А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина, Глобальная сходимость ме- тода Ньютона в обратных задачах восстановления памяти, Сиб. матем. журн., 1997, том 38, номер 5, 1018–1033

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина, Глобальная сходимость ме- тода Ньютона в обратных задачах восстановления памяти, Сиб. матем. журн., 1997, том 38, номер 5, 1018–1033

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 07:24:58

Сибирский математический журна,л Сентябрь—октябрь, 1997. Том 38, № 5 УДК 517.95

ГЛОБАЛЬНАЯ СХОДИМОСТЬ МЕТОДА НЬЮТОНА В ОБРАТНЫХ ЗАДАЧАХ

ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАМЯТИ*) А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина

В работе д о к а з а н ы теоремы е д и н с т в е н н о с т и и с у щ е с т в о в а н и я в це­

лом р е ш е н и й о б р а т н ы х з а д а ч восстановления п а м я т и лля а б с т р а к т ­ н ы х и н т е г р о д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х уравнений первого и второго п о р я д ­ ков в банаховом пространстве. М е т о д д о к а з а т е л ь с т в а , как и в [1], осно­

ван на р е д у к ц и и э т и х з а д а ч к н е л и н е й н ы м системам у р а в н е н и й т и п а В о л ь т е р р а . В о т л и ч и е от работы [1], в которой д о к а з а н а л о к а л ь н а я р а з р е ш и м о с т ь , и работы [2], в которой д о к а з а н а г л о б а л ь н а я р а з р е ш и ­ м о с т ь п о д о б н ы х обратных з а д а ч на основе п р и н ц и п а с ж а т ы х отобра­

ж е н и й , м ы используем м е т о д Н ь ю т о н а и д о к а з ы в а е м его г л о б а л ь н у ю с х о д и м о с т ь . Э т о т п о д х о д п о з в о л я е т с т р о и т ь э ф ф е к т и в н ы е ч и с л е н н ы е м е т о д ы решения т а к и х з а д а ч (см. [1-3]). По поводу д р у г и х о б р а т н ы х з а д а ч д л я э в о л ю ц и о н н ы х уравнений в банаховом п р о с т р а н с т в е см.

[4-7] и у к а з а н н у ю т а м литературу.

§ 1. Постановка з а д а ч и основные р е з у л ь т а т ы

В банаховом пространстве X с нормой || • || р а с с м о т р и м замкну­

т ы й л и н е й н ы й оператор А с плотной в X о б л а с т ь ю о п р е д е л е н и я D(A).

П р е д п о л а г а е т с я , ч т о оператор А я в л я е т с я и н ф и н и т е з и м а л ь н ы м поро­

ж д а ю щ и м оператором сильно непрерывной п о л у г р у п п ы V(t) и (см. [8])

IIVCOIKMe"

. (1.1)

Кроме того, будем с ч и т а т ь , ч т о существует о г р а н и ч е н н ы й оператор А~1. В э т и х п р е д п о л о ж е н и я х рассмотрим о б р а т н у ю з а д а ч у 1.

З а д а ч а 1. Определить пару функций и : [0,Т] —• X и h : [О, Т] —• М такую, что

t

ut-Au= fh(t-T)Bu(T)dr + f(i), te[0,T\, (1.2) о

ti(0) = t i^o, ( 1 . 3 )

Ф[И(0]

=

te[o,T\. (1.4)

З д е с ь щ — з а д а н н ы й э л е м е н т банахова п р о с т р а н с т в а X, f : [О, Г] —»

X — и з в е с т н а я функция, В — з а м к н у т ы й л и н е й н ы й оператор с п л о т ­ ной в X о б л а с т ь ю определения D(B)} <р : [0,Т] —» М — з а д а н н а я функция, Ф € X* — и з в е с т н ы й функционал.

*' Р а б о т а первого автора выполнена при финансовой п о д д е р ж к е Р о с с и й с к о г о ф о н д а фундаментальных исследований (коды проектов 93-01-01753, 96-01-01496) и Ме­

ждународного научного фонда (грант NQ5000).

© 1997 Бухгейм А. Л., Калинина Н. И.

Глобальная сходимость метода Ньютона 1019 Ч т о б ы п е р е й т и к постановке обратной з а д а ч и 2, и з м е н и м у с л о в и я на оператор А.

П р е д п о л о ж и м теперь, ч т о А я в л я е т с я п р о и з в о д я щ и м оператором с и л ь н о непрерывного семейства косинус-функций C(t) и, кроме того, можно о п р е д е л и т ь однопараметрическое семейство оператор-функций S(t):

t

S(t)u = / C(r)u dr, u£X, t£ Ш, о

п р и ч е м (см. [9]) верны неравенства

Ц О Д К М е ' 1 " ! , (1.5) I I ^ O I K M e ' l " ! . (1.6) Д л я з а д а ч и 2 т а к ж е будем п р е д п о л а г а т ь существование л и н е й н о г о

ограниченного оператора А~¹.

З а д а ч а 2. Определить пару функций и : [0,Т] —* X и h : [0,Г] —* Ш такую, что

t

utt-Au= Ih(t-r)Bu{T)dT + f(t), te[0,T], (1.7) о

ti(0) = t*0, ti40) = til t (1.8)

Ф[и(г)) = ф), te[o,T\. (1.9) З д е с ь wo, u\ — з а д а н н ы е э л е м е н т ы банахова п р о с т р а н с т в а X, / : [0,Т] —*-

X — и з в е с т н а я функция, В — з а м к н у т ы й л и н е й н ы й оператор с плот­

ной в X о б л а с т ь ю определения, <р : [0,Т] —• Ш — з а д а н н а я функция, Ф £ X* — з а д а н н ы й л и н е й н ы й функционал.

О б о з н а ч а я через У банахово пространство с нормой

1М1г = 1М1 + Н>Ш (1-ю) м ы по а н а л о г и и с [2] рассматриваем обратные з а д а ч и 1, 2 в д в у х раз­

л и ч н ы х с л у ч а я х :

1) BD(A) С D(A), В € JSf(Y);

2) D(B) D D(A) (например В = А), т о г д а по теореме о з а м к н у т о м графике ВА-¹ € Sf(X).

Сформулируем основные р е з у л ь т а т ы работы.

Т е о р е м а 1.1. Предположим, что BD(A) С D(A), В Е -&(У) и для обратной задачи 1 выполняются условия гладкости:

/ес

([о,г]

х), <рес

[о,т\,

/(О)едл

),

f(t) e D(A) для любого t е [0,Т]]

и условия согласования:

ф) = ф[щ], <р'(0) = Ф[Ащ + /(0)].

Тогда если \ = Ф[#Ко] Ф 0, то задача 1 имеет единственное решение и* 6 С2([0,Т];У) и h* £ C[0,T]. Это решение может быть найдено ите­

рационным методом Ньютона, причем для любых /io ^ 1/2 и 62 > 1 существует константа сг⁰ > 0 такая, что

I K - «*1И[0,Т];У) ^ (1И_1Ц + ^~1еМ^>Т\^оГ-1Ь2; 41-11)

II*» - Л*Ис[о,т] ^ е-^Р^-(2цоГ-Ч2. (1.12)

1020 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина

Т е о р е м а 1.2. Предположим, что D(B) Э D(A) и для обратной за­

дачи 1 выполняются условия гладкости:

f е с

([о,ту,х), if е с

[о,т], u

e D(A

), BU

G D(A), ВАЩ G D(A),

/(0) G D(A²), Bf(0) e D(A), /'(0) G D(A);

и условия согласования:

ф) = Ф[щ], ^ ( 0 ) = Ф [ ^^о + /(0)], р"(0) = Ф[А2щ + Af(0) + /'(0) + h0Buo], h0 = А(0).

Тогда если \ — Ф[£ио] ф 0, то задача 1 имеет единственное решение и* е C²([0,T];Y) и h* e С^х[0,Т]. Это решение может быть найдено ите­

рационным методом Ньютона, причем для любых /io ^ | и 62 > 1 существует константа сг0 > 0 такая, что

IK - «ЧИю.пу) < (1И

11 + rf'^^Qt*)

*-

**; (1-13)

||Л„-Л*||сЧо,т] < ( Г + 1 ) ^ ^ ( 2й, )а' -1* 2 . (1.14) Т е о р е м а 1.3. Предположим, что BD(A) С D(A), J5 G ^ Q O и л л л

обратной задачи 2 выполняются условия гладкости:

feC5([0,T];X), ?еС3[0,Т], «„€£>( Л4), и1 еД ( Л3) , / ( О ) б О ( Л ' ) , /'(0) е D(A2), f"(0)€D(A), f"'(0) e D(A);

и условия согласования:

<р(0) = Ф[и⁰], ^ ( 0 ) = Ф[ш], •'(<>) = Ф Ы , р'"(0) = Ф Ы , v0 = Ащ + /(0), vi = Ащ + h(0)Buo + /'(О), А0 = Л(0).

Тогда если х = Ф[#ио] ^ 0, то задача 2 и м е е т единственное решение u* G С⁴([0,Т];У) и Л* E C^OjT]. Это решение может быть найдено ите­

рационным методом Ньютона, причем для любых /io ^ \ и &2 > 1 с у щ е с т в у е т константа (т$ > 0 такая, что

IK - « Ч И Р . П П ^ (1И"

!! + 1)^-^

^(2^о)

-

б

; (1.15)

llfen - ft'Hcio.T] ^ ( Г + l)e x p^°r )(2/io)2 ,'-162. (1.16) Т е о р е м а 1.4. Предположим, что D(B) D D(A) и для обратной за­

дачи 2 выполняются условия гладкости:

/ € С5( [ 0 , Т ] ; Х ) , у>еС4[0,Г], uo€D(A%

Вщ € D(A2), ВАщ е D(A), ui € 1>(Л3), Вщ е D{A),

f(0)eD(A2), f'(0)eD(A2), f"(0)eD(A), f"(0)eD(A);

и условия согласования:

¥>(0) = Ф[и0], >р'(0) = Ф[щ], / ' ( 0 ) = Ф Ы , <Р"Щ = *М, v0 = Ащ + /(0), ы = Ащ + h0Bu0 + / ' ( 0 ) , Л0 = Л(0), /ц = А4(0).

Глобальная сходимость метода Ньютона 1021 Тогда если \ — Ф[Би⁰] ф 0, то задача 2 имеет единственное решение u* G С⁴([0,Т];У) и h* Е С²[0,Т]. Это решение может быть найдено ите­

рационным методом Ньютона, причем для любых ^о ^ \ и Ь2 > 1 существует константа <то > 0 такая, что

I K - «•||с«([о.т];П ^ (НА"1» + l ) y5ri l e X P^ °T )( 2/z o )2' ' -162; (1.17)

||Л„ - h*\\c40,T] < ^ £ у ( 2 Ы2" -1. (1-18) Все ч е т ы р е теоремы д о к а з ы в а ю т с я по е д и н о й схеме. С н а ч а л а

о б р а т н ы е з а д а ч и 1 и 2 при с о о т в е т с т в у ю щ и х у с л о в и я х п р и в о д я т с я к н е л и н е й н ы м операторным уравнениям т и п а В о л ь т е р р а . З а т е м в со­

о т в е т с т в у ю щ и х весовых пространствах д л я э т и х у р а в н е н и й д о к а з ы ­ в а е т с я г л о б а л ь н а я с х о д и м о с т ь м е т о д а Ньютона.

§ 2. Редукция обратных задач к системам нелинейных уравнений Вольтерра

В э т о м параграфе м ы сведем наши обратные з а д а ч и к системам у р а в н е н и й В о л ь т е р р а второго рода, к которым в д а л ь н е й ш е м и будем п р и м е н я т ь м е т о д Н ь ю т о н а .

Лемма 2.1. В условиях теоремы 1.1 обратная задача 1 эквивалент­

на операторному уравнению вида

Gg = 0, (2.1) где

9 = Autt — k\

h-k² (2.2) Jbi = АВщ(Х-У - Х^ЦАУО + /']) + V(t)A2v0 + V(t) * / ' "

+ t W ' ( o ) + v(t)Af(o) - /"(О, (2-3)

*2 = X " V - X "1* [ ^ t ; o + //]> (2.4) a G — нелинейный интегральный оператор Вольтерра второго рода,

действие которого на вектор-функцию g описывается формулами (Gg)x = g¹+^X~¹*ABu⁰l I(gi(r) + к^г(т)) dr + I {д²(т) + к²{т))Ву⁰ dr

\о о

+ / Ы * - г) + *

(* - т)) J ВА'

(

(8) + ВД) <Ыт

о о У

t *

- Jv(t- т)(д2(т) + k2(r))A2Bu0dr - J V{t - т)(д2(т) + *2(г))ЛЯи0 ^ о о

t т

~J

~

1

~

*

" « ) )

(М«) + М«)) dsdr, (2.5)

1022 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина,

t

(Gg)²=92(t) + x-¹* J(9i(r) + * I ( T ) ) dr + J Bv0(g2(T) + к2(т)) di

о

+ / Ы ' - ^r) + 4 < - ^T)) j{9i{s) + *i(*)) dsdr ^{• (2-6)}

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . ПО а н а л о г и и с [1,2] д л я того ч т о б ы п р и в е с т и о б р а т н у ю з а д а ч у 1 к системе н е л и н е й н ы х уравнений В о л ь т е р р а , про­

дифференцируем (1.2), (1.4) и в в е д е м новую переменную v = щ. Полу­

ч и м

t

vt- Av = h(t)Bu0 + I h(t- r)Bv(r)dr + /'(f), (2.7) о

v(0) = i4ti0 + /(0) = t;oJ (2.8)

ФМ01 = ¥>'(*). (2.9) В силу указанной в теореме 1.1 г л а д к о с т и функций u, h и / функция

/ i ( t ) — п р а в а я ч а с т ь уравнения (2.7) — непрерывна, / i ( 0 € ^ ( ^ ) Д^{л я} л ю б о г о f £ [0,Т] и Л/х(*) — непрерывная функция. С л е д о в а т е л ь н о (см. [8,9]), решение з а д а ч и Коши (2.7), (2.8) существует и д а е т с я фор­

м у л о й

t

v(t) = V(t)v0 + /v(t- r)h{r)dr. (2.10) о

О т с ю д а

v(t) := V(t)v0 + fv(t-r)l h(r)Bu0 + / V ) + /h(s)Bv(r -s)ds\ dr. (2.11) Еще одно уравнение п о л у ч и м , п р и м е н я я функционал Ф Е X* к уравне­

н и ю (2.7):

h(t)<$[Bu⁰] = <р" - Ф[АУ + h * Яг; + / ' ] . (2.12) Т а к как по у с л о в и ю теоремы 1.1 х = Ф[Яио]^0, то (2.11) можно перепи­

с а т ь в в и д е

МО = X" V - ^фИ ^ + ^Л * 5v + Л ] . (2.13) В в е д е м н о в у ю переменную w — Av. Т о г д а (2.12), (2.13) п р и м у т в и д

w = V(t)Av0 + AV(t) * (hBu0 + h * Я У Т1™ + / ' ) , (2.14) Л = x " У - х'1Ф[ь) + h * ЯЛ"1™ + Л . (2.15) Преобразовав уравнение (2.14) с п о м о щ ь ю формулы

AV(t) * ii = V(t) * / / + V(0/i(0) - МО, (216) п о л у ч и м

u; = V(t)Av0 + V(t) * ЛЛЯи0 + V(t) * h * ЛЯЛ"1™ + У(*) * /"(*) + V(t)f{0) - f'(t).

(2.17) После дифференцирования (2.17) имеем

wt = /гЛЯио + V(<) * hA2Bu0 + V(0 * ЛЛЯ^о + V(t) * А * Л Я Л "1^

+ К(<)Л2«0 4- К(<) * /"'(*) + К ( О Г ( 0 ) + V(t)Af'(0) - /"(*)• (2.18)

Глобальная сходимость метола Ньютона 1023 Дифференцирование законно в силу указанной в теореме 1.1 г л а д к о с т и в х о д я щ и х в (2.7) функций.

Воспользуемся формулой

w - 1 * wt + AVQ, (2.19)

ч т о б ы преобразовать уравнение (2.15):

ft = - х_ 1Ф [ 1 * wt + 1 * ft * BA~lwt + ft * Bv0] + x' V " Х_ 1Ф [ ^ о + / ' ] . (2.20) В первое слагаемое уравнения (2.18) п о д с т а в и м вместо ft его з н а ч е н и е и з (2.20). П о л у ч и м

w^t = — х^ФИ-Вио *w^t + АВщ * ft * ВЛ"^-1*/^ + ABu⁰h * £v⁰] + K(*) * hA2Bu0 + V(t) * hABv0 + V(t) * ft * ABA~xwt

+ А В и0( х - У " - x "1* ! ^ + /']) + V(*M2t;o

+ V(t) * /'"(*) + V(t)/"(0) + V(t)Af'(0) - f"(t). (2.21) И з у с л о в и й т е о р е м ы 1.1 вытекает, ч т о ABA~^l E &(Х), с л е д о в а т е л ь ­ но, (2.20), (2.21) я в л я е т с я системой уравнений В о л ь т е р р а второго рода.

З а п и ш е м ее в операторной форме:

9 = Fg + к, (2.22) I w I I Auff I

г д е g =

Autt

ft — вектор-функция, F — н е л и н е й н ы й и н т е г р а л ь ­ н ы й оператор Вольтерра, а именно

(Fg)i = - х ^ Ф ^ Я г / о * wt + ABtio * ft * Я А "1^

+ ABtioft * Bv0] 4- V(t) * ftA2£u0 + V(0 * hABvo + V(t) * ft * ABA~lwt, (2.23) (^7)2 = -Х_ 1Ф[1 * wt + 1 * ft * ЯЛ"-1™* + ft * Bv0], (2.24) fci, Аг2 о п р е д е л я ю т с я формулами (2.3), (2.4). С д е л а е м в (2.22) л и н е й н у ю

замену переменной: g = g + к. После этого уравнение (2.22) преобразу­

ется к в и д у

g = F(^g + k)=:Fg (2.25)

(последнее равенство я в л я е т с я определением оператора F). П о л а г а я

G = Я - F, (2.26) гле Е — т о ж д е с т в е н н ы й оператор, из (2.25) легко п о л у ч и т ь уравне­

ние (2.1), которое э к в и в а л е н т н о системе у р а в н е н и й (2.5), (2.6). Т а к и м образом, м ы п е р е ш л и от обратной з а д а ч и (1.2)—(1.4) к у р а в н е н и ю (2.1), э л е м е н т ы которого о п р е д е л я ю т с я формулами (2.2)-(2.б).

Покажем теперь, ч т о если решение g уравнения (2.1) есть функция н е п р е р ы в н а я , то функции к и Л п р и н а д л е ж а т у к а з а н н ы м в теореме 1.1 классам.

З а п и с а в систему уравнений (2.5), (2.6) в операторной форме (2.1), п о л а г а я F := Е — G и п р о и з в е д я замену переменной g = g — к⁾ п о л у ч и м у р а в н е н и е (2.22) с э л е м е н т а м и (2.23), (2.24) и (2.3), (2.4), о т к у д а следу­

ет (2.21), (2.20). Из непрерывности вектор-функции g и (2.21) и ограни­

ч е н н о с т и оператора А~1 вытекает, ч т о uu Е С([0,Т];У). Преобразовав т е п е р ь уравнение (2.21) с п о м о щ ь ю (2.20) к в и д у (2.18) и проинтегриро­

вав, и з м е н я я , г д е э т о необходимо, порядок и н т е г р и р о в а н и я в к р а т н ы х

1024 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина,

и н т е г р а л а х , п о л у ч и м (2.17), которое легко п р и в о д и т с я к (2.14). Заме­

ч а я , ч т о в правой ч а с т и (2.14) н а х о д и т с я непрерывная функция, д е л а ­ ем в ы в о д о непрерывности Ащ. Применяя к (2.14) оператор Л "¹, полу­

ч и м уравнение (2.11). О т с ю д а и и з (2.14) следует, ч т о щ Е C([0,T];Y).

Дифференцируя (2.11), в ы в о д и м (2.7), после и н т е г р и р о в а н и я которого с у ч е т о м формул согласования п р и х о д и м к (1.2). И т а к , u E С2([0,Т];У).

Вернемся к (2.20). Из (2.19) легко в ы т е к а е т (2.15). Вспоминая, ч т о w = Av и д е й с т в у я на (2.15) оператором Л""¹, п р и х о д и м к (2.12), о т к у д а у м н о ж е н и е м на Ф[Вщ] п о л у ч и м (2.11). Из (2.11) о ч е в и д н ы м образом с л е д у е т , ч т о <p"(t) = Ф[^]. И н т е г р и р у я д в а ж д ы с у ч е т о м у с л о в и й со­

г л а с о в а н и я , в ы в о д и м (1.4).

И т а к , показано, ч т о обратная з а д а ч а 1 при у с л о в и я х т е о р е м ы 1.1 э к в и в а л е н т н а операторному у р а в н е н и ю (2.1). С л е д о в а т е л ь н о , н а й д я непрерывное решение уравнения (2.1), мы можем у т в е р ж д а т ь , ч т о на­

ш л и решение обратной з а д а ч и (1.2)—(1.4) указанной в теореме 1.1 г л а д ­ кости. Л е м м а доказана.

С л е д у ю щ и е т р и л е м м ы необходимы для д о к а з а т е л ь с т в теорем 1.2-1.4.

Л е м м а 2.2. В условиях теоремы 1.2 о б р а т н а я з а д а ч а 1 эквивалент­

на, операторному уравнению вида

Gg = 0, (2.27) г д е

9 = Auu - &i

ht - k2 (2.28)

*! = V(t) * hoABvo + V(t) * / ' " ( О + V(t)f"(0) - /"(*)

+ V(t)h0ABu0 + V(t)Af'(0) + V(t)A2v0, (2.29) k² = x'¹?'" - X'^Vit) * hoABvo + V(t) * / ' " + V(t)f"(0)

~ /"(<) + V(t)h⁰ABu⁰ + V(t)Af'(0) + h⁰Bv + / " ] , (2.30) a G — нелинейный интегральный оператор Вольтерра второго рола, действие которого на вектор-функцию g описывается формулами

t

(Gg)x =gi-Jv(t- т)(д2(т) + k2(r))ABu0 dr о

t т

- J V(t - т) J(g²(s) + k²(s))BA-^l(^9l(r - *) + t i ( r - s)) dsdr

о о

t t

- j v ( t - ф0ВА-1(91(т) + кг(т)) dr + J(g2(t - r ) + k2(t - r))

о о

r t

J BA-\9l{s) + *!(«)) dsdr + / h0BA-l(gi(T) + Jbi(r)) dr

X 0

- / V(t - T) f(g2(r) + k2(r))ABv0 dsdr = 0, (2.31) о о

Глобальная сходимость метода Ньютона 1025

(Gg)² =92 + X ^ХФ Jv(t-T){g²(T) + k²{T))ABuQdT о

г

+ fv(t- т) j{g2(r - s) + к2(т - s^BA-^gxis) + *i(*)) <hdr о о

t t

- / V(< - т)Н0ВА-1(91(т) + кг(т)) dr+ f ВьоЫт) + к2(т)) dr

I T

+ fv(t- T) f{g²(s) + k²(s))ABv⁰ dsdr = 0. (2.32)

Лемма 2.З. В условиях теоремы 1.3 о б р а т н а я з а д а ч а 2 э к в и в а л е н т ­ на операторному у р а в н е н и ю вила.

Gg = 0, где

9 = Autm - &i

ht - fc2

(2.33)

(2.34)

i i = x~l(P(lV)A2Bu0 - X~l®A2BuQ[f" + ЛоЯщ + i4w0 + 1 * M -f h0 * £u0 + Л0 * Bvi * 1] + S(t) * h0ABvi + C(t)A2v0

• + S ( * ) A V + C(0/ioA2Bti! + 5(Ouoi45v0 + C(t) * /( V )

+ C(t)f(lv\0) + AS(t)f"'(0) - filv\t) + AC(t) + / " ( 0 ) , (2.35) k2 = x'4^1V)-X^1^U'' + hoBui+Avo + l*Av1+ho*Bv0^ho*Bvl*l]} (2.36) a G — нелинейный интегральный оператор Вольтерра второго рода, действие которого на вектор-функцию g описывается формулами

(Gg)i =gi+x-l<bA2Bu0

Lo о

t Т 8 р

J j(9i(e) + ki(8))dadT .о о

J j J ](92(Р-Ч) + Ыр-Ц))ВА-

(gi (/i)

0 0 0 0

t т s

+ ki{p))dn dpdsdr + (92{p) + Mp))£t/i dpdsdr o o o

t т t т а

+ У У В«о(М«) + M«)) dsdr + J f J h

BA-

{

(p)

0 0 0

1026 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина + к^г(р)) dpdsdr + j Bu^x{g²{r) + k²{r)) dr

о J

t " t

~ j S(t- r)(g²(r) + k²(r))A³Bu⁰ dr- j C(t - r)(g²(r)

о о

t

+ k²(r))ABui dr- IS(t - r)(g²(r) + k²(r))ABv⁰ dr о

t т

- jS{t-r) f hoABA'^gxis) + ki(s))dsdr о о

t т

- f S(t- r) f(g²(s) -r k²(s))ABv^x dsdr о о

t т s

- [s(t-r) f(g2(r-s) + k2(r-s)) fABA-1 (gi(p) + кг(р))dpdsdr = 0,

/ / / (2-37) Г * r

(Gg)2 =92 + Х_1Ф J J(9i(s) + *i(*)) dsdr Lo о

t т

+ j j Bv⁰(g²(s) + k²(s)) dsdr о о

t т s p

+ J j j [ЫР - P) + *a(p - р))ВА-

{д

{ц) + kiip)) dpdpdsdr

t T S

/ / (92(p) + k2(p))В'vi dpdsdr

0 0 0 0

0 0 0

I T S i

+ [[ I h0BA-1(g1(p) +ki(p)) dpdsdr + / В щ ( д2( г ) + к2{г))\ dr = 0.

J J J J (2 38)

0 0 0 0 J \*-0{J)

Л е м м а 2.4. При условии теоремы 1.4 обратная задача 2 э к в и в а ­ л е н т н а операторному уравнению вида

Gg = 0, (2.39) г л е

(2.40) 0 =

ibi = C(t)A²v^Q + S(*)^²vi + C{t)h^xA²Bu^Q + SfthiABux + C(t)h⁰ABu! + C(t) * h⁰Bvi + C{t)h⁰vi - 1 * h^xBv^x - h0BVl + StyhxABvo + S(t)h0ABv0 + C(t) * f{v)(t)

+ C(*)/(1V°(0) - /( l v / )(<) + AS(t)f"(0) + AC(*)/"(0), (2.41)

Глобальная сходимость метода Ньютона 1027

к² = x~\v'"-$(f'"+hiBu¹+Av¹+h^l*Bvo+hoBvo+Uhi*Bvi+ho*Bv^x)), (2.42) a G — нелинейный интегральный оператор Вольтерра второго рода,

действие которого на вектор функцию g описывается формулами

t

(Gy)i = gi(t) - Jc(t - r)(fci + / к О Я А ^ Ы г ) + * i W ) d r о

t r t

+ /fci f BA-1(g1(s) + kl{s))dsdT+ jftoBA-H^iW+ * i ( r ) ) d r

0 0 0 t t

- [c(t- T)A²Bu⁰(g2{r) + *²(r)) dr - / 5(< - т)АВщ(0²(г) + *²(r)) dr о о

* т . t т

- [c(t-r) f Bv¹(g²(s) + k²(s))dsdT+ I Bvi [ Ы*) + k²{s)) dsdr

0 0 0 0 t r t т

- f S(t-r) f ABv0(g2(s) + k2(s)) dsdr - f C(t - r ) /(</2(r - «) + *2( r - *))

0 0 0 0 5 t т

x / BA~\gi(p) + ti(p)) cfpdsdr - / J(g2(r - s)

0 0 0 s

+ k2(r - s)) J BA'\9l{p) + *i(p)) dpd5(fr = 0, (2.43) о

Г *

(Gg)² = 92(t) + Х^_1Ф J(9i(r) + h(r))dr Lo

t T S

+ / / ^fci / BA~\^9l{p) + k^x{p)) dpdsdr

0 0 0

t т t т s

+ / A0 j BA-l(gi(s) + ki{s)) dsdr + f j Вы j(g2(p) +k2(p)) dpdsdr

0 0 0

t r t

/ я «⁰ [(g2(s) + k²(s))d8dT+ f Bu^x(g²(r) + k²(r))dr

о о

t т s

+ J J J(92(* ~P) + Ы* - P)) J BA-

(

(ii) + fci(p))

0 0 0 0

Д о к а з а т е л ь с т в а л е м м 2.2-2.4 п р о в о д я т с я по а н а л о г и и с д о к а з а т е л ь ­ ством л е м м ы 2.1.

§ 3. Д о к а з а т е л ь с т в о основных р е з у л ь т а т о в Р а с с м о т р и м уравнение

Gg = 0 (3.1)

1028 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина,

в банаховом пространстве Х2 = С([0,Т]; Х\), г д е Х\ = ХхШ — вспомога- . О п р е д е л и м т е л ь н о е банахово пространство вектор-функций д =

норму в Х\ равенством

H f f l l ^ l N I + N . (3.2)

Б у д е м о б о з н а ч а т ь через S(go,r) шар р а д и у с а г с центром в т о ч к е до в п р о с т р а н с т в е Х%. П р и б л и ж е н и я к решению нелинейного операторного у р а в н е н и я Gg = 0 с т р о я т с я методом Н ь ю т о н а по формуле

ta^n-W

^, (з.з)

п = 0 , 1 , . . . , где до — заданное нулевое п р и б л и ж е н и е . И з формул (2.2), (2.25), (2.32), о п р е д е л я ю щ и х функцию д, следует, ч т о д л я в о з в р а щ е ­ н и я к и с х о д н ы м функциям и и h в итерационном процессе естественно с ч и т а т ь в ы п о л н е н н ы м и с л е д у ю щ и е равенства:

tin(0) = ^(0), (3.4)

nn^<(0) = ti^t(0), (3.5)

М О ) = А(0). (3.6) В у р а в н е н и и (3.3) G — н е л и н е й н ы й оператор, д е й с т в у ю щ и й и з некото­

рого ш а р а 5(<7о> R) банахова пространства Х^ в Хч и у д о в л е т в о р я ю щ и й у с л о в и я м т е о р е м ы Н ь ю т о н а — К а н т о р о в и ч а (см., например, [10]):

1) в ш а р е S(go,r) у оператора G существует п р о и з в о д н а я по Фреше G'[g], для которой в ы п о л н я е т с я условие Л и п ш и ц а

\\G'[9]-G'[g]UL\\g-g\\; (3.7) 2) в т о ч к е до определен оператор Т[до] — Го, г д е Т[д] = [Gf/[flf]]"1» и

и м е ю т место оценки

||Го|| ^ *i, (3.8)

||ГоС0о|| < h\ (3.9) 3) с п р а в е д л и в о неравенство

/lo = b1Lb2 ^ - . (3.10)

При э т и х у с л о в и я х с п р а в е д л и в а оценка

\\9n-g'\\<±(2i*o)²*-%- ( 3 - П )

IM^m^e-^Mlx,, a^0. (3.12) В Х2 рассмотрим весовую норму

В с и л у н е р а в е н с т в а

е-"Т\\д\\о $ \\д\\. $ ||</||о (3.13) н о р м ы \\д\\а и \\д\\о э к в и в а л е н т н ы д л я любого Т < оо. И с п о л ь з о в а н и е ве­

совых норм в нашем с л у ч а е п о з в о л я е т п о л у ч и т ь к о н с т а н т ы в у с л о в и ­ я х (3.7)-(3.9) в таком в и д е , ч т о неравенство (3.10) будет а в т о м а т и ч е с к и в ы п о л н е н о при д о с т а т о ч н о больших а. Точнее, м ы будем п р о в е р я т ь с л е д у ю щ и е у с л о в и я :

L = L(a) = 0{a~^l), h = (1 - ^qi)-\ b² = (1 - q²)-\ ^4l = 0(a-¹), g² = O ^ "¹) - (3.14) и з к о т о р ы х легко в ы т е к а е т (3.10) для <7^<т⁰, где <т⁰ — д о с т а т о ч н о боль­

ш а я к о н с т а н т а .

Глобальная сходимость метола. Ньютона, 1029

где до

Лемма 3.1. Для любого д Е (С[0,Т]^}Х\) такого, что \\д — go\\a ^ R,

г— кл 1

L h &ъ &2 определяются формулами (2.3), (2.4), существует сильнал произволнал оператора G из леммы 2.1, удовлетворяющая условию Липшица

\\С'\д]-0'т\<,$Ц\9-д\\; (3-15) глеЬ = Ь(а) = 0(а-1).

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . ДЛЯ ТОГО д о к а з а т е л ь с т в а с у щ е с т в о в а н и я с и л ь ­ ной п р о и з в о д н о й (производной Фреше) д о с т а т о ч н о п о к а з а т ь , ч т о сла­

бая п р о и з в о д н а я ( п р о и з в о д н а я Гато) есть н е п р е р ы в н ы й оператор. По о п р е д е л е н и ю оператор G[g] имеет слабую п р о и з в о д н у ю dG[g]ip, если п о с л е д о в а т е л ь н о с т ь операторов

G7[S]V = G[g + уф] - G[g]

с х о д и т с я в с и л ь н о й т о п о л о г и и при 7 —• 0 к оператору dG[g]ip, н а з ы в а е ­ мому слабой п р о и з в о д н о й (производной Гато) оператора G. В ы ч и с л и м dG[g]ip по о п р е д е л е н и ю . Д л я ф = / имеем

(0Gfor]VOi = ^ i W + X~^l*ABu⁰ I / Фх(т) dr+ f ф²(т)Вь⁰ dr

\ 0 0

t т

+ l^2(t-T)JBA'¹(gi(8) + k¹(8))d8dT о о

t т

+ / Ы * -т) + k2(t - r)) / ВА-1фх(8) dsdr

о о )

t t

- [v(t- т)ф2(т)А2Ви0т - [v(t- т)ф2(т)АВь0 dr о о

t т

- fv(t-r) I ф2(т - s)ABA'1{g1{s) + kx(s)) dsdr о о

t т

~ I V(t - T) f(g²(r - s) + к²(т - 8))АВА'¹ф^х(8) dsdr; (3.16)

(dG[gtyh = M*) + X-

*

l I T

J Vi(r) dr + J ф²{1 - T) Hgi(s) + ki(a)) dsdr

I T t

/ Ы * -r) + k²(t- r)) /Vi(«)dsdr + /Ву⁰ф²(т)dr (3.17) В с и л у л и н е й н о с т и полученных операторов для их н е п р е р ы в н о с т и д о с т а т о ч н о п р о в е р и т ь ограниченность, которая легко в ы в о д и т с я и з

1030 А. Л. Бухгейм, Я. И. Калинина

(3.16), (3.17). С л е д о в а т е л ь н о , оператор dG[g]ifi непрерывен, а э т о озна­

ч а е т , ч т о существует с и л ь н а я п р о и з в о д н а я оператора G, с о в п а д а ю щ а я со слабой, т. е.

&W = дв[д]ф. (3.18) П р о в е р и м в ы п о л н е н и е условия Л и п ш и ц а (3.15). По о п р е д е л е н и ю

\\G [д\ - G [g\\\a = sup — . IMU=i IMI*

И з формул (3.16)—(3.18) легко следует оценка

№[д]-СЪ])По^\\9-~9\Ш\\°,

г д е С — константа, не з а в и с я щ а я от а. М н о ж и т е л ь <т~¹ в п р а в о й ч а с т и э т о г о н е р а в е н с т в а п о я в и л с я за счет и н т е г р и р о в а н и я функции ё~^аХ.

Т а к и м образом, L — L(a) — 0(сг- 1), и л е м м а доказана.

Л е м м а 3.2. В точке до , где &i, к2 определяются форму- л а м и (2.3), (2.4), для оператора G из леммы 2.1 определен оператор Г fro] = [ С fro]]"¹, и п р и э т о м

1 - ^ 1 1 - ^ 2

г д е ^ = ^(о-) = О ^ "1) , д2 = Ч2{<?) = 0(сг-1).

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . И З (3.16)—(3.18) в ы т е к а е т , ч т о д е й с т в и е операто­

ра G' в т о ч к е до на вектор-функцию ф{1) описывается ф о р м у л а м и (G'\g0]tl>)i = il>1(t) + X-l*ABu0 I J Фх{т)йт+ jф2(т)Ву0ёт\

t t

- fv(t- т)ф2(т)А2Ви0т - tv(t- т)ф2(т)АВу0 dr; (3.19)

о

t

( G ^ o № b = W O + X "¹* I j*i(T)dT + Jф²{т)Вьо<1т\ . (3.20)

\ 0 0 /

С л е д о в а т е л ь н о , существование оператора Tfro] р а в н о с и л ь н о существо­

в а н и ю решения системы л и н е й н ы х и н т е г р а л ь н ы х у р а в н е н и й В о л ь т е р ­ ра второго рода. Как известно, т а к а я система р а з р е ш и м а для л ю б о й п р а в о й ч а с т и . О ч е в и д н о , G'fro] можно п р е д с т а в и т ь в в и д е Gf[go] = Е -f Q) г д е Е — т о ж д е с т в е н н ы й оператор, Q — л и н е й н ы й и н т е г р а л ь ­ н ы й оператор В о л ь т е р р а . Т о г д а если ||<2||^<?i < 1, то норму ||Го||<7 можно о ц е н и т ь и з у с л о в и я

Ц Г о Ц ^ - ^ — . 1 - q^x

Р а с с м о т р и м ||<3||<7- Из формул (3.19), (3.20) в ы т е к а е т оценка

IIWIU^IMU,

Глобальная сходимость метола Ньютона, 1031 гле С — не з а в и с я щ а я от а константа. В ы б и р а я и т а к и м образом, ч т о б ы qi = 0(a~¹) < 1, п р и х о д и м к требуемой оценке.

Т е п е р ь рассмотрим ||ГоС<7о||<7- П о д с т а в л я я в (3.19), (3.20) з н а ч е н и е Gg0 =

вместо ф, п о л у ч а е м

- М О - М О

(G^;[(7o]G(7o)i = - М О " X-^l*ABu⁰ I J к^г(т) dr + j k²(r)Bv⁰dr J

t t

+ fv(t- т)к2(т)А2Вщт + / V(t - T)k2(r)ABv0 dr, (3.21) о о

(G'[go]Ggoh = - M O - X "1* I J kx(r) dr + j k2(r)Bv0 dr I . (3.22) Оценим ||QGyo||<7- Из формул (3.21), (3.22), (3.13) легко в ы в о д и т с я нера­

венство

IIQG0o||^-||*|| = «2, a

гле С — константа, не з а в и с я щ а я от <т. Это означает, ч т о q² = 0((т~¹).

Т а к и м образом, в ы п о л н я ю т с я условия (3.8), (3.9), г д е &i, b2 опреде­

л я ю т с я у с л о в и я м и (3.14). Л е м м а доказана.

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О ТЕОРЕМЫ 1.1. Из лемм 3.1 и 3.2 следует, ч т о лля с и с т е м ы н е л и н е й н ы х уравнений В о л ь т е р р а (2.5), (2.6) (т. е. лля опе­

раторного у р а в н е н и я (2.1)) в ы п о л н я ю т с я условия (3.14). Тем с а м ы м и т е р а ц и о н н ы й процесс, построенный лля уравнения (2.1) по формуле (3.3), с х о д и т с я , и в весовой норме верна оценка

\\9п-9Ъ^(^о)2'-%.

О т с ю д а и и з (3.13) имеем

е ^оТ

| | < Ь - Л К - 2 ^ ( 2 р⁰)² -¹Ь2

лля л ю б о г о сг^сг0. С л е д с т в и е м этого неравенства в силу (2.2) я в л я ю т ­ ся неравенства

\\Auntt - Auu*\\c{[o,nx)^i^('2no)2 %,

аТ

||ftn-/i*||c([o⁾T])^^^r(2/io)² -¹Ь²

ЛЛЯ Л Ю б о Г О <7^<7().

В силу формул (3.4)-(3.б) и обратимости оператора А и з э т и х оце­

нок п о л у ч а е м (1.11), (1.12). Теорема доказана.

1032 А. Л. Бухгейм, Н. И. Калинина

Лемма 3.3. Для любого yGC([0,T];Xi), лежащего в шаре ||<7 —<7о||(7^, где до = I V^х , к\^} к² определяются формулами (2.29), (2.30), существу­

ет сильная производная оператора G из леммы 2.2, удовлетворяющая условию Липшица (3.15), где

L = L(a) = 0(a-1).

Лемма 3.4. В точке до =

- * 2 , где ki, k2 определяются форму­

лами (2.29), (2.30), для оператора G из леммы 2.2 определен оператор Г[#о] = [G'ftfo]]"¹ и при этом

| Г о | | ^ : 1

= b^u | | Г о С ^ о | | ^г

1

= * 2 ,

' 1 - 9 1 1 - 9 2 г д е 9 l = qi(a) = 0 ( ^- 1) , 92 = 9 2 И = О ^ "1) -

Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В А лемм 3.3, 3.4 п о л н о с т ь ю а н а л о г и ч н ы д о к а з а т е л ь ­ с т в а м л е м м 3.1, 3.2. Они п о з в о л я ю т д о к а з а т ь теорему 1.2 по а н а л о г и и с д о к а з а т е л ь с т в о м теоремы 2.1.

Л л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 1.3 нам п о т р е б у ю т с я с л е д у ю щ и е ана­

л о г и л е м м 3.1 и 3.2.

Лемма 3.5. Для любого g£C([0>T]]Xi) такого, что \\g — go\\^R, где

сильная производная оператора G из леммы 2.3, удовлетворяющая условию Липшица (3.15), где L = Ь(<т) = 0(а~¹).

9о = , &i, к2 определяются формулами (2.35), (2.36), существует

Лемма 3.6. В точке до = ^{- * 1}

-к

лами (2.33), (2.34), для оператора G из леммы 2.3 определен оператор Г [до] = [G'^o]]""1 и ПРИ этом имеют место оценки

l i r o l l ^ T - ! — = ЬЬ \\rQGgo\\a^T^— = b2i

l - 9 i I- q2

где qx = qi((r) = 0(<7-1), q2 = q2((r) = 0{a~l).

Т е о р е м а 1.3 д о к а з ы в а е т с я по а н а л о г и и с теоремой 1.1.

Л л я д о к а з а т е л ь с т в а теоремы 1.4 необходимы с л е д у ю щ и е л е м м ы . Лемма 3.7. Для любого g£C([0,T]]Xi) такого, что \\g — доЦ^г, где

Г— кл 1

#0 = _ L h &ь к2 определяются формулами (2.41), (2.42), существует L J

сильная производная оператора G из леммы 2.4, удовлетворяющая условию Липшица (3.15), где L = L(a) = 0(сг- 1).

Лемма 3.8. В точке до

" * 2 , г д е fci, Аг2 определяются форму­

лами (2.41), (2.42), для оператора G из леммы 2.4 определен оператор Г [до] = [С?'[с/о]]""1 и при этом имеют место оценки

• o k £: 1 = Ьь | | Г о С 9 о | | ^ г ^ — = *2, - Х ) - U ^ - ^ W С ^< 1

- 91 1 - 9 2 где qx = ^(сг) = О ^ -1) , д2 = 92(<^) = 0((Т~1).

Э т и л е м м ы д о к а з ы в а ю т с я по т о й ж е схеме, ч т о и л е м м ы 3.1, 3.2, а д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 1.4 а н а л о г и ч н о д о к а з а т е л ь с т в у т е о р е м ы 1.1.

А в т о р ы б л а г о д а р н ы рецензенту за полезные з а м е ч а н и я и конст­

р у к т и в н у ю критику.

Глобальная сходимость метола Ньютона, 1033 ЛИТЕРАТУРА

1. Lorenzi A. Identification problems for integrodifferential equations / / Ш-posed problems in natural sciences / Ed. A. Tikhonov. Moscow: TVP Sci. Publ., 1992. P. 342-366.

2. Bukhgeim A. L. Inverse problems of memory reconstruction / / J. Inverse Ш-Posed Probl.

1993.§V. 1, N 3. P. 193-205.

3. Grasseli M. An inverse problem in three-dimensional linear thermoviscoelasticity of Boltzmann

*УРе / / Ш-posed problems in natural sciences / Ed. A. Tikhonov. Moscow: TVP Sci. Publ., 1992. P. 284-299.

4. Искендеров А. Д. Некоторые обратные задачи об определении правых частей дифференциальных уравнений / / Изв. АН. Азербайдж. С С Р . Серия физ.-тех. и мат. наук. 1976. № 2(c). С. 58-63.

5. Orlovskii D. G. The Fredholm solvability of inverse problems for abstract differential equa­

tions / / Ш-posed problems in natural sciences / Ed. A. Tikhonov. Moscow: TVP Sci. Publ., 1992. P. 367-374.

6. Prilepko A. J., Kostin А. В., Tikhonov J. V. Inverse problems for evolution equations / / Ш-posed problems in natural sciences / Ed. A. Tikhonov. Moscow: TVP Sci. Publ., 1992.

P. 379-389. .

7. Prilepko A. J., Orlovskii D. G., Vasin J. A. Inverse problems in mathematical physics / / Ш-posed problems in natural sciences / Ed. A. Tikhonov. Moscow: TVP Sci. Publ., 1992.

P. 390-407.

8. Fattorini H. Second order linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam; New York: North-Holland, 1985.

9. Иванов В. К., Мельникова И. В., Филинков А. И. Дифференциально-операторные уравнения и некорректные задачи. М.: Наука, 1995.

10. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вай- никко, П. П. Забрейко и д р . М.: Наука, 1969.

г. Новосибирск Статья поступила 18 сентября 1995 г.