М. В. Абуладзе, Об одном установившемся дви- жении симметричного вращающегося тела в воз- духе, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1987, номер 6, 51–55

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. В. Абуладзе, Об одном установившемся дви- жении симметричного вращающегося тела в воз- духе, Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1987, номер 6, 51–55

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 22:37:39

Используя рис. 1—4, легко построить графики зависимости углов отклонения струны а⁰ и оси симметрии тела 0^О от вертикали от изме­

нения угловой скорости со:

Таким образом, в работе проведено геометрическое исследование уравнений перманентных вращений. Найдены все решения этих урав­

нений и условия их существования. Проведена классификация реше­

ний в зависимости от соотношений между геометрическими параметра­

ми системы (рис. 1—4).

Автор приносит благодарность В. В. Румянцеву за внимание к работе.

Поступила в редакцию 23.04.86

BECTH. МОСК. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 1987. №6

УДК 531.36

М . В. А б у л а д з е *

О Б О Д Н О М У С Т А Н О В И В Ш Е М С Я Д В И Ж Е Н И И С И М М Е Т Р И Ч Н О Г О В Р А Щ А Ю Щ Е Г О С Я Т Е Л А В В О З Д У Х Е

Рассмотрим плоско-параллельное движение в воздухе осесиммет- ричного твердого тела, которое имеет плоскость симметрии, перпенди­

кулярную оси симметрии. Будем считать, что центр тяжести тела сов­

падает с геометрическим центром, а центральный эллипсоид инерции является эллипсоидом вращения вокруг оси симметрии. В рассмат­

риваемом движении плоскость симметрии тела совпадает с фиксиро­

ванной вертикальной плоскостью.

Пусть движение тела происходит в однородном поле «силы- тяжести, в однородной воздушной среде, а воздействие воздуха на тело зада­

ется в виде главного вектора R равнодействующей силы и главного момента Mi относительно оси сим­

метрии. Кроме того, на тело дей­

ствует постоянный момент М² ре­

активных сил. Векторы моментов Mi и М² направлены вдоль оси симметрии, а вектор R лежит в плоскости симметрии (рис. 1). Сис­

тема координат OXY, где ось ОХ направлена горизонтально, а ось О У — вертикально вниз, инерци- альная. Обозначим через V ско­

рость центра масс тела относительно этой системы координат, через Q — угловую скорость вращения тела вокруг оси симметрии, через 6 — угол между вектором V и осью О У.

Полная аэродинамическая сила R складывается из силы Q лобо­

вого сопротивления и боковой силы L Магнуса [1]. Будем считать, что в рассматриваемой задаче справедлива гипотеза квазистационарности;

поэтому аэродинамическое воздействие определяется мгновенными зна-

Рис. 1

4* 51

гениями параметров V, Q, характеризующих движение тела. Примем эти зависимости в виде [2]

Q ctfsV^{2 т} _ c²rpsVQ

2 2 т^рйУ2 m2r2psVQ

2 2

где с^ь c², m^b m² — постоянные аэродинамические коэффициенты; p — плотность воздуха; г и ^fs — радиус и площадь экваториального сечения тела.

Известно [2, 3], что при отсутствии реактивного момента М² среди возможных движений тела имеется режим движения, названный пла­

нированием, при котором центр масс тела перемещается с постоянной скоростью по прямой, лежащей в вертикальной плоскости и составля­

ющей некоторый угол с вертикалью. В работе [2] доказывается устой­

чивость в целом режима планирования, если этот угол не превышает я/4. Представляет интерес исследовать вопросы существования режи­

ма планирования при наличии реактивного момента и его устойчи­

вости.

Уравнения движения тела имеют вид

(mV = mg cos9 2sfi£L

6 2

mVQ=-mgsmQ+W^®-

IQ=(m¹V~m²rQ)^- + Mⁱ, ^{( 1 )}

X = V s i n e ,

KY = VcosQ,

где / п и / — масса и полярный момент инерции тела.

Для дальнейшего обсуждения введем безразмерные переменные

v=2L

^i

gr J 2mV ' г gr² gr²

2mV^{2 9 2 1} 4m/V* ² 2 Л /^{2 2} 2 m / V²

где V—некоторая характерная скорость центра масс тела. Тогда си­

стема (1) примет вид

dV г% 9

— = c o s 0 — a v², dx

V = —sin 6 + t>G), dx

J^=cv*-dv(* + e, ( 2 ) dx

— l y s i n e , dx

- - ^ - = y c o s 9 .

Уравнения (2) допускают стационарное решение v= v=const, 0=*

= 0 = c o n s t , co=o)=const, где

-² _ --ce + Vd²(a²d² + c²)— a²d²e²

~ a²d² + c²

tge=^-, (3)

adv²

— cv² 4 - e

<d = = . dv

Этому решению отвечает соответствующий режим планирования. Для его существования необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ус­

ловие

e<d. (4):

Это условие показывает, что режим планирования может существо­

вать лишь при сравнительно небольших значениях реактивного мо­

мента. В зависимости от значения е устанавливается, если существу­

ет, разный режим планирования.

Зависимости v², 0, со от е представлены на рис. 2, а.

В трехмерном фазовом пространстве получим кривую, изображенную на рис. 2,6. Таким образом, движение центра масс в режиме планиро­

вания при ненулевом реактивном моменте возможно по любой на-

Рис. 2

клонной прямой. При этом скорость движения центра масс по мере уменьшения наклона прямой также уменьшается, а угловая скорость вращения тела вокруг "оси симметрии Неограниченно возрастает.

Условие устойчивости сводится к выполнению неравенств [4]

| Я , - > 0 , t = 0 , 1 , 2 , 3 ,

\ В2В1—В3В0>0, ,

где

В0 = 1, B1= ( d + За) v, B²=3adv²—2aV + j £ E l ± £ ) ! _^>

В³ = JEL (^Cy2 ^{+ e}) ^{+ 2a}?dv*.

d

После соответствующих выкладок получим условие устойчивости в следующей форме:

a ( 3 a + d ) t g²e- 2 c t g 8 + 3 i 2 a + r f ) ( a + d ) > 0 . (5) Введем новые параметры

a=a/d, c=c/d

, e=e/d.

существования режима планирования примет вид

а для самого режима планирования имеем

-, — ~7+Va²+c* — а*?- -, .-,

" ⁼ g ⁺ g ' • г д е . и » = Л * ,

tge=

1±/ , (3')

СО = ^{си2 + е}- -VI

и

Условие устойчивости выразится неравенством

a ( 3 a + 1) tg29—2 ctg 9 + 3 (2a + l ) ( a + 1 ) > 0 , (5') где, согласно (3 ), tg 9 = ~n _ 1 ч '

Если дискриминант

D=c

—3a(3a+l)

вие устойчивости режима планирования (5) выполняется для любого f g 8 . При Z)>0 это условие выполняется для 0 < t g 8 < nb n2< t g 8 , где

7± V? — 3a(3a + l)(2a + l ) ( a + 1 )

/21

a ( 3 a + l)

Таким образом, п р и _ р > 0 существует промежуток a r c t g f l i < 8 <

; < a r c t g n2 значений угла 8, для которого режим планирования неустой­

чив. Поскольку tg в в свою очередь зависит от тех же параметров, что и дискриминант Z), то целесообразно представить область устойчиво-

сти именно в параметрах я, с, ё. Для удобства введем h = c/a.

Тогда имеем

1-е²

Область устойчивости режима пла­

нирования в пространстве пара­

метров a, h, ё представлена на рис. 3. Заметим, что неустойчивость может иметь место только внутри изображаемого «желоба» ;и при та­

ких управляющих моментах, для которых

e<d/2.

ловие (5) устойчивости режима планирования (как и его геометри­

ческая интерпретация на рис. 3) в

этому сравнительно легко может быть проверено для любого конк­

ретного тела.

конечном счете является условием на исходные параметры тела и по-

Рис. 3

С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1. О с т о с л а в с к и й И. В., С т р а ж е в а И. В. Динамика полета. Траектория лета­

тельных аппаратов. М., 1969.

2. Л о к ш и н Б. Я. Об одном движении быстровращающегося тела в в о з д у х е / / В е с т н . Моск. ун-та. Матем. Механ. 1970. № 6. 93—98.

3. Л о к ш и н Б. Я. Об устойчивости стационарных движений быстровращающегося симметричного твердого тела в в о з д у х е / / И з в . АН С С С Р . Механ. тверд, т е л а .

1976. № 2. 18—24.

4. М а л к и н И. Н. Теория устойчивости движения. М,, 1966.

Поступила в редакцию 29.05.86