Ю. В. Василевский, К. Н. Липников, Адаптивный алгоритм построения ква- зиоптимальных сеток, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, но- мер 9, 1532–1551

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. В. Василевский, К. Н. Липников, Адаптивный алгоритм построения ква- зиоптимальных сеток, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1999, том 39, но- мер 9, 1532–1551

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

3 ноября 2022 г., 22:26:20

(2)

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 1999, том 39, № о,^с. 1532-1551

УДК 519.63

АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИОПТИМАЛЬНЫХ СЕТОК

^{1 }}

© 1999 г. Ю. В. Василевский, К. Н. Литников

(117333 Москва, ул. Губкина, 8, ИВМ РАН) Поступила в редакцию 15.01.98 г.

Рассмотрен метод адаптивного построения сеток с заданным числом ячеек на основе и н ф о р мации о приближенном решении некоторой краевой задачи. Метод является весьма привле

к а т е л ь н ы м в инженерных приложениях. Представлены анализ метода и численные экспери

менты.

1. В В Е Д Е Н И Е

П о с т р о е н и е с е т о к , а д а п т и р о в а н н ы х к и с к о м о м у р е ш е н и ю , п р и в л е к а е т в н и м а н и е и н ж е н е р о в и в ы ч и с л и т е л е й в т е ч е н и е м н о г и х л е т . М и н и м и з а ц и я ч и с л а у з л о в в с е т к е , а с л е д о в а т е л ь н о , и ч и с л а н е и з в е с т н ы х в д и с к р е т н ы х а н а л о г а х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й , п р и с о х р а н е н и и т о ч н о с т и а п п р о к с и м а ц и и , п о з в о л я е т р е ш а т ь б о л ь ш и е п р и к л а д н ы е з а д а ч и . Б о л ь ш о е з н а ч е н и е п р и д а е т с я к а к м е т о д а м п о с т р о е н и я а д а п т и в н ы х с е т о к , т а к и м а т е м а т и ч е с к о м у о б о с н о в а н и ю и х о п т и м а л ь н ы х с в о й с т в . К о м п л е к с н о с т ь п р о б л е м ы ( м и н и м и з а ц и я ч и с л а н е и з в е с т н ы х , а р и ф м е т и ч е с к и х з а т р а т н а р е ш е н и е в о з н и к а ю щ и х д и с к р е т н ы х з а д а ч , т р у д о в ы е з а т р а т ы , с в я з а н н ы е с в н е д р е н и е м р а з р а б о т а н н ы х м е т о д о в ) п о р о ж д а е т о п р е д е л е н н ы е т р у д н о с т и в о р г а н и з а ц и и в ы ч и с л и т е л ь н о й п р а к т и к и . О д н и м и з с п о с о б о в р е ш е н и я п р о б л е м ы я в л я е т с я в ы д е л е н и е к л а с с а з а д а ч , к л а с с а р е ш е н и й , м е т о д о в а п п р о к с и м а ц и и , к л а с с а с е т о к , я в л я ю щ и х с я " о п т и м а л ь н ы м и " д л я д а н н о г о к л а с с а р е ш е н и й , и м н о ж е с т в а м е т о д о в р е ш е н и я в о з н и к а ю щ и х а л г е б р а и ч е с к и х з а д а ч . Я р к и м п р и м е р о м т а к о г о п о д х о д а я в л я е т с я к н и г а [1], г д е р а с с м о т р е н ы м н о г и е в а ж н ы е п р о б л е м ы в ы ч и с л и т е л ь н о й ф и з и к и в с о в о к у п н о с т и с м е т о д а м и их р е ш е н и я и а п п р о к с и м а ц и и н а б а з е к в а з и р а в н о м е р н ы х с е т о к .

Б о л е е ш и р о к и м к л а с с о м с е т о к я в л я ю т с я р е г у л я р н ы е с е т к и [2], в к о т о р ы х п л о щ а д ь я ч е й к и с е т к и п р о п о р ц и о н а л ь н а с т е п е н и d е е д и а м е т р а , г д е d - р а з м е р н о с т ь п р о с т р а н с т в а . В з а д а ч а х с и з о т р о п н ы м и о с о б е н н о с т я м и р е ш е н и я т а к и е с е т к и м о ж н о с ч и т а т ь о п т и м а л ь н ы м и [ 2 ] - [ 4 ] . А л г о р и т м ы п о с т р о е н и я а д а п т и в н ы х р е г у л я р н ы х с е т о к о с н о в а н ы л и б о н а з а д а н и и ф у н к ц и и h(x), у п р а в л я ю щ е й л о к а л ь н ы м р а з м е р о м с е т к и , и п р и м е н е н и и к а к о г о - н и б у д ь г е н е р а т о р а с е т к и [5], и с п о л ь з у ю щ е г о h(x) в к а ч е с т в е в х о д н о г о п а р а м е т р а , л и б о н а п о с л е д о в а т е л ь н о м м о д и ф и ц и р о в а н и и у ж е и м е ю щ е й с я с е т к и п у т е м и з м е л ь ч е н и я в ы б р а н н ы х я ч е е к [6]. С у щ е с т в у е т н е с к о л ь к о о б о с н о в а н н ы х с п о с о б о в [6] в ы б о р а я ч е е к с е т к и д л я и х п о с л е д у ю щ е г о и з м е л ь ч е н и я , и в с е о н и о с н о в а н ы н а а п о с т е р и о р н о й о ц е н к е о ш и б к и д и с к р е т н о г о р е ш е н и я , к о т о р а я и с п о л ь з у е т л о к а л ь н у ю и н ф о р м а ц и ю о д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й з а д а ч е .

К л а с с а н и з о т р о п н ы х с е т о к з н а ч и т е л ь н о ш и р е к л а с с а р е г у л я р н ы х с е т о к , п о э т о м у и к р у г з а д а ч , к о т о р ы е м о ж н о о п т и м а л ь н о а п п р о к с и м и р о в а т ь , з н а ч и т е л ь н о ш и р е . Ш и р о к о е и с п о л ь з о в а н и е а н и з о т р о п н ы х с е т о к с д е р ж и в а л о с ь д о н е д а в н е г о в р е м е н и д в у м я о б с т о я т е л ь с т в а м и . В о - п е р в ы х , е с л и р а с с м а т р и в а т ь к л а с с н е с т р у к т у р и р о в а н н ы х т р и а н г у л я ц и и д л я к о н е ч н о - э л е м е н т н ы х а п п р о к с и м а ц и й э л л и п т и ч е с к и х з а д а ч [2], т о н а л и ч и е у т р е у г о л ь н и к о в т у п ы х у г л о в , б л и з к и х к л, з н а ч и т е л ь н о у х у д ш а е т а п п р о к с и м а ц и ю р е ш е н и й с и з о т р о п н ы м и с в о й с т в а м и [7]. В о - в т о р ы х , н е с у щ е с т в о в а л о н а д е ж н ы х м е т о д о в п о с т р о е н и я а д а п т и в н ы х с и л ь н о а н и з о т р о п н ы х с е т о к . О д н а к о , к а к с л е д у е т и з [ 8 ] - [ 1 1 ] , т у п о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и , в ы т я н у т ы е в д о л ь н а п р а в л е н и я м и н и м а л ь н о г о а б с о л ю т н о г о з н а ч е н и я в т о р о й п р о и з в о д н о й р е ш е н и я , н е т о л ь к о х о р о ш о а п п р о к с и м и р у ю т р е ш е н и е , н о и м о г у т б ы т ь н а и л у ч ш и м и с р е д и в с е х т р е у г о л ь н и к о в ф и к с и р о в а н н о й п л о щ а д и . К р о м е т о г о , в п о с л е д н и е г о д ы б ы л п р е д л о ж е н ц е л ы й р я д н а д е ж н ы х а л г о р и т м о в п о с т р о е н и я а н и з о т р о п н ы х с е т о к [12]—[17]. О с н о в н а я и д е я а л г о р и т м о в з а к л ю ч а е т с я в т о м , ч т о б ы п о с т р о и т ь к в а з и р а в -

^ Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (коды проектов 97-0Ь00667, 98-01-00107).

(3)

А Д А П Т И В Н Ы Й А Л Г О Р И Т М П О С Т Р О Е Н И Я 1533

- н е к о т о р а я п о с т о я н н а я

\ f \ 2 . П у с т ь Л - н е к о т о р ы й т р е у г о л ь н и к , G = ^^п ^^{1 2}

\^ч V #12 §22 )

м е т р и к а , з а д а н н а я н а Д , и А * > 0. И о д к а ч е с т в о м Д п о о т н о ш е н и ю к А* в м е т р и к е G м ы п о н и м а е м ' ' Г

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 9 1999 I

I

н о м е р н у ю с е т к у в п р о с т р а н с т в е с м е т р и к о й , п о р о ж д е н н о й г е с с и а н о м р е ш е н и я д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й з а д а ч и . П о с к о л ь к у т о ч н о е р е ш е н и е и е г о г е с с и а н н е и з в е с т н ы , т о и х з а м е н я ю т д и с к р е т н ы м и а н а л о г а м и . Т а к и м о б р а з о м , в к а ч е с т в е в х о д н ы х д а н н ы х г е н е р а т о р а д а п т и в н о й с е т к и и с п о л ь з у е т т о л ь к о н е к о т о р у ю а п п р о к с и м а ц и ю т о ч н о г о р е ш е н и я и с е т к у , н а к о т о р о й э т а а п п р о к с и м а ц и я б ы л а о с у щ е с т в л е н а . Н а д е ж н о с т ь г е н е р а т о р а о б у с л о в л е н а т е х н и к о й п о с т р о е н и я а д а п т и в н о й с е т к и , к о т о р а я п о л у ч а е т с я п у т е м п о с л е д о в а т е л ь н о г о л о к а л ь н о г о м о д и ф и ц и р о в а н и я т е к у щ е й с е т к и т а к и м о б р а з о м , ч т о б ы к а ж д а я с л е д у ю щ а я м о д и ф и к а ц и я с т а н о в и л а с ь б о л е е к в а з и р а в н о м е р н о й в з а д а н н о й м е т р и к е . По с у т и д е л а , г е н е р а т о р п р е д с т а в л я е т с о б о й " ч е р н ы й я щ и к " , н а в х о д к о т о р о г о п о д а е т с я , н е к о т о р а я с е т к а и а с с о ц и и р о в а н н о е с н е й д и с к р е т н о е р е ш е н и е , а н а в ы х о д е п о л у ч а е т с я н о $ а я с е т к а , б о л е е а д а п т и р о в а н н а я к т о ч н о м у р е ш е н и ю . В а ж н ы м м о м е н т о м я в л я е т с я т о , ч т о г е н е р а т о р м о ж е т п р о и з в о д и т ь с е т к у с з а д а н н ы м ч и с л о м э л е м е н т о в , о п т и м а л ь н о р а с п р е д е л и в и х п о р а с ч е т н о й о б л а с т и . Ц е н н о с т ь т а к о г о п о д х о д а в и н ж е н е р н ы х в ы ч и с л е н и я х т р у д н о п е р е о ц е н и т ь : м и н и м а л ь н ы е т р у д о в ы е и и н т е л л е к т у а л ь н ы е з а т р а т ы п р и в н е д р е н и и , о п т и м и з а ц и я д л я н а и б о л е е ш и р о к о г о к л а с с а з а д а ч , о п т и м а л ь н о е и с п о л ь з о в а н и е в ы ч и с л и т е л ь н ы х м о щ н о с т е й д а ж е в с л у ч а е н е э ф ф е к т и в н ы х в ы ч и с л и т е л ь н ы х м е т о д о в ( н а п р и м е р , м е т о д и с к л ю ч е н и я Г а у с с а ) . |1

j

В н а с т о я щ е й р а б о т е п р е д л а г а е т с я с х е м а , в р а м к а х к о т о р о й в о з м о ж е н а н а л и з у к а з а н н о г о в ы ш е а д а п т и в н о г о а л г о р и т м а , п р и в о д и т с я е г о а н а л и з и и л л ю с т р и р у е т с я м е т о д д в у м я ч и с л е н н ы м и п р и м е р а м и . А н а л и з о с у щ е с т в л е н н а о с н о в е т о ч н о г о л о к а л ь н о г о и с с л е д о в а н и я и н т е р п о л я ц и о н н о й о ш и б к и , п р о в е д е н н о г о в [8],j [10], и е м к о г о п о н я т и я к а ч е с т в а с е т к и , в в е д е н н о г о в [ 1 2 ] . В к а ч е с т в е б а з о в о г о а л г о р и т м а и с п о л ь з о в а л с я м е т о д и з [12]. В р а з д . 2 н а с т о я щ е й с т а т ь и в в о д я т с я о с н о в н ы е п о н я т и я , в р а з д . 3 п р е д с т а в л е н а д а п т и в н ы й а л г о р и т м , в р а з д . 4 п р о в о д и т с я а н а л и з м е т о д а , в р а з д . 5 д а ю т с я н е к о т о р ы е обогащения и з а м е ч а н и я и, н а к о н е ц , в р а з д . 6 п р и в о д я т с я р е з у л ь т а т ы ч и с л е н н ы х э к с п е р и м е н т о в . j

ij

2. О П Т И М А Л Ь Н А Я И К В А З И О П Т И М А Л Ь Н А Я Т Р И А Н Г У Л Я Ц И И^ч

П у с т ь О - д в у м е р н а я п о л и г о н а л ь н а я о б л а с т ь , £1^Н - к о н ф о р м н а я т р и а н г у л я ц и я £2, в к о т о р о й л ю б ы е д в а т р е у г о л ь н и к а имеютц о б щ е е р е б р о , и л и в е р ш и н у * и л и н е и м е ю т т о ч е к п е р е с е ч е н и я . П у с т ь V r - м н о ж е с т в о в с е х в е р щ и н , Тг - м н о ж е с т в о в с е х т р е у г о л ь н и к о в , #Тг - ч и с л о э л е м е н т о в в Тг. О п р е д е л и м п р о с т р а н с т в о WfQf¹). к а к м н о ж е с т в о н е п р е р ы в н ы х н а й и л и н е й н ы х н а к а ж д о м т р е у г о л ь н и к е Л е Тг ф у н к ц и й .

П у с т ь и G C ( Q ) - р е ш е н и е н е к о т о р о й и с х о д н о й к р а е в о й з а д а ч и , P^hu е W(Cl^h) - р е ш е н и е к о н е ч н о м е р н о й з а д а ч и , а п п р о к с и м и р у ю щ е й и с х о д н у ю н а £l^h.

Оппределешме 1. Триангуляции!) Q \ с о с т о я щ у ю и з N^T т р е у г о л ь н и к о в , н а з о в е м о п т и м а л ь н о й ( п о о т н о ш е н и ю к з а д а н н о м у т и п у а п п р о к с и м а ц и и ) д л я п р и б л и ж е н и я р е ш е н и я и а п п р о к с и м и р у ю щ е й ф у н к ц и е й P V е с л и ||

il

о!) - arg m i n \\u-Phu\\^Lx(Q). (2.1)

|j CIH':WTT = NT

П о с к о л ь к у

IIи

- P^ l z u u ) =

male IIw -

^P^H^U\\L^{( Д)} , т о д л я о п т и м а л ь н о й с е т к и Cl^h в е р н о

Д е Тг ~ - г

Gl^h\ = arg m i n тах\\и-P^h

u\\

^L

(А).

!Г Qh:#Tr = NT A G Тг

Д а н н о е о п р е д е л е н и е о п т и м а л ь н е й с е т к и х о т я и я в л я е т с я е с т е с т в е н н ы м , н о н е п р е д с т а в л я е т с я к о н с т р у к т и в н ы м . П о э т о м у м ы в в е д е м п о н я т и е к в а з и о п т и м а л ь н о й с е т к и , о с н о в ы в а я с ь н а к о н ц е п ц и и к а ч е с т в а т р и а н г у л я ц и и [ 1 2 ] . j

(4)

1534 В А С И Л Е В С К И Й , Л И П Н И К О В

число

\дА\с

V ЗА

2 - m i n i х, - |

З д е с ь | Д |^с и |ЭД|^С - п л о щ а д ь и п е р и м е т р т р е у г о л ь н и к а Д, и з м е р е н н ы е в м е т р и к е G.

М о ж н о п о к а з а т ь , ч т о 0 < Q^GJl*(A) < 1; Q^Gth*(A) = 1 т о г д а и т о л ь к о т о г д а , к о г д а в м е т р и к е G т р е у г о л ь н и к Д е с т ь р а в н о с т о р о н н и й т р е у г о л ь н и к с д л и н о й с т о р о н ы А*. П е р в ы й м н о ж и т е л ь Q^{G Л}. ( Д ) к о н т р о л и р у е т ф о р м у т р е у г о л ь н и к а , в т о р о й - р а з м е р . В и д ф у н к ц и и F(x), в о о б щ е г о в о р я , м о ж е т б ы т ь и з м е н е н ; п р е д л а г а е м а я ф у н к ц и я F(x) у д о б н а в п р и л о ж е н и я х . П л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а и д л и н ы е г о с т о р о н l^h i = 1, 2, 3 , в м е т р и к е G в ы р а ж а ю т с я ч е р е з с о о т в е т с т в у ю щ и е в е л и ч и н ы в е в к л и д о в о м п р о с т р а н с т в е :

" |А1о = lAli(detG)¹'²,- =

Определение

3. К а ч е с т в о т р и а н г у л я ц и и

Q,

^h

,

с о с т о я щ е й и з

N

^T т р е у г о л ь н и к о в , в м е т р и к е

G(x)

е с т ь н а и х у д ш е е к а ч е с т в о т р е у г о л ь н и к о в , с о с т а в л я ю щ и х £l^h:

Q^G,^NT(£l^h) = T m m G^G« ( A ) , G^A = G ( a r g m a x d e t G ( x ) ) , A* = ffi?. •

Т а к и м о б р а з о м , д л я о п р е д е л е н и я к а ч е с т в а т р и а н г у л я ц и и , с о д е р ж а щ е й N^T т р е у г о л ь н и к о в , н е о б х о д и м о н а й т и т р е у г о л ь н и к , н а и б о л е е с и л ь н о о т л и ч а ю щ и й с я в м е т р и к е G о т р а в н о с т о р о н н е г о т р е у г о л ь н и к а с п л о щ а д ь ю \£l\^G/N^T.

П у с т ь и Е и г е с с и а н Я = {H^ps}^{p s} =^{{ 2} ф у н к ц и и и н е в ы р о ж д е н , т . е . det#(jc) ^ 0 . В с и л у

' X

0 Я = Я*, в к а ж д о й т о ч к е Q в о з м о ж н о с п е к т р а л ь н о е р а з л о ж е н и е Я = Q

V 0 A ;

2 и в в е д е н и е м е т

р и к и | Я | = Q¹ IM о G- о | Л | у

Определение 4.

П у с т ь G - н е к о т о р а я м е т р и к а . Т р и а н г у л я ц и ю

Q

^h

,

с о с т о я щ у ю и з

N

^T т р е у г о л ь н и к о в , н а з о в е м G - к в а з и о п т и м а л ь н о й , е с л и с у щ е с т в у е т т а к а я к о н с т а н т а q⁰ > 0, ч т о Q^G^N^t (Q^h) > q⁰. Т р и а н г у л я ц и ю £ Д с о с т о я щ у ю и з N^T т р е у г о л ь н и к о в , н а з о в е м к в а з и о п т и м а л ь н о й ( п о о т н о ш е н и ю к и), е с л и с у щ е с т в у е т т а к а я к о н с т а н т а Go > 0, ч т о G|#|,^Nj, (£l^h) > Go-

К в а з и о п т и м а л ь н ы е т р и а н г у л я ц и и , с о с т о я щ и е и з N^T т р е у г о л ь н и к о в , о б р а з у ю т н е к о т о р о е м н о ж е с т в о , р а с ш и р я ю щ е е с я п р и у м е н ь ш е н и и к о н с т а н т ы Go- Я с н о , ч т о е с л и у д а е т с я п о с т р о и т ь к в а з и о п т и м а л ь н у ю с е т к у , т о о н а , в о о б щ е г о в о р я , н е я в л я е т с я е д и н с т в е н н о й . С у щ е с т в о в а н и е к в а з и о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и с Go = 1 Д^{л я} з а д а н н ы х и, N^T, в о о б щ е г о в о р я , н е г а р а н т и р о в а н о [8]: в о - п е р в ы х , г р а н и ц ы о б л а с т и Q н а к л а д ы в а ю т , ж е с т к и е о г р а н и ч е н и я н а р а с п о л о ж е н и е с т о р о н п р и г р а н и ч н ы х т р е у г о л ь н и к о в в Q \ т е м с а м ы м , в о з м о ж н о , у х у д ш а я к а ч е с т в о э т и х т р е у г о л ь н и к о в ; в о - в т о р ы х , з а д а ч а п о к р ы т и я п л о с к о с т и т р е у г о л ь н и к а м и о п р е д е л е н н о й ф о р м ы , з а в и с я щ е й о т м е с т о п о л о ж е н и я к а ж д о г о т р е у г о л ь н и к а , м о ж е т н е и м е т ь р е ш е н и я . П р и у м е н ь ш е н и и Go ° б а п р е п я т с т в и я с у щ е с т в о в а н и ю к в а з и о п т и м а л ь н ы х с е т о к с н и м а ю т с я б л а г о д а р я б о л ь ш е й с в о б о д е в в ы б о р е т р е у г о л ь н и к о в п р и п о к р ы т и и Q . Т е м н е м е н е е , к в а з и о п т и м а л ь н а я т р и а н г у л я ц и я Q^h с ч и с л о м т р е у г о л ь н и к о в N^T о б л а д а е т ( п о к р а й н е й м е р е , в н е к о т о р ы х с л у ч а я х ) с л е д у ю щ и м п о л е з н ы м с в о й с т в о м :

||м - P^h

u\

^L < C(Go)^h m i n - P^h

u\\

^{L tf} , (2.2)

Cl : #Tr = NT

г д е к о н с т а н т а C(Go) з а в и с и т т о л ь к о о т Go-

Т а к и м о б р а з о м , п о с т р о и в к в а з и о п т и м а л ь н у ю т р и а н г у л я ц и ю , м ы п р и б л и ж е н н о р е ш а е м о п т и м и з а ц и о н н у ю п р о б л е м у (2.1).

(5)

АДАПТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ 1535

• ii

3. АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ КВАЗИОПТИМАЛЬНОЙ ТРИАНГУЛЯЦИИ

i¹ h г\

П у с т ь и - р е ш е н и е и с х о д н о й к р а е в о й з а д а ч и в о б л а с т и Q , £1^к - н е к о т о р а я т р и а н г у л я ц и я Q , с о с т о я щ а я и з N^T т р е у г о л ь н и к о в ( # f т^к = N^T), P^hkue W ( Q * ) - р е ш е н и е д и с к р е т н о й з а д а ч и , а п п р о к с и м и р у ю щ е й и с х о д н у ю н а Q^hk, Н^к j - д и с к р е т н ы й г е с с и а н P^hku (см. [ 1 2 ] , [14]), о п р е д е л я е м ы й ч е р е з з н а ч е н и я в у з л а х а⁽ е V r^b а^{ <£ dQ:

Hk=\{HktPS}p,s = h 2, HLpse W(Qhk). (3.1)

JHbpMvtdx

= - J - ^ ^ x ,

^{V v}^f^{e . Щ о}⁽^{) ,} v^t = 0 н а dcⁱ⁹ p,s = 1 , 2 , (3.2) г д е с у п е р э л е м е н т о / - м н о ж е с т в о т р е у г о л ь н и к о в е Тг^к т а к и х , ч т о a^t е A^tj. В г р а н и ч н ы х у з л а х

Н^к о п р е д е л я е т с я э к с т р а п о л я ц и е й з н а ч е н и й Н^к в с о с е д н и х в н у т р е н н и х у з л а х [14].

П р е д п о л о ж и м , ч т о д л я л ю б о й з а д а н н о й н е п р е р ы в н о й м е т р и к и G(x), х е £2, м ы м о ж е м п о с т р о и т ь G - к в а з и о п т и м а л ь н у ю т р и а н г у л я ц и ю Cl^hG, с о с т о я щ у ю и з N^T т р е у г о л ь н и к о в :

|| •

| . ' Q^G,^NT(n^hG)>q⁰.

I ' -

Д а л е е , п р е д п о л о ж и м , ч т о н а м д а н а н е к о т о р а я н а ч а л ь н а я т р и а н г у л я ц и я Q Q , с о с т о я щ а я и з N^T т р е у г о л ь н и к о в , т а к а я , ч т о ф у н к ц и я Р^н0 и " д о с т а т о ч н о б л и з к а " к и. А л г о р и т м н а х о ж д е н и я к в а з и о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и , состоящей и з ^ т р е у г о л ь н и к о в , в ы г л я д и т с л е д у ю щ и м о б р а з о м [12].

I - . •

| Алгоритм 1 I

П о с т р о и т ь O Q : # T r⁰ = NT. Установить к-0. В ы п о л н и т ь с л е д у ю щ е е . М а г 1 . Н а й т и а п п р о к с и м а ц и и P^hk и, а с с о ц и и р о в а н н у ю с Q^hk.

jl '^h

Шж 2 . Н а й т и д и с к р е т н ы й г е с с и а н Н^к, а с с о ц и и р о в а н н ы й с Р^к и.

Шж 3. П о с т р о и т ь⁺ , : QmN'T(nhk + i) > q0,. #Trk+l = NT. Ш а г 4.ifc:=]fc+ 1; I

h i ' '

Ш а г 5 . Е с л и Q\Hk\,NT№k) - Qo Ц к - Апах» п е р е й т и к ш а г у 1.

I' . - ' - Р е а л и з а ц и я а л г о р и т м а п о д р а з у м е в а е т в ы п о л н е н и е ч е т ы р е х н е з а в и с и м ы х о п е р а ц и й .

1. Ш а г и н и ц и а л и з а ц и и - п о с т р о е н и е QQ , З д е с ь м ы н е р а с с м а т р и в а е м м е т о д о в п о с т р о е н и я QQ , п р е д п о л а г а я , ч т о п о л ь з о в а т е л ь а л г о р и т м а с п о с о б е н п о с т р о и т ь н а ч а л ь н у ю д и с к р е т и з а ц и ю р а с ч е т н о й о б л а с т и . i!

2. Н а х о ж д е н и е р е ш е н и я Р^к к о н е ч н о м е р н о й з а д а ч и , а п п р о к с и м и р у ю щ е й и с х о д н у ю н а с е т к е

h

Q^K. В ы п о л н е н и е э т о г о ш а г а - ц е л и к о м п р е р о г а т и в а п о л ь з о в а т е л я . ii

3. Н а х о ж д е н и е д и с к р е т н о г о а н р о г а г е с с и а н а Р^нк и и п о с т р о е н и е т е к у щ е й м е т р и к и \Н^к\. В ы ч и с л е н и я н о с я т л о к а л ь н ы й х а р а к т е р у и х а р и ф м е т и ч е с к а я ц е н а п р о п о р ц и о н а л ь н а NT.

4. П о с т р о е н и е | Я ^ - к в а з и о п т и ^ а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и Q^{hk + l}, с о с т о я щ е й и з N^T т р е у г о л ь н и к о в .

il •

В [12] п р е д л о ж е н а л г о р и т м п о с т р о е н и я | Я ^ - к в а з и о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и о£^{+ 1}, в к о т о р о м к а ч е с т в о т р е у г о л ь н и к а и з м е р я е т с я п о о т н о ш е н и ю к р а в н о с т о р о н н е м у (в м е т р и к е \Н^к\) т р е у г о л ь н и к у д и а м е т р а А*. В е л и ч и н а А* в ы ч и с л я е т с я н а о с н о в е п р и б л и ж е н и я п л о щ а д и Q. в м е т р и к е | Я | :

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 9 1999

(6)

/г* = ^ 4 | 0 | | # y( V 3 N^T) ~ J4\Q\\H\/(J3NT), т . е . /г* п р и б л и ж е н н о р а в н а д и а м е т р у т р е у г о л ь н и к о в (в м е т р и к е \Н\) н е к о т о р о й т р и а н г у л я ц и и о б л а с т и £2, с о с т о я щ е й и з N^T о д и н а к о в ы х р а в н о с т о р о н н и х ( о п я т ь ж е в м е т р и к е | Я | ) т р е у г о л ь н и к о в . В в и д у т о г о , ч т о а л г о р и т м д о с т а т о ч н о п о д р о б н о п р е д с т а в л е н в [ 1 2 ] , и з л о ж и м л и ш ь о с н о в н ы е п р и н ц и п ы е г о р а б о т ы . А л г о р и т м с о с т о и т в г е н е р а ц и и п о с л е д о в а т е л ь н о с т и с е т о к Q,^hk, Q.^{hk + l/lm}^, Q^ + / / / m a x, Q ^^{+ 1} т а к о й , ч т о

Q

^m

,

^NT

(Q

^hk

) < Q

^mNT

(Q

^hk⁺

mJ £ ... < Q

^mNT

(Q

^hk+l/l

J

< . . . <

Q

^m

,

^NT

(n

^hk+l

).

(3.3) К а ж д а я с е т к а - ч л е н п о с л е д о в а т е л ь н о с т и - я в л я е т с я л о к а л ь н о й м о д и ф и к а ц и е й п р е д ы д у щ е й с е т

к и , н е у м е н ь ш а ю щ е й е е к а ч е с т в а п о о т н о ш е н и ю к /г* в \Н^к\. Л о к а л ь н а я м о д и ф и к а ц и я т р и а н г у л я ц и и Q^{hk + l/lm}^, / = 1, 2 , /^{т а х} - 1, о с у щ е с т в л я е т с я с л е д у ю щ и м о б р а з о м . С н а ч а л а в ы б и р а е т с я т р е у г о л ь н и к с н а и х у д ш и м к а ч е с т в о м . З а т е м ф о р м и р у е т с я к о н г л о м е р а т т р е у г о л ь н и к о в т е к у щ е й с е т к и , и м е ю щ и х н е н у л е в о е п е р е с е ч е н и е с в ы б р а н н ы м т р е у г о л ь н и к о м . К с о з д а н н о м у к о н г л о м е р а т у п р и м е н я е т с я р я д т о п о л о г и ч е с к и х о п е р а ц и й ( п о с т а н о в к а н о в о й т о ч к и н а с е р е д и н у р е б р а , у н и ч т о ж е н и е р е б р а , п е р е к и д ы в а н и е д и а г о н а л и в в ы п у к л о м ч е т ы р е х у г о л ь н и к е , п е р е м е щ е н и е т о ч е к к о н г л о м е р а т а ) , с о х р а н я ю щ и х е г о г р а н и ц у и п о в ы ш а ю щ и х к а ч е с т в о с е т к и . Т а о п е р а ц и я , к о т о р а я у д о в л е т в о р я е т с к а з а н н о м у в ы ш е , в ы п о л н я е т с я р е а л ь н о и п р и в о д и т к о ч е р е д н о й с е т к е

i ) / /

^{m a x} • Е с л и н и о д н а и з о п е р а ц и й н е п о в ы ш а е т к а ч е с т в а с е т к и , т о о п е р а ц и и м о д и ф и к а ц и и п р и м е н я ю т с я к к о н г л о м е р а т у , а с с о ц и и р о в а н н о м у с о с л е д у ю щ и м т р е у г о л ь н и к о м н а и х у д ш е г о к а

ч е с т в а . П о д о б н а я р е л а к с а ц и я о б е с п е ч и в а е т м о н о т о н н о с т ь (3.3) и у с т о й ч и в о с т ь а л г о р и т м а к п о я в л е н и ю н е р а з р е ш и м ы х с и т у а ц и й .

О т м е т и м , ч т о ш а г 3 в а л г о р и т м е 1 о б е с п е ч и в а е т п о с т р о е н и е т р и а н г у л я ц и и £2*^{+ 1}, ч и с л о т р е у г о л ь н и к о в к о т о р о й л и ш ь п р и б л и з и т е л ь н о р а в н о N^T ( в о з м о ж н ы к о л е б а н и я в п р е д е л а х н е с к о л ь к и х п р о ц е н т о в ) . П р и ч и н а з а к л ю ч а е т с я в о т л и ч и и q⁰ о т 1, в п р и б л и ж е н н о й о ц е н к е /г* и о г р а н и ч е н и я х , н а л а г а е м ы х т о п о л о г и е й 3 Q . Б о л е е т о г о , ч и с л о т р е у г о л ь н и к о в в к а ж д о й т р и а н г у л я ц и и и з п о с л е д о в а т е л ь н о с т и (3.3) м о ж е т в а р ь и р о в а т ь с я в е с ь м а с и л ь н о , ч т о с в я з а н о с п о с л е д о в а

т е л ь н о с т ь ю п р и м е н е н и я о п е р а ц и й и н а ч а л ь н ы м к а ч е с т в о м

^ я ^ д / Д ^ Ь

• О д н а к о п р и Z^{m a x} д о с т а т о ч н о б о л ь ш о м и I ~ Z^{m a x} ч и с л о т р е у г о л ь н и к о в в £l^{hk + l/lm}^ в о з в р а щ а е т с я в н е к о т о р у ю о к р е

с т н о с т ь N^T.

Р а с с м о т р е н н ы й а л г о р и т м п р и в л е к а т е л е н с т о ч к и з р е н и я и н ж е н е р н ы х п р и л о ж е н и й , п о с к о л ь к у д л я п о с т р о е н и я к в а з и о п т и м а л ь н о й с е т к и с ч и с л о м т р е у г о л ь н и к о в , п р и б л и ж е н н о р а в н ы м N^T, н е о б х о д и м о и м е т ь н а ч а л ь н у ю д и с к р е т и з а ц и ю р а с ч е т н о й о б л а с т и и м е т о д р е ш е н и я к о н е ч н о - м е р н о й з а д а ч и , а с с о ц и и р о в а н н о й с л ю б о й т р и а н г у л я ц и е й £l^hk о б л а с т и Q . Т а к и м о б р а з о м , п о в ы ш а т ь к а ч е с т в о а п п р о к с и м а ц и и к о н к р е т н о й з а д а ч и м о ж н о н е з а с ч е т н а р а щ и в а н и я ч и с л а т р е у г о л ь н и к о в N^T, а з а с ч е т п о с т р о е н и я а д а п т и р о в а н н о й к р е ш е н и ю з а д а ч и к в а з и о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и и з N^T т р е у г о л ь н и к о в .

4. А Н А Л И З А Л Г О Р И Т М А В С Л У Ч А Е П Р О С Т Е Й Ш Е Й З А Д А Ч И И Н Т Е Р П О Л И Р О В А Н И Я

И с с л е д о в а т ь а л г о р и т м 1 в о б щ е м в и д е н е п р е д с т а в л я е т с я в о з м о ж н ы м , п о с к о л ь к у в о б щ е м с л у ч а е о п е р а т о р а

Р

^к а н а л и з о ш и б к и

Ц и - Р^ Ц и о )

н е в ы п о л н и м в в и д у о т с у т с т в и я д о п о л н и т е л ь н о й и н ф о р м а ц и и . П о э т о м у з д е с ь , з а и с к л ю ч е н и е м п . 4 . 2 , о г р а н и ч и м с я с л у ч а е м , к о г д а P^h - P^Qh: С ( Й ) — • W(Q^k) - о п е р а т о р и н т е р п о л и р о в а н и я н е п р е р ы в н о й ф у н к ц и и в в е р ш и н а х Q \ Э т о т р а з д е л п о с в я т и м о т в е т а м н а с л е д у ю щ и е в о п р о с ы :

1) п о ч е м у т р и а н г у л я ц и я , у д о в л е т в о р я ю щ а я Q\^H\,N^T(Q^h) ^ бо> н а з ы в а е т с я к в а з и о п т и м а л ь н о й ; 2) п о ч е м у к р и т е р и й о с т а н о в к и а л г о р и т м а 1 е с т ь Q\^HK+L\,N^T(Qk+1) ^ QQ\

3) п о ч е м у а л г о р и т м 1 с х о д и т с я .

В д а л ь н е й ш е м п о д С б у д е м п о д р а з у м е в а т ь н е к о т о р у ю п о л о ж и т е л ь н у ю к о н с т а н т у .

(7)

А Д А П Т И В Н Ы Й А Л Г О Р И Т М П О С Т Р О Е Н И Я 1537 4 . 1 . Антология

определения. I

Лемма 1 (см. [8]). Пусть задан треугольник А с вершинами а^ь а², а³, квадратичная функция и е Р²(&). такая, что ее гессиан Н не вырожден: detH Ф О, и пусть и, - линейный интерполянт и на Д. Тогда . ',

Г | г 12, d c t H > О, тах\и(х)-и,(х)\ = \ • , „

х е Л l(l/8Jmax|[Jc¹(fl^l-)-3ci(fl^;)] - [x²(a^t)-x²(aj)] \, d e t t f < О,

(4.1)

где г - радиус окружности, описанной вокруг треугольника Л с вершинами ах, аг, аъ, являю

щегося образом треугольника 4 при преобразовании х = /?(х), приводящем Н к каноническому ( л \

1 О П Г

. Болце того, верна оценка { О s i g n ( d e t H ) ) \

виду Н -

m a x | w ( x ) - Uj(x)\ > ' 2 | л | / ( 3 7 3 ) , d e t # > 0 , , 4 | л | / л / 5 , d e t # < 0 .

(4.2)

Л е м м а 2 . Пусть G¹, G² - д в е Постоянные на треугольнике Л метрики и для некоторого до

статочно малого 8 > О J

Тогда если

\G\^S-G²A < е , = 1 , 2 .

e

^G

i

^{/ Z}

, ( A ) > G o ,

m o

1 а . , ,

⁽

л

⁾ ^а ^е ^о

" -

^с

^

^с

У ,

j G' " 1 + 2 8 / M G1) где X(G^L) - минимальное собственное значение матрицы G¹.

Д о к а з а т е л ь с т в о . П о о п р е д е л е н и ю ,

! _ | Л | . , | Э Д | •

6 Ь „ ( А ) - 1 2 7 3 ^F[- ±

|Р'

^А

|ЭА|

²²

^ 3/г*

Обозначив через A.(G'), A(G^/) минимальное и максимальное собственные значения матрицы 0, j - 1, 2 , а через ],-, г = 1 , 2 , 3 - ориентированные ребра треугольника А, получим

d e t G d e t G1

X ( ( f ) A ( G²U^{l A l} [ X , ( G ' ) - C e ] [ A ( G V C e ] .

I A|

²

= |A| ,—

¹

= |A| —/> IA1

^RL

.

^L

'

^VV

" ' > —> |Д| I 1 _

G J - I " 1 GX ( G ' ) A ( G ' ) G X(G^l)A(G^l)^GV ^ ( G 1)

Ce

Поскольку

(G2I; ^ (G¹!,, !,) + | ( ( G²- G¹) lⁱ,

| ( ( G²- G . 4 i , - ) h 2 e ( i , i , . ) .

(4.3)

к,

|ЭА|

^{2 С 2}

3 ! г 3

л ,^B\ i / 2 ^1/2

4 = 1 -/ = 1

- К 2

> m m — > ——

: U2-4G%, I,.) 1 +2e/A.(G')

3/г* >.1'-Ce/X(G •),

8 ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 9 1999

(8)

1538 и м е е м

ВАСИЛЕВСКИЙ, ЛИПНИКОВ

е

^{с >}

( д ) > 1 2 7 з

^|^A^|^{G '}

^J

^d

^{^}

^G

')[l-Ce/X(G

^l

)f

> [ 1 - C E / ^ G¹) ]³

| Э Д | ',^G², I Ъп* ) 1 + 2 E / M G. . . ^v- , l + 2 e / ^ ( G ' ) 1)¹ • — ^

Лемма 3. Пусть для симметричных

(2 х

2)-матриц Н и Н

^к

верна поэлементная близость

\H

^ps

-H

^Kps

\<z, p,s = 1 , 2 . Тогда для матриц \Н\, \Н

^к

\ верна поэлементная оценка

Щ

^р5

-\Н

^к

\

^р5

\<Сг, p,s = 1 , 2 .

Теорема 1. Пусть и

G ( ? ( £ ! ) ,

гессиан Н от функции и не вырожден, dttH(x) фОУхе

Q ;

Q,

^h

и

- h

Li - квазиоптимальная и оптимальная триангуляции соответственно, состоящие из ^тре

угольников, и для любого треугольника А из &

^Н

и для треугольника из £1

^н9

на котором дости

гается ||w - P

^Qh

uj

^L

, верно

\\H

^ps

-H

^AIJ^Loo(A)

<5<q\X(H

^A

)\/2, 0<q<l, р , * = 1 , 2 , " (4.4)

где Я^д = # ( a r g m a x | d e t # ( ; c ) | ) .

ХЕ А

Тогда

(4.5)

где константа C(Q

⁰

, q) зависит только от Q

⁰

uq.

Доказательство.

О ц е н к а (4.5) в ы т е к а е т и з с л е д у ю щ и х двух о ц е н о к , о б о с н о в а н и ю к о т о р ы х п о с в я щ е н о д о к а з а т е л ь с т в о :

\н\

N

⁷

II D II ^ т>1 ч1^1|И|

(4.6)

(4.7) г д е к о н с т а н т а А( < 20, q) з а в и с и т т о л ь к о о т <2о и <7> к о н с т а н т а B(q) > О з а в и с и т т о л ь к о о т q, \Щщ =

= j

^Q

{det\H\)

^m

dx.

П р е ж д е ч е м д о к а з ы в а т ь (4.6), (4.7), п о к а ж е м , ч т о д л я л ю б о й ие C ^ Q ) и л ю б о г о т р е у г о л ь н и к а Л, у д о в л е т в о р я ю щ е г о (4.4), с у щ е с т в у е т т а к а я к в а д р а т и ч н а я н а А ф у н к ц и я

и

²

(х) .= -

Я ,

V^Х2 ) V^Ь2 J

( W

V^л2 у у

+ d + P^Aw ( j t )

с с и м м е т р и ч н ы м г е с с и а н о м Я², ч т о

P&U — Р д М2?

Ц и- Р д И |^м ^д⁾ = | М²- Р^Д И²|^М^Д⁾,

В с и л у (4.9) и м е е м

u

²

{a

ⁱ

)I.

= м ( а , ) , г д е а,, / = 1, 2 , 3 - в е р ш и н ы т р е у г о л ь н и к а Д . П у с т ь

а^с = a r g m a x | M ( x ) - P^AM ( x ) | , е^д = | и ( а^е) - Р^ди ( а^с) | .

(4.8)

(4.9) (4.10) (4.11)

(4.12)

(9)

А Д А П Т И В Н Ы Й А Л Г О Р И Т М П О С Т Р О Е Н И Я 1539 Д л я п р о с т о т ы р а с с м о т р и м с л у ч а й detH(x) > 0. Т а к к а к detH(x) Ф 0, т о а^с Ф a^h i = 1, 2, 3 . Р а с с м о т р и м ф у н к ц и ю и²(х) в и д а (4.8), у к о т о р о й

argmax\u2(x) - Р Аи2(х)\ = аС9 т&х\и2(х) - РАи2(х)\ = гА. (4.13)

хеA j хеД

П о к а ж е м , ч т о т а к а я ф у н к ц и я с у щ е с т в у е т . В о - п е р в ы х , (4.12), (4.13) э к в и в а л е н т н ы с и с т е м е (см. [8]) |

Ui{^ai) - и(Я|)»^г ^ 1> 2, 3 ,

|i и²(а^с) = и(а^с), Xi(a^c)

(4.14)

В о - в т о р ы х , у ч и т ы в а я в и д ф у н к ц и и и²(х), п р и в е д е м (4.14) к виду ( (

Н²

\ V х , ( я , ) x²(a^t)

\

(

j

x^x{a^c)

( ( . , \ /

н,

X²(4c)

н.

x^x{a^c)

x²(a^c)

ХМ

+ d = 0 ,

JJ

(4.15) + d = u(a^c) - P^Au(a^c),

ч т о э к в и в а л е н т н о |

( 1 / 2 ) ( Я²[ х ( а , ) Н^х( « с ) ] , х (^{а ;}) - х ( й^с) ) = P^Au(a^c)-u(a^c). (4.16)

З д е с ь , к а к и в д а л ь н е й ш е м , д л я п р о с т о т ы и з л о ж е н и я м ы и с п о л ь з у е м х в м е с т о (xiX²)^T в в е к т о р н ы х в ы р а ж е н и я х . В с и л у Н² - Н\ р а в е н с т в а (4.16) е с т ь с и с т е м а и з т р е х у р а в н е н и й с т р е м я н е и з в е с т н ы м и э л е м е н т а м и м а т р и ц ы Н², п р и ч е м м а т р и ц а с и с т е м ы н е в ы р о ж д е н а .

И т а к , м ы п о к а з а л и с у щ е с т в о в а н и е и² е Р²(А), д л я к о т о р о й Р^Аи = Р^Аи², \\и² - P^Au²\^{L ( д )} = е^д. П о к а ж е м (4.11). П о с к о л ь к у и е С²( А ) , т о

и{а\) =^М ( ^ + У^М( а ^ ( х ( а^;) - ! ! х ( а^с) ) + ( 1 / 2 ) ( Я ( а^г) [ х ( а , ) - х (^{а с}) ] , х ( а^;) - х ( а^с) ) , i = 1 , 2 , 3 ,

- • • ji

г д е a^t - н е к о т о р а я т о ч к а и з Л , з а в и с я щ а я о т aⁱ⁹ а^с.

\^•

С д р у г о й с т о р о н ы , \

Р^Аи(а^| = P^Au(a^c) + yP^Au(a^c)[x(ai)-x(a^c)]⁹ ii

I Vu(q^c) = VP^Au(a^c),

I Р^ди ( а , ) = u(a,).

il

П о э т о м у ji

( 1 / 2 ) ( Я ( а/) [ х ( а | - х ( ас) ] , х ( а/) - х ( ас) ) = PAu(ac)-u(ac).

И з (4.16), (4.17) и м е е м | . .

(Н²[х(а⁽)-х(а^с)],х(ар-х(а^с)) = (Н(а⁽)[х(а⁽) -х(а^с)]⁹ x(a^t) - х(а^с))⁹ ( ( Я² - Я^д) [ х ( а , . ) - х ( а^с) ] , x ( a j ) - х ( а^с) ) = ( ( Я ( й , ) - Я^д) [ х ( а^/) - х ( а^с) ] , х ( а^г) - х ( а^с) ) . О ц е н к а (4.11) и н е в ы р о ж д е н н о с т ь м а т р и ц ы Я² с л е д у ю т и з (4.18) и (4.4).

Д о к а ж е м (4.6). П у с т ь А - т р е у г о л ь н и к и з к в а з и о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и Q \ н а к о т о р о м д о с т и г а е т с я ||u -^{( Q )} • В с и л у ;(4.4) с у щ е с т в у е т и² е Р²( А ) , д л я к о т о р о й ( 4 . 9 ) - ( 4 . П ) в ы п о л н е н ы и к о т о р а я у д о в л е т в о р я е т условием л е м м ы 1.

О ц е н и м п р а в у ю ч а с т ь (4.1). П у с т ь г - р а д и у с о к р у ж н о с т и , о п и с а н н о й в о к р у г т р е у г о л ь н и к а Л , я в л я ю щ е г о с я о б р а з о м Л п р и п р е о б р а з о в а н и и х = R(x)⁹ п р и в о д я щ е м Я² к к а н о н и ч е с к о м у виду, 1, -

(4.17)

(4.18)

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 39 № 9 1999 8*

(10)

о р и е н т и р о в а н н ы е с т о р о н ы А, е^{1 ?} е2 - о р т о н о р м и р о в а н н ы й б а з и с в п р о с т р а н с т в е (хг, х2). В слу

ч а е d e t i ^ > 0

- _ Mh\\h\^\dA\

³ _

№U _ ^12733/г*

^1ЭД||я²^{| 1ЭА1^}²^|

4 | А | 3 2 | д | 3 2 | Д | |^{Н 2}| 3 2³/ г *

1273|Д|.„|'

^'

в с л у ч а е del U² < О

| Э Д |

²

_ ( 3 / г * ) 7 1

^{Э Л}

1 | я '

^{4 2}

• ( 1 / 8 ) m a x

{ [ ( Ь е О - а ^ е ^ а / в )

m a x {[(!,, 1,)|} < ^ = — - f 2 . (4.20)

i= 1,2,3 / = 1,2,з 3 2 3 2 V 3/г* )

В с и л у л е м м 2* 3 , (4.11) и (4.4) и м е е м

Q^m^{L\)>Q,C{q).

И з о п р е д е л е н и я 2 с л е д у е т , ч т о 1|я2[

п о э т о м у в, с и л у (4.19), (4.20) с у щ е с т в у е т т а к а я к о н с т а н т а A (Q⁰, q) > 0, ч т о

n j 3 ^ > Q ^Q C (^q ) , .^F(^l^A>Q⁰C(q),^l^b<^C(Q⁰,q), (4.21)

? > £ Л ( ^& * > < ^ (4.22)

( Ш ) ш а х { | : ( 1^г, е¹) - ( 1 , е²) | : } < А ( б⁰^ ) ( й * )² = ⁴ ^A ⁽ ^ ^g ⁾ ^l ^ ' . (4.23)

/ = 1 , 2 , 3 7 3

Т а к и м о б р а з о м ,

| Х 2 |^{| Я |}.

|" "

^Р

И к .

⁽

а >

= II" " P*MI L ( A ) = | | w²- P A W²| |L o o ( a ) < A((2o, и о ц е н к а (4.6) д о к а з а н а .

Д о к а ж е м (4.7). П у с т ь А - л ю б о й т р е у г о л ь н и к о п т и м а л ь н о й т р и а н г у л я ц и и Q * . В с и л у (4.4) су

щ е с т в у е т и2 е Р2( А), у д о в л е т в о р я ю щ а я ( 4 . 9 ) - ( 4 . 1 1 ) и у с л о в и я м л е м м ы 1, а с л е д о в а т е л ь н о , о ц е н к е (4.2). И м е е м

г2 [А| | Я:

m a x f w ( x ) - Р^и(х)\ = т а х | м2( х ) - Р^и²(х)\ > <

х е Л. хе А

В силу (4.11),. (4.4), ( 4 . 3 ) с у щ е с т в у е т к о н с т а н т а В (q). т а к а я , ч т о

зТз

4 | Д | [ Н2|

, d e t / /² > 0 ,

, d e t #2 < 0 .

п о э т о м у

| д | | я2| > Б ( ^ ) | д | . | нд| > [ 5 ( ? . ) ]2| д | | я | ,

т а х | . и ( л ) . - Р^;

и ( х ) \ > [B(q)\

²\d\w

хе А

в е р н о и д л я т р е у г о л ь н и к а с м а к с и м а л ь н о й п л о щ а д ь ю | А| \н\ и, с л е д о в а т е л ь н о ,

\\ы(х) - P^6hu{x)\\ • > [ B (?) ]2m a x | А |^М >

B(q№&

⁹

II о | | ^ ( " ) д ^с ^ NT

ч т о д о к а з ы в а е т (4.7). Т а к и м о б р а з о м , т е о р е м а 1 д о к а з а н а .