Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
В. Л. Островский, Ю. С. Самойленко, Семейства неограниченных самосопряженных операторов, связанных не-лиевскими соотношениями, Функц.
анализ и его прил., 1989, том 23, выпуск 2, 67–68
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 10:25:38
функциональный анализ и его приложения^
1989, т. 23, вып. 2, 67—68
У Д К 517.98
СЕМЕЙСТВА НЕОГРАНИЧЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ, СВЯЗАННЫХ НЕЛИЕВСКИМИ СООТНОШЕНИЯМИ
В. л . О с т р о в с к и й , Ю. С. С а м о й л е н к о
1. Семейства операторов, связанных, вообще говоря, нелиевскими соотношениями, изучаются в ряде работ по представлениям алгебраических объектов, при этом важны и представления неограниченными операторами. Один из путей изучения таких семейств — нахождение вида операторов в пространстве Фурье-образов коммутативного семейства самосопряженных (или нормальных) операторов A = {AJ)^^-^ (В терминологии [1] — пост
роение коммутативной модели семейства относительно А). В [2] коммутативные модели строились для, вообще говоря, неограниченного оператора В в сепарабельном гильбер
товом пространстве Н, который связан с семейством коммутирующих самосопряженных операторов А = (^х)хех соотношениями
A:^B = BF^{A) (х^Х). (1) Здесь R" ^ X {•) i-^ F (к {')){-) ^ R — измеримое относительно цилиндрической а-
алгебры С^ (R^) фиксированное отображение ж F^ (А) = \ F {X (*)) (х) dE^ (X (•)), где
Е^ (•) — совместное разложение единицы семейства А.
В настоящей работе для семейств неограниченных операторов А = {Ах)х^х ^ ^ в случае самосопряженного В приводится структурная теорема, дающая описание всех
«решений» Ах1 В уравнения (1). Решение представляется в виде интеграла от элементарных решений. В случае F {X {')){х) = X (х) {х е X) наш результат — спектральная теорема для семейства коммутирующих самосопряженных операторов {Ах)х^х ^ -^5 при F {X {'))(х) =
= —X {х){х е Z) — структурная теорема для операторов (^x)xeZ' антикоммутирующих с В [3]; а, например, при F {X {•)){х) = — X (х) -\- 1 {Ух е X) — структурная теорема для операторов ИХ)ХР=Х ^ ^ ' связанных соотношениями АхВ + В Ах = В {х ^ X).
2. Для неограниченных операторов при определении алгебраических соотношений типа (1) возможны разночтения. Так, коммутация операторов на плотном в Н инвариант
ном множестве векторов Ф не эквивалентна коммутации их спектральных проекторов [4];
различные варианты определения антикоммутации неограниченных самосопряженных опе
раторов изучены в [3, 5].
О п р е д е л е н и е . Будем говорить, что неограниченные самосопряженные опе
раторы {Ах)х^х ^ ^ связаны соотношениями (1), если УД е С^ (^^)^ I ^ Oi ^А (^) ^i ~
I
= BiEj^ (F~i (А)), где Bi = \ bdE^ (b) {Е-^ {•) — разложение единицы оператора В,
- I
Е~^ (Д) — полный прообраз Д).
Для ограниченных {Ах)х^х ^ ^ принятое определение эквивалентно соотноше
ниям (1).
Т е о р е м а 1. Следующие условия эквивалентны:
1) Е^ (Д) Bi = BiE^ (F-i (А)) (УД е С^ (R^), I > 0);
2) Е^ (Д) sin tB = sin tBE^ {P-^ (Д)) (УД <= C^ (B.^), t e Ri);
3) / (^)ф (В) = ф^ет (S)f (A) + Фнеч (В) f {F (A))
{для любых ограниченных измеримых функций /: R —> R , ф : R^ ^ Ri; здесь ц)^^^{Х)=
= " Х 'Ч' (^) + Ф ( - С^)), Фнеч (^) = — (Ф е^) - Ф ( - Щ •
Коммутация самосопряженных операторов на плотном инвариантном множество становится эквивалентной коммутации их спектральных проекторов, если дополнительно потребовать, чтобы Ф состояло из аналитических, в частности, целых векторов для этих операторов [4]. Подобная ситуация имеет место для операторов, связанных соотношения
ми (1). Ниже для простоты изложения X = N.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы неограниченные самосопряженные операторы (Л к-)/^^^^
и В были связаны соотношениями (1), необходимо и достаточно^ чтобы У к е N Aj^Bu =
= BF]^ {А) и У и е Ф, где Ф — некоторая плотная в Н инвариантная относительно опе
раторов А]^, F]^ {А){к е N), В область, состоящая из целых для каждого из этих операторов векторов.
3*
68 В. Л. Островский, Ю. С. Самойленко
3. Сформулируем структурную теорему.
Т е о р е м а 3. Пусть {AW^_^, В — самосопряженные операторы в Н, связанные со- отношениями (1). Тогда однозначно определены разложение Н = HQ 0 Н^ ф (С^ 0 Н^) и ортогональные разложения единицы: i) Е^ (•) на R со значениям,и в проекторах на под
пространства Но', 2) Е-^{', ') на Mi= {(X, b) G Я^ X R^ \ F (X) = X, b ф 0} со значе
ниями в проекторах на подпространства Я^; 3) ^2 ('^ ') ^^ ^2 — {{^i b) ^ R' X R-^ | I F (FCX)) == К, F (Х) ^ Х, Ъ ^ 0} (упорядочение на R лексикографическое) со значениями в проекторах на подпространства Н+ такие, что
Л^ = J Xj^ dEo {X) + J Xj^ 6Ег {^,b)+[ I ^ W dE^ {X, b),
B^\^ bdEi {X, b) + (^ o)^\ Ь dE^ (X, b) (k e N).
Ml M2
4. Структурную теорему можно получить и для самосопряженных операторов (.4 ?c)^=i' (^j)jLi» где коммутирующие между собой операторы (5^)'^^-связаны с(Л^)^^^ соотноше
ниями
A^Bj = BjF^,^ (А) (F^^^ е С (R^), j = i, . . ., п; к ^ N).
Для получения таких теорем конечность набора {Bjfj_^ и самосопряженность опе
раторов Bj суп];ественны. Из структурной теоремы для бесконечного набора {Bj)^^^ следо
вала бы структурная теорема для представлений (7*-алгебр квазилокальных наблюдаемых одномерной спиновой системы, не являющейся алгеброй типа 1; структурная теорема для нары унитарных операторов U ж V, связанных соотношением tfV = ехр {2nia) VU (а е е (О, 1) иррационально), давала бы описание представлений С*-алгебры не типа 1, по
рожденной этими операторами.
Авторы искренне благодарны Ю. М. Березанскому за внимание к работе и полезные советы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Вершик А. М., Гельфанд И. М., Граев М. И. II Функцион. анализ и его прил.—
1983. Т. 17, вып. 2.— С. 70—72. 2. Верезанский Ю. М., Островский В. Л., Самойлен
ко Ю. С. II Укр. мат. ж у р . ~ 1988. Т. 40, № 1.— 106 — 109. 3. Самойленко Ю. С. Спек
тральная теория наборов самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1984.
4. Nelson Е. II Ann. Math.— 1959. V. 70, № i . _ p . 77—91. 5. Vasilescu F,-H, // Rev.
Roum. Math. Pures AppL— 1983. V. 28, № 1.—P. 77—91.
Институт математики Поступило в редакцию АН УССР 20 января 1988 г.
