Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Н. Агаханов, И. Богданов, П. Кожевников, О. Подлипский, Ре- гиональный этап XLV Всероссийской олимпиады школьников по математике, Квант , 2019, номер 3, 40–42
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 23:54:23
О Л И М П И А Д Ы
ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ
9 класс
1. Два приведенных квадратных трехчле- на f x и g x таковы, что каждый из них имеет по два корня и выполняются равенства
1 2
f g и g 1 f 2 . Найдите сумму всех четырех корней этих трехчленов.
Н.Агаханов 2. Каждый из 10 человек – либо рыцарь, который всегда говорит правду, либо лжец, который всегда лжет. Каждый из них заду- мал какое-то целое число. Затем первый сказал: «Мое число больше 1», второй ска- зал: «Мое число больше 2», …, десятый сказал: «Мое число больше 10». После этого все десять, выступая в некотором порядке, сказали: «Мое число меньше 1», «Мое число меньше 2», …, «Мое число меньше 10»
(каждый сказал ровно одну из этих десяти фраз). Какое максимальное число рыцарей могло быть среди этих 10 человек?
О. Подлипский 3. По кругу расставлены 100 различных натуральных чисел. Вася разделил каждое из них с остатком на следующее по часовой стрелке; при этом оказалось, что остатки, полученные Васей, принимают всего два различных значения. Петя разделил каждое из чисел с остатком на следующее против часовой стрелки. Докажите, что все остатки, полученные Петей, различны.
Н.Агаханов, С.Берлов 4. Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. На отрезках BH и CH отмечены точки B1 и C1 соответ- ственно так, что B C1 1PBC. Оказалось, что центр окружности Z, описанной около тре- угольника B HC1 1, лежит на прямой BC.
Докажите, что окружность *, описанная около треугольника ABC, касается окруж- ности Z.
А.Кузнецов
5. Каждая грань куба 1000u1000u1000 разбита на 1000 квадратных клеток со сто-2 роной 1. Какое наибольшее количество этих клеток можно закрасить так, чтобы никакие две закрашенные клетки не имели общей стороны?
С.Долгих 6. Даны четыре последовательных нату- ральных числа, больших 100. Докажите, что из них можно выбрать три числа, сумма которых представляется в виде произведе- ния трех различных натуральных чисел, больших 1.
Н.Агаханов 7. На прямоугольном столе лежат несколь- ко картонных прямоугольников. Их сторо- ны параллельны сторонам стола. Размеры прямоугольников могут различаться, они могут перекрываться, но никакие два прямо- угольника не могут иметь четырех общих вершин. Может ли оказаться, что каждая точка, являющаяся вершиной прямоуголь- ника, является вершиной ровно трех прямо- угольников?
И.Богданов 8. Дан треугольник ABC. На внешней биссектрисе угла ABC отмечена точка D, лежащая внутри угла BAC, такая, что
60
BCD q. Известно, что CD = 2AB.
Точка M – середина отрезка BD. Докажите, что треугольник AMC – равнобедренный.
А.Кузнецов 9. См. задачу М2551 «Задачника «Кван- та».
10. Петя и Вася играют в следующую игру.
Петя выбирает 100 (не обязательно различ- ных) неотрицательных чисел x x1, 2,…,x100, сумма которых равна 1. Вася разбивает их на 50 пар по своему усмотрению, считает произ- ведение чисел в каждой паре и выписывает на доску наибольшее из 50 полученных произведений. Петя хочет, чтобы число на
Региональный этап
XLV Всероссийской олимпиады
школьников по математике
О Л И М П И А Д Ы
41
доске оказалось как можно больше, а Вася – чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
А.Храбров 10 класс
1. См. задачу 2 для 9 класса. Только теперь каждый из 10 человек задумал какое-то число (не обязательно целое).
2. Дан выпуклый четырехугольник пери- метра 10100, у которого длины всех сторон – натуральные числа, а сумма длин любых трех сторон делится на длину оставшейся четвертой стороны. Докажите, что этот четы- рехугольник – ромб.
П.Кожевников 3. Клетки таблицы 2 2019u надо запол- нить числами (в каждую клетку вписать ровно одно число) по следующим правилам.
В верхней строке должны стоять 2019 дей- ствительных чисел, среди которых нет двух равных, а в нижней строке должны стоять те же 2019 чисел, но в другом порядке. В каждом из 2019 столбцов должны быть запи- саны два разных числа, причем сумма этих двух чисел должна быть рациональным чис- лом. Какое наибольшее количество ирраци- ональных чисел могло быть в первой строке таблицы?
С.Кудря 4. Бесконечная последовательность нену- левых чисел a a a1, 2, 3,… такова, что при всех натуральных nt2018 число an1 является наименьшим корнем многочлена
2 2 2 2 4
1 2
n n n
n n
P x x a x a x …a . Докажите, что существует такое N, что в бесконечной последовательности
1 2
, , ,
N N N
a a a … каждый член меньше пре- дыдущего.
И.Богданов 5. В неравнобедренном треугольнике ABC проведена биссектриса BL. Продолжение медианы, проведенной из вершины B, пере- секает окружность Z, описанную около тре- угольника ABC, в точке D. Через центр окружности, описанной около треугольника BDL, проведена прямая l, параллельная прямой AC. Докажите, что окружность Z касается прямой l.
А.Кузнецов
6. См. задачу 6 для 9 класса.
7. Даны действительные числа a и b, причем b! !a 1. Пусть
2 22n n n
xn b a .
Докажите, что последовательность x x1, 2,… убывает.
А.Храбров 8. В остроугольном треугольнике ABC проведена высота BH. Точки M и N – середины отрезков AH и CH соответственно.
В окружности :, описанной около тре- угольника BMN, проведен диаметр BBc. Докажите, что ABc CBc.
А.Кузнецов 9. См. задачу М2551 «Задачника «Кван- та».
10. См. задачу М2552 «Задачника «Кван- та».
11 класс 1. См. задачу 2 для 9 класса.
2. Известно, что каждый из трехчленов x2axb и x2ax b 1 имеет хотя бы по одному корню и все корни этих трехчле- нов целые. Докажите, что трехчлен
2 2
x ax b корней не имеет.
Н.Агаханов 3. Назовем расстоянием между двумя клетками клетчатой доски наименьшее ко- личество ходов, за которое шахматный ко- роль может добраться от одной из них до другой. Найдите наибольшее количество клеток, которое можно отметить на доске 100u100 так, чтобы среди них не нашлось двух клеток, расстояние между которыми равно 15.
И.Богданов 4. См. задачу 4 для 10 класса.
5. В тетраэдре ABCD проведены высоты BE и CF. Плоскость D перпендикулярна ребру AD и проходит через его середину.
Известно, что точки A, C, D и E лежат на одной окружности и точки A, B, D и F также лежат на одной окружности. Докажите, что расстояния от точек E и F до плоскости D равны.
А.Кузнецов
К ВАН T $ 2 0 1 9 / № 3
42
6. См. задачу 6 для 9 класса.
7. Дано положительное число az1. Дока- жите, что последовательность x x1, 2,…, где
22n n 1
xn a , убывает.
А.Храбров 8. На сторонах AB и AC треугольника ABC нашлись точки D и E соответственно такие, что DB = BC = CE. Отрезки BE и CD пересекаются в точке P. Докажите, что ок- ружности, описанные около треугольников BDP и CEP, пересекаются в центре окруж- ности, вписанной в треугольник ABC.
Р.Женодаров 9. В классе m учеников. В течение сентября каждый из них несколько раз ходил в бас- сейн; никто не ходил дважды в один день.
Первого октября выяснилось, что все коли- чества посещений бассейна у учеников раз- личны. Более того, для любых двух учени- ков обязательно был день, когда первый из
них был в бассейне, а второй – нет, и день, когда, наоборот, второй из них был в бассей- не, а первый – нет. Найдите наибольшее возможное значение m. (В сентябре 30 дней.) Д.Храмцов 10. Дано натуральное число nt2. Петя и Вася играют в следующую игру. Петя выби- рает 2n (не обязательно различных) неотри- цательных чисел x x1, 2,…,x2n, сумма кото- рых равна 1. Вася расставляет эти числа по кругу в некотором порядке по своему усмот- рению. После этого он вычисляет произведе- ния пар соседних чисел и выписывает на доску наибольшее из всех 2n полученных произве- дений. Петя хочет, чтобы число на доске оказалось как можно больше, а Вася – чтобы оно было как можно меньше. Какое число окажется на доске при правильной игре?
А.Храбров Публикацию подготовили Н.Агаханов, И.Богданов, П.Кожевников, О.Подлипский
ЗАДАЧИ ОЛИМПИАДЫ 7 класс
Задача 1. Термоареометр
Однажды экспериментатору Глюку пона- добилось одновременно измерять температу- ру и плотность исследуемой жидкости. Он разработал универсальный прибор, в кото- ром указатель неподвижен, а шкалы переме- щаются независимо (рис.1). Глюк снял по- казания, которые занес в таблицу. Известно,
что температура жидкости изменялась на одинаковую величину за равные промежут- ки времени. Длины шкал L = 10 см, а весь эксперимент длился 'W = 5 мин. Постройте график полученной зави- симости U T и определи- те, с какой максимальной скоростью перемещались шкалы друг относительно друга в ходе эксперимен- та.
М.Замятнин
Региональный этап
LIII Всероссийской олимпиады школьников по физике
Рис. 1