Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. А. Апресян, Теоремы единственности и лока- лизации идеалов в алгебрах аналитических функ- ций с ограничениями на рост, Докл. АН СССР, 1976, том 229, номер 5, 1033–1036
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
4 ноября 2022 г., 20:46:53
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1976. Том 229, № 5
УДК 517.549.8 МАТЕМАТИКА
С. А. АПРЕСЯН
ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ И ЛОКАЛИЗАЦИЯ ИДЕАЛОВ В АЛГЕБРАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
С ОГРАНИЧЕНИЯМИ НА РОСТ
(Представлено академиком В. С. Владимировым ВО III 1976)
1.1. П р о б л е м а л о к а л и з а ц и и и д е а л о в : а) описать алгебры А функций, регулярных в открытом множестве Q, !Qe=C, в которых все идеалы / , /<=Л, являются закрепленными (локализованными) или ло
кальными (определяются своими нулями); б) если алгебра А не обладает упомянутыми свойствами, указать (на языке, определяющем алгебру А) критерий того, что некоторая совокупность функций из А порождает за
крепленный или локальный идеал. Алгебра А наделяется топологией^
мажорирующей топологию пространства A(Q) всех функций, аналитиче
ских в Q (топологию компактной сходимости), а идеал / считается замк
нутым. Если &/(£) — кратность нуля функции /, / e ^ 4 ( Q ) , в точке £,
def
то локализуемость идеала I, 1¥=А, означает, что /с7(£) = m i n & / ( £ ) ^ 0г
def / е / .
а его локальность,— что 1=1нх = { / ^ 4 : ki>ki).
Сформулированная проблема тесно связана с широким кругом (ищ>г,р$
определяющих) задач нескольких дисциплин — от теории дифференциад^г ных операторов и их обобщений до абстрактного гармонического анализа.
Вместе с тем исследование локальности идеалов неотделимо от важней
ших внутренних задач теории функций — изучения мультипликативной структуры аналитических функций (факторизационные теории Вейер- штрасса, Неванлинны — Рисса — В. И. Смирнова, М. М. Джрбашяна), тео
рем единственности и оценок снизу модуля аналитических, функций, О связи этих задач с проблемой локализации см. (*).
Упомянутые оценки снизу — наиболее тяжелая аналитическая часть теорем о локализации. Именно отсутствием таких оценок объясняется тот факт, что многие результаты о локализации носят «условный» харак
тер, например: если идеал / содержит ограниченное семейство функций огибающая которого sup «достаточно велика», то I=IkI (Л. Вал
у е в
брук, Л. Хермандер, Ж.-П. Феррье и др., см. (2) ) . В других работах (Л. Шварц, А. Ф. Леонтьев, А. Берлинг, И. Ф. Красичков, Н. К. Николь
ский, В. А. Ткаченко; см. об этом X1)) авторы опираются на достаточно сильные оценки снизу и их теоремы свободны от упомянутой «услов
ности». В (3) предложен метрический подход к проблеме локализации:
даны пространства X, Y • ( Х с г У с Л ( Q ) ) ; определить «насколько шире», чем X, должно быть пространство 7 , чтобы любой «идеал» (точнее, z-ин- вариантное подпространство) / , /<= Y, содержащий функции из X ( 7 П Х ^ { 0 } ) , был локальным в Y. Мы следуем именно такой постановке задачи.
Т е о р е м ы е д и н с т в е н н о с т и связаны с проблемой локализации двояко: они должны завершать описание идеалов (указывая нетривиаль
ные нуль-множества (дивизоры) к, для которых Д ^ { 0 } ) , но они могут быть и способом установления локальности. Второй вариант восходит к интерполяционной теореме Л. Карлесона и разработан Л. Хермандером,
Б. Тейлором и Дж. Келлегером (см. библиографию в (4) ) . Теоремы двух последних авторов существенно используются ниже, в п. 3.
1.2. Работа содержит точную асимптотическую теорему единствен
ности (теорема 2) и признак локальности идеалов (теорема 3) в алгебрах
^ ) = { / e 4 ( i ) ) : i o g i / ( e ) i ^ ( - j ^ | - ) , e e i > } ,
снабженных естественной топологией индуктивного предела. Здесь / ) = { ^ С : | ^ | < 1 } , ф — возрастающая положительная функция, удовлет
воряющая некоторым условиям (см. 1.3). Все названные результаты вы
текают из оценок теоремы (*).
1.3. О б о з н а ч е н и я и с о г л а ш е н и я :
т^<?я={^с: 1С1=1>;
D(l,p) = {w^C:
lw-El>p(S)(l-ltl)},
t^D,0<p(S)<l;
def
ty(x)=logq)(ex) — выпуклая С3 функция на полуоси [ 0 , + ° ° ) ;
def • I ф ' {Х)Х
а= lim — — — = lim я|) (х) — ее степенной порядок роста, 0 < а < + ° ° ;
Х-* + оо ф \Х) х-> + оо
дополнительные условия «правильности» функции ф : если а = 1 , то Ф — выпуклая функция; если а = + ° ° , то функции ($')~ч\ ф / ф ' , ф 7 ф " — выпуклы в окрестности точки + ° ° ;
«идеал» —это всегда «замкнутый идеал» (в топологической алгебре).
Жесткие ограничения, налагаемые на мажоранту ф , обусловлены при
менением асимптотических формул С . Варшавского (см. ниже п. 2 ) ; все эти требования выполнены, однако, для всех элементарных функций ф й, более того, для всех функций из любого тела Харди (5) , содержащего константы.
2. О ц е н к и с н и з у и т е о р е м ы е д и н с т в е н н о с т и Т е о р е м а 1. Пусть
f<=A(D)y / # 0 ,
lo
Si/(S) 1«<Р
вблизи окружности Т.
Существует число С, 0 0 , такое, что каждая компонента связности множества Q ( C , ф * ) ,
Г
i 2( C ,9- ) = { ^ Z ) :l o g l / ^ K - ^ ^ - L ^ ) } ,
относительно компактна в D% Здесь ф * = Ф , если 1< а < + ° ° , и
1
если а=С1.
З а м е ч а н и е 1. При а > 1 константа С зависит лишь от а, и С — аб
солютная постоянная при а ==1,
1
З а м е ч а н и е 2. Если вместо функции ф* взять любую меньшую (по порядку) функцию ф* (<f*(t)—o(<p*(t)), то заключение теоремы станет неверным. Нужные примеры содержатся в (6,3) и достигаются уже ша функциях /, нигде не обращающихся в нуль. С другой стороны,
Ш 4
У. Хеймен и Ч. Линден (7) установили, что, если вместо ф* взять Ф*=
= Ф log ф, то при 1 < а < +0 0 в дополнении D\Q(C\ Ф*), С*>С0 содержится некоторая система окружностей {£: | E | = r „ } , r„tl,- гс=1, 2 , . . . . Примеры показывают, что для D\Q(C\ ф*) это уже, вообще говоря, не так.
З а м е ч а н и е 3. Функция ф* введена в (6) ; сравнительное изучение роста ф* и ф имеется в (3) , § 1.3.
План д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 1. Ш а г 1. Множество Q(C\ ф*)
«глубоко» содержится в Й(С, ф*) при достаточно большом отношении С*/С\ точнее, £>(£, р)ПЙ(С*, ф * ) = 0 , если £es0Q(C, ф* ) ,
Р а ) = Я ф ( Т ^ | ) d - l t l ) / Ф'
(^щ)
ПРИ « = + 0 0 ,p ( S )sP = c o n s t < l при а < + ° ° . Ш а г 2. Мера множества
(6: | 6 - а гв£ | < л / 4 } , £ + p ( C ) ( l - . | C | ) ^ee Q ( Cf Ф*)
не может быть близка к я / 2 (р достаточно велико при а < + ° о ) , когда Ш а г 3. Из шага 2 и некоторых геометрических рассмотрений выво
дится, что некомпактная (в D) компонента множества Q(C, ф*), содержит некоторый радиальный отрезок, оканчивающийся на окружности Т, а, значит, в силу 1, и некоторый (криволинейный, вообще говоря) тре
угольник А; выписываются уравнения его сторон.
Ш а г 4. Треугольник А конформно отображается на полосу, исполь
зуются асимптотические формулы С . Варшавского и стандартная (гра
ничная) теорема единственности для ограниченных функций, что и при
водит к противоречию (если предположить существование упомянутой в 3 компоненты).
Т е о р е м а 2. Пусть f^A(p(D) и пусть Г — непрерывная кривая, Гс:/?, lim ( l - l £ l ) = 0 .
СеГ,|Е1-»1
Если
— 10gl/(C)l , V
lim — =—°°, (*)
t e l \ | t | - M ... / 1
CI- то / ^ 0 .
Оттин частный случай этой теоремы содержится в (8) , асимптотические теоремы единственности для других классов функций см. также (9,1 0) . Стоит отметить, что теорема 2, по существу, совпадает с теоремой 1 и, следовательно, замечания 2—3 можно отнести и к ней. Интересно так-
сю
же, что для всех ф с S (<р(х)/х3) i/2dx<+°° условие (*) сводится к
1
ш ( l - I E l ) l o g l / ( E ) l = - « .
Ser,|t|-M
3. И д е а л ы . Из теоремы 1 и результатов Келлегера и Тейлора (4) вы
текают признаки локальности идеалов.
Т е о р е м а 3. Если I — замкнутый идеал в алгебре А^*(D) и ШАу{1))'*Ф
=^={0}, то I — локальный идеал. В частности, любой идеал в алгебре А^ф) локален, если 1 < а ^ + ° ° .
Второе утверждение теоремы 3 при а < + ° ° , по существу, доказано в работе (и) , хотя в явном виде там присутствует лишь случай ф ( £ ) = £а,
1 < а < + о о .
1Q35
Теорема 3 не вносит еще полной ясности в задачу о локализации идеа
лов, хотя и исчерпывает много интересных случаев. Неясно, например, является ли A<p*(D) «наименьшим» пространством, содержащим 4Ф( / ) ) , где локальны все «идеалы» (z-инвариантные подпространства), порож
денные элементами из Ау(Р); при неясно даже, будет ли A^{D)
«наименьшей» алгеброй с подобным свойством. Известно только, что, добиваясь локализуемое™ главных идеалов, это пространство A^*(D) можно существенно уменьшить (3) .
Работа выполнена под руководством Н. К. Никольского.
Ленинградский государственный университет Поступило им. А. А. Жданова ' И Ш 1976
ЛИТЕРАТУРА
1 Н. К. Никольский, Математический анализ, Итоги науки, т. 12, М., 1974, стр. 192, 2 J.-P. Ferrier, Nort - Holland, Math. Stud., v. 4, Amsterdam - London, 1973, p. 93. 3 H. К. Никольский, Тр. МИАН, т. 120, 270, (1974). 4 7. / . Kelleher, В. A. Taylor,!, reine u. angew. Math., v. 255, 190 (1972). 5 H. Бурбаки, Функции дей
ствительного переменного, М., 1965, стр. 424. 6 Н. К. Никольский, ДАН, т. 205, № 3, 522 (1972). 7 С. N. Linden, Quart. J. Math., Ser. 2, v. 7, 196 (1956). 8 А. Л. Шагинян,
Изв. АН АрмССР, сер. физ.-матем. наук, т. 12, № 1, 3 (1959). 9 А. Л. Шагинян,ДАН, т. 129, № 2, 284 (1959). 1 0 В. С. Захарян, Матем сб., т. 63 (105), 3 (1964). 1 1 В. И.
Мацаев,Е.З.Мигульский, Зап. научн. сем. ЛОМИ, т. 56, Л., 1976, стр. 73. 1 2 С. Ман- делъбройт, Примыкающие ряда. Регуляризация последовательностей. Применения, М., 1955, стр. 267. 1 3 М. L. Cartwright, Integral Functions, London, 1956, p. 131.
1036
