АН СССР. Сер. матем., 1957, том 21, выпуск 2, 171–198

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Мальцев, Свободные топологические алгебры, Изв.

АН СССР. Сер. матем., 1957, том 21, выпуск 2, 171–198

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 23:15:50

Серия математическая

21 (1957), 171-198

А. И. МАЛЬЦЕВ

СВОБОДНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ В работе излагаются основы теории свободных топологических алгеб­

раических систем, обобщающей теорию свободных топологических групп А. А. Маркова (13) и относящиеся к ней результаты других авторов.

Около десяти лет назад А. А. Марков (13) построил теорию свободных топологических групп над вполне регулярными пространствами. В работах М. И. Граева (⁵), (⁶), Т. Накаяма (¹⁵), С. Какутани (⁸) доказательства основных результатов этой теории были значительно упрощены, а также был получен ряд новых теорем о свободных топологических группах, более полно вскрывающих их строение и в какой-то мере параллельных результатам теории абстрактных свободных групп. Однако известно, что теория свободных абстрактных групп, колец и других алгебраических образований находит свое наиболее естественное место в рамках общей теории алгебраических систем. Это обстоятельство, так же как и внутрен­

нее развитие некоторых вопросов самой теории топологических групп, делали целесообразной попытку создания общей теории свободных топо- логизированных алгебраических систем. Основы такой теории и излагаются в настоящей работе.

Эта работа по содержанию примыкает, кроме указанных статей, также к работе (12). Для облегчения чтения доказательства приведены полностью даже в случаях, когда они лишь по форме отличаются от доказательств соответствующих фактов теории топологических групп.

Под словом алгебра далее понимается универсальная алгебра в смысле Г. Биркгофа (3), т. е. произвольное множество элементов, снабженное конечной совокупностью определенных на нем однозначных операций, производимых над конечными системами элементов. В отличие от этих общих алгебр, обычные алгебры над полями будут называться линейными алгебрами. Алгебра называется топологической, если множество ее эле­

ментов есть топологическое пространство, а основные операции непрерывны в нем.

В § 1 излагается определение топологической алгебры с данным порождающим топологическим пространством и заданной системой опре­

деляющих соотношений и доказываются ее существование и единственность.

Там же доказывается, что топологическая алгебра над топологическим пространством, заданная определяющими соотношениями, финитно порож­

дается элементами указанного пространства.

Основным результатом § 2 является доказательство обобщенной теоремы Дика, из которой, в частности, видно, что классы алгебр с перестано-

вочными конгруентностями занимают особое положение и в теории свободных топологических алгебр [ср. (¹²)]. После этого определяются свободные топологические алгебры и свободные объединения их. Аналогичные поня­

тия рассматривались Р . Сикорским (19).

В § 3, имеющем вспомогательный характер, напоминаются известные факты, связанные с понятием сходимости в хаусдорфовых пространствах, и обсуждается один способ задания топологии посредством предельных операций, играющий в дальнейшем существенную роль.

В теории свободных топологических алгебр важное значение имеет нахождение свободной топологии. Некоторый трансфинитный процесс для получения этой топологии рассмотрен в § 4. Там же более подробно изучены свойства начальной топологии, получаемой в этом трансфинитном процессе.

В § 5 теоремы М. И. Граева о задании свободной топологии группы над бикомпактным пространством доказываются для произвольных алгебр.

Кроме того, в § 5 явно указывается свободная топология алгебр с локально компактным порождающим пространством. Последний результат является, по-видимому, новым и для топологических групп.

В §§ 6, 7, 8 рассматривается алгебраическая структура свободных топо­

логических алгебр частных классов. Сначала в § 6 берутся классы с наиболее простыми определяющими тождествами и в этих классах явно указывается топология и алгебраическое строение свободных алгебр.

В § 7 показывается, как из общих результатов работы можно вывести основные факты теории свободных топологических групп, а также дока­

зывается, что свободные нильпотентные топологические группы различных ступеней являются фактор-группами свободной топологической группы по соответствующим членам ее нижнего центрального ряда.

В § 8 устанавливается алгебраическое строение свободных топологи­

ческих колец широкой системы классов, включающей классы неассоциа­

тивных колец, ассоциативных колец, колец Ли и т. п. Там же устанавли­

вается алгебраическая структура свободных топологических колец Б у л я . В заключение формулируются некоторые нерешенные вопросы.

§ 1. Определяющие соотношения

В дальнейшем, если не оговорено противное, все топологические про­

странства предполагаются хаусдорфовыми. В частности, топологической алгеброй называется хаусдорфово пространство, снабженное конечной системой непрерывных операций rfi(x1, . . . , xnj) (i = 1, . . . , s), называемых основными операциями алгебры. Многочленом от букв х, . . . , z называется имеющее смысл выражение, составленное из этих букв, скобок и символов основных операций алгебры. Алгебры с одним и тем же набором основных операций, все элементы которых удовлетворяют некоторой фиксированной системе © тождеств вида / = g, где / , g — многочлены, называются при­

надлежащими одному и тому же примитивному классу © [(см. (¹²)].

Пусть заданы примитивный класс алгебр, характеризующийся набором тождеств @, и некоторое топологическое пространство X.

О п р е д е л е н и е . Топологическая алгебра А класса © с заданным непрерывным отображением а пространства X в А называется определяемой в © пространством X и соотношениями

Д (ЖЛ1, . . . , ЖХтх) = gA (%Ъ • • • > ЖХтх) (xXi б X ) ,

где Д , gx — некоторые многочлены, если

F1) в А выполнены равенства: Д (х1ъ . . . , xl7Yl}) = gx (ж*!, • • • , #xmx);

F2) Л топологически порождается образами элементов Ху т. е. в А нет замкнутой подалгебры, отличной от А и содержащей Ха;

F3) для каждого непрерывного отображения у пространства X в про­

извольную топологическую алгебру С класса ©, при котором удовлетворя­

ются соотношения:

Д (ХХЪ • • • » хХтх) = gl (ХХЪ • • • > хХтх),

существует непрерывный гомоморфизм а алгебры А в алгебру С, согласо­

ванный с отображениями а, ^, /?г. е. такой, что ха* = жу 9лл всех х из X.

Обычным образом теперь может быть доказана

ТЕОРЕМА 1. Для любого топологического пространства Х} любого класса © и произвольной системы многочленов / , g алгебра А со свойствами F l , F2, F3 существует и определяется этими свойствами однозначно с точ­

ностью до топологических изоморфизмов над образом в ней пространства X.

Начнем с е д и н с т в е н н о с т и. Пусть алгебры А, В с отображениями а, т в них пространства X обладают свойствами F l , F2, F3. Согласно F3, найдутся гомоморфизм а алгебры А в В и гомоморфизм J3 алгебры В в А для которых

Отсюда видно, что отображения а, р взаимно обратны, а потому и взаимно однозначны на множествах Х^а, X^х. Обозначим через А*, В*

подалгебры, порожденные финитно (алгебраически) элементами множеств Х° и X^х соответственно в алгебрах А, В. Пусть

а « = 6, а =/(.**, . . .,ж£), ж. б X,

где / — некоторый многочлен. В силу гомоморфности отображения а, имеем:

откуда

6

= / ( я ^ . . . , : й

) = а ,

т. е. отображения ос, р взаимно обратны на .А* и В*. Так как замыкание подалгебры есть подалгебра, то, согласно F2, множества А\ В* плотны в А, В. Пользуясь непрерывностью а, р, отсюда легко выводим, что а и р взаимно обратны, а потому и взаимно однозначны на А и В. Следо­

вательно, а изоморфно отображает А на В, причем образ какого-либо -элемента X в ,4 переходит в образ этого же элемента в В.

С у щ е с т в о в а н и е алгебры А непосредственно следует из свойств прямых произведений топологических алгебр. Напомним соответствующие определения. Пусть А^гх (ос 6 £) — система топологических алгебр фиксиро­

ванного класса ©. Совокупность всех функций h (ос), определенных на Е со значениями в \JA9, удовлетворяющими требованиям h (a) 6 Аа, есть декартово произведение Н = ИА^а. В Н вводят тихоновскую топологию, объявляя открытыми декартовы произведения открытых подмножеств, выбранных в конечном числе перемножаемых пространств, на остальные пространства, а также произвольные объединения этих произведений.

Наконец, полагают, по определению,

?.(/г15 . . . , /г„.) = /г (1ц, /г-б Я ) , где

h (ос) = ср. (h^± (а), . . . , к^н (а)), а G Е.

Тем самым множество Я обращается в топологическую алгебру того же примитивного класса ©, что и заданные алгебры Л^а. Алгебра Н далее и будет называться прямым топологическим произведением данных топо­

логических алгебр.

Возвращаясь к доказательству существования, обозначим через m мощность заданного пространства X и из совокупности всех топологически неизоморфных алгебр мощности < . 2² "выберем все те а л г е б р ы А^х, кото­

рые удовлетворяют условиям F l , F2. Обозначим через ба то непрерывное отображение .Х- в Аа, о котором идет речь в F l , F2. Отображения аа

порождают естественное отображение а пространства X в прямое произ­

ведение Н = 1Ыа, определяемое равенством ж ° ( а ) = ж ° * (осбЕ).

Легко видеть, что это отображение также непрерывно. Подалгебра А,.

топологически порождаемая элементами Х° в алгебре Н, обладает свой­

ствами F l , F2. Но А удовлетворяет и требованию F3. В самом деле, если В— какая-либо алгебра со свойствами F l , F2, то мощность ее не больше 2²' *, так как Л содержит в качестве плотного подмножества подалгебру В*, порожденную алгебраически элементами X^с и, следовательно, имеющую мощность < ; m + Хо- Таким образом, среди сомножителей Ал

имеется алгебра А^х, изоморфная В над X. Проектирование а—>а(\) алгебры А на сомножитель Ах является искомым непрерывным гомомор­

физмом А на Ах = В, согласованным с отображениями X—>А и X—>В.

ТЕОРЕМА 2. Алгебра А, задаваемая в каком-либо классе © порождающим топологическим пространством X и некоторыми определяющими соотно­

шениями, порождается алгебраически образами элементов X, т.е. каждый элемент А выражается в виде многочлена от образов элементов X.

* Как сообщил мне А. А. Марков, используемая здесь теорема о том, что мощность хаусдорфова пространства Я не превосходит 22' , если оно содержит плотное подмно­

жество А мощности а, впервые доказана М. Я. Перельмаком в не опубликованной до сих пор работе. Там же построены примеры, показывающие, что мощность Z действительно достигается.

Для доказательства обозначим через А* совокупность элементов А, выражающихся в виде конечных многочленов от образов элементов X.

Оставляя в А* топологию, которую она имеет, как подмножество топо­

логического пространства А, обратим А"" в топологическую алгебру, причем пространство X непрерывно отображается в А* с помощью того же отобра­

жения а, что и в заданную алгебру А. В силу F 3 , найдется непрерывный гомоморфизм т алгебры А в алгебру А*\_ согласованный с отображениями X —>А, X—>А*. Поскольку А* алгебраически порождается образами элементов X, то т будет отображением А на всю алгебру А*, причем для а б А" имеем: аТ = а. Так как А* плотно в А, то для каждого at A найдется направленное множество {а^л} элементов А*\ сходящееся к а (см. § 3). Из непрерывности т следует, что

ат = lim{a^} = a, откуда А = А*.

Проблема явного описания топологической алгебры, заданной порож­

дающим пространством X и определяющими соотношениями S в классе ©, естественно расчленяется на следующие части:

A) Изоморфна ли А абстрактной алгебре А, заданной в классе © теми же определяющими соотношениями S и порождающим множеством X, что и сама алгебра А?

Б) Содержит ли А подпространство X топологически, т . е . является ли каноническое отображение а пространства X в А гомеоморфизмом?

B) Указать в каком-то смысле явно топологию А.

Отметим, что положительный ответ на вопрос Б) в работах по теории свободных топологических групп (13), (5) был включен в качестве аксиомы в определение свободной топологической группы. Поэтому доказательство существования в указанных работах проводилось для вполне регулярных пространств X. В нашем определении такого требования нет. Поэтому соответствующие алгебры всегда существуют, но зато не всегда содержат X топологически.

Достаточные условия для положительного ответа на вопросы А), Б) мы сформулируем в виде следующих замечаний, непосредственно обобщающих известные результаты теории топологических групп:

З а м е ч а н и е 1. Топологическая алгебра А с определяющими соотно­

шениями S и порождающим пространством X изоморфна абстрактной алгебре А с теми же соотношениями и порождающим множеством, если для каждых двух многочленов /, g от элементов X, имеющих раз­

личные значения в А, существует непрерывное отображение простран­

ства X в подходящую топологическую алгебру В рассматриваемого прими­

тивного класса такое, что в В выполняются все определяющие соотношения для образов элементов из, X и f ф g в В.

З а м е ч а н и е 2. Для того чтобы алгебра А содержала топологически пространство X, достаточно, чтобы существовала такая система {ос}

непрерывных отображений пространства X в подходящие топологические алгебры Аа, сохраняющих определяющие соотношения, чтобы для каждой окрестности U произвольной точки х б X нашлась конечная система окре­

стностей U^x, . . . , Uⁿ точек хЧ, . . . , х^ап, для которой пересечение П С/^аг

прообразов содержится в U. Если при этом X* окажется замкнутым в каждой алгебре Аа, то X будет содержаться в А е качестве замкнутого подмножества.

Справедливость первого замечания непосредственно вытекает из опре­

деления алгебр с данными пространством X и определяющими соотно­

шениями S.

Для доказательства второго замечания рассмотрим указанную выше конструкцию алгебры А с помощью прямого произведения Н. Все алгебры Аа

войдут в состав И в качестве сомножителей с отображениями а. Нужно убедиться только, что каноническое отображение X внутрь Н при заданных условиях будет гомеоморфизмом. В случае, когда все\Л.а гомеоморфны, явное доказательство этого содержится в работе (18). В общем случае доказательство такое же.

До сих пор рассматривались произвольные хаусдорфовы топологические пространства. Однако поскольку все рассуждения основывались лишь на свойствах прямых топологических произведений, то предшествующие определения и теоремы останутся в силе, если вместо хаусдорфовых пространств рассматривать какие-либо другие классы К пространств при условии, что эти классы обладают следующими свойствами [ср. (8)]:

К^х) прямое произведение К-алгебр есть К-алгебра;

К²) всякая подалгебра К-алгебры есть К-алгебра.

Такими классами являются, например, классы пространств регулярных, вполне регулярных [см. (х)], с функционально отделимыми парами точек и др. Более того, для построения класса с упомянутыми свойствами можно взять какой-нибудь набор топологических пространств и рассматри­

вать все те пространства, которые могут быть получены из взятых с помощью операций К1? К2. В частности, если в качестве исходных пространств взять пространства с дискретной топологией, то получаемые с помощью операций К^х, К² топологии составляют класс алгебраических топологий, изучавшихся в работе (7). Топологические пространства этого класса регулярны и вполне разрывны в том смысле, что для любой конечной системы точек х¹⁹ . . . , х^п такого пространства X существует разбиение X на п попарно не пересекающихся замкнутых множеств, содержащих по одной из указанных точек.

Из замечаний 1, 2 теперь непосредственно следует, что для алгебр, порождаемых регулярным и вполне разрывным пространством Х^у проблема А) решается положительно при любых © и S, а проблема Б) решается положительно при условии, что абстрактная алгебра А содержит X.

Это утверждение справедливо как в классе К всех хаусдорфовых алгебр, так и в классе регулярных вполне разрывных алгебр. В даль­

нейшем, однако, всюду будут рассматриваться только алгебры, свободные в классе хаусдорфовых алгебр.

§ 2. Свободные топологические алгебры. Свободные объединения топологических алгебр

Топологическая алгебра А называется свободной топологической алгеброй над порождающим топологическим пространством X в примитивном классе @, если А определяется в © только пространством X при пустом множестве S

определяющих равенств. В абстрактном случае роль свободных алгебр под­

черкивается тем обстоятельством, что всякая абстрактная алгебра класса © с порождающим множеством X изоморфна фактор-алгебре свободной алгебры над X в © по подходящей конгруентности. В топологическом случае можно утверждать лишь, что всякая топологическая алгебра класса © над X будет непрерывным гомоморфным образом свободной топологической алгебры над X (см. ниже теорему 3). Для построения же топологической фактор-алгебры нужно, чтобы гомоморфизм был не только непрерывным, но и открытым [см. (12)]. В качестве примера рассмотрим класс © полугрупп, т. е. алгебр с одной бинарной ассоциативной операцией умножения. Пусть X — какое-нибудь связное топологическое пространство, состоящее не из одной точки. Выберем в X фиксированную точку е и обозначим через В полугруппу с соотношениями ху = е (х, г / 6 1 ) , состоящую из точек пространства X, а через А — свободную топологическую полугруппу над X. Ясно, что В — топологическая полугруппа. Элемен­

тами А являются конечные последовательности (а^х, . . . , а^т) точек X, умножающиеся по закону

(а1у . . . , ат) (ат+1, . . . , ап) = (аг, . . . , ап),

причем окрестностью элемента (а1у . . . , ат) в А (см. § 7) является сово­

купность последовательностей вида:

(Х1У . . . , х^т), x^t € Ui (i = 1, . . . , /га),

где Ui — произвольные фиксированные окрестности точек ах, . . . , ат в X.

Каноническое гомоморфное отображение (а^г, . . . , а^п) ->а^ъ . . . , а^т алгебры А на алгебру В является непрерывным, но не открытым, так как открытое множество (X, X) переходит при этом в В в точку XX = е, не являющуюся открытым множеством.

Тем не менее существует широкая система классов ©, для которых упомянутые канонические гомоморфизмы будут открытыми.

ТЕОРЕМА 3. Пусть А — свободная топологическая алгебра над топо­

логическим пространством X с определяющими соотношениями S в классе с тождествами © и пусть В — топологическая алгебра над пространством Y с определяющими соотношениями Т в классе с тождествами $ . Предпо­

ложим, далее, что задано непрерывное отображение т пространства X на пространство Y такое, что каждое равенство из S, записанное для соответствующих элементов Y, содержится в Т, и пусть каждое то­

ждество из © содержится в %. Тогда отображение т продолжаемо до непрерывного гомоморфизма т* алгебры А на В. Этот гомоморфизм будет заведомо открытым, если в классе © все конгруентности перестановочны *, В содержит топологически Y и отображение т пространства X на Y есть гомеоморфизм.

Возможность продолжения т до непрерывного гомоморфизма т* следует из основного определения § 1, так как лишние сравнительно с © тожде-

* Перестановочность конгруентностей в классе алгебр (В понимается здесь в смысле работы (12).

3 Известия АН СССР, серия математическая, 2

ства в % можно заменить дополнительной системой индивидуальных соотношений и включить ее в Г.

Для доказательства открытости т* обозначим через 6 отношение кон- груентности на А, отвечающее гомоморфному отображению т* алгебры А на В. Поскольку гомоморфизм т* непрерывен и конгруэнтности на © пере­

становочны, то, согласно теоремам 10 и 11 работы (12), конгруентность О будет непрерывна и полна. Поэтому мы можем рассмотреть топологиче­

скую фактор-алгебру А/Ь с открытым непрерывным гомоморфизмом A —>А/Ь и непрерывным взаимно однозначным гомоморфизмом А/Ь—>В [см. (12)]. По условию, В содержит Y. Обозначив заданное каноническое отображение X в А через с, будем иметь непрерывные отображения X-~^> Х° —>Y—*X>

из которых видно, что а есть гомеоморфизм, т. е. что А содержит X. При отображении А —> А/Ь различные элементы из X имеют различные обра­

зы в А/6. Кроме того, это отображение непрерывно и открыто. Поэтому образ XQ множества X в А/Ь топологически содержится в А/Ь. При ото­

бражении Y —» XQ все определяющие сортношения из Т выполняются для соответственных элементов XQ. Поэтому отображение У - > Х⁰ продолжае­

мо до непрерывного гомоморфизма о алгебры В на А/Ь. Ясно, что <р об­

ратно для отображения А/Ь -> В и потому ср — взаимно непрерывный изо­

морфизм между алгебрами А/Ь и В, что и требовалось.

С л е д с т в и е . Всякая топологическая алгебра В, определяемая в при­

митивном классе © с перестановочными конгруентностями, содержащимися в В, порождающим пространством X и системой Т определяющих соотноше­

ний , топологически изоморфна фактор-алгебре свободной топологической алгебры А над X в классе © по подходящей непрерывной и полной конгруент- ности.

Для доказательства достаточно в теореме 3 взять в качестве S пу­

стое множество и положить: X = У, т — тождественное отображение.

В качестве частного случая отметим еще, что каждая топологическая алгебра В, принадлежащая примитивному классу © с перестановочными конгруентностями, является непрерывным и открытым гомоморфным образом свободной топологической алгебры А в классе © над простран­

ством В.

Это утверждение получается из приведенного выше следствия, если в нем в качестве X взять В, а в качестве Т взять все соотношения меж­

ду элементами В.

Введем несколько определений. Пусть топологическая алгебра А фи­

нитно порождается элементами некоторого своего подмножества X. Обо­

значим через S совокупность всех соотношений между элементами X в алгебре А и рассмотрим алгебру В с порождающим пространством X и определяющими соотношениями S. Согласно замечанию 2, алгебра В со­

держит топологически X, и непрерывный гомоморфизм В на А, являю­

щийся продолжением тождественного отображения X в X, будет алгеб­

раическим изоморфизмом между В и А. Поэтому алгебру В можно считать той же алгеброй А, только снабженной другой топологией, ко­

торую будем называть свободной относительно X. Из основного определе­

ния § 1 вытекает, что тождественное отображение алгебры А со свободной топологией относительно X на алгебру А с любой другой топологией,.

совместимой с заданной топологией множества X, будет непрерывно.

Это свойство характерно для свободной топологии.

Пусть Хл — топологические пространства попарно без общих точек.

Свободной топологией их объединения X = U Ха называют топологию, при которой открытыми подмножествами X являются произвольные объединения открытых подмножеств объединяемых пространств.

Рассмотрим топологические алгебры Аа одного и того же класса ©,.

не имеющие общих элементов, и предположим, что Аа, А$ имеют топо­

логически изоморфные подалгебры А^у А$а. Изоморфизм Аа§ на А$т

обозначим через а^{а р}. Свободным топологическим объединением алгебр А- с отождествленными подалгебрами Аа$, А^а будем называть топологиче­

скую алгебру, определяемую в классе 6 пространством [J А# со свобод- ной топологией и определяющими соотношениями a^G(X$ = а (а& А^а$):

В частном случае, когда подалгебры А^Л$ пусты, свободное объедине­

ние с отождествленными подалгебрами называется просто свободным объединением. Если пусто множество операций, то получается определе­

ние свободного объединения топологических пространств с отождествлен­

ными подпространствами. , Топологическое свободное объединение алгебр можно характеризовать

также следующим образом: алгебра А тогда и только тогда является топологическим свободным объединением алгебр А^а в классе ©, когда существуют непрерывные гомоморфизмы а^а алгебр А^а в А со свойствами-

1) А топологически порождается элементами (J АП^\

2) для каждого набора непрерывных гомоморфизмов т^а алгебр Л^а в какую-либо алгебру В рассматриваемого класса S найдется непрерывные гохмоморфизм т алгебры А в В такой, что а°аХ = аг<х для а 6 4<*..

Из теоремы 2 непосредственно следует, что свободное топологическое?

объединение финитно порождается образами элементов объединяемых а л ­ гебр.

Легко указать пример, когда канонические отображения аа объеди­

няемых алгебр в свободное объединение не будут изоморфизмами. В об­

щем случае справедлива

ТЕОРЕМА 4. Если каждую из заданных топологических алгебр Ах, класса © можно топологически погрузить в топологическую алгебру С^

того же класса, содержащую одноэлементную подалгебру, то канониче­

ские отображения заданных алгебр в их свободное объединение будут то­

пологическими изоморфизмами. Образы алгебр Аа в свободном объединении, будут замкнутыми подалгебрами, если Аа замкнуты в Са.

Действительно, пусть каждая из данных алгебр А^а погружена в то­

пологическую алгебру С^а с одноэлементной подалгеброй {е^а}- Составим топологическое прямое произведение Н = ПСа и рассмотрим отображение сра алгебры Са в Н, определяемое условиями:

вф* (л) = еъ а9* (ос) = а (X ф а, а 6 СЛ).

Ясно, что сра е с т ь топологический изоморфизм Аа на замкнутую подал­

гебру На = Саа в И. Согласно характеристичному свойству свободного объединения, гомоморфизмы ср^а продолжаемы до непрерывного гомомор-

а*

физма всего свободного объединения в алгебру Н. Так как Са, На то­

пологически изоморфны и Ла замкнуты в Са, то и свободное объедине­

ние содержит Ах в качестве замкнутой подалгебры.

§ 3. Х-операции

Параллелизм между теорией абстрактных алгебр и теорией топологи­

ческих алгебр становится более отчетливым, если на топологические пространства смотреть как на дискретные алгебры с системой частичных операций предельного перехода. Трудность состоит лишь в том, что эти операции зависят от бесконечного числа переменных и, в особенности, в том, что свойства их выражаются не в виде тождеств. Тем не менее со­

поставление операторной точки зрения на топологические пространства с обычной представляет интерес и будет проведено кратко в настоящем параграфе.

Пусть А — какое-либо множество, 2 — вспомогательное множество индексов, частично упорядоченное так, что любые его два элемента имеют в 2 общий больший. Направлением [аа] в А с носителем 2 называется произвольное отображение ос —>аа множества ^] в А. Направление [аа] в топологическом пространстве А называется сходящимся к точке а> сим­

волически lim [аа] = а, если для каждой окрестности U точки а найдется такой индекс ос G 2> ч т о в с е ал с Х > а содержатся в [/. В хаусдорфо- вых пространствах каждое направление может сходиться не более чем к одной точке. В Т0- или ^-пространствах [см. (1)] могут существовать направления, сходящиеся к нескольким точкам. Множество F топологи­

ческого пространства А тогда и только тогда замкнуто, когда все пре­

делы направлений из элементов F принадлежат F [см. (²), стр. 14].

Подмножество 2 ' элементов частично упорядоченного множества 2 назовем его конфинальной частью, если для каждого а 6 2 в 2 ' СУ~

ществует больший элемент а'.

В хаусдорфовых пространствах операции lim обладают следующими очевидными свойствами:

L1. Для каждого носителя 2 операция lim является однозначной ча­

стичной операцией.

L2. Если для всех а С 2 имеем а.а = а, то lim [аа] = а.

ЬЗ.уЕсли {оц} — конфиналъное множество из {а} и lim [аа] существует, то lim [а^ч] также существует и совпадает с Н т [ а^а] .

Уже упоминалось, что с алгебраической точки зрения взятие предела направления в топологическом пространстве можно рассматривать как частичную операцию с бесконечным числом аргументов, точнее, как систему частичных операций, различающихся носителями. Условия L2, L3 формально имеют тот же самый вид, что и тождественные соотноше­

ния, связывающие частичные операции в примитивных классах. Поэтому мы обратим постановку вопроса и предположим, что в некотором множе­

стве А некоторым направлениям [аа] сопоставлено по определенному элементу L[aa] из а и что так определенные операции удовлетворяют тре­

бованиям L 1 — L 3 . В этом случае условимся А называть L-алгеброй.

Подмножества из А, замкнутые относительно L-операций, т. е.

подалгебры L-алгебры Л, назовем L-замкнутыми. Из L3 следует, что объединение двух L-замкнутых множеств L-замкнуто, а из L2 сле­

дует, что каждая точка в отдельности есть L-замкнутое множество. Так как пересечение любой системы L-замкнутых множеств L-замкнуто, то L-замкнутые множества будут системой всех замкнутых множеств опре­

деленной топологии на А, которую будем называть L-тюпологией. Поль­

зуясь L-топологией, можно определить понятие предела lim[aa] направ­

ления [aa] в А.

Если операция L определена для направления [a^a], то lim [a^a] = L[aо.], где lim берется в смысле Ь-гпопологии.

В самом деле, пусть U — некоторая окрестность точки а = L [aa] и F — дополнение U в А. Выберем из направления [аа] те элементы aaiy

которые содержатся в F. Если {ос^} конфинально с {а}, то, по аксиоме L3, выражение L [aa.] определено и равно а. Ввиду замкнутости F, это дает adF, что противоречит условию adU. Таким образом, {ос*} не мо­

жет быть конфинально {а}; поэтому найдется такое а, что для всех Л > а будет a\dU, что и требовалось.

Теория абстрактных алгебр с порождающим множеством и опреде­

ляющими соотношениями, хорошо известная для алгебр с частичными операциями с конечным числом; аргументов, без труда переносится и на алгебры с частичными операциями от бесконечного числа аргументов.

Поэтому для определения топологической алгебры с порождающим про­

странством X можно было бы попытаться заменить топологию на X системой L-операций и рассматривать алгебру, часть операций которой была бы финитна и часть инфинитна (новые L-операции). Однако при проведении этой программы возникает затруднение, состоящее в том, что аксиомы L 1 — L 3 не гарантируют хаусдорфовости L-топологии. Это за­

труднение было бы обойдено, если бы свойства операции предельного перехода в хаусдорфовых пространствах можно было полностью охарак­

теризовать аксиомами типа L I — L 3 . Однако полная аксиоматика, указан­

ная, например, Биркгофом [см. (4)], содержит аксиомы существенно дру­

гих типов. Аксиоматика, данная Чогошвили (¹⁷) для других классов то­

пологических пространств, также содержит аксиомы нежелательного вида. Поэтому в дальнейшем L-операции будут использоваться только как удобный способ задания топологии и как наводящее средство при определениях.

Далее нам понадобится еще следующее свойство L-топологий, уста­

навливающее аналогию между алгебраическим гомоморфизмом и непре­

рывностью.

Отображение а топологического пространства X, топология в кото- ром определяется L-операциями, в топологическое пространство У, то­

пология в котором также определяется L-операциями, заведомо непрерыв­

но, если из каждого равенства вида L [ха] = х в X следует равенство L [xl] = х° в пространстве Y.

Действительно, пусть Р^г — какое-нибудь замкнутое подмножество в Y и F — его полный прообраз в X. Если [х^а]—некоторое направление в

F и L [х^а] = х, то, по условию,

Xv [X(x J ~ " ОС ,

откуда xPfiFu xdF, F замкнуто в X и, следовательно, а непрерывно.

§ 4. Начальная топология алгебр

Пусть А — топологическая алгебра, финитно порождаемая элементами некоторого своего подмножества X. В § 2 была определена свободная

топология алгебры А относительно X. Эту топологию независимо от за­

данной топологии в А можно получить из топологии пространства X следующим трансфинитным путем.

Множество U элементов А назовем Х0-открытым, если для каждого многочлена / , в том числе / (х) = х, и для каждой системы х^1у . . . ,xⁿ элементов из X, для которой f (x^l9 . . . , х^п) 6 U, найдутся такие окрест­

ности f/jL, . . . , Un этих элементов в X, что f (Uly . . . , Un)^U. Очевидно, пересечение конечной системы и объединение произвольной системы Х⁰-открытых множеств суть Х⁰-открытые множества. Поэтому Х⁰-открытые множества задают особую топологию на А, которую будем называть Х0-топологией или начальной топологией А.

Далее, индукцией определяем Х^-топологии А для трансфинитных индексов X. Именно, пусть для некоторого трансфинита X топология Х^х определена. Множество U из А назовем X^-f-i-открытым, если для ка­

ждой основной операции f (хи . . . , хп) и каждых % , . . . , ап из А, удовлет­

воряющих условию / ( % , . . . , ап) б U, найдутся такие Хл-окрестности U^±, . . . , Uⁿ точек а^±, . . .., а^п в А^у что f (U^lt . . . , Uⁿ) С U. Далее, если то­

пологии Хх определены для всех X, меньших предельного а, то множе­

ство U называем Ха-открытым, если оно Х>.-открыто для всех X < а.

Называя топэлэгязацию г^п какаго-нибудь множества А большей или более свободной, чем топологизаций тг² того же множества, если всякое 7г2-замкнутое множество из А является и ^-замкнутым [см. (*)], мы ви­

дим, что топологизаций Х\ монотонно убывают с ростом X и все содер­

жат заданную топологию А и вообще любую допустимую топологизацию А, т. е. не меняющую топологии X и делающую непрерывными основные операции.

Пусть т — наименьший трансфинит, для которого Хт = Х ^ . Тогда Х^т есть искомая топология алгебры А, свободная относительно X.

Действительно, из соотношения Х^т = Х^{т + 1} следует, что основные опе­

рации алгебры А в топологии Хт непрерывны. Топология Хт на X сов­

падает с первоначальной топологией и содержит всякую допустимую то­

пологию А. Поэтому Х^т есть наибольшая из допустимых топологизаций А, что и требовалось доказать.

Топологии Хх можно определить другим путем. Пусть А — снова то­

пологическая алгебра, финитно порождаемая подпространством X . В абстрактную алгебру А вводим LQ-операции, полагая

Ь0[а«] = а (аа£А),