Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Т. М. Баранович, Свободные разложения в пере- сечении примитивных классов алгебр, Докл. АН СССР, 1964, том 155, номер 4, 727–729
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
6 ноября 2022 г., 23:37:03
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к СССР 1964. Том 155, № 4
МАТЕМАТИКА
Т. М. БАРАНОВИЧ
СВОБОДНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПЕРЕСЕЧЕНИИ ПРИМИТИВНЫХ КЛАССОВ АЛГЕБР
(Представлено академиком П. С. Александровым 25 XII 1963)
Известно, что в некоторых примитивных классах универсальных алгебр имеет место хорошая теория свободных разложений, т. е. справедливы тео
рема о.свободе подалгебр свободных алгебр; теорема, описывающая подал
гебры свободного произведения алгебр, и обычно следующая из них теорема о существовании изоморфных продолжений для любых двух свободных раз
ложений. Пусть даны два примитивных класса алгебр Ki = ( Q i , A i ) и
%2= (Й2, Лг), в каждом из которых имеет место хорошая теория свободных разложений. Возникает вопрос, какая будет теория свободных разложений в классе К = (S2iU й г . Л ^ Л г ) , который естественно назвать п е р е с е ч е н и е м классов Ki и КЗ
В настоящей заметке построена теория свободных разложений в пересе
чении таких класов Ki = (Qi, A i ) и К% = (Й2, А2), системы операций кото
рых Qi и Q2 либо не пересекаются, либо пересекаются по нульарной опера
ции О, и тогда тождества A i и Л2 содержат всевозможные тождества 0 0 - • -Осо = 0 , со б &i и со£ Q2 соответственно.
Д л я простоты изложения все теоремы формулируются и доказываются для пересечения д в у х примитивных классов, хотя тем же методом они могут быть доказаны для пересечения л ю б о г о к о н е ч н о г о ч и с л а классов.
Пусть L — некоторый примитивный класс универсальных алгебр с си
стемой Q п (со)-арных операций со, п ( с о) > 0 , и системой тождеств Л . Будем рассматривать два случая: либо все алгебры класса L обладают нулевой подалгеброй, и тогда будем называть его к л а с с о м а л г е б р с н у л е м , либо не все алгебры класса L обладают нулевой подалгеброй.
Во втором случае пустое множество будем считать подалгеброй любой L-алгебры и называть н у л е в о й п о д а л г е б р о й О, так же как и
нулевую подалгебру в первом случае.
Множество G0 будем называть Q-ч а с т и ч н о й а л г е б р о й , если в нем определены элементы а± . . . я„со, со б й , п = п (со) > 0 , для неко
торых упорядоченных систем элементов аъ . . ., ап £ G0 и некоторых со £ Q.
Подмножество X Q-частичной алгебры G0 будем называть Q-ч и с т ы м , если в нем элемент аг. . . а„со, со б Q, п — п (со) ; > 0 , не определен ни для какого набора элементов аъ . . ., ап £ X и ни для каких операций со G Q.
L-з^а м ы к а н и е м Q-частичной алгебры G0 будем называть L-алгебру
G = GQ , определяемую в классе L множеством G0 и соотношениями, вы
полняющимися в G0 относительно операций Q (см. Q)).
Если G0 = U Я / , HieL, Н£ f] Я / = 0 при i ф /, то G0 L есть L-c в о б о д н о е п р о и з в е д е н и е \YLHi L-алгебр Я / , i £ / . L-замы-
кание Q-чистого множества X есть L-c в о б о д н а я а л г е б р а Fi (X) с системой L-свободных образующих X .
Перечислим условия, которые в дальнейшем будем накладывать на класс L :
727
1.1. Подалгебра L-свободной алгебры с одним образующим L-свободна.
1.2. Подалгебра U L-свободного произведения д в у х L-свободных алгебр FL (X) и FL (Y) является L-свободным произведением подалгебры U f] FL (X) и L-свободной алгебры, к множеству L-свободных образующих которой принадлежит, в частности, всякий элемент из U f| Y.
II. Операция L-свободного произведения точна (см. (2)), и каждой L-алгебре G однозначно сопоставлена такая группа автоморфизмов Ai(G)t
что:
1. Подалгебра U L-свободного произведения G = Щ Я / , Я / G L , разлагается в L-свободное произведение ненулевых подалгебр U f] Я / , i б / , некоторых ненулевых подалгебр U f] Я , а , а б AL (G), i б / , и не
которой L-свободной алгебры.
2 . Д л я каждого ненулевого пересечения вида V f| Я / а , a£AL(G),
i б / , в рассмотренное в 11,1 L-свободное разложение для U входит под
алгебра вида (U f] Н&) а' > <*' 6- AL (U).
III. Группа автоморфизмов AL (G) такова, что:
1. Если U —- подалгебра L-алгебры G, то для каждого автоморфизма
<* б AL (U) существует такой автоморфизм а б Ai (G), что а и а совпадают на U.
Подалгебру вида U<x, <X£AL ( G ) , будем называть L-c о п р я ж е н н о й с подалгеброй U в L-алгебре G.
2 . Если Gx с : G2с : . . . c G n c , . .— возрастающая последовательность
оо
подалгебр L-алгебры G и G = (J G„, то для любого автоморфизма <x£AL (G) существует такое п и такое а ' б ; 4 L ( G ) , что х а = хаг для всех х 6 Gn.
3. Д л я любого гомоморфизма ср: G Я , G, Я б L , и для любого
< * 6^ 4 L ( G) существует такой автоморфизм а ' ^ Л ^ ( Я ) , что а с р = ф а ' . Пусть теперь К\ = (Qi, Лх) и /С2 = (^2> Л2) — Дв а примитивных класса алгебр. Будем предполагать, что множества операций Q1 и Qa либо не пересекаются, либо пересекаются по нульарной операции О, и в этом случае тождества Ля, п = 1, 2 , содержат тождества вида 0 . . . Осо = 0 , п (со) > О, со б Q„. Пусть /С = (Qi U ^2> Лх U Л2) .
Будем обозначать /(„-свободную алгебру FN (X), п = 1 , 2 , /С-свободную алгебру F ( X ) , /Си-свободное произведение /Оталгебр Я / , JJ* Я / , /С-свободное произведение Ц* Я / .
Л е м м а . Пусть G0 — такая Qx [j ^-частичная алгебра, что G0 c z G ^ " , п = 1,2, и Кп-свободное произведение Кп-алгебры Gon с любыми Кп-свобод- ными алгебрами локализуемо (см. (2)). Тогда К-алгебра G* является объеди
нением возрастающей последовательности Qx [j £1.2-частичных алгебр G ° c ( ? c , , , c G2k+1 с G2*+ 2c . . . ,
еде (P = G0{JO, G2*+ 1 = G2**1, < ^ = < ? HI* \ £ = 0 , 1 , . . .
Я р а з/пож элемент аг. . . алсо, со б Q2, n = л (со) > 0 , определен в G1
лишь в теш случае, когда а19 . . ., an&G° и элемент ах. . . а„со бб*л опреде
лен в G0, а G2* [G2k+1], k = 1, 2 , . . ., является такой Qt [^-частичной алгеброй, что элемент ах. . . алсо, со б Q± [со б Qa] , n = п (со) > 0 , опреде
лен в ней тогда и только тогда, когда аг, . , ., ап б G2*"""1 [G2k ], и Q2=G0KZ*F2(G1\G0),
2
G2*+ 1 = G2*"1 * Fx ( G2* \ G2*- 1) ,
728
Т е о р е м а 1. Пусть классы Кг и /С2 удовлетворяют условиям 1,1 и 1,2. Тогда К-подалгебра U К-свободной алгебры F (X) К-свободна, причем множество ее К-свободных образующих содержит множество U f] X.
Т е о р е м а 2. Пусть для классов Ki и К2 выполняются условия 1,1; 11,1 и 111,1. Если G = Yl* Hi есть К-свободное произведение К-алгебр Я/, t'6/>
то К-подалгебра ( / c G представима в виде К-свободного произведения нену
левых пересечений V f] Hi, * б Л К-замыканий [некоторых своих &п-чистых Кп2-алгебр U f| a£AN2{G), nv п2 = 1, 2, пгфп2, и некоторой К-сво
бодной алгебры.
Т е о р е м а 3. Пусть для классов К± и /С2 выполняются условия 1,1;
11,1; 11,2; 111,1; 111,2. Тогда в полученное в теореме 2 К-свободное разложе
ние подалгебры U К-алгебры G = Д * Я/ для всякого ненулевого пересечения U Г) Я,ос, а б Ап (G), входит К-замыкание Кп-алгебры вида {U f| Яг-ос) а', а' б Л„ (10, л = 1, 2.
Т е о р е м а 4 . Пусть для классов с нулями Ki и К2 выполняются условия 1,1; 11,1—2; III, 1—3. Тогда для любых двух К-свободных разложений К-ал
гебры G можно построить такие продолжения, сомножители которых взаимно-однозначно соответствуют друг другу, причем соответствующие сомножители или совпадают, или являются К-замыканиями Кп-сопряженных между собой Кп алгебр, п = 1 , 2 , или являются изоморфными К-свободными алгебрами.
Известно, что условия I, 1—2; II, 1—2; III, 1—3 выполняются в следую
щих примитивных классах: в классе групп, если в качестве AL{G) В З Я Т Ь
группу внутренних автоморфизмов данной группы G (3), а также в классах неассоциативных алгебр (4,5) , луп (6), мультиоператорных алгебр (7), если в качестве AL(G) для алгебры G любого из перечисленных классов взять группу, состоящую из одного тождественного автоморфизма. Легко пока
зать, что условия I, 1—2; II, 1—2; III, 1—3 выполняются также в классе алгебр L0 = (Q, А), система тождеств которого либо пуста, либо система операций Q содержит единственную нульарную операцию О, а система тож
деств Л состоит из всевозможных тождеств вида 00...Оса = 0, об Й, причем в качестве AL(G) опять надо взять тождественный автоморфизм. Кроме того, условия I, 1—2 выполняются в классе абелевых групп.
Рассмотрим теперь в качестве класса /(1класс групп, записываемых адди
тивно, а в качестве Кг — класс алгебр L0 с нулем. Теоремы 1—4 в примене
нии к этим классам превращаются в соответствующие теоремы А. Г. Куроша для мультиоператорных групп (см. теоремы 4, 5, 6 (8)). Еслив качестве Ki взять класс абелевых групп, а в качестве Къ — тот ж е класс а л г е б р £0 с ну
лем, то теорема 1 превращается в теорему 4'(8). Вообще, объединяя операции и тождества конечного числа перечисленных выше классов алгебр, удов
летворяющих условиям I, 1—2; II, 1—2; III, 1—3, получим класс алгебр, в котором справедливы теоремы 1, 2, 3, 4. В частности, получаем теорию свободных разложений Q-луп, которые рассматривал Хиггинс (9).
Поступило 17 X I I 1963
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 А. И . М а л ь ц е в , Изв. АН СССР, сер. матем., 21,171 (1957). 2 О. Н . Г о л о в и н, Тр. Моск. матем. общ., 12, 413 (1963). 3 А. Г. К у р о ш, Теория групп, 2-е изд., М., 1953. 4 А. Г. К у р о ш, Матем. сборы., 20, № 2, 239 (1947). 5 А. Г. К у р о ш, Матем.
сборы., 37, № 2, 251 (1955). 9 G. E . B a t e s , Am. J . Math., 69, № 3 , 499 (1947).
7 А. Г. К у p о ui, Сибирск. матем.журн., 1, № 1, 62 (1960). 8 A. G. K u r o s , Acta Sci. Math.
(Szeged), 21, № 3—4, 187 (1960). 9 P . J . H i g g i n s, Proc. London Math. S o c , 6, № 23, 366 (1956).
729