Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. В. Щукин, Минимальное число идемпотентов, порождающих 3 -однородные C
∗-алгебры над двумерным ориентируемым многообразием, Тр. Ин-та матем., 2017, том 25, номер 1, 93–96
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
2 ноября 2022 г., 22:24:29
Национальная академия наук Беларуси
Труды Института математики. 2017. Том 25. № 1. С. 93–96
УДК 517.986
МИНИМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ИДЕМПОТЕНТОВ,
ПОРОЖДАЮЩИХ 3-ОДНОРОДНЫЕ С*-АЛГЕБРЫ НАД ДВУМЕРНЫМ ОРИЕНТИРУЕМЫМ МНОГООБРАЗИЕМ
М. В. Щукин
Белорусский национальный технический университет e-mail: mvs777777@gmail.com
Поступила 26.01.2017
Рассматриваются 3-однородные С*-алгебры с пространством примитивных идеалов, го- меоморфным компактному двумерному ориентируемому многообразию. Доказывается, что такие алгебры могут быть порождены тремя идемпотентами и не могут быть порождены двумя идемпотентами.
Предварительные сведения. В работах Ж. Фелла [7], Ж. Томияма и М. Такесаки [13]
было установлено, что каждая n-однородная С*-алгебра A может быть реализована как ал- гебра всех непрерывных сечений соответствующего алгебраического расслоения ξ = (E, M, p), у которого база M гомеоморфна пространству примитивных идеалов алгебры A в соответ- ствующей топологии. Алгебра называется n-однородной, если все ее неприводимые представ- ления имеют одну и ту же размерность n.
Другой класс алгебр, рассматриваемый в данной работе: С*-алгебры, порожденные идем- потентами. Интерес к данным алгебрам возник в связи с применениями в теории сингулярных интегральных операторов [6]. В работе [10] даны точные оценки для минимального числа идемпотентов, порождающих матричные алгебры.
В данной работе рассматриваются 3-однородные С*-алгебры с пространством примитив- ных идеалов, гомеоморфным компактному двумерному ориентируемому многообразию. Дока- зывается, что такие алгебры могут быть порождены тремя идемпотентами и не могут быть порождены двумя идемпотентами.
Предложение 1.[1] Компактное двумерное связное ориентируемое многообразие гомео- морфно сфере Pk с приклеенными k ручками.
Пусть задана 3-однородная С*-алгебра A над пространством Pk. Вырежем из множества Pk часть сферы D, гомеоморфную открытому кругу.
Предложение 2. Ограничение расслоения ξA на множество Pk\D тривиально.
Реализуем множество Pk\D, как верхнюю часть единичной сферы с k ручками. Пусть BV обозначает алгебру непрерывных квадратных матриц-функций на Pk\D порядка 3 с услови- ем на границе: a(z) = V−1(z)a(1)V(z), a(z) ∈ BV, V(z) =
zm 0 0 0 1 0 0 0 1
(m= 0,2)
. Здесь z обозначает комплексную координату на плоскости. Высоту точки над плоскостью обозначим через h.
Предложение 3.Алгебра A изоморфна одной из алгебр BV.
Некоторые результаты о структуре С*-алгебр BV .
Лемма 1. Алгебру BV ,рассматриваемую как модуль над своим центром, изоморфным C(Pk), можно реализовать как прямую сумму модулей BV =E11C(Pk)⊕E12Bm⊕E13Bm⊕ E21B−m⊕E31B−m ⊕
2≤s,t≤3EstC(Pk), где C(Pk) обозначает алгебру непрерывных функций на Pk. Модуль Bm состоит из функций a(z)∈C(Pk\D), удовлетворяющих дополнительному условию на границе: a(z) =zm·a(1), z∈S1=δD.
Лемма 2. Если функции f1, ..., ft ∈ Bm(−2 ≤ m ≤ 2) и в любой точке x0 ∈ Pk\D∃i ∈ 1, t, fi(x0)̸= 0, то Bm =f1·C(Pk) +...+ft·C(Pk).
Лемма 3. Любой элемент f ∈C(Pk\D)(f(z) =f(1), z ∈δD) может быть представлен в виде f =f1g1+f2g2, где fi ∈Bm, gi∈B−m.
3-Однородные С*-алгебры над двумерными компактными многообразиями.Опре- делим функции µ3, qm следующим образом: µ3(x, y, h) = (1
6 − |x+iy|) , qm =
{ 1,|x+iy|< 16
(x+iy)m,|x+iy| ≥ 16 .
Функции µ3, qm разрывны на Pk, но их произведение µ3·qm является непрерывной функ- цией. Вместо координат x и y мы можем рассматривать комплексную координату z=x+iy. Реализуем многообразие Pk так, чтобы все ручки были расположены на сфере при |z|> 13. При этом ручки выступают за сферу так, что (1−ε)(
1− |z|2)
≤h(z)≤(1 +ε)(
1− |z|2) при некотором фиксированном малом значении ε.
Лемма 4. Функции h2z, h2z, µ23 и постоянная функция, равная 1, определенные на про- странстве Pk\D, могут быть рассмотрены, как функции, определенные на фактор- пространстве (Pk\D)/S1. Эти функции порождают алгебру всех непрерывных функций на пространстве (Pk\D)/S1, которое гомеоморфно Pk.
Доказательство. Если точки (z1, h1) (z1 =x1+iy1) и (z2, h2) (z2 =x2+iy2) лежат на одной высоте, то функции h2z, h2z разделяют эти точки.
Пусть µ23(z1) = µ23(z2), т. е. (1
6− |z1|)2
= (1
6 − |z2|)2
. Если (1
6 − |z1|)
= (1
6 − |z2|) , то
|z1| = |z2|. Если (1
6− |z1|)
= −(1
6− |z2|)
, то |z2| = 13 − |z1|. В случае |z1| = |z2|, если h(z1) =h(z2), то h2(z1)·z1̸=h2(z2)·z2. Если же h(z1)̸=h(z2), то также h2(z1)·z1 ̸=h2(z2)·z2, поскольку в этом случае было бы равенство z2 = λ·z1(λ ∈ R+), что для точек на одной окружности не может выполняться.
Рассмотрим другой случай |z2| = 13 − |z1|. Точки (z1, h),(z2, h) лежат внутри цилиндра
|z| ≤ 13 . Внутри этого цилиндра поверхность Pk представляет собой часть сферы радиуса 1.
Тогда, равенство h2(z1)·z1 =h2(z2)·z2 эквивалентно равенству (
1− |z1|2)
·z1=(
1− |z2|2)
·z2. Из этого равенства следует равенство модулей: (
1− |z1|2)
· |z1|=(
1− |z2|2)
· |z2|, раскрывая скобки, перенося в одну сторону и группируя, получим: |z1| − |z2| −(
|z1|3− |z2|3)
= 0. Рас- кладывая на множители, получим (|z1| − |z2|)(
1− |z1|2− |z1| · |z2| − |z2|2)
= 0. Поскольку мы рассматриваем случай |z1| ̸=|z2|, то |z1|2+|z1| · |z2|+|z2|2−1 = 0. Так как |z2|= 13− |z1|, то получаем |z1|2+|z1|·(1
3 − |z1|) +(1
3 − |z1|)2
−1 = 0 или |z1|2+13|z1|−|z1|2+19−23|z1|+|z1|2−1 = 0 ⇔ |z1|2 −13 · |z1| − 89 = 0. Корни этого уравнения равны |z1|1 = 16 − √633, |z1|2 = 16 + √633, которые не лежат на нашем пространстве Pk\D, для которого 0≤ |z| ≤1.
Мы доказали, что функции h2z, h2z, µ23,1 разделяют точки множества Pk\D, содержат по- стоянные и вместе с функцией f содержат функцию f. Значит, по теореме Стоуна-Вейерштрас- са, эти функции порождают алгебру C(Pk\D). Лемма доказана.
Теорема. 3-однородная С*-алгебра с пространством примитивных идеалов, гомеоморф- ным компактному двумерному связному ориентируемому многообразию Pk, может быть порождена тремя идемпотентами.
Доказательство.Рассмотрим идемпотенты P1=
0 0 0 0 1 0 0 1 0
,
P2=
0 0 0
0 1 12 +12 ·h2·z
0 0 0
, P3 =
1 0 0
h 0 0
µ3·q−m 0 0
·
1 h·z µ3·q+m
0 0 0
0 0 0
·1+h21
z+µ23
. Непосредственно проверяется, что P1, P2, P3− идемпотенты, т. е. Pi2 = Pi(
i= 1,3) . Матрицы-функции P1, P2 принадлежат любой алгебре BV . P3 ∈ BV, V = diag(zm,1,1) (1≤m≤2).
Пусть A1 — наименьшая Банахова алгебра, содержащая идемпотенты P1, P2, P3. Элемент P2·P1 =E22·(
1 +12 ·h2·z)
лежит в алгебре A1.
Рассмотрим последовательность hn(x) = I −(I−x)n. Тогда hn( E22·(
1 +12 ·h2·z))
→ E22∈A1, так как
1
2 ·h2·z <1.
Рассмотрим элемент (P1−E22)·(P2−E22) =E33·(1
2 +12h2z)
∈ A1. Последовательность hn(
E33·(1
2 +12h2z))
→E33∈A1, так как
12 −12h2z <1. Тогда E32∈A1, так как E32=P1−E22. Элемент E33·(1
2 −12h2z)
=E33−E33·(1
2+ 12h2z) , поэтому E33·(1
2 −12h2z)
∈A1. Ряд E33(
1 +(1
2 −12h2z) +(1
2− 12h2z)2
+...)
сходится к элементу E33 · 1
(12+12h2z) ∈ A1. Поэтому, E23∈A1, так как E23= (P2−E22)·E33· 1
(12+12h2z). Элемент E33·1+h21
z+µ23 ∈A, так как E33·1+h21
z+µ23 =E33−E33·P3·E33−E32·P3·E23. Функции h2z, h2z, µ23,1 порождают алгебру C(Pk\D)/S1, по лемме 4. Значит, 1+hh22z+µz 23
,
h2z 1+h2z+µ23
, µ
2 3
1+h2z+µ23
, 1+h21z+µ23
порождают C(P1+hk\2D)/Sz+µ231
=C(Pk\D)/S1, так как 1 +h2z+µ23 ∈ C(Pk\D)/S1 и 1 +h2z+µ23 ̸= 0 на Pk\D.
Элементы E32·P3·E23=E331+hh22z+µz 23
∈A1, E33·P3·E33= µ
2 3
1+h2z+µ23
∈A1, (2P2−E23)·E33·1+h21z+µ23
= 1+hh22z+µz 23
∈A1. Поэтому E33·C(Pk\D)/S1 ⊂A1.
Домножая элементы E33·f(f ∈ C(Pk\D)/S1) на E32, E23, получим, что E32·f ∈ A1, E23 ·f ∈ A1. Умножая E32 ·f ∈ A1 справа на E23, получим, что E22·f ∈ A1. Значит, E32·C(Pk\D)/S1⊂A1, E23·C(Pk\D)/S1⊂A1, E33·C(Pk\D)/S1⊂A1. Так как E11·P3·E23· (1 +h2z+µ23)
= E13·h·z ∈ A1, E11·P3·E33·(
1 +h2z+µ23)
= µ3 ·qm·E13 ∈A1и функции hz. µ3·qm не обращаются в 0 одновременно на Pk\D, то по лемме 2, они порождают модуль Bm·E13⊂A1. Далее модуль Bm·E12⊂A1, так как Bm·E12=Bm·E13·E32⊂A.
Аналогично доказывается, что B−m·E21⊂A1, B−m·E31⊂A1.
По лемме 3, модули Bm·E13 и B−m·E31 в произведении порождают E11·C(Pk\D)/S1 ⊂ A1.
По лемме 1, алгебра A1 =BV , так как все слагаемые из разложения BV в прямую сумму модулей лежат в алгебре A1. Теорема доказана.
Автор выражает благодарность профессору Анатолию Борисовичу Антоневичу за ценные замечания касательно данной работы.
Литература 1.Масси. У.Алгебраическая топология. М., 1977.
2.Ху Сы Цзян. Теория гомотопий. М., 1964.
3.Щукин М.В. Минимальное число идемпотентов, порождающих n-однородные (n≥4) С*-алгебры над двумерным ориентируемым многообразием // Весцi НАН Беларусi, сер. фiз.-мат. навук. 2012.
№ 4. C. 61–66.
4.Щукин М.В. Структура n-однородных С*-алгебр над двумерными ориентируемыми многообрази- ями // Весцi НАН Беларусi, сер. фiз.-мат. навук. 2010. /No 2. C. 12–17.
5.Antonevich A., Krupnik N. Integr. Equ. Oper. Theory. 2000. Vol. 38. P. 172–189.
6.Bottcher A., Gohberg I., Karlovich Yu., Krupnik N., Roch S., Silbermann B., Spitkovsky I. Banach algebras generated by n idempotents and applications // Operator Theory. Advances and Applications.
1996. Vol. 90. P. 19–54.
7.Fell J.M.G. The structure of fields of operator fields // Acta Math. 1961. Vol. 106, № 3–4, P. 233–280.
8.Krupnik N., Roch S., Silbermann B. On C*-algebras generated by idempotents // J. Funct. Anal. 1996.
Vol. 137, № 2, P. 303–319.
9.Mischenko A. Vector bundles and applications. M., 1984.
10.Rabanovich V. I. The matrix algebras and the theory of representations. PhD thesis. Kiev, 2000. — 112p.
11.Shchukin M. Non-trivial C*-algebra generated by four idempotents. Proceedings of the Institute of mathematics of NAS of Belarus, 2001. Vol. 9, P. 161–163.
12.Shchukin M. Non-trivial C*-algebras generated by idempotents. Proceedings of the International Conference on Nonlinear Operators, Differential Equations and Applications, Cluj-Napoca, Romania.
2002. Vol. 3, P. 353–359.
13.Tomiyama J., Takesaki M. Application of fiber bundle to certain class of C*-algebras // Tohoku Math.
Journ. 1961. Vol. 13, № 3. P. 498–522.
M. Shchukin
The minimal number of idempotent generators for
3-homogeneous C∗-algebra over two-dimensional compact oriented manifold Summary
Every 3-homogeneous C*-algebra over two-dimensional compact oriented manifold can be realized as algebra of all continuous sections for the appropriate algebraic bundle. In the work we prove that such algebra can be generated by three idempotent elements from the algebra.
