Д. Г. Васильев, О нулях функции прогиба в тео- рии свободных колебаний оболочек вращения, Докл. АН СССР, 1977, том 237, номер 4, 764–766

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Д. Г. Васильев, О нулях функции прогиба в тео- рии свободных колебаний оболочек вращения, Докл. АН СССР, 1977, том 237, номер 4, 764–766

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:36:31

Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р

1977. Том 237, № 4

У Д К 539.3:534.1 МАТЕМАТИКА

Д. Г. ВАСИЛЬЕВ

О НУЛЯХ ФУНКЦИИ ПРОГИБА

В ТЕОРИИ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ

Р а с с м а т р и в а е т с я оболочка, п о л у ч е н н а я в р а щ е н и е м к р и в о й x=X(s), y=Y(s) в о к р у г оси г/, X(s)>0, X /²+ 7^s'²= l , s^[a, Ь ] , s — д л и н а д у г и м е ­ р и д и а н а оболочки. Ф у н к ц и и Х($) и Y(s) п р е д п о л а г а ю т с я т р и ж д ы н е п р е ­ р ы в н о д и ф ф е р е н ц и р у е м ы м и н а о т р е з к е [ а , Ь]. Н а п а р а л л е л я х s=a и s=b з а д а н ы г р а н и ч н ы е у с л о в и я з а д е л к и . В о з н и к а ю щ а я т а к и м о б р а з о м к р а е в а я

з а д а ч а и с с л е д у е т с я н и ж е п р и ф и к с и р о в а н н о м ч и с л е т в о л н по п а р а л л е л и . П о поводу с о о т в е т с т в у ю щ е й с и с т е м ы у р а в н е н и й

с м а л ы м п а р а м е т р о м h п р и с т а р ш е й п р о и з в о д н о й и к р а е в ы х у с л о в и й см., н а п р и м е р , (⁴) , с т р . 6 8 , а т а к ж е (²,³) ( п о я с н и м л и ш ь , что в (⁴) , с т р . 6 8 , с л е д у е т п о л о ж и т ь т о ж д е с т в е н н о B(s)=X(s)). К а к и в (⁴) , п о л о ж и м j x⁴=

=h²/12. О б о з н а ч и м ч е р е з Rr^s), R²~ⁱ(s) г л а в н ы е к р и в и з н ы оболочки (Ri"~^l(s) — к р и в и з н а м е р и д и а н а ) , и п у с т ь , к р о м е того,

Р а с с м а т р и в а е м у ю к р а е в у ю з а д а ч у будем н а з ы в а т ь м о м е н т н о й в о т л и ­ ч и е от в с п о м о г а т е л ь н о й б е з м о м е н т н о й з а д а ч и , к о т о р а я п о л у ч а е т с я , если п о л о ж и т ь в (1) h=0 и отбросить г р а н и ч н ы е у с л о в и я д л я и з г и б н о й к о м п о ­ н е н т ы w (см. (⁴) , с т р . 6 8 ) . И н д е к с т будем всюду о п у с к а т ь , за и с к л ю ч е ­ н и е м л и ш ь т е х с л у ч а е в , когда з а в и с и м о с т ь от ч и с л а в о л н по п а р а л л е л и особенно в а ж н а .

О б о з н а ч и м G i^{m )} м н о ж е с т в о в с е х в е щ е с т в е н н ы х ч и с е л X, л е ж а щ и х п р а ­ в е е н е п р е р ы в н о г о с п е к т р а б е з м о м е н т н о й з а д а ч и (т. е. б о л ь ш и х р⁴, см.

0), с т р . 7 6 ) , л е в е е некоторого Яшах, и у д а л е н н ы х не менее ч е м н а е от то­

ч е к безмоментного с п е к т р а .

Л е м м а 1. Существует \i⁰(s, m, Я^{т а х}) > 0 такое, что для любого 0 <

< | ы < ^ о справедливы следующие утверждения: если число Я, принадле­

жащее G s^m\ является моментным собственным значением, то это собст­

венное значение простое и изгибная компонента собственной вектор- функции имеет вид (ср. (⁴))

(Представлено академиком А. Ю. Ишлинским 14 VII 1977)

(1)

p

¹

=max<p

¹

(s), P2=max<p

²

(s), s e [ a , b)

w — 1 1 S 1 S

• ^R IT- i s i n — \ \% — фЛ*)]¹'⁴ dt — c o s - \

- h e x p

a s + \xw

(s,

\x, %, m),

W\8=a,b = w'\s=a, b = 0 ,

(2)

7 6 4

При этом

^ \ [Я. - Ф 1 (s)f^u ds

- 1 =

п + О (ц),

а

где п — некоторое натуральное число. В формуле (2) знак плюс берется при нечетном п, а минус при четном.

Под \iL^hO{\\r^h) всюду п о н и м а е т с я ф у н к ц и я , к о т о р а я п р и J L I - ^ + О р а в н о ­ мерно о г р а н и ч е н а по всем Я е С ^^{т )}и s<^[a, Ь].

П у с т ь v⁰ (Я) — число в н у т р е н н и х н у л е й и?-компоненты собственной ф у н к ц и и , соответствующей м о м е н т н о м у собственному з н а ч е н и ю Я, a

VmaxCM

— число л о к а л ь н ы х м а к с и м у м о в \w\. А н а л и з ф о р м у л ы (2) п р и ­ водит к с л е д у ю щ е м у у т в е р ж д е н и ю .

Л е м м а 2. При достаточно малых \х для w-компоненты, соответст­

вующей собственному значению X^G^\

1 г , 3 vo (Ь) = — \ [Ь - Ф 1 (*)] U ds- ^т + О

(3)

1 Г i / l V m a x (Ц = — \ № — Ф 1 ( * ) ] " 'ds — ~2 + 0

а

7 7 / щ этом все нули и максимумы простые (максимум называется простым,, если вторая производная w отлична от нуля).

П р и подсчете ч и с л а н у л е й в б л и з и концов о т р е з к а [а, Ь] и с п о л ь з у е т с я с л е д у ю щ и й п р и е м : д о к а з ы в а е т с я , что в т о р а я п р о и з в о д н а я ф у н к ц и и w п р и s=a и s=b о т л и ч н а от н у л я и и м е е т м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н ы й п о р я д о к

\х~². А н а л о г и ч н ы й п р и е м м о ж н о и с п о л ь з о в а т ь и п р и подсчете числа s-ну- л е й х а р а к т е р и с т и ч е с к о г о о п р е д е л и т е л я м о м е н т н о й з а д а ч и .

П е р е н у м е р у е м все собственные з н а ч е н и я м о м е н т н о й з а д а ч и в п о р я д к е в о з р а с т а н и я с учетом к р а т н о с т и : Х ^ Х ² ^ . . . < Я^Г* С . .

Л е м м а 3 . При достаточно малых \х для любых собственных значений

%i и A,j, принадлежащих ( ? i^{m )}, таких, что между ними нет собственных зна­

чений безмоментной задачи, справедливо равенство

V0 (Л;) — V0 (Яг) = Vma x (Я;) — Vmax( t a ) = / — L

Ч т о б ы в ы я с н и т ь , что происходит п р и н а л и ч и и б е з м о м е н т н ы х собствен­

н ы х з н а ч е н и й м е ж д у Я^г и Я,-, в о с п о л ь з у е м с я р е з у л ь т а т а м и , п о л у ч е н н ы м и в (^{1 _ 3}) . Эти р е з у л ь т а т ы , к а к у д а е т с я п о к а з а т ь , с п р а в е д л и в ы без требова­

н и я р е г у л я р н о с т и X(s), Y(s) и н е о б р а щ е н и я в н у л ь ф у н к ц и и Ci(s) =

^Rr'+aRz'¹, s e [ a , Ь].

П у с т ь pi(X', Я") ( к а к и в (*)) — число собственных з н а ч е н и й безмо­

ментной з а д а ч и , л е ж а щ и х н а и н т е р в а л е (Я', Я " ) .

Л е м м а 4. Для любых собственных значений Я^г, X^G^™\ Я^г<Я^, спра­

ведливо равенство

Отсюда, с учетом ( 3 ) , следует

Л е м м а 5. При достаточно малых \х для любых собственных значений

Яг, Xj^Gz \ Xi^Xj,

V0 (Xj) — V0 (Яг) = Vmax (Xj) — Vmax (Яг) = / — 1—Pi (Яг, Xj) .

У с т а н о в и м , н а к о н е ц , в я в н о м виде с в я з ь м е ж д у номером собственного з н а ч е н и я Я^; и числом н у л е й и э к с т р е м у м о в собственной ф у н к ц и и w. Д л я этого о п я т ь о б р а т и м с я к р а б о т а м (^{1 _ 3}) . П у с т ь fi(s, X) = (ui(s, Я ) , Vi(s, Я ) ,

Wi(s, Я ) ) , &=1, 2, 3, 4 , — л и н е й н о н е з а в и с и м ы е р е ш е н и я безмоментной си-

765

с т е м ы у р а в н е н и й , р е г у л я р н ы е по Я н а и н т е р в а л е + ° ° ) . П р о ц е д у р а их п о с т р о е н и я о п и с а н а в ( ' ) , § 18. Р а с с м о т р и м с о с т а в л е н н ы й и з э т и х р е ш е ­ н и й х а р а к т е р и с т и ч е с к и й о п р е д е л и т е л ь б е з м о м е н т н о й з а д а ч и a (s, X).

П у с т ь Л — п р о и з в о л ь н о е ч и с л о , у д о в л е т в о р я ю щ е е н е р а в е н с т в а м Я^та х ^⁵Л >

> j j². Ч е р е з р о ( Л ) о б о з н а ч и м число s - н у л е й ф у н к ц и и a ( s , Л ) н а и н т е р в а л е (a, fc), а ч е р е з рДЯ, Л ) — число £-нулей а ( Ь , t) н а и н т е р в а л е (Я, Л ) , п р и ­ ч е м в с е н у л и б е р у т с я с у ч е т о м и х п о р я д к о в . Р а з у м е е т с я , н у л и ф у н к ц и и а ( Ь , t) н а + ° ° ) я в л я ю т с я б е з м о м е н т н ы м и с о б с т в е н н ы м и з н а ч е н и я м и .

Л е м м а 6. Для любого собственного значения

Я ^ с !

^{т )}

,

Я ^ Л ,

Т е о р е м а . Существует р⁰( е , га, Я^{т а х}) > 0 такое, что для любого 0 <

< р , < [ А0 и любого собственного значения моментной задачи Xj, принадле­

жащего GriT\ Xj<A,

v0(A.i)=/+PiUj, Л ) - р0( Л ) - 1 ,

(4) V m a x f t j ^ / ' + p i ^ j , Л ) — р⁰( Л ) ,

причем все нули и максимумы простые.

З а м е ч а н и е . Р а з н о с т ь р⁰( Л ) —р^А(Я,, Л ) не з а в и с и т от Л (см. (*)) и н а з ы в а е т с я д е ф е к т о м о с ц и л л я ц и и . Е с л и Xj>$², то, в з я в в (4) Л = Я , , п р и ­

дем к ф о р м у л а м (4) без в т о р ы х с л а г а е м ы х в п р а в ы х ч а с т я х .

А в т о р в ы р а ж а е т б л а г о д а р н о с т ь п р о ф . В . Б . Л и д с к о м у з а п о с т а н о в к у з а д а ч и и б о л ь ш у ю п о м о щ ь в р а б о т е .

Институт проблем м е х а н и к и Поступило А к а д е м и и н а у к СССР 30 VI 1977

Москва

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 А. Г. Асланян, В. Б. Лидский, Р а с п р е д е л е н и е собственных частот тонких упру*

гих оболочек, М., «Наука», 1974. ² А. Г. Асланян, В. Б. Лидский, ДАН, т. 222, № 4, 790 (1975). 3 А. Г. Асланян, Ф у н к ц . а н а л и з и его прилож., т. 10, № 2, 63 (1976).

4 Г. И. Пшеничное, И н ж . ж у р н . , т. 5, № 4, 685 (1965).

766