А. В. Бегунц, О сходимости знакопеременных рядов, связанных с последовательностью Битти, Матем. заметки , 2020, том 107, вы- пуск 2, 299–303

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Бегунц, О сходимости знакопеременных рядов, связанных с последовательностью Битти, Матем. заметки , 2020, том 107, вы- пуск 2, 299–303

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12534

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 22:58:13

Математические заметки

Том 107 выпуск 2 февраль 2020

КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

О сходимости знакопеременных рядов, связанных с последовательностью Битти А. В. Бегунц

Ключевые слова: числовой ряд, сходимость, последовательность Битти, мера иррациональности.

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12534

Тема настоящего сообщения – исследование числовых рядов, множество сходимости которых зависит от теоретико-числовых свойств параметров этих рядов (см. [1]–[4]). Дока- зывается следующее основное утверждение.

Теорема 1. Пусть𝛼 >1 – иррациональное число и𝛽 – вещественное число из проме- жутка [0;𝛼). Тогда

1) если неполные частные непрерывной дроби числа 𝛼ограничены,то ряд

∞

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}

ln^𝜎𝑛

сходится при 𝜎 >3;

2) если 𝜇 – мера иррациональности числа 𝛼,то ряд

∞

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}

𝑛^𝜎

сходится при 𝜎 > 𝜎₀= (𝜇−2)/(𝜇−1);

3) ряд из п. 1) сходится для почти всех 𝛼 в смысле меры Лебега при 𝜎 >4.

Нам потребуются следующие утверждения.

Лемма 1 [5; лемма 19]. Пусть 𝛼 – положительное иррациональное число, действи- тельное число 𝛽 лежит в промежутке [0;𝛼) и функция 𝜉 определена на множестве натуральных чисел. Тогда для любого целого числа 𝐿>2 при 𝑁 → ∞справедлива оценка

∑︁

𝑛6𝑁

𝜉([𝛼𝑛+𝛽])− 1 𝛼

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

𝜉(𝑛) ≪ |Σ1|+|Σ2|+|𝑅𝑁,𝛼|,

Работа выполнена при поддержке Московского государственного университета имени М. В. Ло- моносова (грант «Современные проблемы фундаментальной математики и механики»).

○c А. В. Бегунц, 2020

299

300 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

где

|Σ1| ≪ ∑︁

16𝑚6𝐿

1 𝑚

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

𝜉(𝑛)𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒ ,

|Σ₂| ≪ ln𝐿 𝐿

(︂

∑︁

16𝑚6𝐿ln𝐿

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

𝜉(𝑛)𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒

+ ∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

|𝜉(𝑛)|

)︂

,

|𝑅_𝑁,𝛼| ≪ max

𝑛6𝛼𝑁+𝛽|𝜉(𝑛)|

и 𝜆= 1/(𝛼𝑑),причем 𝑑 – наименьшее натуральное число,для которого 𝛼𝑑 >1.

Докажем следующий аналог леммы 3.3 книги [6] для сдвинутой последовательности, используя обозначение

‖𝑥‖= min

𝑛∈Z

|𝑥−𝑛|.

Лемма 2. Пусть𝜆– положительное иррациональное число и𝜓 – такая неубывающая положительная функция, что при всех натуральных 𝑚 выполнено ‖𝜆𝑚‖ > 1/(𝑚𝜓(𝑚)).

Тогда для любого 𝐿>1

a) существует такое𝛿 >0,что на промежуток[0;𝛿)не попадет ни одного значения

‖𝜆𝑚+ 1/2‖,16𝑚6𝐿,причем можно положить 𝛿= (16𝐿𝜓(4𝐿))⁻¹; b) при 𝐿→ ∞справедливы оценки

∑︁

16𝑚6𝐿

1

‖𝜆𝑚+ 1/2‖ ≪𝐿𝜓(4𝐿) ln𝐿,

∑︁

16𝑚6𝐿

1

𝑚‖𝜆𝑚+ 1/2‖ ≪𝜓(4𝐿) ln𝐿+ ∑︁

16𝑚6𝐿

𝜓(4𝑚) ln𝑚

𝑚 .

Доказательство. a) Поскольку при всех𝑥 верно равенство

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝑥+1

2

⃦

⃦

⃦

⃦

= 1

2 − ‖𝑥‖,

близость числа‖𝜆𝑚+1/2‖к нулю равносильна близости числа𝜆𝑚к полуцелым (нецелым) числам. По теореме Дирихле для всякого𝜏 >1 можно представить число 𝜆в виде

𝜆= 𝑎 𝑞 + 𝜃

𝑞𝜏 , где 𝑞 6𝜏 и|𝜃|61. Тогда, с одной стороны, получаем

‖𝑞𝜆‖=

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝜃 𝜏

⃦

⃦

⃦

⃦6 1 𝜏 , а с другой стороны,

‖𝑞𝜆‖> 1 𝑞𝜓(𝑞).

Значит, справедливо двойное неравенство 𝑞 6 𝜏 6 𝑞𝜓(𝑞). Выберем теперь 𝜏 = 4𝐿𝜓(4𝐿).

Тогда из неравенства 𝑞𝜓(𝑞)>𝜏 будет следовать, что𝑞 >4𝐿.

При таком выборе𝑞 ч´исла 𝑎𝑚/𝑞,16𝑚6𝐿, не попадают в полуцелые точки. Оценим разность с любой полуцелой точкой 𝑙/2, где𝑙 нечетно:

⃒

⃒

⃒

⃒ 𝑎 𝑞𝑚− 𝑙

2

⃒

⃒

⃒

⃒

=

⃒

⃒

⃒

⃒

2𝑎𝑚−𝑞𝑙 2𝑞

⃒

⃒

⃒

⃒> 1 2𝑞 > 1

2𝜏 . Поскольку

|𝜃|

𝑞𝜏 𝑚6 |𝜃|

𝑞𝜏 𝐿6 1 4𝜏 ,

все числа𝜆𝑚,16𝑚6𝐿, будут отстоять от полуцелых как минимум на1/(4𝜏), а значит, на промежуток[0;𝛿),𝛿= (16𝐿𝜓(4𝐿))⁻¹, не попадет ни одного значения‖𝜆𝑚+1/2‖,16𝑚6𝐿.

b) Продолжая рассуждения предыдущего пункта, рассмотрим произвольные натураль- ные числа 𝑚1,𝑚2 с условием16𝑚1< 𝑚26𝐿. Тогда

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

⃦

⃦

⃦

⃦

𝜆𝑚1+ 1 2

⃦

⃦

⃦

⃦

−

⃦

⃦

⃦

⃦

𝜆𝑚2+ 1 2

⃦

⃦

⃦

⃦

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

=⃒

⃒‖𝜆𝑚1‖ − ‖𝜆𝑚2‖⃒

⃒=

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝑎

𝑞𝑚1+ 𝜃 𝑞𝜏 𝑚1

⃦

⃦

⃦

⃦

−

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝑎

𝑞 𝑚2+ 𝜃 𝑞𝜏 𝑚2

⃦

⃦

⃦

⃦

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

>

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝑎 𝑞 𝑚₁

⃦

⃦

⃦

⃦

−

⃦

⃦

⃦

⃦ 𝑎 𝑞𝑚₂

⃦

⃦

⃦

⃦

⃒

⃒

⃒

⃒

⃒

− |𝜃|

𝑞𝜏 𝑚₁−|𝜃|

𝑞𝜏 𝑚₂> 1 𝜏 − 1

4𝜏 − 1 4𝜏 > 1

2𝜏 = 2𝛿.

Это означает, что точки ‖𝜆𝑚+ 1/2‖, 1 6𝑚 6 𝐿, расположены на полуинтервале (0; 1/2]

таким образом, что расстояние между любыми соседними не меньше 2𝛿; при этом на про- межутке [0;𝛿) ни одной такой точки нет. Значит,

𝐻_𝐿 = ∑︁

16𝑚6𝐿

1

‖𝜆𝑚+ 1/2‖ 6 ∑︁

16𝑚6𝐿

1

𝑚𝛿 ≪𝐿𝜓(4𝐿) ln𝐿.

Далее, пользуясь преобразованием Абеля, получаем

∑︁

16𝑚6𝐿

1

𝑚‖𝜆𝑚+ 1/2‖ = 𝐻𝐿

𝐿+ 1+ ∑︁

16𝑚6𝐿

𝐻𝑚

𝑚(𝑚+ 1) ≪𝜓(4𝐿) ln𝐿+ ∑︁

16𝑚6𝐿

𝜓(4𝑚) ln𝑚

𝑚 .

Лемма 3. Если неполные частные непрерывной дроби числа𝛼ограничены,то справед- лива оценка

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}≪ln³𝑁.

Если 𝜇 – мера иррациональности числа 𝛼,то имеет место соотношение

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]} ≪𝜀 𝑁(𝜇−2)/(𝜇−1)+𝜀

,

причем для почти всех 𝛼 в смысле меры Лебега выполнено неравенство

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}≪𝜀 ln^4+𝜀𝑁

(𝜀– сколь угодно малое положительное фиксированное число и 𝑁 → ∞).

Доказательство. Полагая𝜉(𝑛) = (−1)^𝑛 в лемме1, получаем

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}≪ |Σ1|+|Σ2|+𝑂(1), где

|Σ1| ≪ ∑︁

16𝑚6𝐿

1 𝑚

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

(−1)^𝑛𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒ ,

|Σ₂| ≪ ln𝐿 𝐿

(︂

∑︁

16𝑚6𝐿ln𝐿

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

(−1)^𝑛𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒

+ ∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

|(−1)^𝑛| )︂

,

Имеем

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

(−1)^𝑛𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒

=

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

𝑒^𝜋𝑖𝑛𝑒^{2𝜋𝑖𝜆𝑚𝑛}

⃒

⃒

⃒

⃒

=

⃒

⃒

⃒

⃒

∑︁

𝑛6𝛼𝑁+𝛽

𝑒2𝜋𝑖𝑛(1/2+𝜆𝑚)

⃒

⃒

⃒

⃒6 1

2‖𝜆𝑚+ 1/2‖. Далее, воспользуемся леммой 2 для 𝜆 = 1/𝛼. Если неполные частные непрерывной дроби числа𝛼(а значит, и𝜆) ограничены, то соответствующая функция𝜓равна константе

302 КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ

(см. [6; с. 136]). Тогда получаем

|Σ1| ≪ln²𝐿, |Σ2| ≪ ln𝐿

𝐿 (𝐿ln²𝐿+𝑁) = ln³𝐿+ ln𝐿 𝐿 𝑁, что при 𝐿=𝑁 дает требуемый результат.

Если𝜇– мера иррациональности числа𝛼(а значит, и𝜆), то для любого𝜀 >0существует соответствующая функция 𝜓(𝑚) =𝑐𝑚^{𝜇−2+𝜀} (см. [6; с. 134]). Тогда получаем

|Σ₁| ≪𝐿^{𝜇−2+2𝜀}, |Σ₂| ≪ ln𝐿

𝐿 (𝐿^{𝜇−1+𝜀}ln²𝐿+𝑁) ≪𝐿^{𝜇−2+2𝜀}+ln𝐿 𝐿 𝑁, что при 𝐿= [𝑁^1/(𝜇−1)] дает заявленный результат.

Наконец, для почти всех𝛼 >0 (а значит, и почти всех 𝜆) для любого 𝜀 >0 существует соответствующая функция 𝜓(𝑚) =𝑐ln^1+𝜀2𝑚 (см. [6; задача 3.5, с. 144]). Тогда получаем

|Σ1| ≪ln^3+𝜀𝐿, |Σ2| ≪ ln𝐿

𝐿 (𝐿ln^3+𝜀𝐿+𝑁) = ln^4+𝜀𝐿+ ln𝐿 𝐿 𝑁, что при 𝐿=𝑁 приводит к искомым оценкам и завершает доказательство леммы.

Доказательство теоремы. Обозначив 𝑆𝑁 = ∑︀𝑁

𝑛=1(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]} и применяя преобразо- вание Абеля, получаем

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}

𝑛^𝜎 = 𝑆𝑁

(𝑁+ 1)^𝜎 +

𝑁

∑︁

𝑚=1

𝑆_𝑚 (︂ 1

𝑚^𝜎 − 1 (𝑚+ 1)^𝜎

)︂

,

𝑁

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}

ln^𝜎𝑛 = 𝑆𝑁

ln^𝜎(𝑁 + 1) +

𝑁

∑︁

𝑚=1

𝑆_𝑚 (︂ 1

ln^𝜎𝑚− 1 ln^𝜎(𝑚+ 1)

)︂

.

Поскольку при 𝑚→ ∞имеем 1

𝑚^𝜎 − 1

(𝑚+ 1)^𝜎 ∼ 𝜎

𝑚^𝜎+1, 1

ln^𝜎𝑚 − 1

ln^𝜎(𝑚+ 1) ∼ 𝜎 𝑚ln^𝜎+1𝑚, утверждение теоремы следует из леммы3.

В условиях теоремы назовемпоказателем сходимости ряда

∞

∑︁

𝑛=1

(−1)^{[𝛼𝑛+𝛽]}

𝑛^𝜎

такое значение𝜎₀, что этот ряд сходится при𝜎 > 𝜎₀. По теореме Рота для алгебраических чисел мера иррациональности равна 2; на основании оценок меры иррациональности из работ [7]–[10] получаем таблицу1значений показателей сходимости рассматриваемого ряда для конкретных𝛼 >1и произвольных𝛽 ∈[0;𝛼)(отличные от 2 числа во втором столбце – недавние оценки меры иррациональности).

Таблица 1

Значение𝛼 Мера иррациональности Показатель сходимости

Алгебраическое (𝛼̸∈Q) 2 0

𝑒^𝑟,𝑟 ∈Q 2 0

ln 2 3.574554 0.61159

𝜋 7.606308 0.84863

𝜋/√

3 4.230464 0.69045

Современные оценки меры иррациональности (или, что то же самое, показателя ирра- циональности) некоторых других чисел можно найти, например, в работах [11], [12].

В заключение автор благодарит профессора В. Н. Чубарикова и доцента Д. В. Горяшина за полезные обсуждения и внимание к работе.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

[1] G. H. Hardy, J. E. Littlewood, Acta Math., 37:1 (1914), 193–239. [2] Г. И. Архипов, К. И. Осколков,Матем.сб.,134 (176):2 (10) (1987), 147–157. [3]A. Begunts, D. Goryashin, Int. J. Math. Comput. Sci., 10:2 (2015), 157–173. [4] А. В. Бегунц, Д. В. Горяшин, “О применении теоретико-числовых методов при исследовании сходимости числовых рядов”, Математика в высшем образовании, 2015, № 13, 9–16, http://www.unn.ru/math/no/13/

_nom13_001_beg_gor.pdf. [5]А. В. Бегунц,Чебышевский сб.,6:2 (2005), 52–74. [6]Л. Кей- перс, Г. Нидеррейтер, Равномерное распределение последовательностей, Мир, М., 1985.

[7]K. Mahler,Bull.Austral.Math.Soc.,10:3 (1974), 325–335. [8]В. Х. Салихов,Матем.за- метки,88:4 (2010), 583–593. [9]Ю. В. Нестеренко,Матем.заметки,88:4 (2010), 549–564.

[10] В. А. Андросенко, Изв.РАН.Сер.матем., 79:1 (2015), 3–20. [11] М. Г. Башмакова, Е. С. Золотухина, Чебышевский сб., 18:1 (2017), 29–43. [12] А. А. Полянский, Матем.

заметки,103:4 (2018), 582–591.

А. В. Бегунц

Московский государственный

университет имени М. В. Ломоносова E-mail:ab@rector.msu.ru

Поступило 08.08.2019 Принята к публикации 04.09.2019