Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Ф. С. Ахраров, А. П. Норден, Внутренняя геометрия анали- тических поверхностей пространства невырожденных нуль- пар, Изв. вузов. Матем., 1978, номер 8, 19–30
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
4 ноября 2022 г., 20:57:24
i w j L к ^ К а а й а Е Й * ^ ^
И З В Е С Т И Я ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ З А В Е Д Е Н И Й
___ ЖТЕМАТИКА № 8 (195)
УДК 514 Ф. С Лхраров, Л. П. Норден
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПРОСТРАНСТВА НЕВЫРОЖДЕННЫХ НУЛЬ-ПАР
Прежде чем рассматривать аналитические поверхности про
странства невырожденных нуль-пар, мы приведем некоторые основ
ные понятия теории композиции [1], [2], которые необходимы для дальнейшего изложения Ч
§ 1. Композиция расслоенных семейств
Назовем линейное подмногообразие Рт проективного простран
ства Рп_1 слоем ранга да+1. Эта терминология позволяет вклю
чить в общее понятие слоя пустое множество, точку, прямую и само пространство. Очевидно, ранг равен максимальному числу линейно независимых точек слоя. Пара слоев Р _ , Р- называется
полной, если т + т = п; по Розенфельду Б. А. такие пары назы
вались да(да)-парами. Рт назовем вертикальным слоем, а Р- — гори
зонтальным.
Семейство слоев или расслоенное семейство, зависящее от г параметров, обозначим символом {т)г, где да — ранг слоя. Компо
зицией расслоенных семейств проективного пространства ранга я назовем совокупность полных пар слоев ранга дай да = п — да на общей базе Хг, где г —число параметров. Обозначим эту компо
зицию символом (да, т)\ где да— ранг вертикального слоя Рт, да— ранг горизонтального Р-.
Введем адаптированный репер композиции, считая, что век
торы ха выражают независимые вертикальные точки, л;--—незави
симые горизонтальные точки. Деривационные уравнения имеют вид:
Ъ*а = Ь?ах-а, где
V/ Ха — OiXa I iaXb, Ч:Х- = д;Х~—Ть„х-,
1 a l a la b'
') Результаты §§ 1, 2 принадлежат А- П. Нордену, а результаты §§ 3—7 при
надлежат Ф. С. Ахрарову.
2*
а Г;а, Г;- являются коэффициентами вертикальной и горизонталь
ной связностей соответственно.
Для того, чтобы вертикальный вектор v = vaxa переносился рекуррентно (см. [1]), необходимо и достаточно выполнения условия
dv = kv + pb х.,
т. е. чтобы изображающая его точка смещалась в плоскости, со
держащей эту точку и горизонтальный слой. Для того, чтобы гори
зонтальный |вектор да = гЛе. переносился рекуррентно, необхо
димо и достаточно, чтобы изображающая его точка смещалась в плоскости, содержащей эту точку и вертикальный слой.
§ 2. А-членная композиция
Рассматривая k независимых слоев Рт , Рт ,..., Рт , ранги которых удовлетворяют условию
т1 + пг2 + ... + mk = n, (2.1) где п — ранг проективного пространства, мы можем расширить
понятие композиции.
О п р е д е л е н и е . А-членной композицией расслоенных семейств проективного пространства ранга п назовем совокупность k незави
симых слоев Рт , Рт ,..., А , удовлетворяющих (2.1) и зависящих
1 2 к
от г параметров. Обозначим ее символом (от,, т2,..., тк)г.
Допустим, что х ,х а,-.,х (а1=1,т1; а2=1, т2;..., ak=\, mk)
I 2 k
есть линейно независимые точки соответственно слоев Рт ; Рт , ...
..., Рт . Считая их вершинами адаптированного репера, мы можем
k
выписать деривационные уравнения ^-членной композиции в виде
(2.2) dxa •= (fiC] x, + с/2 xc + .
ах == а> х + <о х + .
а2 Н СХ а2 °2
dx = а)' х + соС С 3 х + .
ак ак С1 Ч СЪ
• + Ша Хси » . + ®кхс ,
, Ck
• + Юа Хс •
(a{, c, = 1, m^ a2, c2=l, m2;..., ak, ck=\, mk).
Коэффициенты этого разложения образуют матрицу, по главной диагонали которой стоят формы связностей, а на остальных местах — тензорные формы.
- Н а з о в е м слой Р„, составляющим слоем, а Р_ (от, = я — m.i)—
1 mi
дополняющим. Р- является прямой суммой слоев Рт , Рт ,..., Рт „
*~JB* ^L<- *.* ' 3aSa^Jfr°i.«--.^^аеь-.&*s«?'4>ig£fefcjii'ДьЖ&ДийЙДЗтffig&St<
Внутренняя геометрия аналитических поверхностей
Пара Р,_ , Р_ представляет собой двучленную композицию рас- слоенных семейств проективного пространства, которая обозна
чается (тх, т1у, где г — число всех параметров. Эти двучленные композиции будем называть подчиненными по отношению к ^-член
ной. В общем случае мы можем считать составляющим слоем лю
бой из k слоев Рт ,..., Рт и рассматривать всевозможные дву
членные композиции (та, та)г.
Деривационные уравнения подчиненной композиции (та, mj
С
будут совпадать с (2.2). Формы «И будут формами составляющей связности, а остальные формы, принадлежащие дополнительным минорам матрицы из коэффициентов (2.2), определяют дополняющую связность,
§ 3. Аналитические поверхности пространства невырожденных нуль-пар
Как известно (см. [5]), роль аналитических поверхностей г измерений (обозначаем Аг) пространства невырожденных нуль-пар играют такие семейства нуль-пар, точки которых заполняют по
верхность Хг проективного пространства Рп+1, а гипер-плоскости образуют г-семейство Sr, причем параметры на Хг и Елсчитаются не
зависимыми. В ^терминах § 1 Хг есть расслоенное семейство (1)', а Зг есть (п)г. Семейство (1)'" зададим уравнением
X = X {S , ... , S ) ,
о о а семейство {п)г зададим уравнением
5 = § ( £ . . . , О- ,
0 0
Здесь х— вектор точки, \ — ковектор гиперплоскости, параметры s1,..., sr и f,..., f считаются независимыми друг от друга. Таким образом, всех независимых параметров будет 2г и Д. можно рас
сматривать как композицию (1, tifr. Вертикальным слоем считаем точку и горизонтальным слоем — гиперплоскость.
В дальнейшем предполагается, что г < п, поэтому семейство (l)f согласно классификации в [2] может быть только поверхностью.
Семейство (п)г может быть при г=1 — конгруенцией гиперплоскостей (семейство плоскостей, огибающее развертывающуюся поверхность), а при 1 < г < п будет комплексом гиперплоскостей.
Как указано в названии статьи, мы рассматриваем семейства невырожденных нуль-пар, следовательно точки не принадлежат соответствующим гиперплоскостям. Полярное произведение (пони
маемое как сумма произведений соответствующих координат) век
тора точки (1)г и ковектора гиперплоскости (п)г отлично от нуля.
Обозначим
х-% = е о о
д л д л д
_ _ , д-=——, дг =—-
™ ' dti ' да'
(1 = 1, г; 1 = 1, г; 1=1,..., г, 1,..., г),
где под и будем понимать и параметры s\..., s'\ и параметры t,..., t. Очевидно, что д~х = 0, di% = 0. Известно, что вектор х~шх, где т — нормирующий скалярный множитель, определяет в Рп ту же точку, что и вектор х. Аналогично, ковектор £ = |А§,
о о
где у. — скаляр, также определяет ту же гиперплоскость, что и ко
вектор |. Определяя Аг вектором х и ковектором |, мы можем выбрать нормирующие множители т и [х так, чтобы полярное про
изведение х\ было равно 1. Тогда т-^ = е" и можно принять _ JL
т — |х = е 2.
Итак, будем считать теперь, что Аг задается уравнениями е в х=е ' x(sl, ..., sr), \ = e 2 %{t\ ..., г).
о о При таком задании
а_дг — 6_лг, <?.g=--Le,§. (3.1)
. 2 i l 2 '
§ 4. Связность на базе
С поверхностью Аг связывается трехчленная композиция (1, г, n~rf, по отношению к которой двучленная композиция (1, п)2г является подчиненной. Адаптированный репер ее определим следующим образом. В качестве первой вершины возьмем точку х семейства (1)г. Остальные вершины выберем в гиперплоскости |, причем г штук из них л:а(а = 1, г) принадлежат пересечению каса
тельной плоскости семейства (1)г с гиперплоскостью § и опреде
ляют плоскость Рг (ранга г), а (л —г) вершин ха(а = 1, п — г) возьмем в характеристическом многообразии семейства [п)г, т. е.
в плоскости Р„_,. В силу этого выбора справедливы соотношения
*аЪ = 0> *в' 5 = 0. xa-djl^Q. (4.1) Деривационные уравнения Аг в репере {х, ха, ха\ имеют вид:
Ьх = и>«ха+и%ха, (4.2)
Ьха = шРах + «Рахг (4.4)
(а, р = 1 , 2,..., г; а = 1 , 2,..., п-г).
Внутренняя геометрия аналитических поверхностей 23
Взаимный корепер адаптированного репера состоит из ковек
торов %, Г, 1а, которые определяются по таблице полярных произ
ведений:
I 1а
1а
X
1 0 0
х9 0 Ъ
1
0
ч
0 0
а
(4.5)
где 8а, 8ft—символы Кронекера. Используя эту таблицу, нетрудно найти деривационные уравнения для корепера {|, 1*, §а}. Они имеют вид:
S == — сок g —
§ = — (Dp § — (Oft § " ,
(а, р = 1, 2,..., г; а, 6 = 1, 2,..., п — г)
Если считать щ= bo/duF, а>° = b^da1, где под и7 понимаем па
раметры s1,..., s', ^,..., f, то 65/ и 6/а будут девиаторами [1]. По- требуем, чтобы выполнялись соотношения
V/ftSr-0, Vj*?.-0, •' • ! (4.6) где
V/ bo/ = д: bo/ -f Гр7 bo/ — Gj/ Ьок — Г % $>/ >
V7 &?« = <*, $ , - I I bl/ - G% bl + T% bl.
При этом число уравнений (4.6) и число неизвестных Gj/~ коэффи
циентов базовой связности без кручения, равны г2(г + 1)/2, так что уравнения (4.6) позволяют однозначно определить по связности на расслоении связность на базе, т. е. на Хг и 'Зг, если Ь%/ и Ь% не
вырождены. Величины bo/ являются векторами, 6/а — ковекторами, причем а играет роль номера. Переписав условия (4.6) в виде
dj ho/ - G1}/ ba0K = rSo bh - T$j bl,, drb%- o5/bl = ~v%b0h+v%b%..
(4.7) (4.8) мы видим, что системы векторов bl, и ковекторов bla рекуррентны, а площадки, определяемые ими (но не. сами векторы), образуют поля абсолютно параллельных направлений в связности на базе.
Введем тензор ри— b%ibJa. Он является ковариантно постоян
ным, т. к. V{<Pfj = Vr<boih*+ boivKb% = 0. Образуем из него тен
зоры gjj = P(IJ) и еи = РШ[, которые также ковариантно постоянны.
sfJ являются компонентами бивектора, a gu можно принять за ком
поненты метрического тензора.
Введем еще аффинор композиции (см. [1]) gf, удовлетворяю
щий условиям
gj Ь%К = * bll. gf Ь/<а = — Ь°1х .
Нетрудно показать, что gf gj( = bj и в силу (4.6) справедливо со
отношение Yjgf — 0. Следовательно, аффинор gf определяет структуру почти произведения и композиция Хг, Ег является де
картовой (см. [4]).
Рассмотрим свертку
SUKJ = Sf • \ (bh bja + b}0 Ь°Ка) = \ (bio b% - b%b°Ja) = %u. Итак, gfgKJ = S/j, а это говорит о том, что базовая связность является связностью пространства Рашевского (см. [1]).
§ 5. Основные уравнения Аг
Заменяя в уравнениях (4.2), (4.3) и (4.4) абсолютные диффе
ренциалы на ковариантные производные и разделяя параметры и, на sl tl, мы можем записать деривационные уравнения для ре
пера {х, ха, ха} в виде
V, х = dt х - Т% х = bf0 xa 4- Ь% ха, (5.1) Чтх = д_х- T°7Q х = b°.Q ха + ЬаТоха, (5.2) V,-ха =djXa- T?jx? = b)ax + b%xa,
V, Xa = dt Xa ~ Tbia Xb = Ь*-аХ + b'U Xa . (5.4) V_xa = d_xa- YbIa xb = 4 ^ + b]a xa
i i
(i,j=TTF, I, / = I , r; a, p = l77; a, b = T^fT^r).
Аналогично деривационные уравнения для корепера {£, И", 1а) можем записать в виде
V i
§ -
<?j-
г%1 = - bit- blr, (5-5)
vA-dA-ei^-blr-blr, , ,..(5,6)
Внутренняя геометрия аналитических поверхностей 25
_ g« _ л ?« — ?- f h- 5 — b- la
V/ Г = <?, Г - 2?* S» = - tfo S - *f. Г,
(i, j = 1, г; г, у = f, r; a, fi = 1, r; a, b=\, n — r).
Пользуясь условиями (4.1) и таблицей (4.5), можно определить величины, входящие в эти основные уравнения. Т. к. по (3.1)
д-х=-±6тх, <?J = - | e , f . то, сравнивая их с уравнениями (5.2) и (5.5), находим
г?о=-{е
г, ь% = о, ь1=о.
Согласно таблице (4.5) лг§ = 1. Продифференцируем это соотноше
ние по sl и подставим вместо <?г| выражение 6,?, тогда най
дем Гщ = д{х-% = — х-д^ = — 6(.. Аналогично определяется
Далее, пользуясь (4.1), имеем
* Л = 0, ха-аг1 = 0. (5.7)
Подставляя вместо дт% его выражение из (5.6), мы находим b-ia = 0.
Если продифференцируем оба соотношения (5.7) по s' и вос
пользуемся основными уравнениями и таблицей (4.5), то получим
д;Ха-Ъ = 0, djXa-d-% = 0. (5.8)
Из (5.7) и (5.8) можно сделать вывод, что djXa являются линейной комбинацией точек ха, т. е. д}ха = с)аха и, сравнивая последнее с уравнением (5.4), имеем
Ь:а = 0, Ьш = 0, Tia = da-
Аналогичными рассуждениями, используя условия V-x = 0, ?.д,х = о,
мы найдем, что:ЬЮ = °' b~i0 ^ 0, bi- = 0.
Рассмотрим теперь уравнение (5.1). Т. к. индексы а и i прини
мают значения от 1 до г, то мы можем принять Ь'0 равным сим
волу Кронекера 8". Таким образом
Продифференцируем обе части последнего по t'', тогда получим
д-х, = —9.х — -9гх,. (5.9)
С другой стороны, заменяя индекс а в (5.3) на I, имеем
дТ Xi = TTi ** +bjix+ bTi ха.
а сравнивая его с (5.9), находим
л j i > j i " ' j i 2 J
Учитывая все предыдущее, мы запишем окончательно в левой колонке деривационные уравнения для репера {х, ха, xj, в пра
вой колонке — деривационные уравнения для взаимного ему ко- репера
d^-UtX^x,, (5.10) ^ g + j f l J - O , d-x + UTx = 0, (5.11) dTt-Urt = 9rji>,
•>l E f t
Ъх,-Пх,,= ь%х
в, (5.12) djf-e'jkV^-i'jl
dTxl.+ ±*2 rxt--9irx, (5.13) дтЪ1~г1к?~-Ь17аГ, dt xa - Tfa xb = 0, (5.14) д, Г - 2% 5* = - *v Г.
<V*.-
rr
e*»-*£>.. (
5Л5) ^r-2?
ftg* = 0.
В § 4 мы определили по формуле g/j = b% (I b^ a метрический тензор, и т. к. мы уже нашли компоненты blj и bJa, то нетрудно вычислить компоненты gu, керн-функцией которого является 6 = ln(jcg)
g
u= 0, g
iT=g
rr-U
n, gif-0.
Из условий (4.7), (4.8), подставляя значения компонент bit.
b%, T%, Tjk, можно определить компоненты базовой связности Qj}:
О* = тл - \ Ь 8?. Gjt = ^ 7 = °» <5 Л 6 )
JC 4
Внутренняя геометрия аналитических поверхностей 27
Компоненты 0% являются коэффициентами внутренней связ
ности Хг, нормализованной в смысле Нордена (см. [3]) с помощью Рг — нормали II рода, и плоскостью, проходящей через х и Ря_ , , которая является нормалью 1 рода. Аналогично,
ft
компоненты G-- являются коэффициентами внутренней связности нормализованного семейства гиперплоскостей Зг, причем §" яв
ляются опорными гиперплоскостями нормали I рода, а ^ — осно
ваниями нормали II рода.
§ 6. Условия интегрируемости основных уравнений Аг
Запишем основные уравнения (4.2), (4.3), (4.4) в виде
V,x = trlQxa+ bfQxa, (I)
V7 xa = b% x + b% xa, (II)
VIxa=b°lax + b'iaxa (III) ( a = l , 2 , . . . , r; a = l, 2 , . . . , n —r; / = 1, 2, ..., г, Г, % ..., r).
Повторно дифференцируя по и7 и альтернируя по индексам / и / для уравнений (I), имеем
~ 1 R°m = btv b% e + й0а(/ 6°/, в, (I А)
V,/*"]o + «i/ft/io = 0, (IB)
bo[jbf]a + V[jbf]0 = 0. (1С)
Учитывая условия (4.7), вместо (IB), запишем bl\jb?]o = 0. Для уравнений (II) получаем такие условия интегрируемости:
- у /&« = Й [/ *?] О + blXJ b\ а , (II А)
V[/*?i« + ^ l / * / ] - i = 0, (ИВ) V [ y ^ « + Й [ ^ л о = = 0 . (ПС)
Учитывая (4.7), вместо (II В), имеем Ь%^Ьца = 0. Условия интегри
руемости уравнений (III) имеют вид:
- \ Rjia = b°a v bbn о + b?a;w bbn p, (III A) V[/*?ie+ *ву*лР = 0, (HI В)
Й[/*ло + ^ * / ] в = 0. (Ill С)
Учитывая все предыдущее, найдем условия интегрируемости для уравнений (5.10), (5.11), (5.12), (5.13), (5.14), (5.15). Тогда усло
вия (I А) примут вид:
— —Ri-jo = 0, — — Rtjo = — 9.^,
условия (I В) будут выполняться тождественно, а условия (I С) будут означать симметричность bf/ по нижним индексам. Условия (НА) примут вид
— Ram = 0 , — — RJlm = — 9m |7 8* ,
условие (II В) тождественно выполняется, а условия (II С) имеют вид:
Viy#U = 0, vt7'*"ft=0.
Далее, условия (III А) имеют вид
- - Rjia = 0, - - / ?} 7 а = *„ ,у ЬП k ,
условия (III В) дадут соотношения v^9- = 0 , а (III С) примет вид:
у:Ь- = 0, остальные условия удовлетворяются тождественно.
§ 7. Геодезические линии Аг
Так как базовая связность Аг является связностью простран
ства декартовой композиции, то можно определить проекции гео
дезической линии Л, на Хг и Е,. Если рассматривать Аг при фикси
рованных параметрах t1, t2,..., f, то получим проекцию Аг на Хг. В этом случае гиперплоскости Зг будут зафиксированы, следова
тельно, вершинная плоскость Р„_г нормали I рода X,, опреде
ляемая точками xa(a=l, п. —г), будет неподвижна. Таким образом, Хг будет нормализована как поверхность с помощью связки гипер
плоскостей (см. [3] с. 215). Известно, что внутренняя геометрия N(Xr) не зависит от выбора поверхности Хг, если нормализация перспективна нормализации некоторой связки. Какова бы ни была эта поверхность, ее внутренняя геометрия совпадает с внутренней геометрией плоскости Рг, нормализованной с помощью той же связки, а эта геометрия будет проективно-евклидовой. Геодезиче
ские линии на Хг должны быть перспективны геодезическим линиям на Рг, а последние — прямые.
Согласно формуле (5.16)
подставляя это в уравнение (5.12), получаем
V; Xi = dj xt - G% хк = \ bj x, + htj xa. (7.1)
-._*, „,. wj J »д^-^-!«л-ч^ ^м'ч'йд-^йаи-аж^^^^ййАйыййгггайайЫйМайэаМз-''- w-ns
Внутренняя геометрия аналитических поверхностей 29-
Отнесем псевдовектору г>' нормальную точку v==vlxn при
надлежащую нормали II рода Хг. Продифференцируем и восполь
зуемся уравнением (7.1), тогда
dv = 3^' д:г + vl oxt =
= (bv1 + - vl б;. els') x,+ vlb?j ds>xa.
Условие параллельного перенесения направления v' вдоль кривой т имеет вид bvl = Xv'. Подставляя это в предыдущее соот
ношение, получаем dv = \v + р"ха.
Последовательно дифференцируя это соотношение и применяя основные уравнения, получим систему (я —г) линейно независимых уравнений
d'o = Xyv + nf xa, d2V = l2V + Р%Ха>
d(n~r)V = \n_rV + V-U^a • (a = l, 2,..., я —г)
Плоскость смещения нормальной точки v при параллельном перенесении vl полностью будет определяться тогда точками v, dv,..., dn~r~x v и dn~rv, т. е. будет плоскостью Я„_г+1 и она содер
жит вершинную плоскость Р„_, нормали I рода Хг.
Так как по определению геодезическая линия есть линия, вдоль которой переносится параллельно касательный вектор v = du /ds, то ее соприкасающаяся (п — г + 2)-плоскость является неопределенной, т. к. линейно независимыми являются только х, v, dv,..., dn~rv. Следовательно, проекция геодезической ли
нии Аг на Хг лежит в плоскости Яп_,+2. С другой стороны, она всеми своими точками принадлежит Хг и мы делаем вывод: проек
цией геодезический, линии Аг на Хг является сечение поверх
ности Хг плоскостью Рп^г+2, принадлежащей семейству Зг и содержащей нормаль I рода Хг • В случае, если Хг является плоскостью Рг+1, то в сечении ее с плоскостью Pn-r+i получим прямую.
Пользуясь принципом двойственности, нетрудно найти и вто
рую компоненту геодезической Аг, т. е. проекцию на семейство Sr. Таковой является однопараметрическое семейство гиперплоскостей, которые принадлежат связке /7„_,+1 и проходят через касательную плоскость ТТ поверхности Хг.
Проекциям геодезической линии Аг на Хг и S, соответствуют в базовом пространстве линия fi (T) и последовательность гипер
плоскостей 72 СО- Композиции 7i и т2 н а базовом пространстве соответствует двумерная поверхность Г2.
У т в е р ж д е н и е . Если параметр о линии \х выразить через параметр х линии -\2 по формуле
а = at + Ь, (7.2) где а и b — постоянные, то условие геодезичности сохраняется.
Д о к а з а т е л ь с т в о . Касательный вектор v геодезической линии Аг разбивается на две компоненты vl, v'. Условия их парал
лельного переноса имеют вид
bvl = Kvl, ovl = Kv' .
Если рассмотреть новый вектор vl = vl-j-, то вследствие (7.2) будет справедливо соотношение
V .
= Kir = Ktf
di
d'c dz
что и требовалось доказать.
Таким образом, поверхность Г2 содержит двупараметрическое семейство геодезических и, следовательно, является вполне гео
дезической поверхностью базового пространства.
ЛИТЕРАТУРА
1. Н о р д е н А. П. Композиции векторного расслоения. Изв. вузов. Матем., 1978, № 5, с. 138—141.
2. Н о р д е н А. П. Композиции проективного пространства. Изв. вузов.
Матем., 1978, № 6, с. 98—101.
3. Н о р д е н А. П. Пространства аффинной связности. М., „Наука", 1976.
4. Н о р д е н А. П. Пространства декартовой композиции. Изв. вузов. Матем., 1963, № 4, с. 117—128.
5. Р о з е н ф е л ь д Б. А. Проективная геометрия как метрическая геометрия.
Тр. Семин, по векторн. и тензорн. анализу, вып. 8, 1950, с. 328—354.
г. Казань Поступила 28 XI 1977
