Р. А. Варданян, Л. Б. Овакимян, О коэффициенте захвата неосновных носителей поверхностью полу- проводника, Физика твердого тела, 1983, том 25, выпуск 11, 3341–3346

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Р. А. Варданян, Л. Б. Овакимян, О коэффициенте захвата неосновных носителей поверхностью полу- проводника, Физика твердого тела, 1983, том 25, выпуск 11, 3341–3346

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

5 ноября 2022 г., 22:16:15

1983 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА Том 25, в. 11 1983 SOLID STATE PHYSICS Vol 25, № 11

УДК 621.315.592.3

О КОЭФФИЦИЕНТЕ ЗАХВАТА НЕОСНОВНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ПОЛУПРОВОДНИКА

Р. А. Варданян, Л. Б. Овакимян

Н а основе у р а в н е н и я Ф о к к е р а — П л а н к а рассмотрен каскадный механизм захвата неосновных носителей з а р я ж е н н о й поверхностью гомеополярного полупроводника.

Неупругим к а н а л о м , обеспечивающим передачу энергии неравновесного носителя, служит взаимодействие с акустическими фононами. Получена температурная зави­

симость коэффициента захвата.

Атомарно чистая поверхность гомеополярных кристаллов типа Ge, Si представляется плоскостью ненасыщенных тетраэдрических валентных связей. Перекрытие этих связей может привести к образованию в запрещен­

ной зоне полупроводника глубокой двумерной зоны, сооответствующей так называемым шоклиевским поверхностным состояниям Г¹]. Число состояний в такой зоне на единицу площади равно G/а², где а — постоянная решетки, a G — статистический вес зоны. В легированном полупровод­

нике химическая активность поверхности кристалла приводит к заполнению этих состояний основными носителями и образованию области про­

странственного заряда, экранирующего электростатическое поле заряя^ен- ной поверхности. Такая глубокая двумерная зона должна способство­

вать захвату неравновесных носителей, в особенности неосновных, под­

верженных действию электростатического поля притяжения. Для захвата носителя с переходом в связанное состояние на поверхности необходима неупругая передача ее кинетической энергии в другие степени свободы или третьему телу. В области достаточно высоких температур наиболее эффективна передача энергии в фононную подсистему. Предположение о наличии большого числа возбужденных связанных состояний в при­

поверхностной области, вблизи дна трехмерной объемной зоны (проводи­

мости или валентной), делает возможным каскадный фононный механизм Лэкса [²] , обеспечивающий большие сечения захвата.

В настоящей работе мы для определенности рассмотрим захват дырок в электронном полупроводнике. При этом мы будем следовать работам [³] , уточнившим результат Лэкса.

1. Э л е к т р о с т а т и ч е с к и й п о т е н ц и а л

Пусть кристалл занимает полупространство z ^> 0. Отвлекаясь от кол­

лективных эффектов, обусловленных взаимодействием электронов в дву­

мерной поверхностной зоне, и считая примеси распределенными по кри­

сталлу равномерно, для описания области пространственного заряда вос­

пользуемся одномерным уравнением Пуассона

3 ~ - Ь - т

где

р = е ( р —rc + wj — п^а)

— плотность заряда, задаваемая концентрациями электронов п, дырок р и ионизированных доноров nd и акцепторов п~, а х — диэлектрическая по­

стоянная. Поверхностный заряд можно учесть заданием 8-функционной плотности

р, (2) или скачка на границе раздела вакуум—полупроводник

dip

dz ;4ъеп8%

^здесь принято во внимание ^ — о). Численное решение (1) с учетом граничных условий

?( .^{t o}) =^?' ( c o ) = 0 (3) в области достаточно высоких температур, когда примеси полностью иони­

зированы, было полученр в работе [⁴]. В случае электронного полупровод­

ника n^d^>n^a, ограничиваясь областью температур Т, когда концентрацией дырок можно пренебречь, n+ — ndi для концентрации электронов имеем

м = ^ е х р {eyjkT), (4)

где n^d— полная концентрация доноров. Несмотря на эти существенные упрощения, получить точное решение нелинейного уравнения (1) не удается.

При нахождении приближенного аналитического решения возникает необ­

ходимость сшивки решений, соответствующих близким (| eyjkT | ;> 1) и да­

леким (|бср/А:Г|<^1) расстояниям, в некоторой точке я0, в которой

кТ = 1; (5)

при этом для электростатического потенциала получаем

2 — Z Q -

«р (г) = —кТ < 1 exp [ - (z.

h ^{О < 2 < Z0,} z > z^Q где

/ гкТ

-деоаевская длина экранирования, а

z⁰ = L _lnslnd*

(6)

(7)

(8) Из полученного решения видно, что имеет место смешанный механизм экранирования отрицательного заряда поверхности — дебаевское экра­

нирование зонными электронами, а также положительным зарядом иони­

зированной примеси. Приповерхностная область 0 <; z < z⁰, в которой электростатический потенциал больше тепловой энергии, лишена свобод­

ных носителей. Наличие такого обедненного слоя следует также из усло­

вия положительности z0»

2. К и н е т и к а з а х в а т а

Для захвата носителя из зоны необходима передача энергии, обеспечи­

вающая переход в связанное состояние, из которого обратный тепловой выброс в непрерывный спектр маловероятен. В рассматриваемом нами случае достаточно, чтобы дырка оказалась в области пространственного заряда z <С*.Ч-> ^в которой электростатическое притяжение превосходит тепловую энергию. В качестве механизма передачи энергии мы рассмотрим взаимодействие дырок с акустическими фононами как наиболее эффектив-

ное в гомеополярных кристаллах. Согласно законам сохранения энергии и импульса, доля энергии, теряемой в каждом акте столкновения Д е / е =

= 4 (ms²/2e)V2, ^Гд е е~р²12т — кинетическая энергия дырки, т — эф­

фективная масса, a s — скорость звука в кристалле. В области достаточно высоких температур столкновения носят квазиупругий характер Де <^ кТ и для захвата необходим каскад столкновений. Предполагая уровни энер­

гии в потенциале еср (z) распределенными непрерывно, для описания про­

цесса захвата, следуя [³] , мы воспользуемся классическим кинетическим уравнением для функции распределения / (г, р, t).

Если импульсная длина релаксации на фононах

ZP = тпЩкТ (9)

наименьшая из характерных длин, то функция распределения, изотропи- зуясь, зависит не от импульса, а от кинетической энергии и удовлетворяет уравнению вида [⁵]

df w dv df Ъ д Г / df М

где b=2ms²/kT <^ 1 — параметр квазиупругости рассеяния, v (e) = ( 2 s / m )^l4^p частота столкновений дырок с фононами, а

— плотность состояний в интервале энергий s, e-j-de. Здесь Ее — константа деформационного потенциала, р — плотность, а V — объем кристалла.

Ввиду того что равновесие по энергии устанавливается медленнее, чем по импульсам, полная энергия, в меру квазиупругости рассеяния оказы­

вается интегралом движения. Из равенства нулю суммы второго и третьего слагаемых в левой части кинетического уравнения, представляющей собой скобку' Пуассона, следует, что функция распределения зависит от вре­

мени t и полной энергии

£ = е + *р(г). (12) Усреднение кинетического уравнения в фазовом пространстве {г, р}

по гиперповерхности постоянной энергии Е приводит к уравнению Фок- кера—Планка в энергетическом пространстве

р (

) = 1 г = ж [

^ (

+

ж ) ] . (

)

где

9{Е)= \ р ( е ) о

В(Е) = Ь J e p ( e ) v ( * ) - ^ . о

Здесь L^z — длина кристалла, a z^m&1 (Е) — точка поворота, соответствую­

щая финитному движению с полной энергией

£ = вр(*хпах). (^{1 4})

Условие стационарности функции распределения приводит к диф­

ференциальному уравнению

J = B{E)[f{E)+kT.^J^]9 (15)

3343

определяющему постоянный диффузионный поток захватываемых частиц в области отрицательных энергий. В этом выражении первое слагаемое соответствует потоку, направленному вниз по энергии, а второе — вверх.

Граничными условиями этого уравнения являются

l i m / ( £ ) = = = /^Б( £ = = 0 ) , l i m / ( £ ) = 0, (16)

где Е0 — энергия основного состояния в поле еср (z). Первое из них соот­

ветствует сшивке искомого решения с больцмановской функцией дырок в валентной зоне, поскольку наличие малого потока захватываемых частиц вблизи дна зоны практически не искажает равновесной функции распреде­

ления. Второе граничное условие означает полное поглощение захваты­

ваемой частицы на уровне Е⁰.

Ранее уравнение (15) рассматривалось в работе [6] в связи с исследо­

ванием рекомбинации электронов в слабоионизованной плазме. Анало­

гичное уравнение с такими же граничными условиями встречается и в ки­

нетике образования критического зародыша в метастабильной фазе [⁷] . Решением (15) является

(2nh)* р Г ° 2 [2%ткТ)^и

Г еху(фТ) dsl ¹

J В ^{( Б )} кТ * I¹' )

При вычислении интеграла в (17) будем считать | Е0 \ ^> кТ (L :> Ь0), так как при нарушении этого условия, как видно из (6), уровень Е0 ~~> еу (0) оказывается недостаточно глубоким и слабозаряженная поверхность с плот­

ностью заряда

ns<ndlJD (18)

перестает действовать как эффективная ловушка. Такая специфическая ситуация в отличие от случая точечных центров [³] возникает ввиду конечности значения потенциала в начале координат. Поскольку ин­

теграл в (17) сходится на значениях е ^ —• кТ, то в пределе | Е0 \ ^> кТ нижний предел интегрирования можно заменить на — с о . Вычисление коэф­

фициента В (Е) с учетом ( z⁰ + 1^Л in

<'<

Ч / г I

zo + lj, \п\кТ/Е\, 0 < | Е\ < кТ, 2\EjkT\-\ — l ) , \Е\>кТ

в пренебрежении малыми членами порядка (E/kT)(l^D/L) дает

В (Е) « В Н И " ) = т

Д

щади поверхности т = / / р ф > получаем 1 m*E* ( L \ 4

' Lj Юл р/г*

где р — концентрация, a <v>=(8kT/nm)^ll* — средняя скорость дырок.

Из формулы (20) видно, что понижение температуры приводит к увеличе­

нию коэффициента захвата

т

как за счет увеличения плотности заряда поверхности, так и уменьшения дебаевской длины экранирования.

3 . З а к л ю ч и т е л ь н ы е з а м е ч а н и я

Остановимся вкратце на физических допущениях, ограничивающих область применимости полученных результатов. При нахождении электро­

статического потенциала на границе раздела вакуум—полупроводник нами не учитывался потенциал сил зеркального изображения

е2 1 — ос

приводящий к дополнительному притяжению дырки к поверхности. Од­

нако величина этой поправки, существенной на малых расстояниях, в ин­

тересующей нас области температур и расстояний от поверхности z ^ L, определяющих коэффициент захвата, оказывается пренебрежимо малой.

Предположение о квазинепрерывном распределении дискретных уров­

ней в поле притяжения, обеспечивающее классическое рассмотрение процесса, требует выполнения условия

ъН (кТ \ 7² / L \

А ^ = 17 \ ~ ) ^ < {*™ЧТ)% (21)

означающего малость интервала (полученного в квазиклассическом при­

ближении) между тг-м и соседним дискретными энергетическими уровнями по сравнению с долей энергии, теряемой в каждом неупругом акте частых (lp h) столкновений.

Малость потока, направленного вниз по энергиям, вблизи дна зоны по сравнению с тепловым потоком носителей на поверхность

Я ( 0 ) / ( 0 ) < ^ <^У> (22)

приводит к условию у << 1. Нарушение последнего условия физически оз­

начает, что дальнейшее увеличение потока захвата лимитируется диф­

фузионной доставкой неравновесных носителей из объема на поверхность [⁸].

Совместное рассмотрение цепочки неравенств

с (21), (22) приводит к ограничению температурной области применимости выражения для коэффициента захвата (20).

Экспериментальное измерение зависимости у (Т) позволит определить поведение n^s (Т⁷), представляющего собой фундаментальный параметр, характеризующий влияние поверхностных состояний на электронные свойства полупроводников. Полагая m — 10~^{2 8} г, х — 10, п^а ~ 1 0^{1 4} см"³ и E^v ~ 1 0 эВ, легко убедиться, что полученные результаты верны для температур 50 К < Т < Г^{к р}, где критической температуре {L=l^D) соот­

ветствует плотность заряда

пв (^Гк р ) = ^Л^ 2 ) .

При температурах Т > Г^{к р} поверхность перестает действовать как ло­

вушка. Заметим, что экспериментальные наблюдения следует проводить на образцах с малым содержанием глубоких точечных центров захвата и малых размеров. Грубая оценка роли поверхности в процессах захвата в предположении однородной генерации избыточных неравновесных но­

сителей может быть получена путем сравнения объемного и поверхностного потоков захвата в кристалле.

Авторы признательны В. А. Гражулису, В. Я. Кравченко и В. И, Пе- релю за обсуждение полученных результатов.

Л и т е р а т у р а

[1] W . S h о k 1 е у . P h y s . R e v . , 56, 3 1 7 , 1 9 3 9 ; С. Д э в и с о н , Д ж . Л е в и н . Поверх­

ностные (таммовские) состояния. М., М и р , 1973.

12] М . L a x . P h y s . R e v . , 119, 1502, 1960.

[3] В . Н . А б а к у м о в, И . Н . Я с с и е в ж ч. Ж Э Т Ф , 71, 657, 1976; В . Н . А б а к у- м о в, В . И. П е р е л ь, И. Н . Я с с и е в и ч . Ф Т П , 12, 3, 1978.

[4] G. G a r r e t t , W . B r a t t a i n . P h y s . R e v . , 99, 376, 1955.

[5] Ф. Г. Б а с с, Ю. Г. Г у р е в и ч. Горячие электроны и сильные электромагнитные волны в плазме полупроводников и газового разряда-. М., Н а у к а , 1975.

[6] Л . П . П и т а е в с к и й . Ж Э Т Ф , 42, 1326, 1962.

[7] Е . М. Л и ф ш и ц, Л . П. П и т а е в с к и й . Ф и з и ч е с к а я к и н е т и к а . М., Н а у к а , 1979.

[8] Электронные я в л е н и я на поверхности полупроводников (под ред. В . И. Ляшенко).

Киев, Н а у к о в а думка, 1968.

Институт физики твердого тела А Н СССР Поступило в Редакцию Черноголовка 15 и ю н я 1983 г.

Московская область Ногинский район