{e^{−λ(t, ω)·1}}

ìîæåò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíî, êàê ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà â òî÷êå 1äëÿ ðàñïðå- äåëåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ñå÷åíèÿ ïðîöåññà Ëåâè â ìîìåíò âðåìåíèt. Èòîãî, äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà λ(t, ω), t ≥ 0, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé Γ(γ, κ)-ïðîöåññ Ëåâè ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ïðåäñêàçàíèÿ áóäóþùåãî ñîñòîÿíèþ ïðîöåññà:

IE{X_t|X₀ =z}=z γ

1 +γ κt

.

Ïðèâåäåì òàêæå íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû, àíàëîãè÷íûå ïðåäñòàâëåííûì â ïðåäû- äóùåé ãëàâå, íî äëÿ ñëó÷àÿ èíòåíñèâíîñòè ïóàññîíîâñêîãî ïðîöåññà, ïðåäñòàâëÿ- þùåé ñîáîé íå ñëó÷àéíóþ âåëè÷èíó, à ñëó÷àéíûé ïðîöåññ.

Óòâåðæäåíèå 5. Ïóñòü (ξ) = ξ₀, ξ₁, ... êàê è ðàíåå, ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íåçà- âèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí. Òàêæå ïóñòü IEξo = µ,IDξ₀ = σ². Π(t) - ïóàññîíâîñêèé ïðîöåññ ñ èíòåíñèâíîñòüþ 1, t ≥ 0. Λ(t, ω) - ïðîöåññ Ëåâè, t ∈ [,∞.L{Lambda(t)(x), x ≥ 0 - ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà äëÿ ðàñïðåäåëåíèÿ Λ(t, ω) â ëþáîé ôèêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíèt. Îêîí÷àòåëüíî, ïóñòü âñå âåëè÷èíû, (ξ),Λ(t),Π(t) âçàèìíî íåçàâèñèìû. Íàïîìíèì îáîçíà÷åíèå:

Π_Λ(t,ω)(t) := Π(Λ(t, ω). Òîãäà:

cov(ξ_ΠΛ(t), ξ_ΠΛ(s)) =σ²·L_Λ(|t−s|), (25)

ãäå t, s ≥0.

Äàëüíåéøèå ïðèìåðû ðàññìîòðåíû â Ïðèëîæåíèè. Òàêæå îæèäàåòñÿ, ÷òî â Ïðè- ëîæåíèå ê äàííîé ðàáîòå âîéäóò ðåçóëüòàòû ïðîâåäåííîé äåÿòåëüíîñòè, íàïðàâ- ëåííîé íî ðàñøèðåíèå èìåþùåéñÿ òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëà- ñà. Òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé Ëàïëàñà ïî ñóòè ÿâëÿþòñÿ èñòî÷íè- êîì äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîíêðåòíûõ ñëó÷àåâ ðàñïðåäåëåíèé ñòîõàñòè÷åñêèõ èí- òåíñèâíîñòåé ïðîöåññà Ïóàññîíà, óïðàâëÿþùåãî çàìåíîé âðåìåíè â ñóììàõ ÏÑÈ- ïðîöåññîâ. Îäíîé èç öåëåé äàííîé ðàáîòû ïîäðàçóìåâàåòñÿ ðàñøèðåíèå èìåþùèõ-

6 Çàêëþ÷åíèå

 ðàìêàõ ïðåäñòàâëåííîé ðàáîòû áûëè ðàññìîòðåíû îñíîâíûå ðåçóëüòàòû îòíîñè- òåëüíî âîïðîñîâ ñâîéñòâ ïñåâäîïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ è ñóìì ïñåâäîïóàññîíîâ- ñêèõ ïðîöåññîâ. Áûëè èçëîæåíû âàæíûå àññèìïòîòè÷åñêèå ñâîéñòâà ñóìì ïðî- öåññîâ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà, à òàêæå èññëåäîâàí ðÿä ïðàêòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ â ðàçðåçå ðàçëè÷íûõ äîïóùåíèé îòíîñèòåëüíî ïðèðîäû èíòåíñèâíîñòè Ïóàññîíîâ- ñêîãî ïðîöåññà, óïðàâëÿþùåãî çàìåíîé âðåìåíè â ïðîöåññàõ ñëó÷àéíîãî èíäåêñà.

 ðàìêàõ âîçìîæíûõ íàïðàâëåíèé äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèé êàæåòñÿ óìåñòíûì ðàññìîòðåòü âîïðîñ äàëüíåéøåãî ðàñøèðåíèÿ òàáëèö èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâà- íèé Ëàïëàñà ïî ïðè÷èíàì, îçâó÷åííûì â ïðåäûäóùåé Ãëàâå, à òàêæå ðàññìîòðåòü àññèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñóìì âèäà

7 Ñïèñîê ëèòåðàòóðû

[1] Â. Ôåëëåð. Ââåäåíèå â òåîðèþ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèëîæåíèÿ. Òîì 2. Ì., Ìèð, 1964.

[2]Î.Â. Ðóñàêîâ. Ïóàññîíîâñêèå ñóáîðäèíàòîðû, ïîëå Âèíåðà-Îðíøòåéíà-Óëåíáåêà è ñâÿçü áðîóíîâñêèõ ìîñòîâ ñ ïåðåõîäíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè ïðîöåññîâ Îðíøòåéíà- Óëåíáåêà. Çàï. íàó÷í. ñåì. ÏÎÌÈ, òîì 384:225-237, 2010.

[3] Î.Â. Ðóñàêîâ. Ñóììû íåçàâèñèìûõ ïóàññîíîâñêèõ ñóáîðäèíàòîðîâ è èõ ñâÿçü ñî ñòðîãî α-óñòîé÷èâûìè ïðîöåññàìè òèïà Îðíøòåéíà-Óëåíáåêà. Âåðîÿòíîñòü è ñòàòèñòèêà. 13, Çàï. íàó÷í. ñåì. ÏÎÌÈ, òîì 361:123-137, 2008.

[4]À.Ò.Ãàéñèí.Àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñóìì íåçàâèñèìûõ ïóàññîíîâñêèõ ñóá- îðäèíàòîðîâ äëÿ ñëó÷àÿ ñëó÷àéíîé èíòåíñèâíîñòè.Äèìëîìíàÿ ðàáîòà, ÑÏáÃÓ, 2014.

[5]Ä.À.Íèêèôîðîâ.Èññëåäîâàíèå ïñåâäîïóàññîíîâñêèõ ïðîöåññîâ ñî ñëó÷àéíîé èí- òåíñèâíîñòüþ ñ ïîìîùüþ åå ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà. Äèïëîìíàÿ ðàáîòà, ÑÏá- ÃÓ, 2015.

[6]È.È. Ãèõìàí, À.Â. Ñêîðîõîä. Ââåäåíèå â òåîðèþ ñëó÷àéíûõ ïðîöåññîâ. Ì., Íà- óêà, 1977.

[7] À.Í. Øèðÿåâ. Âåðîÿòíîñòü, 2-îå èçä.Ì., Íàóêà, 1989.

[8] Ya. G. Sinai. Self-similar probability distributions.Theory of proabbility and its applications. XXI, 1976.

[9] Ï.Áèëëèíãñëè. Ñõîäèìîñòü âåðîÿòíîñòíûõ ìåð. Ì.,Íàóêà, 1977.

[10]D. Applebaum. Lectures on Levy Processes and Stochastic Calculus. Braunschweig, 2010.

[11] O. Rusakov. Temporal Dependence in Financial Models. Set of lectures at Saint- Petersburg University, 2015.

[12] Ã. Áåéòìåí, À.Ýðäåéè Òàáëèöû èíòåãðàëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, â 2-õ ò. Ì., Íàóêà, 1969.

8 Ïðèëîæåíèÿ