А. И. Буфетов, Операторные эргодические тео- ремы для действий свободных полугрупп и групп, Функц. анализ и его прил., 2000, том 34, выпуск 4, 1–17

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. И. Буфетов, Операторные эргодические тео- ремы для действий свободных полугрупп и групп, Функц. анализ и его прил., 2000, том 34, выпуск 4, 1–17

DOI: https://doi.org/10.4213/faa322

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:28:44

2000, т. 34, вып. 4, с. 1–17

УДК 517.98

Операторные эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и групп

c 2000. A. И. БУФЕТОВ

§1. Введение

В работе получены новые эргодические теоремы для действий свободных по- лугрупп и групп сохраняющими меру отображениями. Эти теоремы выводятся из классических эргодических теорем для марковских операторов.

Первые эргодические теоремы для действий произвольных счетных групп были получены в 1965 г. Оселедцем [2], следовавшим идее Какутани[3]. Для действий свободной группы в 1968 г. Гиварш [19] исследовал чезаровские средние равно- мерных средних по сферам возрастающего радиуса в группе и получил для них статистическую эргодическую теорему. В 1986 г. Григорчук [7] анонсировал ин- дивидуальную эргодическую теорему для этих средних. В 1994 г. Нево [16] и Нево и Стайн [18] опубликовали доказательство индивидуальной эргодической теоремы. В 1999 г. Григорчук [8] анонсировал также эргодическую теорему для действий свободных полугрупп.

В настоящей работе предлагается новый способ составления временн ´ых сред- них. Пусть свободная полугруппа или группа действует на вероятностном про- странстве сохраняющими меру отображениями. Зафиксируем набор образующих в нашей полугруппе и рассмотрим произвольную стационарную марковскую меру µ на пространстве бесконечных последовательностей образующих. Рассмотрим сферу в нашей полугруппе и усредним ее элементы с весами, соответствующими мере µ. Пусть c^µ_n — чезаровские средние сферических средних. Теорема 1 есть индивидуальная эргодическая теорема для средних c^µ_n.

Основная идея доказательства — поставить в соответствие полугрупповому действию и мере µ специально построенный марковский оператор T_µ. Класси- ческие эргодические теоремы для оператора T_µ дают эргодические теоремы для средних c^µ_n. Этот подход позволяет получить операторные эргодические теоремы для действий свободных полугрупп и групп (теорема 2).

Теорема 2 позволяет получить эргодические теоремы для действий полугрупп, названных в работестрого марковскими. Неформально говоря, полугруппа или группа называется строго марковской, если множество ее элементов находится во взаимно однозначном соответствии с множеством допустимых слов неприво- димой цепи Маркова с конечным числом состояний (точное определение строго марковских полугрупп и эргодическая теорема для них сформулированы в § 9).

Работа построена следующим образом. В § 2 описан процесс усреднения, сфор- мулирована эргодическая теорема (теорема 1) и введен марковский оператор T_µ,

∗Работа была частично поддержана грантом РФФИ 98-01-00455.

играющий главную роль во всех доказательствах. В § 3 сформулирована теоре- ма 2, операторный вариант теоремы 1. Теорема 2 доказана в §§ 4, 5; из нее следует теорема 1. В § 6 обсуждаются необходимые условия инвариантности предела в те- оремах 1, 2. В § 7 поточечная сходимость средних c^µ_n доказана для произвольной вероятностной инвариантной относительно сдвига мерыµ на пространстве после- довательностей из образующих. Ничего, однако, не говорится об инвариантности предела в этом общем случае. В § 8 инвариантность предела установлена и эрго- дические теоремы доказаны в случае, когда µ— марковская мера порядкаk. В § 9 получены эргодические теоремы для действий строго марковских полугрупп.

Я глубоко благодарен Д. В. Аносову, А. М. Вершику, М. Л. Громову, Б. М. Гу- ревичу, Ю. С. Ильяшенко, В. А. Каймановичу, М. Лину, А. Нево, В. И. Оселедцу, Я. Г. Синаю, В. А. Тиморину, Ж.-П. Тувено, Дж. Фельдману и А. Ю. Фишкину за полезные обсуждения.

Я особенно признателен Р. И. Григорчуку. Его результаты и общение с ним оказали на меня сильное влияние. Эта работа — продолжение начатых им иссле- дований.

§2. Формулировка эргодической теоремы и набросок доказательства

В этом параграфе сформулирован основной результат работы и дан набросок его доказательства.

Пусть(X, ν) — вероятностное пространство,f₁, . . . , fm: X→X — измеримые отображения, сохраняющие меру ν, и T₁, . . . , T_m: L₁(X, ν) → L₁(X, ν) — соот- ветствующие этим отображениям операторы (т. е.T_iϕ=ϕ◦f_i для ϕ∈L₁(X, ν)).

Рассмотрим пространство Ω_m односторонних бесконечных последовательно- стей из символов 1, . . . , m:

Ω_m={ω=ω₁ω₂. . . ω_n. . .:ω_i = 1, . . . , m}. Пусть σ_m — сдвиг на Ωm, определенный формулой (σmω)i =ω_i+1.

Пусть W_m есть множество всех конечных слов из символов 1, . . . , m:

W_m={w=w₁w₂. . . w_n:w_i = 1, . . . , m}.

Через |w| обозначим длину слова w. Для всякого w ∈ W_m рассмотрим мно- жество C(w) ⊂ Ωm всех последовательностей, начинающихся словом w. Для произвольной борелевской меры µ на Ω_m положим µ(w) =µ(C(w)).

Для всякого w∈W_m, w=w₁. . . w_n, определим оператор

T_w=T_wnT_wn−1. . . T_w1. (1)

Пусть µ есть σ_m-инвариантная борелевская вероятностная мера на Ω_m. За- фиксируем |w|=l и рассмотрим сумму операторов Tw с весами µ(w):

s^µ_l(T) = X

|w|=l

µ(w)T_w. (2)

Усредним s^µ_l(T) по l= 0, . . . , n−1:

c^µ_n(T) = 1 n

n−1X

l=0

s^µ_l(T). (3)

Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m. Тогда, как мы дока- жем, средние c^µ_n(T)ϕсходятся почти всюду и в L₁(X, ν)для всякой суммируемой функции ϕ. Для описания их предела нужны дополнительные предположения.

ОПPЕДЕЛЕНИЕ1. Матрицу Q с неотрицательными элементами будем называть неприводимой, если при некотором n > 0 все элементы матрицы Q+Q² +

· · ·+Qⁿ положительны. (Если Q стохастическая, это условие означает, что в соответствующей цепи Маркова любое состояние достижимо из любого другого).

ОПPЕДЕЛЕНИЕ2. Матрицу P с неотрицательными элементами назовемсильно неприводимой, если P неприводима и P P^T неприводима (здесь P^T — транспо- нированная матрица P.)

О^{ПPЕДЕЛЕНИЕ}3. Марковскую цепь будем называть сильно неприводимой, ес- ли ее матрица переходных вероятностей сильно неприводима. Марковскую меру будем называть сильно неприводимой, если отвечающая ей цепь сильно непри- водима.

Т^ЕОPЕМА 1. Пусть (X, ν) — вероятностное пространство, f₁, . . . , f_m: X→X — отображения, сохраняющие меруν, иT₁, . . . , Tm:L₁(X, ν)→L₁(X, ν)

— соответствующие этим отображениям операторы.

Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m.

Тогда для всякой функцииϕ∈L₁(X,ν)найдется такая функцияϕ¯∈L₁(X, ν), что c^µ_n(T)ϕ → ϕ¯ почти всюду по мере ν и в L₁(X, ν) при n → ∞, причем R

Xϕ dν =R

Xϕ dν¯ .

Если мера µ сильно неприводима, то T_jϕ¯= ¯ϕ, j= 1, . . . , m.

Если ϕ∈L_p(X, ν), p>1, то c^µ_n(T)ϕ→ϕ¯ также и в L_p(X, ν).

Пусть I_X есть σ-алгебра f₁, . . . , f_m-инвариантных подмножеств пространства X. Из теоремы 1 следует, что если мера µ сильно неприводима, то функция ϕ¯ есть условное математическое ожидание функции ϕ по отношению к I_X. Пусть (p₁, . . . , p_n) — начальное распределение, а (p_ij) — переходные вероятности ме- ры µ.

Основная идея доказательства теоремы 1 состоит в том, что мере µ и опе- раторам T₁, . . . , T_m ставится в соответствие марковский оператор T_µ:L₁(X, ν)^m

→L₁(X, ν)^m, определенный формулой

T_µ(ϕ₁, . . . , ϕ_m) = (ψ₁, . . . , ψ_m), где ψ_j = Xm i=1

p_ip_ij

p_j T_jϕ_i. (4) Отождествим пространство L₁(X, ν)^m с пространством L₁(X × {1, . . . , m}, ν ×p), где мера ν ×p есть произведение меры ν на X и распределения ве- роятностей p = (p₁, . . . , p_m) на {1, . . . , m}. При этом отождествлении опера- тор T_µ становится сохраняющим меру марковским оператором на пространстве L₁(X× {1, . . . , m}, ν ×p). Из эргодической теоремы для оператора T_µ следует теорема 1; детали рассуждения — в §§ 4, 5.

Теорема 1 обобщает эргодические теоремы Григорчука[7, 8], Нево[16]и Нево–

Стайна [18] для сохраняющих меру действий свободных полугрупп и групп.

Чтобы получить эргодические теоремы из[7, 18]для действий свободной груп- пы с l образующими, положим m= 2l, обозначим образующие через g₁, . . . , g_l, положим g_l+i = g_i⁻¹ и определим марковскую цепь таким образом: положим p_i,i+l = p_i+l,i = 0 при l > 1 и p_ij = 1/(m−1) при |i−j| 6= l (т. е. пере- ходы из образующего в его обратный и наоборот запрещены, а все остальные

переходы равновероятны). Стационарное распределение этой цепи есть, очевид- но, (1/m, . . . ,1/m); пусть µ — соответствующая стационарная марковская мера на Ω_m. Мера µ сильно неприводима, а средние s^µ_l(T) суть равномерные средние по сферам в свободной группе; эргодическая теорема для их чезаровских средних следует теперь из теоремы 1.

§3. Операторная эргодическая теорема

В этом параграфе сформулирован операторный вариант теоремы 1.

Пусть(X, ν) — пространство Лебега, и пусть T₁, . . . , T_m:L₁(X, ν)→L₁(X, ν)

— линейные операторы. Операторы T_w, s^µ_l(T) и c^µ_n(T) вводятся по формулам (1)–(3).

Напомним стандартную терминологию.

Линейный оператор на банаховом пространстве называетсясжатием, если его норма не превосходит единицы.

Линейный оператор T:L₁(X, ν) →L₁(X, ν) называется положительным, ес- ли образ неотрицательной функции под его действием есть неотрицательная функция.

Линейный оператор T:L₁(X, ν)→L₁(X, ν) называется L₁-L_∞-сжатием, ес- ли kTkL₁ 61, kTkL_∞61.

Линейный оператор T: L₁(X, ν)→L₁(X, ν) сохраняет меру ν, если для всех ϕ∈L₁(X, ν) имеем Z

X

ϕ dν = Z

X

T ϕ dν.

ТЕОPЕМА2. Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m. Пусть ν(X)<∞ иT₁, . . . , Tm — положительные L₁-L_∞-сжатия. Тогда для всякой функции ϕ ∈ L₁(X, ν) найдется функция ϕ¯ ∈ L₁(X, ν), такая, что c^µ_n(T)ϕ→ϕ¯ почти всюду по мере ν и в L₁(X, ν) при n→ ∞.

Если мера µ сильно неприводима, то T_iϕ¯= ¯ϕ, i= 1, . . . , m.

Если операторы T₁, . . . , Tm сохраняют меру ν, то R

Xϕ dν =R

Xϕ dν¯ . Если p>1, то c^µ_n(T)ϕ→ϕ¯ также и в L_p(X, ν).

Теорема 1 вытекает из теоремы 2.

Теперь мы формулируем две леммы, одна из которых есть операторная эрго- дическая теорема в гильбертовом пространстве, а другая — в L_p, p >1.

ЛЕММА1. Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m.

Пусть H — гильбертово пространство, и пусть линейные операторы T₁, . . . , T_m: H → H — сжатия. Тогда для всякого h ∈ H найдется вектор

¯h∈H, такой, что c^µ_n(T)h→¯h в H при n→ ∞.

Если мера µ сильно неприводима, то T_i¯h= ¯h, i= 1, . . . , m.

Л^ЕММА2. Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m, (X, ν)

— пространство Лебега и p >1.

Пусть T₁, . . . , T_m: L_p(X, ν) → L_p(X, ν) — положительные сжатия. Тогда для всякой функцииϕ∈L_p(X, ν) найдется функцияϕ¯∈L_p(X, ν), такая, что c^µ_n(T)ϕ→ϕ¯ почти всюду по мере ν и в Lp(X, ν) при n→ ∞.

Если мера µ сильно неприводима, то T_iϕ¯= ¯ϕ, i= 1, . . . , m.

Леммы 1, 2 и теорема 2 доказаны в §§ 4, 5.

§4. Сходимость временн ´ых средних

В этом параграфе доказана сходимость временн ´ых средних в теоремах 1 и 2.

Основная идея — оператор T_µ, вводимый так же, как в § 2.

ПустьL — линейное пространство надR или C, T₁, . . . , T_m:L→L— линей- ные операторы и µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m с начальным распределением (p₁, . . . , p_m)и матрицей переходных вероятностей P = (p_ij). Мы всегда будем считать, что p_i>0при всех i= 1, . . . , m.

Рассмотрим взвешенную сумму операторов T_w по словам длины l с фиксиро- ванным последним символом:

s^µ,i_l (T) = X

{w:|w|=l,wl=i}

µ(w)T_w. (5)

Усредним s^µ,i_l (T) по l= 0, . . . , n−1:

c^µ,i_n (T) = 1 n

n−1X

l=0

s^µ,i_l (T). (6)

ЛЕММА3. Для любого натурального lи любого j∈ {1, . . . , m}выполняется равенство

s^µ,j_l+1= Xm i=1

p_ijT_js^µ,i_l . (7)

Доказательство — прямое вычисление.

Мы можем переписать(7)так:

s^µ,j_l+1 p_j =

Xm i=1

p_ip_ij p_j T_j

s^µ,i_l p_i

. (8)

Теперь рассмотрим пространство L^m, m-ю декартову степень пространства L.

ОператорамT₁, . . . , Tmи мереµпоставим в соответствие операторTµ: L^m→L^m, определенный формулой

T_µ(v₁, . . . , v_m) = (˜v₁, . . . ,v˜_m), где ˜v_j = Xm

i=1

p_ip_ij

p_j T_jv_i. (9) ЛЕММА4. Для любого v∈Lи любого n∈N имеем

T_µⁿ(v, . . . , v) =

s^µ,1_l (T)v

p₁ , . . . ,s^µ,m_l (T)v p_m

.

Это следует из(7) и(8).

СЛЕДСТВИЕ1. Для любого v∈Lи любого n∈N имеем 1

n

n−1X

l=0

T_µⁿ(v, . . . , v) =

c^µ,1_n (T)v

p₁ , . . . ,c^µ,m_n (T)v p_m

.

Это вытекает из леммы 4.

Применяя классические операторные эргодические теоремы к оператору T_µ и используя следствие 1, мы получаем утверждения о сходимости средних c^µ_n(T).

ЛЕММА5. Пусть H— гильбертово пространство, пусть T₁, . . . , T_m:H→H

— сжатия, и пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера наΩm. Тогда для любого h∈H и любого i ∈ {1, . . . , m} последовательность (1/p_i)c^µ,i_n (T)h сходится в H при n→ ∞к некоторому вектору ¯h_i, причем T_µ(¯h₁, . . . ,¯h_m) = (¯h₁, . . . ,h¯m).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если T₁, . . . , T_m — сжатия в H, то T_µ — сжатие в H^m. Следствие 1 и эргодическая теорема для Tµ завершают доказательство.

Равенство c^µ_n(T) =c^µ,1_n (T) +· · ·+c^µ,m_n (T) дает

СЛЕДСТВИЕ2. В предположениях леммы5для всякого h∈H последователь- ность c^µ_n(T)h сходится в H.

Следствие 2 доказывает сходимость временн ´ых средних в лемме 1.

Аналогичные утверждения имеют место в произвольных рефлексивных бана- ховых пространствах.

ЛЕММА 6. Пусть L — рефлексивное банахово пространство, пусть T₁, . . . , T_m: L→L — сжатия, и пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m. Тогда для всякого v ∈ L и всякого i ∈ {1, . . . , m} последова- тельность (1/p_i)c^µ,i_n (T)v сходится в L при n → ∞ к некоторому v¯_i, причем T_µ(¯v₁, . . . ,v¯_m) = (¯v₁, . . . ,v¯_m).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если T₁, . . . , T_m — сжатия в L, то T_µ — сжатие в L^m. Следствие 1 и эргодическая теорема Лорча для сжатия Tµ (см. [20] или [21, p. 73]) завершают доказательство.

СЛЕДСТВИЕ3. В предположениях леммы6для всякого v∈Lпоследователь- ность c^µ_n(T)v сходится в L.

Теперь пусть (X, ν) — пространство Лебега, а T₁, . . . , Tm:L₁(X, ν)→L₁(X, ν)

— линейные операторы.

Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ωm с начальным распре- делением p= (p₁, . . . , p_m) и матрицей переходных вероятностей P = (p_ij). Пусть T_µ: L₁(X, ν)^m→L₁(X, ν)^m — оператор, определенный формулой (9).

Пространство L₁(X, ν)^m можно отождествить с пространством L₁(X × {1, . . . , m}, ν×p), где мера ν×p есть произведение меры ν на X и распределе- ния вероятностей p= (p₁, . . . , p_m) на {1, . . . , m}. ОператорT_µ теперь становится оператором на пространстве L₁(X× {1, . . . , m}, ν×p). Ясно, что если T₁, . . . , T_m положительны, то положителен и T_µ, если T₁, . . . , T_m суть L₁-сжатия, то и T_µ являетсяL₁-сжатием, если T₁, . . . , T_m сутьL_∞-сжатия, то иT_µ естьL_∞-сжатие, а если T₁, . . . , T_m сохраняют меру ν, тоT_µ сохраняет меру ν×p.

ЛЕММА 7. Пусть (X, ν) — вероятностное пространство, и пусть T₁, . . . , T_m — положительные L₁-L_∞-сжатия. Тогда для любой функции ϕ∈ L₁(X, ν)и любого i= 1, . . . , mпоследовательностьc^µ,i_n (T)ϕсходитсяν-почти всюду и вL₁(X, ν)приn→ ∞. Еслиϕ¯_i= lim

n→∞(1/p_i)c^µ,i_n (T)ϕ, тоT_µ( ¯ϕ₁, . . . ,ϕ¯_m)

= ( ¯ϕ₁, . . . ,ϕ¯_m).

Напомним стандартный факт (см.[12, 21]).

Т^ЕОPЕМА 3. Если T — положительное L₁-L_∞-сжатие на вероятностном пространстве (X, ν), то для любой функции ϕ ∈ L₁(X, ν) найдется ϕ¯ ∈ L₁(X, ν), такая, что (ϕ+T ϕ+· · ·+Tⁿ⁻¹ϕ)/n → ϕ¯ почти всюду по мере ν и в L₁(X, ν) при n→ ∞, причем Tϕ¯= ¯ϕ.

Применяя теорему 3 к оператору T_µ и используя следствие 1, мы получаем лемму 7.

Лемма 7 доказывает сходимость временн ´ых средних в теореме 2.

Сходимость в теореме 3 имеет место также для пространств бесконечной меры;

поэтому верна

ЛЕММА 8. Пусть (X, ν) — пространство с мерой, и пусть T₁, . . . , T_m — положительные L₁-L_∞-сжатия. Тогда для любой функции ϕ ∈ L₁(X, ν) и любого i = 1, . . . , m последовательность c^µ,i_n (T)ϕ сходится ν-почти всюду при n→ ∞.

Теперь рассмотрим сжатия в L_p, p >1.

ЛЕММА 9. Пусть (X, ν) — пространство Лебега, пусть p > 1, и пусть T₁, . . . , T_m — положительные L_p-сжатия.

Для любой функции ϕ ∈ L_p(X, ν) и для любого i ∈ {1, . . . , m} последова- тельность (1/p_i)c^µ,i_n (T)ϕ сходится ν-почти всюду и в L_p(X, ν) к некоторой функции ϕ¯_i∈L_p(X, ν), причем T_µ( ¯ϕ₁, . . . ,ϕ¯_m) = ( ¯ϕ₁, . . . ,ϕ¯_m).

Это следует из эргодических теорем Акоглу[23] и Лорча [20], примененных к оператору Tµ.

СЛЕДСТВИЕ4. В предположениях леммы 9для любой функции ϕ∈L_p(X, ν) последовательность c^µ_n(T)ϕ сходится ν-почти всюду и в L_p(X, ν).

Это следствие завершает доказательство сходимости временн ´ых средних в лем- ме 2.

ЗАМЕЧАНИЕ. Конструкция оператора Tµ может быть слегка обобщена.

Пусть, как выше, L — линейное пространство над R или C, T₁, . . . , T_m: L→L

— линейные операторы и P — стохастическая матрица. Определим оператор T_P: L^m→L^m формулой

T_P(v₁, . . . , v_m) = (˜v₁, . . . ,v˜_m), где ˜v_j = Xm k=1

p_jkT_jv_k. (10)

Если P имеет стационарное распределение (p₁, . . . , p_m), такое, что все p_i стро- го положительны, то можно рассмотреть матрицу P^∗ = (p^∗_ij) заданную форму- лой p^∗_jk = p_kp_kj/p_j. Если µ — марковская мера с начальным распределением (p₁, . . . , pm)и матрицей переходных вероятностей P, то из определений ясно, что T_µ=T_P∗.

§5. Инвариантность предела

В этом параграфе мы устанавливаем инвариантность пределов и завершаем доказательство теоремы 2.

ЛЕММА10. ПустьT₁, . . . , T_m — положительныеL₁-L_∞-сжатия наL₁(X, ν).

Пусть µ — сильно неприводимая σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m. Пусть ϕ₁, . . . , ϕ_m∈L₁(X, ν) таковы, что

T_µ(ϕ₁, . . . , ϕ_m) = (ϕ₁, . . . , ϕ_m).

Тогда ϕ₁ =· · ·=ϕ_m=ϕ и T_iϕ=ϕ для всех i= 1, . . . , m.

Сначала мы устанавливаем аналогичный результат для сжатий в гильбертовых пространствах.

ЛЕММА 11. Пусть H — гильбертово пространство, а операторы T₁, . . . , T_m:H →H — сжатия. Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m. Предположим, что векторы h₁, . . . , h_m∈H таковы, чтоT_µ(h₁, . . . , h_m) = (h₁, . . . , h_m).

Тогда если мераµ сильно неприводима, тоh₁ =· · ·=h_m=h иT_ih=h при всех i= 1, . . . , m.

Основная идея доказательства: если v₁, v₂, v₃ — векторы в гильбертовом про- странстве, такие, что|v₁|=|v₂|=|v₃| иv₁= (v₂+v₃)/2, тоv₁=v₂=v₃. Гиварш в [19] использовал это замечание в доказательстве инвариантности предельной функции в своей эргодической теореме.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть мера µ имеет начальное распределение (p₁, . . . , p_m) и матрицу переходных вероятностей P = (p_ij). Для i, j ∈ {1, . . . , m} и n ∈ N обозначим через p⁽ⁿ⁾_ij вероятность перехода из i в j за n шагов (иначе говоря, p⁽ⁿ⁾_ij = (Pⁿ)ij).

ПPЕДЛОЖЕНИЕ 1. Пусть H — гильбертово пространство, а T₁, . . . , T_m: H →H — сжатия. Пусть µ есть σ_m-инвариантная марковская мера на Ω_m, такая, что соответствующая ей цепь Маркова неприводима. Пусть h₁, . . . , h_m∈H таковы, что T_µ(h₁, . . . , h_m) = (h₁, . . . , h_m).

Тогда найдетсяr∈R, такое, что|h₁|=· · ·=|hm|=r, причем еслиpij >0, то |T_jh_i|=r.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть |h₁| > |h_i| при всех i = 1, . . . , m. Так как h₁ = Pm

i=1(p_ip_i1/p₁)T₁h_i и 1 = Pm

i=1p_ip_i1/p₁, из неравенства треугольника следует, что если p_i1>0, то |h₁|=|T₁h_i|=|h_i|.

Аналогично, |h₁|=|h_i| для всех i, таких, что p⁽²⁾_i1 >0, и т. д. Цепь Маркова, соответствующая мере µ, неприводима, и мы получаем, что |h₁|=· · ·= |hm|, а если p_ij >0, то |h_j|=|T_jh_i|.

П^{PЕДЛОЖЕНИЕ} 2. Пусть h₁, . . . , h_n, h ∈ H таковы, что |h₁| = |h₂| = · · · =

|h_n| =|h|. Предположим, что нашлись α₁ >0, . . . , α_n > 0, α₁+· · ·+α_n = 1, такие, что h=α₁h₁+· · ·+α_nh_n. Тогда h₁=h₂=· · ·=h_n=h.

Это прямое следствие условия достижения равенства в неравенстве Коши–

Буняковского–Шварца.

ПPЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть H — гильбертово пространство, T: H → H — сжатие, а векторы h₁, h₂∈H таковы, что |h₁|=|h₂|=|T h₁| =|T h₂|. Тогда если T h₁ =T h₂, то h₁=h₂.

Если h₁ 6= h₂, то |(h₁ +h₂)/2| < |h₁| по предложению 2. Так как |T((h₁ + h₂)/2)|=|h₁|, мы приходим к противоречию с тем, что T — сжатие.

Ниже запись (P P^T)ij означает (i, j)-й элемент матрицы P P^T.

ПPЕДЛОЖЕНИЕ4. Пусть µ естьσ_m-инвариантная марковская мера с непри- водимой переходной матрицей P. Пусть T_µ(h₁, . . . , h_m) = (h₁, . . . , h_m). Тогда если (P P^T)ij >0, то hi =hj.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 1 из неприводимости матрицы P следует, что |h₁|=· · ·=|h_m|. Заметим, что(P P^T)_ij >0, если и только если найдется k, такое, что p_ik>0, p_jk >0. Так как h_k=Pm

l=1(p_lp_lk/p_k)T_kh_l, из предложения 2 следует, что h_k = T_kh_i = T_kh_j, причем по предложению 1 |h_k| = |h_i| = |h_j|, откуда в силу предложения 3 заключаем, что h_i=h_j, и предложение доказано.

Из предложения 4 следует, что если матрица P неприводима и матрица P P^T неприводима, то h₁=· · ·=h_m, и лемма 11 доказана.

Из лемм 5 и 11 и следствия 2 вытекает лемма 1.

Лемма 10 получается из леммы 11 приближением интегрируемых функций квадратично интегрируемыми. Пусть ε > 0 произвольно. Пусть ϕ⁰₁, . . . , ϕ⁰_m ∈ L₂(X, ν) таковы, что |ϕ⁰_i−ϕi|L₁ < ε. Определим функции ψ₁, . . . , ψm формулой

(ψ₁, . . . , ψ_m) = lim

N→∞

1 N

N−1X

n=0

T_µⁿ(ϕ⁰₁, . . . , ϕ⁰_m)

(предел существует почти всюду и в L₁(X, ν)). Очевидно, что ψi ∈ L₂(X, ν),

|ψ_i−ϕ_i|L₁ < ε для всех i= 1, . . . , m и T_µ(ψ₁, . . . , ψ_m) = (ψ₁, . . . , ψ_m). Оператор T_µ, будучи сжатием в L₁ и в L_∞, является сжатием и в L₂ (это следует из тео- ремы Рисса о выпуклости или из леммы Лина, см. [21, p. 65]). Теперь, применяя лемму 11, видим, что ψ₁ = · · · = ψ_m = ψ и T_iψ = ψ для всех i = 1, . . . , m.

Так как |ψ_i−ϕ_i|L1 < ε, а ε произвольно, заключаем, что ϕ₁ =· · · =ϕ_m =ϕ и T_iϕ=ϕ при всехi= 1, . . . , m. Лемма 10 доказана.

Лемма 10 и лемма 7 вместе дают теорему 2.

Переходим к доказательству леммы 2.

ЛЕММА12. Пусть p >1, и пусть T₁, . . . , T_m:L_p(X, ν)→L_p(X, ν)— сжатия.

Пусть µ есть σm-инвариантная марковская мера на Ωm. Пусть функции ϕ₁, . . . , ϕ_m∈L_p(X, ν) таковы, что T_µ(ϕ₁, . . . , ϕ_m) = (ϕ₁, . . . , ϕ_m).

Если мера µ сильно неприводима, то ϕ₁=· · ·=ϕ_m =ϕ и T_iϕ=ϕ при всех i= 1, . . . , m.

Доказательство леммы 12 дословно повторяет доказательство леммы 11.

Основное наблюдение состоит в том, что предложение 2 выполнено для про- странства L_p(X, ν).

Из лемм 9 и 12 вытекает лемма 2.

Аналог леммы 11 имеет место во всех банаховых пространствах, для которых выполнен аналог предложения 2 (такие банаховы пространства иногда называют строго нормированными). По лемме 6 аналог леммы 1 имеет место в произволь- ном рефлексивном строго нормированном банаховом пространстве.

§6. Сильная неприводимость и симметричная сигма-алгебра

В этом параграфе доказано, что сильная неприводимость неприводимой мар- ковской цепи с конечным числом состояний эквивалентна тривиальности ее сим- метричной сигма-алгебры.

ПустьP = (p_ij) — стохастическая m×m-матрица. Сопоставим ей неориенти- рованный граф Γ_P с вершинами 1, . . . , m, в котором вершины i₁ и i₂ соединены ребром, если найдется j, такое, что p_i1j >0, p_i2j >0. Иными словами, ΓP есть граф инцидентности матрицыP P^T. (Здесь, как всегда,P^T есть транспонирован- ная матрица P.)

Матрица P сильно неприводима, если и только если она неприводима и граф ΓP связен.

Если µ — марковская мера на Ω_m с матрицей переходных вероятностей P = (p_ij), то вместоΓ_P будем иногда писать Γ_µ.

Напомним, что множество C⊂Ω_m называется симметричным, если для вся- кой последовательности ω∈C все последовательности, полученные из ω конеч- ными перестановками, также лежат в C. Сигма-алгебра симметричных событий называется симметричной сигма-алгеброй. Напомним, что сигма-алгебра назы- ваетсятривиальной, если всякое множество, лежащее в ней, имеет меру0или1.

ПPЕДЛОЖЕНИЕ 5. Неприводимая цепь Маркова с конечным числом состоя- ний сильно неприводима, если и только если ее симметричная сигма-алгебра тривиальна.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть m — число состояний, а P — матрица цепи. Пусть α₁ — сигма-алгебра, порожденная множествами {ω₁ = i}, i= 1, . . . , m, а α₂ — сигма-алгебра, порожденная множествами {ω₂=i}, i= 1, . . . , m. Григоренко[10]

показала, что симметричная сигма-алгебра неприводимой марковской цепи три- виальна, если и только если пересечение α₁∩α₂ тривиально.

Пусть C ⊂Ω_m и C ∈α₁∩α₂. Это значит, что найдутся множества A₁, A₂ ∈ {1, . . . , m}, такие, что C={ω:ω₁∈A₁}={ω:ω₂∈A₂}.

ПPЕДЛОЖЕНИЕ6. Если i и j соединены ребром в ΓP и i∈A₁, то и j ∈A₁. Действительно, еслиi иj соединены ребром вΓ_P, то найдется k∈ {1, . . . , m}, такое, чтоp_ik >0, p_jk>0. Если i∈A₁, тоk∈A₂, откуда j∈A₁, и предложение доказано.

Из предложения 6 вытекает, что если граф Γ_P связен, то сигма-алгебра α₁∩α₂ тривиальна.

ПPЕДЛОЖЕНИЕ7. Если A⊂ {1, . . . , m}— связная компонента графа ΓP, то множество {ω:ω₁∈A} лежит в сигма-алгебре α₁∩α₂.

Действительно, определим B ⊂ {1, . . . , m} формулой B = {k : существует i∈A, такое, чтоpik>0}. Если A — связная компонента графа ΓP, то {ω:ω₁∈ A}={ω:ω₂∈B}, и предложение доказано.

Предложение 7 показывает, что если граф Γ_P несвязен, то и сигма-алгебра α₁∩α₂ нетривиальна.

Из предложений 6, 7 следует предложение 5.

Другой способ получить предложение 5 — использовать результат Бежаевой и Оселедца из [11], из которого следует, что симметричная сигма-алгебра непри- водимой цепи Маркова с конечным числом состояний тривиальна, если и только если матрица P^TP неприводима. Остается заметить, что неприводимость матри- цы P^TP равносильна неприводимости матрицы P P^T.

Гуревич [15] показал в 1968 г., что для конечной неприводимой цепи Мар- кова тривиальность симметричной сигма-алгебры равносильна условию полноты циклов Колмогорова, необходимому условию в локальной предельной теореме Колмогорова для цепей Маркова (см. [14]).

§7. Эргодические теоремы и косые произведения

В этом параграфе доказывается, что средние c^µ_n(T)ϕ, определенные в § 2, схо- дятся для произвольной борелевской вероятностной σ_m-инвариантной меры µ на Ωm.

ТЕОPЕМА 4. Пусть µ — произвольная σ_m-инвариантная борелевская веро- ятностная мера на пространстве Ω_m.