А. Г. Асланян, Формула для числа частот свободных коле- баний оболочки вращения с фиксированным числом волн по параллели, Изв. вузов. Матем., 1980, номер 2, 3–14

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Г. Асланян, Формула для числа частот свободных коле- баний оболочки вращения с фиксированным числом волн по параллели, Изв. вузов. Матем., 1980, номер 2, 3–14

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:39:08

1980 МАТЕМАТИКА № 2 (213)

А. Г. Асланян УДК 517.925 ФОРМУЛА ДЛЯ ЧИСЛА ЧАСТОТ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ ВОЛН

ПО ПАРАЛЛЕЛИ Введение

Определение частот свободных колебаний тонкой упругой обо­

лочки вращения, защемленной по двум параллелям, приводит к сле­

дующей задаче (см. [1], [2], [3]):

— и

т ( Г + а ) ,

2В в

+

— т — v + — — \w

2 В2 U i Я

+ (!•

'Hi

<0

RiR*

и +

—) w— Ха,

о ,/ , т (1 + о) /

— v А -—•—- и • 1В

В J RiR2

2 В

— с В'

— т — и —

2 В2

В2

7Я / а 1 . .

V \W=kV, В \Ri Rz

4 1 / - / ? - - а?-.)А-(£ р>£ — ^т2\ ¹~^z[^d в" ^d • ^mZ в""

^ [в [ds ds В j B\ds ds В ) В [ds ds В2

— I — « — — и — 4 — •» + Ui я²/ в Ui /?J в U я»)

ISO •

+ _*? +

*1

H Ьда = Хге>,

к la, S — ^ la, й : W a, b W s 'a, b ' 0.

(0.1)

(0.2)

Здесь u(s), v(s), w(s) — компоненты вектора перемещения точки срединной поверхности; s — длина дуги меридиана ( a < s < & ) , B(s)~

расстояние от меридиана до оси вращения (В (s) > 0), RT1 (s), R^1 (s) — главные кривизны оболочки, X — параметр, множителем отличаю­

щийся от квадрата частоты колебаний, [^ — малый параметр:

р4 — (1/12) /г2, где h — толщина оболочки, \tn\~ число волн по параллели (т = 0, ± 1 , ± 2, .'„'), о — коэффициент Пуассона (о2 < 1/4).

Коэффициенты системы (0.1) предполагаются для простоты регуляр­

ными функциями s в некоторой комплексной окрестности отрезка I*. Ь\.

Задача (0.1), (0.2) является самосопряженной и имеет положи­

тельный дискретный спектр: Х; <Х2 < ... < Хп< ... Пусть п (X, то)—

функция распределения собственных значений задачи (0.1), (0.2) при фиксированном т:п^(X, т) ==.',^ 1'.,.".._....','

х„<х

A. f. Асланян

В предлагаемой статье при достаточно малых {л, фиксированном /и(0 < |от| <от0*>) и некоторых ограничениях на параметр X и коэф­

фициенты системы (0.1) выводится точная формула для числа соб­

ственных значений п (X, от), меньших данного X (теорема 1).

Введем обозначения ^ (s) = (1 — о2) /?Г (s), <p2 (s) = ^?Г2 (s) + + 2а ЯГ1 (s) R21 (s) + /?2-2 00, cl (s) = ЯГ1 (s) + a/?2-1 (s). Далее, обозна­

чим через Фу(/ = 1, 2) отрезки [^, ру] значений функций <Р/($).

s£[a, b]. Отрезок Ф, принадлежит непрерывному спектру задачи, в которую вырождается задача (0.1), (0.2) при ц—>0. Вне Ф1 спектр вырожденной (безмоментной) задачи дискретен (см. [5], [3]).

Положим в (0.1) (* = 0. Можно показать, что возникающая таким образом безмоментная система эквивалентна системе четырех уравнений первого порядка

g' = P(s, X)g, (0.3) где g = (и, v, z, w), z^sv', а P(s, X) —матрица 4 X 4 , элементы

которой регулярны по s в окрестности отрезка [а, Ь\ при всех

\&Ф1 (ср. с системой (28.22) из [3], с. 127). Пусть g\{s, X), k = 5, 6, 7, 8, — решения системы (0.3), удовлетворяющие условиям Коши:

g°s(а, Х) = (0, 0, 1, 0), gl(a, X) = (0, 0,0, 1),

g0{a, Х) = (0, 1, 0, 0), g > , X) = (l, 0, 0, 0). (0.4) Введем в рассмотрение функцию a(s, X) = M<!(S, X)ti°(s, X) —

— и° (S) *) ^5 (s> ^)- Функция a (s, X) регулярна по X при каждом фикси­

рованном s(z[a, b] в области Х^Ф1# Нули a(b, X) совпадают с дискретным спектром вырожденной задачи.

Сформулируем основной результат работы (через [х] и \х) обозначены целая и дробная части х).

Т е о р е м а 1. Пусть

X > P i (0.5)

II

Cl(s)^0, s£[a,b]. (0.6)

Пусть Sj > 0, и X и р всюду таковы, что

в, < { - 1 + ~ J >^~"^) d*j < 1 -

, (0.7)

кроме того, пусть

\*(Ь, Х ) | > г2> 0 (0.8)

и

0 < | о т | < о т0. (0.9)

Гогда существует такое ^0, <ш<э при всех 0 < ц. < р0

л ^ (>>, /w) =

~ т + — f ^ " ^ i l O

1 + Ро (

) - Pi (

>

)- (°

°)

2 Я (A J J

*) При от = 0 колебания оболочки называются осесимметричными. Точная фор­

мула для числа частот осесимметричных колебаний оболочки была получена ранее в [4].

Здесь Л — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам А>Х, А > р2. Через р0(А) обозначено число s-нулей функции сф, А) на интервале (а, Ь), а через pt (X, А) — число Снулей a.(b, t) на ин­

тервале (X, А).

Число р0 может быть выбрано одним и тем же при всех А и любом X, удовлетворяющем, кроме (0.5), (0.7), (0.8), неравенствам pi + е8 < X < Х0, е3 > 0.

Таким образом, ^о зависит от е,, s2, s3, т0 и Х0. Сделаем несколько замечаний.

1°. Можно доказать, что разность р0(А) — рх (X, А) не зависит от А. Поэтому при X > р2 можно положить в (0.10) А = Х. При этом pj(X, A) = 0, и отыскание правой части в (0.10) существенно упро­

щается.

2°. Условие (0.6) не является существенным; оно включено в формулировку теоремы для упрощения доказательства.

3°. Важной для доказательства теоремы 1 является лемма 1 (§ 1), которая позволяет существенно упростить подсчет числа s-нулей характеристического определителя A,j.(s, X) ((1.4)). Тем самым отпадает необходимость в нахождении следующих по порядку поправок в асимптотической формуле для A^(s, X) ((1.9)) и установ­

лении неравенств типа (28.42) и (28.43) ([3]). Эти неравенства были доказаны П. Е. Товстиком ([6], [8]) и использовались в [3] (§28) при подсчете числа собственных значений осесимметричных колебаний оболочки вращения.

4°. Практически формула (0.10) пригодна при условии \ип\<^ 1 (это следует из оценки остатков асимптотических разложений для решений).

§ 1. Вспомогательные результаты

Система (0.1) при условиях (0.5) и (0.9) обладает четырьмя решениями с большим показателем изменяемости (см. [2]; [3], с. 122):

S

а} = [х exp (-j Г г j (i) dt \ ft (s) cx(s) + 0 {v)\,

a

^ е к р ( | |

, < * ) * ) [ М

0(4

a s

Wj^expfl-^ZjWdtyiWZjis) + 0(H)], y = l, 2, 3, 4.

a

Здесь

Zj {s) = (X - ? l {s))llie T U~l\ т (s) = (X - ? 1 (s))-s/8 IT1/2 (s) cQ (s) = B~{ (s) [RT1 (s) - (2 + а) Ш1 (s)].

Первые две формулы в (1.1) могут быть продифференцированы по s один раз, а третья — трижды с сохранением асимптотичности.

Система (0.1) обладает, кроме того, четырьмя медленно меняю­

щимися по s решениями (см. [3], с. 119)

6 А. Г. Асланян

w} = i!ftj + 0{v?),j = 5, 6, 7, 8. (1.2) Здесь (и0;, v°}, яу°), у = 5, 6, 7, 8, — решения системы (0.3), удовлет­

воряющие условиям (0.4). Формулы (1.2) также допускают диффе­

ренцирование ПО S.

Постоянные в О-членах в формулах (1.1) и (1.2) не зависят от s £ [а, Ь] и | т | < т0.

Построим четыре линейно независимых решения системы (0.1), удовлетворяющих на левом конце отрезка [а, Ь] условиям (0.2).

Положим для удобства и = ух, и'= у2, v=y3, v'=y4, w = yb, w' = y6, w"^y7, wm = ys. Пусть y(J)(s, X, !i) = (yj'\ y(»,..., y<8»), У = 1 , 2, 3, 4, — решения системы (0.1), удовлетворяющие при s = a

условиям

У{1)(а* К V) = (0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0), У(2)(«. X V) = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0), У8> (а, X, I*) = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0), у^(а, X, n) = (Qk 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1).

(1.3)

Очевидно, что всякая собственная функция задачи (0.1), (0.2) есть линейная комбинация решений (1.3). Введем определитель

Д1* (s' *•) = det

-yi'Hs, \ v) y[

(s, К ti M

(s, К г) y[

(s, х, ix)-

yW(s, X, ц) j#>-(5, X, JX) j f ) (^s, X, v) yW(s, X, fx) j # > ( s , X, (x) j f > ( s , X, [x) yp(s, X, fx) y№(s, X, (x)

„ ^ ( s . *, t») j f % > К V) yi3)(s, X, ц) y$4s, X, |x)_

(1.4)

Корни целой функции ^(b, X) и только они являются собствен­

ными значениями задачи (0.1)к (0.2). Наряду с (1.4) построим опре­

делитель

dp(s, X) = det

'щ (а)

М¥)

» i ( « )

*>»($)

« i ( « )

w{ {a) wl{s)

®1(»)

«2 (и) .

г>, (а).

u2(s).

v2 (s).

Щ (a).

w'2(a)..

w2(s)..

w2 (s)..

• a8(a)

• Ma)

• th(s)

• M«)

.w„(a)

• 4 (

)

. ws(s)

• К (s).

(1.5)

Справедлива следующая формула (доказательство опускаем, ср. [7], с 637; [3J, с. 125):

М*» *) "- — &(«> *)/<£(«.

)-

Здесь a£(s, X) — определитель Вронского восьми решений (щ , vt, w^, асимптотики которых определены формулами (1.1), (1.2). Используя эти формулы, легко доказать, что

16» Г X — ? 1 (а)

<(^)-т[:;гг;\ ⁺⁰ ^

1х« L В2 (а) с, (а)

Далее непосредственным вычислением находим (см. (1.5))

(1.7)

X U (s, Х)[ ch — 8 (s) cos — 8 (s) — 1 l L v- и-

В формуле (1.8) использованы обозначения

s

8(s) = 8(s, l)=\^\=^J^t)dt, e^ft(s)=exp

+ 0(iO

1 * / v ' T (k-X)

b(s)e

Подставив в правую часть (1.6) выражения для d^ (а, X) и dv. (s, X) из (1.7) и (1.8), придем к формуле

1 ^ В» (а) с, (а), т, ( а ) т, ( s ) г ? ( а ) г? (5) (1 + О ( р ) ) Х 2 X — <р, (а)

М«» *•) =

X {«(«, Х)Г ch — 8 (s) cos — 8 (5) - ll + О (|ie,) (1.9) Заметим, что формула (1.9) пригодна для подсчета Х-нулей Др. (#> X) лишь в зоне X > р, (см. (0.5)). При нарушении этого усло­

вия теряют силу формулы (1.1), (1.2). Асимптотический анализ реше­

ний системы (0.1) наталкивается на значительные трудности, поскольку при X£<Dj возникают точки поворота (см. [2]). Однако, для отыскания значений %(X, т) при X > fij можно не искать соб­

ственных значений, лежащих в зоне ®х, а воспользоваться следую­

щей осцилляционной теоремой: число п^.(к,-т) собственных значений задачи (0.1), (0.2), меньших данного X, равно числу s-нулей функции (1.4) на интервале (а, Ь) с учетом спектральной кратности каждого s-нуля (13], с. НО). Спектральная кратность s-нуля всегда не пре­

восходит аналитической кратности. Однако, как показывает простой пример, построенный в [3] (с. 111) спектральная кратность s-нуля может быть меньше аналитической. При малых возмущениях избы­

точные s-нули уходят в комплексную область. Поэтому применение теоремы Руше в этом случае дает лишь одностороннюю оценку числа вещественных s-нулей функции (1.4). Замечательно, однако, что в рассматриваемой нами краевой задаче (0.1), (0.2) при условии

х>р

ситуация, описанная в указанном примере, невозможна. А именно:

справедлива

. Л е м м а 1. При фиксированном X из области (1.10) и всех достаточно малых ц s-нули функции (1.4) вещественны, в комплекс­

ной окрестности отрезка [а, Ь\ и спектральная кратность каЖ' дого s-нуля равна его аналитической кратности.

8 А. Г. Асланян

Предпошлем доказательству леммы два утверждения.

П р е д л о ж е н и е 1. Пусть a.(s0, Х0) = 0 при некоторых s0£

£ [а, Ь] и Х0 из области (1.10). Тогда аналитическая кратность s0

как корня уравнения a(s, Х0) = 0 не превышает двух и совпадает со спектральной, т. е. с кратностью Х0 как корня уравнения

°Фо- Ь) = 0.

Доказательство предложения 1 следует из леммы 26.7 13].

П р е д л о ж е н и е 2. Пусть функция а,(х) и ее производная а' (х) удовлетворяют на отрезке \Ы, (k + 0 А, (/ > 0, k целые) неравенству а2 (х) + а'2 (х) < 1. Тогда функция у (х) = cos x + а (х) имеет на указанном отрезке ровно I нулей; все нули простые.

Доказательство опускаем (ср. [31, лемма 28.1).

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы 1. Зафиксируем произвольное X, > £32. Пусть st (Xj) — первый в порядке возрастания s-нуль функ­

ции a(s, X,), к —его аналитическая кратность ( к = 1 или 2, см. пред­

ложение 1). Зафиксируем точку Ъх <= s, (Хх) — QA1/', СХ > 0, так, чтобы выполнялось равенство

Icosfr-'Sf*,, Хж» | — 1.

Можно доказать, используя предложение 1 и результаты § 2 (лем­

ма 2), что функция \(s, X,) имеет на интервале (а, й,)

(Ал 1

простых нулей. Следовательно, утверждение леммы 1 для указан­

ного интервала верно.

Перейдем к оценке числа s-нулей функции Д(1 (s, X^ в окрест­

ности точки st, где a (st, X,) = 0. Согласно лемме 26.7 из [3] урав­

нение a'(s, X) = 0 определяет на (s, Х)-плоскости в окрестности точки (s. , \) "одну (в случае * = 1) или две (х = 2) гладкие монотонные кривые (рис. 1, кривые 1 и 2). При этом для обеих ветвей

rfX

ds < 0 .

Рис. 1.

Подберем далее Х2, удовлетворяющее условиям:

а) Х2 > \ ;

ЪЖ^^ + О^);

c) Icosfti-'B^i, Х2))| = 1;

d) кривые 1 и 2 пересекают вертикаль s = bx внутри отрезка

\АВ\ (рис. 1).

Положим для этой цели

Х2 = Х1 + 4 (С, + С2) Vh ~ «Pi ( О t ^ / f (X, - ?, (*)Г 3/4^. (Ы1) где С2 — положительная константа, удовлетворяющая неравенству

4 (Q + С2) У% - Tl (S.)/ [*(Х, - <р, ( О ) "3 / 4^ > - С, ^ - 1 . (1.12)

J a s |5= ?„

а

Условия а) и Ь), очевидно, выполнены; нетрудно проверить, что неравенство (1.12) обеспечивает выполнение условия d). При этом С2 можно выбрать так, чтобы имело место также и условие с).

Рассмотрим теперь на плоскости (s, X) кривую, определяемую уравнением

8(s, X) = 8(*,, Л ) С1-13) (рис. 1, кривая 3). Пусть &2 — абсцисса точки С, в которой кривая

3 встречает горизонталь X = \ . Положив в (1.13) Х = Х, и исполь­

зовав (1.11) и малость параметра ц, найдем, что Ь2 — s, + С$У'"- + + 00*2/*).

Уравнение Д^ (s, X) = 0 определяет на (s, Х)-плоскости гладкие монотонные кривые ([3], лемма 26.2). На рис. 1 эти кривые обозна­

чены пунктиром. При увеличении s от Ъх до Ъг все указанные кри­

вые, выходящие из вертикального отрезка [АВ], и только они прой­

дут через горизонтальный отрезок [АС[. В самом деле, используя предложение 1, можно доказать, что вдоль кривой 3

|«(s, Ц\>С2-С0-р, (1.14)

где С0 — некоторая положительная постоянная, не зависящая от С2

и |А. Из неравенства (1.14), условия с) и (1.13) следует, что на кри­

вой 3 \(s, X)=^0.

Следовательно, число Х-нулей (с учетом кратности) функции AJJ. (й,, X), лежащих на интервале (X,, Х2), равно числу s-нулей (с уче­

том спектральной кратности) функции ДДя, X,), лежащих на интер­

вале (6,, Ь2). Заметим, что при фиксированном s = bx число TV Х-нулей функции &v.(b1, X) (см. (1.9) при s==bi), лежащих на интер­

вале (Х[, Х2), может быть найдено по теореме Руше

N= —\b(blt X2) ~ § ( ^ , X,)] + *, (1.15)

[J.7C

где х — кратность s-нуля a(s, Xt). Она не меняется при изменении X в полуинтервале Х1<Х<Х2. Учитывая, что §(£>i, Ц) = S(й2, \), из (1.15) находим, что число s-нулей функции \(s, X,) на интервале {bx, bz) с учетом их спектральной кратности равно

10 А. Г. Асланян

N

Используя теорему Руше, легко показать, что число s-нулей функ­

ции Др. (s, Xt) в комплексной окрестности отрезка [£>,, 62] также равно N. Отсюда, учитывая, что спектральная кратность s-нуля всегда не превосходит аналитическую, заключаем, что в достаточно малой комплексной окрестности интервала (6,, Ь2) все s-нули функ­

ции &v.(s, XJ вещественны, а их спектральная кратность совпадает с аналитической.

Теперь можно перейти к следующему в порядке возрастания нулю функции a(s, Xt) и т. д. Лемма 1 доказана.

§ 2. Доказательство теоремы 1

Используя формулу (1.9), лемму 1 и теорему Руше, нетрудно подсчитать число s-нулей функции Да (s, X) при условии s > s0 > a.

Для определения s-нулей в йравой полуокрестности точки s = а фор­

мула (1.9) оказывается недостаточной, т. к. в указанной точке функ­

ция a(s, X) имеет нуль второго порядка, а eft(a) = l.

Разложим медленно меняющиеся функции, фигурирующие в эле­

ментах матрицы (1.5), по степеням s — а. После чего разложим определитель по минорам первых двух строк. В результате найдем

dAs

, _ •»<ААW О^М(,_«,.(!

,-

) X

р.2 1. с, (а)

_ 2 ^ i t i f l (

_ a ) x

2! (а)

х [ ch — Ь (s) cos ^~b(s)~\

X f sh ~ 8 (s)/l - cos — 8 (s)j + sin — 8 (s) (1 - ch -i- 8 (s)jl +

+ [O fa3) + О (ц2 (s ~a)) + 0 (i* (s - a)2)] ^ (s) £4 (s)j . (2.1) Выберем г так, чтобы было

\0(s — a)\< ~ при |s — a | < r (2.2) для всех О-членов в разложениях медленно меняющихся функций.

Фиксируем некоторое Х = А, удовлетворяющее условию (1.10).

Фиксируем далее s, полагая

s-a = x, х = /т:(Л-Т1(а))-1/4.}х, z<r. (2.3) Для подсчета s-нулей Др.(«, Л) на интервале а < s < я + * восполь­

зуемся осцилляционной теоремой и найдем при фиксированном s = а + т количество Х-нулей Д^ (а + т, X), меньших А. Для этой цели используем принцип аргумента, выходя по X в комплексную плоскость. Введем для удобства новый комплексный параметр

"> = 1 Ы ^ - ? i ( a ) . (2-4)

УЛ-

(а)

При этом (см. (1.7))

d;(а, ц = J6L <А- * ( * » * « ( 1 + о(1Л)). (2.5)

11 v ' > • (fa)4 с, (а) В2 (а)К КГ" К '

Используя формулы (2.1), (2.3), (2.4), (2.5), из (1.6) найдем

X

(fa)»

2 й>8 ( А — ? 1 (д))2

(Л — 9 l (а)) со*

(1 + 0(^))-х2х

(fa)* с? (а) (chwcos со — 1) + _(2.6) + 2с\ (a) [ - ^ - (ch со - 1) + - ^ (cos ш - 1 ) 1 + 0 (/Vм е-lm) ) .

L (о о) J J Постоянные в О-членах в (2.6) не зависят от ш в замкнутой области

О < arg и = arg т/ X — cpj (д) < и/4, ^ + г3 < 11 | < Х0. (2.7)

Это объясняется тем, что при выполнении неравенств (2.7) ядра интегральных уравнений (см. 13], с. 121 — 123) остаются равномерно ограниченными по <о. Поэтому асимптотические формулы (1.1), (1.2), а следовательно, и (2.6) справедливы в области (2.7). Формулы, ана­

логичные (2.6), имеют место в любой области ю-плоскости, которая получается из (2.7) поворотом на тс/4 (изменяются лишь показатели экспонент в О-членах).

Найдем число со-нулей функции Ар. s= Д^ (а + t, X) внутри квад­

рата Q: — /тс < Re со, 1тш</тс. Для оценки изменения аргумента Дц вдоль границы Г квадрата Q достаточно в силу симметрии найти приращение аргумента на отрезке

£ = /тс, 0 < т] < /те (со = I + щ).

Представим Д^ в виде

M* + ^ ) = £ - _ ^ f _ ( i + o(rt)x

X еш е~ia> [(А - Tl (а)) <о4/(/тс)4 - с? (а)] г (а>), где согласно (2.6)

г (со) = (ch се cos w — 1) е~ а • eim +

(2.8)

(2.9)

+

(ch со - 1) +

H (cos со — 1)

+ 0(/V).

Можно доказать (выкладки опускаем), что на отрезке (2.8) спра­

ведлива оценка

1 / , . . _ ^ x l - 2 cl ( « ) 1

^ ' | А -%( й ) |о>|

„ - / я

0(е-г 7 С) + О (/V). (2.10) Формулы, аналогичные (2.9), с естественным изменением знаков у показателей экспонент имеют место на других участках границы квадрата Q.

Выбрав сначала /, а затем [* так, чтобы при со^Г было

12 А. Г. Асланян

г( о > ) _ ! ( 1+е -21 ) ^

I

4 '

придем к заключению, что число со-нулей Д^ внутри квадрата Q равно 4/ + 4 — 8. В силу отмечавшейся симметрии, Д^. имеет на интервале (0, fa) / — 1 положительных «-нулей, поэтому Д^ (a -f x, X) точно / — 1 раз обращается в нуль на интервале 0 < X < Л. В итоге приходим к следующему утверждению.

Л е м м а 2. Пусть А удовлетворяет условию (1.10). Тогда существуют такие I и [х0, что для всех [х < [х0 функция (1.4) с X = А имеет на интервале а < s < а + х (/) точно 1—1 s-нулей с учетом их спектральной кратности (х(/) определено по фор­

муле (2.3)).

Пусть теперь целое / и jx выбраны из условий леммы 2, а х определено по формуле (2.3). Пусть х, — ближайшее к х число такое, что

| cos(i*-1 8{а + Tt, А)) | = 1. (2.11) Поскольку / фиксировано, а [х мало, лемма 2, очевидно, имеет место

с заменой х на х,. При этом, разумеется,

[х-'8 (а + х,, Л) = fa. (2.12) Займемся теперь подсчетом s-нулей функции (1.4) с Х = Л н а

интервале

a + t , < s < a + r, (2.13) где г указано в (2.2) и подобрано так, что

\cosр~1Ъ(а +г, А ) | * = 1 . (2.14) Покажем, что при достаточно малых jx s-нули определителя (1.4)

на интервале (2.13) простые, и их число совпадает с числом нулей функции cos (A-18 (s, Л). Для этого заметим что согласно (2.1)

4> (s, А) = 1 С0 (A) А-»»<«> (s - a)2 ch Д 8 (s, A)) -df (s, A), где C0 (A) = 8q4 (a) z\ (а) Ф 0, a

^ ' ( s , A) = cos(^-,8(5, A))4-

{

i-li-i . c o s — 8 ( 5 , A) + (A-f t(e))*,(fl)(*-e)(l + 0 ( s - a ) ) L ^

+ s i n - S ( s , A ) ~ l + 0 ( e x p ( - [ i . -18 ( s , A)))l + <2Л5>

I* J + О (exp ( - |»"l8 (s, A))) + О ({i3 (s - a)"2) + О fa2 (s - a)~l) + О (ji)J.

Обозначим через X(s, JX) функцию, стоящую в фигурных скобках в (2.15). Принимая во внимание (2.3), легко найдем, что

( 2с?(а) 1 1 V

'

1 [(А-й(в))^а +осади /

X [К2 + 1 + 0 ( е х р ( - /«))! + 0 ( е х р ( ~ fa)) + 0(р). (2.16)

Дифференцируя (2.15) и учитывая, что для всех О-членов

1-0(1)=-!-0(1),

ds р

получим следующую оценку для производной ^(s, p):

I ^гГ1 (s) з£ (s, ii) I < — X

W l Г" (A-9.(e))('*)*(l + 0(Zi4i))

X 1/2 + 1 + 0(ехр ( - /те»] + / чч ,2с'(Д) • X

(А —»,(«)) ft» (1 + 0 (fa|*))

X [К2 + О(ехр ( - /те))] + О(ехр ( - /те)) + О(ц). (2.17) Обозначим через Л, и Л2 правые части в (2.16) и (2.17) соот­

ветственно. Выберем / и [* так, чтобы на интервале (2.13) было

Al + Al<\. (2.18) Используя предложение 2 и условие (2.18), приходим к следующему

результату.

Л е м м а 3. При условиях (2.11), (2.12), (2.18), при \ = А функ­

ция (2.15), а вместе с ней и (1.4) имеют на интервале (2.13)

а+г

столько s-нулей, сколько cost*_18(s, Л), т. е. — [ у Л — <р. (t) dt.

р* J

Бее нули Др. (s, А) простые.

Учитывая леммы 2 и 3, а также (2.12), приходим к заключению, что для числа v s-нулей функции (1.4) при Х = А на интервале а < s < а +- r имеет место формула

а+г

V - — Г y ' A - c p i t O ^ - l . (2.19)

U.7E . 1 U7E

Обратимся теперь к интервалу а + г < s < b. Можно доказать, используя лемму 1, формулу (1.9) и теорему Руше, что число s-ну­

лей Дц (s, А) при предположениях (0.7) и (0.8) на интервале (а + г, Ь) равно сумме s-нулей cos{*_18(s, Л) и s-нулей a(s, Л). Последнее число обозначено в теореме 1 через р0(А). Учитывая (2.14) и (0.7), заключаем, что число нулей cosf».~lo(s, Л) на интервале (а + г, Ь) равно

а+г

Принимая во внимание (2.19), получаем при условии (1.10) формулу

яДЛ, т} =

о

- { + ~J^A-

(0^] + p

(A).

14 А. Г. Аслайян

Тем самым при дополнительном условии (1.10) теорема 1 дока­

зана. Пусть теперь X удовлетворяет лишь неравенству (0.5). Исполь­

зуя лемму 28.3 из [3] и рассуждая, как в [3] при доказательстве теоремы 28.2, приходим к формуле (0.10) в общем случае.

Теорема 1 доказана.

Отметим в заключение, что при естественных предположениях относительно коэффициентов системы (0.1) и X неравенства (2.10) и (2.18) имеют место уже при / = 1 и А = 0,01.

Автор признателен В. Б. Лидскому за полезные обсуждения и советы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Г - о л ь д е н в е й з е р А. Л. Теория упругих тонких оболочек. М.— Л., Гос- техиздат, 1953.

2. Т о в с т и к П. Е. Интегралы системы уравнений неосесимметричных коле­

баний тонкой оболочки вращения. В сб.: „Исслед. по упругости и пластичности", Ленингр. ун-т, 1966, № 5, с. 45—56.

3. А с л а н я н А. Г., Л и д с к и й В. Б. Распределение собственных частот тонких упругих оболочек. М., „Наука", 1974.

4. А с л а н я н А. Г., Л и д с кий В. Б. Формула для числа частот осесим- метричных колебаний оболочки вращения. ДАН СССР, т. 222, № 4, 1975, с. 790—792.

5. А с л а н я н А. Г., Л и д с кий В. Б. Спектр системы, описывающей коле­

бания оболочки вращения. Прикл. матем. и механика, т. 35, № 4, 1971, с. 701—717.

6. Т о в с т и к П. Е. Свободные колебания и устойчивость оболочек враще­

ния. Докторск. диссерт. Л., 1968.

7. Л и д с к и й В. Б., С а д о в н и ч и й В. А. Формулы следов в случае урав­

нения Орра —Зоммерфельда. Изв. АН СССР. Сер. матем., т. 32, № з, 1968, с. 633—648.

8. Т о в с т и к П. Е. Высокочастотные осесимметричные колебания оболочки вращения. Прикладная Механика, вып. 1, Изд. ЛГУ, 1974, с. 100—109.

Поступила г. Москва ' 28 II 1977

Г. С. Шевцов, Г. А. Маланьина. О конечных группах, все вторые максимальные подгруппы которых вполне факторизуемые

(аннотация статьи, депонированной в ВИНИТИ, М 3438—79 Деп.) Рассматриваются конечные группы с указанным в названии статьи свойством (группа со свойством (1)). Оказалось, что конечная не вполне факторизуемая группа G, со свойством (1) либо разрешима и имеет порядок, делящийся не более чем на четыре различных простых числа, либо простая.

Выделены классы конечных простых групп, обладающих свойством (1). Изуче­

ние конечных не вполне факторизуеммх разрешимых групп со свойством (1) прово­

дится в зависимости от числа простых делителей порядка группы, причем в каждом случае выделены все классы групп, обладающих свойством (1).

(Работа поступила в журнал „Математика" 21 V 1974.)