I Введение Пусть даны векторное уравнение dx (t) /dt = A (t)x (t)+b(t)u{t) (0.1) и квадратичная форма &{t, х, u)^(x*G(t)x + 2x*g(t)u + ii*T(t)u)/2

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. А. Якубович, Линейно-квадратичная задача оп- тимизации и частотная теорема для периодиче- ских систем. I, Сиб. матем. журн., 1986, том 27, номер 4, 181–200

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 06:11:29

Т. X X V H , № 4 И Ю Л Ь — А В Г У С Т 1986

УДК 519.9.62.50 В. А. ЙКУБОВИЧ

ЛИНЕЙНО-КВАДРАТИЧНАЯ З А Д А Ч А ОПТИМИЗАЦИИ И ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА ДЛЯ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ. I

Введение

Пусть даны векторное уравнение

dx (t) /dt = A (t)x (t)+b(t)u{t) (0.1) и квадратичная форма

&{t, х, u)^(x*G(t)x + 2x*g(t)u + ii*T(t)u)/2. (0.2) Здесь Ц Е Г , матрицы A(t), b(t), G(t)=*G(t)*, g(t), Г ( 0 =

— T'(t)* > e⁰/m > 0 имеют соответствующие порядки й их элементы — ве­

щественные измеримые, ограниченные, периодические функции с перио­

дом Г. (Равенства и неравенства выполняются почти всюду. Звездочка означает транспонирование, а в случае комплексных векторов.и\матриц — эрмитово сопряжение, т. е. транспонирование и комплексное сопряже­

ние) . Ниже рассматриваются следующие две задачи.

1. Оптимизационная задача 00

х ( 0 ) = а , & =*§9fax{t)^xu(t))dt-+min (0.3)

о

(а—заданный вектор), причем допустимыми считаются такие х(), и(-), что выполнены (0.1) и условие устойчивости

И - ) | € = £ а ( 0 , оо), | и ( . ) | е £ р ( 0 , оо).

2. Задача нахождения формы V(t, х)=± x*R⁰(t)x (функции Ляпуно­

ва) такой, что R⁰(t)= R⁰(t + Г ) = R⁰(t)*, R^Q(t)— абсолютно непрерывная матричная функция и для производной в силу уравнения (0.1) справед­

ливо неравенство

Я в > 0 : V = x*(dtio/dt)x + 2x*Ro(t)(A(t)x + b(i)u)>

>-2S(t, х, и)+8(\х\²+\а\²) Ух, и. (0.4) Первая задача хорошо изучена для постоянных коэффициентов урав­

нения (0.1) и формы (0.2), а также для переменных коэффициентов и Для конечного интервала функционирования системы. В этих случаях оптимизационные задачи (называемые также задачами аналитического конструирования регуляторов) впервые исследованы Калманом [ 1 ] и А. М. Летовым [2]. (Одно из первых подробных изложений решения см. в [ 3 ] ) . Задача о существовании функции Ляпунова вначале рассмат­

ривалась совершенно независимо и лишь для постоянных коэффициентов;

первые результаты получены в (4—7], эффективные алгоритмы в общем случае приведены в [ 8 ] . По-видимому, впервые Н. Н. Красовский указал [Щ на связь этих двух задач. В [10, 11 и др.] эта связь использована для решения второй задачи в ситуации, когда пространства состояний {х) и управлений Ли) гильбертовы.

В случае постоянных коэффициентов в (0.1) и (0.2) матрица R^Q(t) =

6 = 5 До постоянна; обе указанные задачи приводят к «разрешающим» урав-

нениям Лурье [12]. К решению этих уравнений в 50—60-е годы сво­

дились задачи абсолютной устойчивости в многочисленных работах по нелинейной теории регулирования (см., например, [13]). В связи с ука­

занной задачей оптимизации в 70-е годы вновь пришли к уравнениям Лурье (записанным в иной, но эквивалентной форме), они получили в зарубежной литературе новое название — «алгебраические уравнения Риккати»; их обстоятельному исследованию посвящено большое коли­

чество работ [14, 15, 16 и др.]. Частотная теорема [4—8] (см. также [17, § 1.2]) дает условия существования решения уравнений Лурье (ус­

ловия существования функции Y ( # ) = x*R^Qx & требуемым свойством) й формулирует алгоритмы определения матрицы Д⁰ = /?о* Она использу­

ется кроме задачи аналитического конструирования регуляторов в тео­

рии абсолютной устойчивости [7, 17, 18 и др.], адаптивного управления [19, 20 и др.],' стохастической оптимизации [21 и др.]. Замена предпо­

ложения постоянства коэффициентов рассматриваемых систем уравнений предположением ^-периодичности коэффициентов представляет интерес во всех этих случаях. При этом приходим к описанным выше задачам.

Имеется много работ, посвященных различным аспектам линейно- квадратичной оптимизационной задачи для систем с переменными коэф­

фициентами общего вида; для бесконечного временного интервала один из первых результатов в этой области принадлежит В. И. Зубову [22].

Относительно недавно стала изучаться специфика периодического случая [23—26]; в последних работах, однако, решаются другие проблемы.

В задачах оптимизации обычно W(t, х, и)^0 (Ух, и, t). В задачах абсолютной устойчивости форма *3 (t, х, и) обязательно знакопеременна, это сильно осложняет исследование и требует применения других мето­

дов. Далее будет рассматриваться сразу общий случай. Заметим, что мно­

гие рассуждения сильно сократились бы и "упростились, если 9(t, х, и)>

> 0 (см. § 4 ) . Как в задачах оптимизации, так и в задачах абсолютной устойчивости & (t, 0,*гг)= u*T(t)u> 0. Это условие необходимо для суще­

ствования оптимального управления в указанной оптимизационной зада­

че. Ниже делается более сильное предположение: T(t)> ^1^т>0. Извест­

но (см., например, [27]), что при нарушении этого последнего условия оптимального управления может не существовать при некоторых х(0)=а:

В отличие от ряда других работ, посвященных линейно-квадратич­

ным задачам оптимизации, в этой статье используются рассуждения, ана­

логичные применявшимся при выводе необходимого условия Якоби в ва­

риационном исчислении. По-видимому, впервые условия типа Якоби в задачах оптимального управления (для конечного временного интервала, но для более сложных задач, включающих ограничения) получены А. В. Дмитруком [28 и др.} на основе использования общих результа­

тов [29].

В нашем случае условие типа Якобй приводит к необходимому усло­

вию неколебательности, аналога которого нет в случае постоянных коэф­

фициентов. (Оно автоматически выполнено, если коэффициенты постоян­

н ы ) . Вместе с некоторым «частотным условием», аналогичным частотно­

му условию [4—8 и др.], условие неколгебательности дает необходимое и достаточное условие разрешимости оптимизационной задачи и одновре­

менно существования функции V(t, х) = x*R(t)x со свойством (0.4). По­

путно получается эффективная процедура построения указанной функ­

ции Ляпунова со свойством (0.4) и оптимального управления в задаче ( 0 . 1 ) - ( 0 . 3 ) .

§ 1. Формулировки основных результатов

В нижеследующих определениях А(-), & ( • ) , с ( • ) — локально'сумми­

руемые, ограниченные матричные функции, не обязательно Т-периоди­

ческие. ' ⁴ .. * \ • .

О п р е д е л е н и я . 1. Матричная функция А(•) называется гурвице- вой, если существуют такие числа С>0, е > 0 , что для любого решения х = x(t) уравнения dx/dt = A (t)x выполнено

\x(t)\^Ce-^R{t-^s)\x{s)\ при t>s.

2. Уравнение (0.1) называется экспоненциально стабилизируемым (пара (А(), Ь(-)} называется экспоненциально стабилизируемой), если существует такая п X ттг-матричная функция с(), что А(-) +Ь(-)с(-)* ~ гурвицева матричная функция, т. е. если экспоненциально устойчиво три­

виальное решение уравнения (OA), в котором u(t) = c(t)*x(t). Это урав­

нение u(t)~ c(t)*x(t) описывает экспоненциально стабилизирующий ре­

гулятор. Если c(t+ Т)= c(t), то говорят о Т-периодической экспоненци­

альной стабилизируемости.

3. Уравнение (0.1) называется Ь²-стабилизируемым (пара iA(-), b(.-)} называется Ь²-стабилизируемой), если для любого вектора а е Д^п существует такая функция и(-), \и(•) | е L²(0, ° ° ) , что для решения урав­

нений dx(t)/dt = A(t)x(t)+ b(t)u(t), я ( 0 ) = а имеем \х(-)\^Ь²(0, <»).

4. Уравнение Д0.1) называется управляемым на [t^u t²] (пара (А(-),

&(•)) называется управляемой на t²]), если для любых tfi е Rⁿ, я² ^ e R^K найдется такая функция и(-), \u(-)\^L(t^u t²), что для решения уравнения (0.1) с условием x(tt) — a^t выполнено x(t²)^=a².

Заметим, что гурвицевость матричной функции А() и гурвицевость матрицы A(t) при фиксированном t — разные понятия. Как известно, су­

ществуют негурвицевы матричные функции А(-) такие, что Л ( ^ — гур­

вицева матрица при любом t.

Пусть X⁰(t) — эволюционная матрица уравнения dx/dt = A(t)x, т. е.

dXJdt^ A(t)X⁰ и Х⁰( 0 ) = /^п. Известно, что для управляемости уравне­

ния (0.1) на [t^v, t²] необходимо и достаточно выполнения одного из двух

эквивалентных условий: * (а) К - J Х⁰ (t)-¹ Ъ (t) Ъ (t)* [Х⁰ (t)*]"¹ dt > 0,

(б) d^/dt = -$*А, f * b = 0 ф в 0 (на [t^0l it])'.

Поэтому из управляемости на [t^u t²] следует управляемость на большем интервале [t[, t²] ~э [t^x, t²]. .

Условие /^-стабилизируемости, очевидно, необходимо для существо­

вания оптимального управления в указанной задаче оптимизации с лю­

бым вектором х (0) = а. Поэтому ниже предполагается, что это условие выполнено.

Управляемость на [0, t⁰] (с каким-либо U > 0) влечет ^-стабилизи­

руемость. (Можно взять x(t⁰) = 0 и положить u(t)^0, x(t)^0 при I^

^ 0 ) . Очевидно, что и из экспоненциальной стабилизируемости следует

^-стабилизируемость. ⁰

Изложенное ниже утверждение будет получено как следствие реше­

ния указанной задачи оптимизации со строго положительно определенной формой % (см. § 4); удобно, однако, привести его сейчас.

Т е о р е м а ! . Для Т-периодических матричных функций А(•), Ь(-) экспоненциальная стабилизируемость, Ь²-стабилизируемость и Т-периоди-

ческая стабилизируемость — равносильные свойства.

Далее всюду предполагается, что А(), Ь(-) и коэффициенты формы

&(t, х, и)— периодические функции с периодом Т.

Можно показать, что в этом случае £²-стабилизируемость (0.1) рав­

носильна стабилизируемости дискретного уравнения = X^Q(T)x^j + + KVJ, где К~~ матрица в (а) для U 0, t² = Т.

Введем в рассмотрение функцию Гамильтона оптимизационной за­

дачи (0.1) —(0.3) .

m(t, х, и, ^)^^(A(t)x + b(t)u)-&(t, х, и) (1.1)

и систему, называемую в дальнейшем присоединенной системой,

dx/dt«{дЗК/Щ; d^ldt = -(дЗЧ/дх)*, дЗв/ди = 0. (1.2) (Здесь и ниже дЖ/дх — производная Фреше; предполагается, что векто­

ры записываются в виде столбца, тогда дЖ/дх, дЖ/д^ — вектор-строки).

Поясним происхождение этой системы. Первое уравнение (1.2) сов­

падает с ( 0 . 1 ) . Второе и третье уравнения (1.2) получаются обычным образом из принципа максимума Понтрягина [30] (обоснованного для рассматриваемой задачи оптимизации в § 2 ) . Согласно этому принципу существовайие оптимального процесса x(t), u(t) влечет существование такого решения tf>(£) второго уравнения (1.2) со свойством li|?(-)|e=

ё L²( 0 , оо), что i

M(t, x(t), u(t), ф ( 0 ) = т а х Ж ( г , . x ( t ) , v, y(t))

по всем y ^ Rm. Отсюда вытекают третье уравнение (1.2) и неравенство T(t)>0, которое поэтому является необходимым для существования ре­

шения задачи оптимизации, что отмечено во введении.

При условии T(t)^ 7 o / m > 0 из последнего уравнения (1.2) имеем и (t) — Г "¹ (ty*b — g*x), а два первых уравнения (1.2) записываются в ви­

де канонической системы

dx/dt ~=(дЖ/д^)*, d$/dt=*-{d36/dx)*, (1.3) где Ж(1, х, ty)=*M(t, х, п, ф) при дЖ/ди = 0. Действительно,

= дЖ/dty + (дЖ/ди) (du/dty) = дЖ/dty и аналогично дЖ/дх = дЖ/дх при дЖ/ди * 0.

Систему (1.3) можно записать в виде одного векторного канониче­

ского уравнения

^ - t f W i ⁴ i « B i - . [ j ] ^f

*.-[°

H(t)~\ / ^t . (1.5)

Ниже будут использованы некоторые общие сведения [31, гл. 3] о ка­

нонических уравнениях. Рассмотрим произвольное уравнение (1.4) с ве­

щественной матрицей (гамильтонианом) Я {t) = Я (t) * = Я (t + Т); оно получается из системы ( 1 . 3 ) , причем Я ( £ ) — матрица квадратичной фор­

мы Ж{1, х, 1|?). Пусть Z(t) — эволюционная матрица и Z(T) — матрица монодромии уравнения ( 1 . 4 ) , т. е. Z(t) — матрица фундаментальной си­

стемы решений уравнения ( 1 . 4 ) , 2 ( 0 ) = /^п. В дальнейшем важную роль будет играть следующее «частотное условие»:

det[Z(f)^r eⁱ⁽*I²ⁿ] ФО (Vco s [0, 2 л ) ) , (1.6) равносильное [31] полной неустойчивости уравнения ( 1 . 4 ) , т. е. отсут­

ствию у уравнения (1.4) решений, ограниченных на (—°°, + < » ) . При вы­

полнении условия (1.6) уравнение (1.4) (система ( 1 . 3 ) ) имеет п линей­

но независимых вещественных решений [#Д£), %(£)]> экспоненциально убывающих при £~*оо. (Векторы ( # Д 0 ) , ф»(0)] — вещественный базис в сумме корневых подпространств матрицы Z(T), отвечающих собственным

значениям р^, |р^| < 1 ) . Введем п X w-вещественные матрицы

со столбцами $y(t) иг|зД£).

Приведенная ниже теЬрема дает достаточно полную информацию о двух сформулированных выше задачах.

Теорема 2 (частотная теорема). Пусть пара А(-), Ь(-)— Ь²-стабили- зируема и Г(£) = Г ( £ ) * > Чо1т > 0 (V£e=[0, Т]). Следующие утвержде­

ния равносильны:

(A) Для любого начального состояния х(0)=* а задача (0.1) — (0.3) разрешима: существует оптимальное управление.

(B) Разрешима задача о функции Ляпунова: существует квадратич­

ная форма V = x*R0(t)x с абсолютно непрерывной матричной функцией Д⁰(t) = R⁰(t) * — RQ (t + T), удовлетворяющая соотношению ( 0 . 4 ) .

(C) Выполнено частотное условие (1.6) и условие

ШХЩФЪ ( У * е [ 0 , Г ] ) . ^ (1.8) (D) Существует абсолютно непрерывная матричная функция #(£) =

= R(t) * = R (t + Т), удовлетворяющая матричному дифференциальному уравнению Риккати

£L + RA + A*R + G = (Rb + ^?) Г "¹ (ЛЬ + g)\ (1.9) такая, что В(-)^= А(-)+ b(-)r(-)* — гурвицева матричная функция, где

r(t)=-[R(t)b(t)+g(t)]T(t)-\ (1.10):

(E) Существует такая форма V(t, ж) = x*R(t)x с абсолютно непре­

рывной матричной функцией R(t) = R(t + Г ) = R (t) *, чго

" f = ( ц - г ( 0 * а ? ) * Г ( 0 ( и - г ( 0 * « ) - 2 » ( ^ ж, » ) , (1.11) где V — производная в силу уравнения (0.1), г(t) — некоторая пХт-мат-

рица и В(-) = А()+b(-)r(-)* — гурвицева матричная функция. (Из (1.11) следует, что r(t) имеет вид ( 1 . 1 0 ) ) .

(F) Функционал Sf в (О.Ъ) положительнЬ определен на подпрострап*

стве ЗИ⁰ процессов х(-), и(-), Ix(-) I е= L²( 0 , ° ° ) , \и(-) I <= £²( 0 , оо), г/<Эов- летворяющих уравнению (0.1) и условию # ( 0 ) = 0:

Э б > 0 : | " У Л > б | ( | ж 1 * + M²) d * о о

( V * . ( 0 *^и (•)• ^dxi ^dt » ^л( 0 * + ^ь ( 0^м> * ( ° ) ^в о ) .

(1.12)

(G) Существует такое число б > 0 , чго для любых комплексных век­

торных функций x(t), u(t), \х(-) I + Iи(•) I *= L²( 0 , Г ) и для любого со, 0 ^ о) < 2я, связанных соотношениями

• ^ « 4 ( * ) а ? + Ь ( * К я ( Г ) ^ Л ( 0 ) , справедливо неравенство

т т Sf ^т - J у ( * , . м ) > б j ( | х |² + | a I²) dt.

о о

Пусть выполнено любое из условий ( А ) — ( G ) . Тогда матрица R(t)

^ (D) и ( Е ) определяется однозначно и для нее справедлива формула

R(t) = ~^(t)X(t)-\ (1.13) где W(t), X(t) — матрицы ( 1 . 7 ) . Оптимальный процесс (при любом

#(0) = а) доставляется регулятором *

u(t)^r(t)*x(t), (1.14) где г(t) — матрица (1.10). При этом X(t)-r матрица фундаментальной

системы решений оптимальной системы (0.1), (1.14).

Формула (1.14) для оптимального управления сразу следует из рав­

носильности утверждений ( А ) и ( Е ) . Действительно, подставляя в (1.11)

Сибирский математический журнал № 4. 1986 г.

оптимальный процесс х ~ x(t), u=*u(t) и интегрируя от £ = 0 до £ = оо^? получим

оо

2Sf = a*i? (0)а + { | Г ( * )^{1 / 2} И * ) - г (*)* а? ( * ) ] |² dt. (1.15) о

Так как J 3 ( ) —гурвицева матричная функция, то управление (1.14) до­

пустимо. Из (1.15) вытекает, что оно оптимально, а также что 1 п ! ^ = - а * Л ( 0 ) а / 2 .

В случае постоянных коэффициентов уравнения (0.1) и формьь

*3 (t, х,и) = ^с3 (х, и) из единственности матрицы R(t) и условия R(t-\-T)^~

= R(t) выводим, что R(t) = R = const, а значит, и r(£) = r = const. При этом (1.9) переходит в уравнение Лурье RA + A*R + G = (Rb + g) Г*"¹ X X (Rb + g) *, которое лишь формой записи отличается от «разрешающих уравнений», введенных А. И. Лурье (см. подробнее [17, с . 5 9 ] ) . Частот­

ное условие (1.6) теперь эквивалентно условию ' d e t i f ^ ^ — mhn] Ф 0 ( У ш ^ ( ~ о о , + о о ) )⁷ которое, как легко проверить, равносильно частотно­

му условию [17, с. 51, формула ( 2 . 2 3 ) ] . Согласно [8] в случае постоянных коэффициентов условие (1.8), эквивалентное условию

detZ(0)

9

0,

но вытекать из частотного условия (1.6). Этот факт, может быть доказан и непосредственно. В следующей статье будет показано, что в случае пе­

риодических коэффициентов (1.6) й (1.8) — независимые условия.

Из теоремы 2 могут быть выведены разные утверждения, относящие­

ся к оптимизационной задаче (0.1) — (0.3). Сформулируем одно такое предложение.

Теорема 3 (о стабилизации). Пусть уравнение (0.1) управляемо (или Ьг-стабилизируемо) и 9 — произвольная формй, удовлетворяющая усло­

вию ( F ) , например 3 6 > 0 : 9(t, х, и)> 6 ( Ы²+ . Ы²) (V£, х, и). Суще­

ствует Т-периодическая nXm-матричная функция г ( £ ) . такая, что (1.14) — экспоненциально стабилизирующий регулятор для уравнения (0.1) (система (0.1), (1.14) асимптотически устойчива) и он доставляет оптимальный процесс #(•)> ^и(') ^в задаче (0.1) — (0.3)^ с любым вектором

%(0) = а. Матричный коэффициент r(t) определяется формулами (1.10), (1.13), где X(t), (t) — матрицы (1.7), Любой Т-периодический экспо­

ненциально стабилизирующий регулятор (1.14) оптимален в указанном смысле для некоторой формы 8-(t, x^f u ) .

Поскольку управляемая на каком-либо интервале [£⁰, ti] пара (А(-), &(•)) является /^-стабилизируемой, то первая часть теоремы 3 — прямое следствие теоремы 2. Вторая часть теоремы тоже следует из тео­

ремы 2, а именно из утверждения (D) и заключения. Действительно, по условию В(-)^А(-)+ b(-)r(-)* гурвицева матричная функция. Возь­

мем произвольную дифференциальную функцию R(t), R(t+ Т) = R(t)=^

= / ? ( £ ) * , произвольную функцию Г(£) = T(i)f > 6⁰/^m, определим G(t) из (1.9) и g(t) из (1.10). Тогда выполнены все условия в ( D ) , поэтому

(1.14)—оптимальный регулятор. /

Соотношение (1.8) тесно связано с осцилляторными свойствами ре­

шений уравнения (1.4) — см. [32]. Приведем одно из возможных опреде­

лений колебательного и неколебательного уравнений (1*4) и опишем со­

держательный смысл этих понятий. Просто проверить (см., например, [31, гл. 3 ] ) , что для любого t эволюционная матрица Z(t) уравнения

(1.4) —симплектичеекая .матрица, т. е. удовлетворяет уравнению Z*2fZ^

'***3\ Известно, что группа S p^{2 n} симплектических матриц гомеоморфна топологическому произведению связного и односвязного топологического пространства на окружность Т. Для Z в S p^{2 r t} положим по определению

A r g Z = A r g det (X^t + iX^z)^t где Z *=

X^t1 X² -

(1.16) Xii 4^ — матрицы размера я Х в , (Определение корректно, ибо можно по-

казать, что d e t ( Z⁴ + 1Х²)Ф 0 при 2 е 8р^{2 п}.)»Одно^{и з} непрерывных отобра­

жений S p2 n Т такое, что индуцированное отображение фундаменталь­

ных групп — изоморфизм, дается формулой Z e^i(p, где ф — Arg Z.

Уравнение (1.4) называется неколебательным, если приращение ар­

гумента * • •'

A A r g Z ( . ) | S - A r g Z ( 0 - A r g Z ( 0 ) (1.17)

— ограниченная функция при t ~+ о°, и колебательным в противном слу­

чае. Можно показать, что для уравнения с гамильтонианом (1.5) неогра­

ниченность функции (1.17) равносильна тому, что она стремится к + ° ° при / ~у 0 0. Итак, колебательность уравнения (1.4) означает, что точка Z(t) неограниченно «закручивается» в «торе» S p^{2 n}.

Уравнение (1,4) называется сильно, неколебателъным, если оно неко­

лебательно и это свойство сохраняется при любой малой (в L-норме) де­

формации гамильтониана H(t).

Оказывается, что при наличии условия (1.6) условие (1.8) равно­

сильно неколебательности уравнения (1.4) (с гамильтонианом ( 1 . 5 ) ) , а оба эти условия равносильны сильной неколебательности уравнения

(1.4). Итак, любое из утверждений ( A ) — (G) теоремы 2 равносильно лю­

бому из приведенных ниже утверждений.

(Н) Уравнение (1.4) вполне неустойчиво (выполнено (1.6)) и не­

колебательно (| Д Arg Z (•) |о | ^ c o n s t ) .

(J) Уравнение (1.4) сильноfнёколебателъно.

Доказательство этих фактов будет приведено в следующей статье.

Там же будет показано, что в функциональном пространстве гамильто­

нианов { # ( • ) } (с L-нормой) множество гамильтонианов, отвечающих вполне неустойчивым уравнениям, распадается на счетное число откры­

тых связных и односвязных областей и лишь для одной из них соответ­

ствующие уравнения неколебательны. Именно в эту область попадают гамильтонианы (1,5) при условии разрешимости указацной оптимизаци­

онной задачи. Отсюда следует, в частности, что условия полной неустой- чиво®ти (1.6) и неколебательности (1.8) независимы.

Перейдем к исследованию оптимизационной задачи (0.1) — (0.3).

§ 2. Необходимые условия в оптимизационной задаче

Пусть А(), Ь ( - ) ~ - периодически стабилизируемая пара, но. предпо­

ложения Г(t)> T f⁰/ m > 0 пока не делаем.

В этом параграфе будет показано, что из ( А ) вытекает неравенство Г ( 0 > 8 , а при Г ( 0 > б /т> 0 > Х А ) " * ' ( С ) . Пусть выполнено ( А ) .

Необходимые условия оптимальности можно получать разными спо­

собами. Мы воспользуемся абстрактной теорией оптимизации [33]. ^s Согласно [33] должны быть выбраны пространства X , Y , Ua сг U , Уравнения (0.1) и # ( 0 ) = а должны быть записаны в виде абстрактного Уравнения F (х, и) = Оу, где х е X , и е U^a. В качестве пространств X , U, Ua, Y берем пространства *^} Х « W j[ ( 0 , o o ) - * Rⁿ] , U⁹ = U =

^ 21 ( 0 , o o ) - > R^m] , Y = Y⁴X Y², Y⁴« Z* [ ( 0 , « ) - R « ] , Y²- R * . Схема [33] требует однозначной разрешимости уравнения F (х, и) « Оу относи­

тельно х е Х при фиксированном й ^ и , Для уравнений (0.1) и х(0)=*а это имеет место, если А (•) — гурвицева матричная функция. В общем слу-

*) Здесь WgKO, oo)-^Rn]—пространство Соболева п^векторнозначных абсолютно непрерывных функций х(>): (0, o o ) ~ * R * с нормой \\x{-)f = j ( | х (t) |а+ | х (t) ?)dt.

Аналогичный смысл имеют другаш подобные СИМВОЛЫ.

13*

чае, вспоминая, что iA(-), Ь()} — периодически стабилизируемая пара, делаем замену

Ui(t)^tt(t)+:c(t)^x(t)- (2.1) такую, что А±(-) = А(-)+ Ь()с(-)* — гурвицева матричная функция.

В качестве абстрактных управления и состояния берем щ(-)&U, #(-)е=

е Х и считаем, что отображение у = F[x(), и()] определено формулами yi(t) = dx{t)/dt - AiWxit)- b(t)ui(t), г /²^ = х ( 0 ) - а , где у = [ i / i ( ) , yz] e

«= Y, t /^t( - ) e Y , , i/²€= Y². При этом уравнение JF[ # ( ) , И ( • ) ] = Оу равно­

сильно исходным уравнениям (0.1) и # ( 0 ) = а.

Согласно (0,3) подлежит минимизации функционал

оо

Ф [ ж ( - )⁾ « i ( - ) ] = J s ^ M ( ' W ' ) ] ^ . (2.2) где

(£, а?,Mj) = . ? ( £ , х^л u^t — с ( £ ) * х) =

- у С ^ ^ ж + г ^ ^ О ^ + ^ Г ^ л ) . (2.3) Так как (?i(£), g^t( £ ) , Г(£)-— ограниченные матричные функции, то инте­

грал в (2.2) сходится для #(•)«= X , 1 г⁴( ) е и , т. е. Ф: X X U R¹. Итак, рассматриваемая задача сведена к абстрактной схеме [33].

Пусть х(-), Ui(•) — оптимальный процесс. Применим теорему 1.1 [33].

Очевидно, что выполнено условие ( А ) [33]. Уравнение у — 8^x{.⁾F(x(-)¹

Ui(-)\ h(>)) относительно h(-)^X совпадает с системой yiity^dhW/dt-AtWhit), yz = h(0).

При # == fj/i*(), yzl^Y эта система, очевидно, однозначно разрешима от­

носительно fe(-)eX, т. е. выполнено условие ( В ) [33].

Лагранжиан L = l*F + Ф задачи (/* е Y * ) имеет вид

оо оо * ,

L = j 9^xdt + J t|> (t)* (dx/dt — A^xx + Ъи^г) dt + it [x (0) — а], ^щ (2.4)

о 0

где я|?(-)'^ Y^{l f} !^{2 e}Y² однозначно находятся из абстрактного сопряженно­

го уравнения = 0. Ищем if>() в более узком классе \ f > ( - ) e X . Тогда

\x(t) I + \ty(t) I ~>- 0 при ^ оо и L преобразуется к виду ОО 00

Ь = — J <Ж^Х^— J + ( /² — ^ (0))* д: (0) — г*а, (2.5) о о

где 3%?i =5^1 (f,-.ip(0, # ( 0 > М О ) » причем

Ж ( « , ^ , я, B i ) « i | ) * ( i 4 ( 0 * +^b( ? ) ' » i ) - ^ i ( ' » М - (²-⁶) . Уравнение (т. е. 63 C {.)L ( x ( ) , w ( ) l f e ( ) ) = 0 У Л ( ) е = Х ) удов­

летворяется, если h ф(0) и

<й|)уШ == — ( = — + С^хж + g ^ ) . (2.7) Так как А^{(-) — гурвицева матричная функция, то из (2.7) однозначно

определяется г|)(-)е=Х. В силу единственности найденный функци­

онал / * ~ [ i | ) ( - ) * , является искомым. ,

В качестве липшицева пучка кривых и (г 1ц) [33, теорема 1.1] возь­

мем стандартный пучок иф, e l i ? ( ) ) = М 0 +^{8 У}( 0 » где v(-)&U. По тео­

реме 1.1 [33] выполнено (1.22) [33], т. е.

1 00

S «^{l (}. ) L (dL/дщ(.•))v(.) - - J (DM^x/du^x)v(t)dt^Q о

для всех Следовательйо, (дЖ^х/дщ)^0. Это уравнение и урав-

нение (2.6) совпадают с двумя последними уравнениями (1.2), причем в (1.1) Ж(1, tf, х, u) = a%>i(t, г|}, х, щ). Итак, доказана

Лемма 1. Из условия ( А ) следует:

( А ' ) для любого a e Rⁿ система (1.2) имеет решение я ( - ) е Х , ф(*)<=

е Х , u(')^U такое, что .г (0) = а.

В качестве х(-), и(-) может быть взят оптимальный процесс в за­

даче ( 0 . 1 ) - ( 0 . 3 ) .

Возьмем в качестве пучка и(г\\х) в теореме 1.1 [33] пучок простых игольчатых вариаций [33, раздел 2.1°]. Лагранжиан (2.5) имеет вид (0.11) [33]. Согласно утверждению в конце раздела 2.^° [33, с. 699] усло­

вие 6^{U l}( . ) L ^ 0 приобретает вид принципа максимума (0.12) [33], где Ж[Ь, и) = Ж(1, t| ) ( 0 , x(t), v) + const, т. е.*>

Ж^х(1, f (*), x(t), ь)<Ж^{{1, г| ) ( 0 , x(t), » t ( 0 ) . (2.8)

Здесь по-прежнему x(t), u(t) — оптимальный процесс, а t — точка непре­

рывности (или точка Лебега) функции Ut(-) и v & R^m —- произвольный вектор. Из (2.8) с учетом (2.6) и (2.3) следует упомянутое во введении утверждение.

Лемма 2. Условие ( А ) влечет T(t)>0 почти всюду.

Предположим теперь, как и в теореме 1, что T(t) ^ у⁰/ т > 0, и пре­

образуем необходимое условие, даваемое леммой 1, к более удобному

«формульному» виду. Так существует Т(1)"~~¹^уо~¹1^т, то законен переход к системе (1.3) и уравнению (1.4). Пусть L^{( + )}, L^{( 0 )}, — сум­

мы корневых подпространств матрицы монодромии Z(T). уравнения (1.4), отвечающих собственным значениям pj соответственно с Ipjl < 1, с | р^;| =

= 1 и с Ipjl > 1. Так как Z(T) — вещественная матрица, то спектр Z(T) расположен симметрично относительно вещественной оси (с учетом жор- дановой структуры матрицы Z(T)), а это значит, что каждое из подпро­

странств L( + ), L( 0 ), Z /( _ ) вещественно. Вещественность подпространства означает его инвариантность относительно операции комплексного со­

пряжения или, что то же [31, гл. 1], возможность выбора в нем вещест­

венного базиса. Так как Z(Т) — симплектическая матрица (т. е. Z = Z ( r ) удовлетворяет уравнению Z*/Z = / ) , то спектр матрицы Z(T) с учетом ее жордановой структуры (т. е. числа и порядка элементарных делите­

лей) расположен симметрично относительно единичной окружности [31, гл. 3]. Отсюда следует, что размерности = d i m L^{( ± )} совпадают: kⁱ⁺⁾ —

Так как C^{2 n} - £,<+> 4- L⁽⁰⁾ + L⁽~\ то In - 2k^w + &<°\ где &^{( 0 )} =

— d i m L^{( 0 )}. Решение z(t)=*[x(t), $(t)] уравнения (1.4) обладает свой­

ством I ( - ) E X , t|)(-)e=X (свойством I z ( - ) I e L²( 0 , ^{0 0}) ) тогда и только тогда, когда z ( 0 ) e = L^{( + )}.

Лемма 3, Условие ( А ' ) равносильно условию:

( А " ) удовлетворяется частотное условие (1.6) (и, следовательно, корректно определены матрицы ( 1 . 7 ) ) , а также d e t X ( 0 ) ^ 0.

При выполнении условия ( А ' ) решение х(-), t|)(-), и(-) в ( А ' ) опре­

деляется однозначно.'

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть выполнено ( А ' ) . Так как для любого

a == # ( 0 ) < = Rⁿ существует ре1нение %(t) уравнения (1.4) со свойством Iz(-) | е= L²( 0 , 00), то имеется по крайней мере п линейно независимых решений с этим свойством. Поэтому / с^{( + )} > п. Так как 2п =* 2k^{+) + fcⁱ⁰⁾, то к^{+) = п, к^т = 0. Последнее равенство означает, что нет собственных значений р, с Ipjl = 1, т. е. выполнено частотное условие (1.6). Итак, корректно определены матрицы (1.7). 4

Решения Zj(£) = [xj(t), tyj(t)], j = 1, . . . , п,— полпый набор линейно независимых решений уравнения (1.4) со свойством ж ( ) ^ X, г|)()<= X .

** В [ 3 3 ] для простоты рассмотрен случай кусочно-непрерывных 'управлений

г / (•). Легко видеть, что доказательство проходит £ естественными изменениями для

(лучая локально суммируемых управлений и(-).

Произвольное вещественное решение с ьтц свойством есть

'z(t)-X(t)c^f i j ) ( * J - V ( f t c ( с е Г ) , (2.9) Покажем, что йе%Х(0)Ф0. Пусть d e t X ' ( 0 ) = Q, r * X ( 0 ) = 0, r e R « ,

г ^ О . Из (2.9) следует, что при # ( 0 ) = а, г*аФ0 уравнения (2.9) не­

разрешимы относительно с, что противоречит ( А ' ) . Итак, d e t Х ( 0 ) ^ 0 , т. е. ( А ' ) = * { А " ) .

Пусть выполнено ( А '⁷) . Из (2.9) для t =*= 0 имеем а = Х ( 0 ) с , откуда однозначно определяется вектор с, а значит, и # ( • ) , ф ( ) с указанным в ( А ' ) свойством. Из третьего уравнения (1.2) однозначно находится u(t^V(ty%b(t)^(t) — g(t)Hit)l Лемма 3 доказана.

Изложенное показывает, что (необходимое условие, даваемое ^прин­

ципом максимума, эквивалентно условию ( А ' ) , а значцт, и ( А " ) . Пе­

рейдем теперь к установлению дополнительного необходимого условия detX(t)^ 0 (Vt>0), которое, как покажет специальный анализ, явля- , ется независимым от принципа максимума, т. е. может не выполняться,

хотя условие ( А ' ) выполнено.

Лемма 4. Пусть выполнено условие ( А ) , а значит, и ( А ' ) . Тогда пара #(•), и(-) в условии (А') — оптимальный процесс в задаче

( 0 . t ) - ( 0 . 3 ) .

Действительно, пусть х ° ( - ) , и°()~~ существующий согласно усло­

вию ( А ) оптимальный процесс в этой задаче. По лемме 1 найдется функ­

ция -ф⁰(*)€=Х такая, что # ° ( ) , i | ?⁰( ) , и°()— решение системы (1.2). По лемме 3 тройка # ( • ) , « ф ( ) , и() с указанными свойствами определяется однозначно, т. е, х(-)=* х⁰(), и u^Q()—оптимадьный процесс.

Лемма 5. Пусть любое решение уравнения dx/dt = Ai(t)x, где

\Ai(t) I < const, обладает свойством \х(-) \ ^ Ь²(0, «>). Пусть d^Jdt =

— — А * е £ ,²( 0 , оо). foa^a 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеем d(t|?*a:)./di — 0, ty(t)*x(t)^const. Из hr(-) I, '|<£г(*)Л2*1 €= £²( 0 „ оо) следует \x(t) I 0 при £ о о . Поэтому и

* 1ф(£) I 0 при t оо, §(t)*x(t)^0. Так как вектор #(£⁰) может быть любым, то IJ)(^)SB 0.

Лемма 6.' Пурть х*** х(t), ф = ф(£), и == u{t)— решение системы (1.2) со свойством \х('У\ + \щ) I ^е Z/²(0, оо), Тогда*

оо •

J ^ ( f , a : , u ) d ^ ^ i - i | ) ( 0 f a : ( 0 ) . (2.10) Д о к а з а т е л ь с т в о . Из третьего уравнения (1.2) имеем и'($) =

— Т~^Х{$*Ъ — g * # ) , \и(*)\ е ' Ь²( 0 , оо), поэтому интеграл в (2.10) сходит­

ся. Согласно (1.1) 9 = — Ж Интегрируя по частям* с использова­

нием условия . !ф(01 -* 0, \x(t) I 0 при £ оо (которое следует из ( 1 . 2 ) ) , получаем

; 2 ] 9dt - J + j (<ф*ж — 25$) eft « f *ж + | ( - ^ * * + i*^—2M)dt^

о 0 9 0

~ . - * ( 0 ) * * ( Q ) 4 - * + ^ + M u - 2 ^ ] d f . (2.11) Мы воспользовались здесь уравнениями (1.2). Так как Ж *~ квадратич­

ная форма переменных ж, щ то по теореме Эйлера выражение в квад­

ратной скобке равно тождественно нулю, и мы имеем (2.10).

Лемма 7. ПуЬтъ x^x(t), ••if^mif(t)y и«u(t)рщшешие системы

(1.2), причем x(t⁰)*** 0. ГогйЬ ,

| f ( ^ , ^ (2.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о получается из предыдущей выкладки (2.11 ) \ если заменить в (2.11) o ol Ha i0.

Лемма 8 (аналог необходимого условия Якоби). Пусть x(t), u(t)-~

оптимальный процесс в'задаче (0.1) — ( 0 . 3 ) и х(0)^аФ 0. Тогда х(1)Ф0 при t > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное: х (t⁰) = 0, t⁰ > 0. По лемме 1 существует такая функция ф(£)', что x(t)^b u(t), ty(t)— решение системы (1.2) с о свойством \х(-)\ + e t2( 0 , оо). По лемме 5 вы­

полнено ( 2 . 1 0 ) . Построим процесс [#i(*}, полагая . Ui(t)]^

= [#(£), u(t)] при 0<t<t^Q и [xi(t)^y Ui(t)] = 0 при t>t⁰. Этот процесс допустим, так как #i(O) = 0, почти всюду верно (0.1) и в силу условия х(и)~0 функция x^t(t) непрерывна при t = а значит, и на [0, оо}.

Имеем

во *0

3f^t — J <$ (t^yXi, u^t)dt a* J У (t, а;, и) = — i- ф (0)*a.

о ⁰

Последнее равенство выполнено согласно лемме 6. Сравнивая, с (2.10)\

получаем, что # i ( ) , Ui() — тоже оптимальный процесс. Следовательно, существует такая функция ф⁴( • ) , что . z , ( - )^v U j ( - ) , ф⁴"(•) — решение си­

стемы (1.2) со свойством U ( - ) I + ] ф ( ) I ^ L²( 0 , оо). По лемме 3 x(t)^

-#*(£), u(t)=~Ui(t), ty(t) = i\(t), т. e. x(t)^0, u(t)^0 при t > t«.

Из (1.2) (или из ( 1 . 3 ) ) имеем dty/dt= —A(t)*ty, $*b(t)**0 при t>t⁰ и, следовательно, dty(t)/dt = — Ai(i)+ilp(t), где А⁴( ) = А ( - ) + Ъ(•)с

гурвицева матричная функция. По лемме 5 г|)(£) — 0 при t > t⁰.

Итак, решение z(t) = [x(t), ty(t)] уравнения (1.4) обладает свой­

ством z(t)^z 0 при t>t0. Поскольку z(t) = Z(t)z(0), то z ( 0 ) = 0, т. е.

#(0) = a = 0. Противоречие показывает, что х(Ь)Ф 0 при £ > 0 .

З а м е ч а н и е . Из приведенного выше доказательства следует так­

же, что если x(t), u(t)— оптимальный процесс в задаче (0.1) —(0.3)?

и # ( 0 ) = 0 , то x(t)^0, к ( 0^s5 0.

Лемма 9. Пусть выполнено условие ( А ) . Тогда ,detX(t)¥= 0 пр&

£ > 0 . «Бош u(t), ty(t)—произвольное решение системы (1.2) м !«(••) I + 1ф(-)1^е ^ ( 0 , оо)., я ( 0 ) = ^ 0 , г о # ( £ ) ^ 0 при t>0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . По леммам 1, 4 #(•)> и( •) —- ойтимальный процесс в задаче (0.1)-— ( 0 . 3 ) . В силу леммы 7 ^лх^)Ф 0 при £ > 0 . Пусть d e t X ( *⁰) = 0 , £⁰> 0 , и Х(£⁰)Со = 0, с⁰^ 0 . По лемме 3 d e t X ( 0 ) ¥ = 0 , т. е, U> 0. Функций (2.9) с с с⁰ удовлетворяют системе (1.2) и \х(-) I + + 1ф(-)1 е £²( 0 , оо). При этом а = = ж ( 0 ) = Х ( 0 ) с^в^ 0 , ибо d e t X ( 0 ) f - 0 . По доказанному x(t⁰) = X(t⁰)c^Q¥= 0. Противоречие означает, что йвЬХ(и)Ф 0, что и требовалось доказать.

Выше было показано (леммы 1, 3 ) , что. из условия ( А ) следует час^

тотное условие ( 1 . 6 ) . Мы доказали теперь, что из условия ( А ) вытекает неравенство d e l Х Ц ) Ф 0 (vt>0): Итак, (А) ( С ) .

§ 3. Доказательство теоремы 2

В этом параграфе будет доказана теорема 2 в предположении, что T(t)> Ыт > 0 и Ы ( ) , &(•)) — периодически стабилизируемая пара. Из теоремы 1, доказанной независимо в § 4, следует, что теорема 2 справед­

лива и в предоодожении //^-стабилизируемости пары L 4 ( ) , b(-)}.

Равносильность утверждений ( A ) — (F) докажем, установив две по­

следовательности импликаций: * / ^{? х}

( A ) ^ ( C ) ^ ( D ) ^ ( E ) ^ ( A ) , ( 3 1 ) ( C ) ^ ( B ) ^ ( F ) ^ ( A ) . / ( 3 . 2 }

Импликация ( А ) / ^ (С) доказана выше. Bee дрочив ймшшказри ус-

тановим лишь в предположении Г (t)> ^J^m > О, и это обстоятельство будет использовано далее.

( C ) = ^ ( D ) . Пусть выполнено частотное условие (1.6) и d e t X ( £ ) ^ 0 при 0 < t < Т. Покажем, что матрицы Х ( £ ) , W (t) в (1.7) имеют вид

X ( ( ) - . P¹( * j e^{W e}' , V(t)-P²(t)e^No\ (3.3) где Pj(t + T) — P}(t) и iVo — гурвицева п X гг-матрица; Pj(t) и iVo — вооб­

ще говоря, комплексные матрицы. Пусть по-прежнему Z(t) — эволюцион­

ная матрица уравнения (1.4). По теореме Флоке — Ляпунова [31].

Z(t)=*P(t)e^Nt, где P(t+T) = P(t), iV==const, причем 2п X 2гс-матрицы P(t) ж N могут быть и комплексными (хотя Z(t) —- вещественная матри­

ца). Пусть Vj — собственные значения матрицы N. Тоща = exp(vjf) — мультипликаторы уравнения (1.4). Частотное условие (1.6) означает, что Ipjl Ф 1, т. е. что R e v j ^ 0. Поэтому

1 \ ^Ni о

* - * " ' [ о - - л

0 • 0 е~"*\ 5,

где Ni и iV² — гурвицевы матрицы, S — неосрбая 2п X 2/г-матрица. Ё си­

лу симметрии спектра Z(T) относительно единичной окружности матри­

цы Ni и N^z имеют размер пХп. Обозначая Р(t) S"¹ —Q (t) и разбивая Q(t) на четыре п X тг-подматрицы Q(t)= WQjh(t)W, получим

е 0 1 IQuWe Q²ⁱ(t)e 1 О е ² J LCⁱ⁹(t)e ' . ^ ( О * ¹ Первые столбцов матрицы (3.4) образуют полный набор линейно не­

зависимых решений Zj(t) = [xj(t), % ( 0 ] уравнения (1.4) со свойством Uj(-) I ^е £г(0, оо). Произвольный набор линейно независимых решений уравнения (1.4) с указанным свойством совпадает со столбцами матрицы

при подходяще выбранной гг X га неособой комплексной матрице С.

Здесь NQ — C^NIC и Pj(£) = Qji(t)C. Набор решений (1.7) обладает до­

полнительно свойством вещественности. Согласно изложенному он имеет вид (3.5) с некоторой, вообще говоря, комплексной матрицей С. Так как Q(t + T)=~Q(t), то Pi{t + T) = Pi{t). Итак, введенные в § 1 матрицы X(t) и W(t) имеют вид (3.3).

Из (3.3) следует, что detX(t) = АеЬР^А(Ь) ехр (SpiV,0- Так как detX(t)¥*0 при 0<t<T и P,(£ + Г) = />,(£), то d e t P i ( 0 ^ = 0 при 0<t^T и d e t X ( 0 ^ 0 при всех t > 0. Положим '

R(t)^^w(t)X(t)-K , (з:в) Так как Ч^г (t) и Х ( £ ) ~ - вещественные матрицы, то R(t) — вещественная¹

матрица. Из (3.3) вытекает, что R{t + Г ) = R(t).

По свойству ^-ортогональности корневых подпространств матрицы Z(T) с собственными значениями р^и р², р⁴р² ^ 1 [31, с. 156] имеем

' 4(t)*X{t)~X(t)4'(t)~0. (3.7) Тождество (3.7) легко доказать и непосредственно. Для двух реше-

.ний Zi Zi(t) и z² = z²( 0 уравнения (1.4) выполнено d f ( z * ^ z²) / d f ssO.

2 * 5 % £ 2 c o n s t . Так как для решений = [#j, tyj] из (1.7) z^}(t) ~+ О при ^ оо, то для h h x z *Jz /i s 0 , что совпадает с (3.7). Из (3.7) сле-

Д у е т . Д Ш * = = Д М , : -