Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
М. С. Бургин, Свободные топологические группы и универсальные алгебры, Докл. АН СССР, 1972, том 204, номер 1, 9–11
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 23:41:54
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р
1972. Том 204, № 1
УДК 519.46 МАТЕМАТИКА
М. С. БУРГИН
СВОБОДНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ГРУППЫ И УНИВЕРСАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ
(Представлено академиком П. С. Александровым 29 X 1971)
В работе продолжается изучение свободных топологических групп,, введенных А. А. Марковым в 0), и свободных топологических универсаль
ных алгебр, теория которых была развита А. И. Мальцевым в (2) . Там были доказаны существование и единственность свободных топологических алгебр, а также исследовались различные вопросы, связанные с этим по
нятием. В конце работы А. И. Мальцев сформулировал несколько задач, решение которых представляло бы интерес для развития теории свободных топологических алгебр. Одна из этих задач была решена в (7) , а решения еще двух можно получить в качестве следствий некоторых результатов этой работы. Отметим, что хотя полученные результаты формулируются для универсальных алгебр, т. е. в естественной для них общности, они яв
ляются новыми и для топологических групп.
1. Топологическая универсальная алгебра А из класса универсальных алгебр St задана в St топологическим пространством X и множеством соот
ношений S, если (см. (2)) выполняются условия:
F1. Задано непрерывное отображение о: и для образов эле
ментов из X выполняются_в А соотношения из S.
F2. А = { Х }А, где {X} А — замыкание в А подалгебры, порожденной Хв А.
F3. Если В — топологическая алгебра из St, К: X ->• В — непрерывное' отображение и для образов элементов из X выполняются в В соотноше
ния из £, то X = аа для некоторого единственного непрерывного гомо
морфизма а: А-+В.
Если St — многообразие (см. (6)) и множество S пусто, то А называ
ется с в о б о д н о й т о п о л о г и ч е с к о й а л г е б р о й м н о г о о б р а з и я St н а д т о п о л о г и ч е с к и м п р о с т р а н с т в о м X. При этом
(см. (2)) А алгебраически порождается образами элементов из X, т. е.
А = {Х}А и любой элемент из А имеет вид f(-Gxu..., ахп), где ах( — об
раз элемента х\ при отображении a, / ( # i , . . . , уп) — выражение (много
член), полученное применением операций алгебры А к элементам уи—,Уг из А.
Если алгебра А алгебраически порождается элементами топологиче
ского пространства X, то множество U ^ А называется Х0-о т к р ы т ы м (см. (2) ) , когда для любого элемента a<=U, имеющего вид / ( # i , . . . , хп), существуют в X) такие окрестности P i 3 х{, i = 1 , . . . , щ что f(Uu • • • ..., Un) U. Топология, определенная Х0-открытыми множествами в ал
гебре Л, н а з ы в а е т с я Х0- т о п о л о г и е й .
Л е м м а 1. Если топологическая алгебра F содержит X как подпро
странство, является (алгебраически) свободной в многообразии St с си
стемой свободных образующих X и топология алгебры F является Х0-то- пологией, то F — свободная топологическая алгебра многообразия St над пространством X.
Опираясь на это утверждение и используя понятие £0-топологии, вве
денное в (2) , доказывается
9*
Т е о р е м а 1. Если F — свободная топологическая алгебра многооб
разия St над пространством X, алгебраически свободна над X, имеет Х0- топологию и Y — подпространство пространства X, то {Y}F — свободная топологическая алгебра многообразия % над пространством Y.
Полученный результат применим для случая, когда пространство X бикомпактно. При этом свободная топологическая алгебра F многооб
разия St над X удовлетворяет требованиям теоремы 1 (см. (2) , §§ 5, 7, и (7) ) . Поэтому справедлива
Т е о р е м а 2. Если F — свободная топологическая, алгебра многооб
разия St над бикомпактом X, то любое подпространство Y пространства X порождает в F подалгебру, свободную топологически в многообразии St над пространством Y.
Любое вполне регулярное пространство вложимо в бикомпактное (см.
(5) ) . Следовательно, из теорем 1, 2 и результатов § 7 работы (2) выте
кает
Т е о р е м а 3. Свободная топологическая алгебра многообразия уни
версальных алгебр над вполне регулярным пространством X имеет Х0-то- пологию.
С л е д с т в и е 1. Любая свободная топологическая алгебра над впол
не регулярным пространством вложима в бикомпактно порожденную сво
бодную топологическую алгебру того же многообразия.
С л е д с т в и е 2. Пространство свободной топологической алгебры над вполне регулярным пространством само вполне регулярно.
Доказательство вытекает из следствия 1 и того, что пространство би
компактно порожденной свободной топологической алгебры по теореме 9 из (2) нормально.
Отметим, что так как по теореме Понтрягина (см. (4) ) пространство любой топологической группы вполне регулярно, то теорема 3 описывает топологию произвольной свободной топологической группы (абелевой груп
пы) в смысле А. А. Маркова (см. (4) ) . А это дает ответ на вопрос А. И. Мальцева о топологии свободных топологических групп над вполне регулярными пространствами (см. (2) ) .
Укажем еще одно применение полученных результатов к теории то
пологических групп. Топологическая группа п о л н а в с м ы с л е В е й л я (см. (3) ) , если любая сходящаяся центрированная система замкнутых множеств в группе имеет непустое пересечение, и называется п о п о л н я е м о й в с м ы с л е В е й л я , если она вложима в полную топологиче
скую группу. Известно (см. (4) ) , что не любая топологическая группа пополняема в смысле Вейля. Однако имеет место
С л е д с т в и е 3. Любая свободная в некотором многообразии тополо
гическая группа пополняема в смысле Вейля.
Доказательство вытекает из того, что по следствию 1 такая группа вложима в бикомпактно порожденную свободную топологическую группу, а бикомпактно порожденная топологическая группа, свободная в неко
тором многообразии, полна в смысле Вейля. Действительно, доказатель
ство теоремы 6 из (3) , проведенное для абсолютно свободных топологи
ческих групп, без малейших изменений проходит и для свободных в не
котором многообразии топологических групп, что доказывает их полноту.
При дополнительных условиях на многообразие универсальных алгебр St результат теоремы 3 можно усилить. А именно, потребуем, чтобы мно
гообразие St удовлетворяло условию, введенному в (8) : в многообразии St все конгруэнтности перестановочны. Тогда справедлива
Т е о р е м а 4. Если топологическая алгебра А ^ S t задана в St своим подпространством X, имеющим вполне регулярную топологию, и некото
рым множеством определяющих соотношений S, то алгебра А имеет Хо-топологию.
Любое многообразие групп удовлетворяет условию перестановочности
10
конгруэнтностей (см. (6) ) , поэтому теорема 4 описывает топологию про
извольной топологической группы, заданной порождающим пространст
вом и системой определяющих соотношений.
Свободная топологическая группа в смысле М. И. Граева (3) являет
ся топологической группой, заданной (см. выше) вполне регулярным пространством X и одним определяющим соотношением х0 = 0, где х0 е X. Следовательно, теорема 4 описывает топологию свободных топо
логических групп в смысле Граева.
2. Подкатегория S некоторой категории ^ называется р е ф л е к т и в н о й (см. (9) ) , если для любого объекта Л е й существует морфизм кА: A-^R(A), R(A) и для любого морфизма а: А-+В, B G S , сущест
вует единственный морфизм |3: R (А) для которого а = л;А|3. Объект R(A) называется © - р е п л и к о й объекта А. Если в качестве $ взять категорию всех хаусдорфовых или регулярных топологических прост
ранств, то полная подкатегория (5, порожденная всеми вполне регуляр
ными пространствами, будет рефлективной (см. (9) ) .
Пусть X — хаусдорфово топологическое пространство, R (X) — вполне регулярная реплика X и St — класс топологических универсальных ал
гебр, топология которых вполне регулярна. Рассмотрим свободную топо
логическую алгебру F класса St над пространством R(X). По определе
нию, существует непрерывное отображение 9 : R(X)-*F. Произведение непрерывных отображений непрерывно, поэтому получаем непрерывное отображение а = тсАа: X-+F. Тогда из свойств реплик и свободных то
пологических алгебр вытекает
Л е м м а 2. F является свободной топологической алгеброй класса St над топологическим пространством X.
Скажем, что универсальная алгебра А у д о в л е т в о р я е т у с л о в и ю (Г), если А имеет транзитивную группу элементарных трансляций (см.
(6) , стр. 101) и среди всех операций, определенных на А, имеется тг-ар- ная операция со (п ^ 2), удовлетворяющая в А тождеству
(Xi . . . Хп<д) Xn+i . . . Х2п-№ = X i . . . Xn-i (Xn... #2n-iC0) CO.
Л е м м а 3. Универсальная алгебра А тогда и только тогда является группой относительно одной из своих операций, когда А удовлетворяет условию (Г), и если при этом А — топологическая алгебра, то ее прост
ранство вполне регулярно.
Класс универсальных алгебр St удовлетворяет условию (Г), если это
му условию удовлетворяют все алгебры из St.
Из лемм 2, 3 и результата Сверчковского, полученного в (7) , выте
кает
Т е о р е м а 5. Свободная топологическая алгебра многообразия St, удовлетворяющего условию (Г), над хаусдорфовым пространством X ал
гебраически свободна в многообразии St.
В частности, для топологических групп это дает ответ на вопрос А. И. Мальцева из (2) : будет ли свободная топологическая группа над регулярным пространством алгебраически свободной? Заметим, что в ка
честве следствий аналогичные результаты верны для различных многооб
разий не только топологических групп, но и топологических колец или линейных алгебр.
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1 А. А. М а р к о в , И з в . АН СССР, сер. матем., 9, 1 (1945). 2 А. И. М а л ь ц е в , Изв. АН СССР, сер. матем., 2 1 , 2 (1957). 3 М. И. Г р а е в , Изв. АН СССР, сер. ма
т е м , 12, 3 (1948). 4 М. И. Г р а е в , УМН, 5, № 2 (1950). 5 П. С. А л е к с а н д р о в , УМН, 2, № 1 (1948). 6 П. К о н , Универсальная алгебра, М., 1968. 7 S. S w i e r c z - k o w s k i , Proc. Lond. Math. S o c , 14, 55 (1964). 8 А. И. М а л ь ц е в , Матем. с б о р н , 35, 1 (1954). 9 J. F. К e n n i s о n, Trans. Am. Math. S o c , 116, 6 (1965).
Поступило 2 0 X 1 9 7 1
11