Вероятностная схема. Часть 1, ИТиВС , 2014, выпуск 2, 83–88

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Н. И. Аристова, Управление уровнем автоматизации при производстве роботов.

Вероятностная схема. Часть 1, ИТиВС , 2014, выпуск 2, 83–88

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 21:34:19

(2)

при производстве роботов.

Вероятностная схема. Часть 1

Н.И. Аристова

Аннотация. . Рассмотрена вероятностная однопродуктовая модель производства роботов. Производится срав- нение трех схем организации дискретного производства: ручное, с использование роботов, изготовленных на другом заводе, и с использование роботов, произведенных на данном предприятии (самовоспроизведение).

Рассмотрен алгоритм оптимального распределения работ между роботами и людьми по критерию минимиза- ции участия человека в производственном процессе. Показано, что для достижения указанной цели и эффек- тивного управления предприятием дискретного типа с обратной связью по готовой продукции, необходимо использовать стратегию самовоспроизведения.

Ключевые слова: самовоспроизведение, роботы, обратная связь по продукции, уровень автоматизации, еди- ница рабочего времени робота, вероятность правильного выполнения.

Введение

Задача распределения работ между оборудо- ванием и человеком является традиционной для машиностроения. На заводах этим занимаются диспетчерские и планово-распределительные бюро (ПРБ), которые каждодневно решают эту задачу. Однако в теоретическом плане эта зада- ча переборная и оптимальное решение требует громадных вычислительных ресурсов. Множе- ство работ посвящено получению оценок ре- шений, т.к. точное решение невозможно. При постановке задачи используются значения вре- мени выполнения технологических операций.

Но реальная задача еще более сложна, посколь- ку стоимость конечного продукта определяется не только и не столько временами выполнения операций, сколько уровнем брака, который и определяет стоимость годного изделия.

Дело в том, что даже очень маленький уро- вень брака на отдельных операциях при боль- шом числе операций в изделии приводит боль- шому уровню брака в готовом изделий. В предлагаемой статье предпринимается попытка

решения задачи распределения работ между роботизированным комплексом и человеком при наличии брака в производственном процес- се. Рассматривается дискретное производство с обратной связью по готовой продукции.

1. Постановка задачи

Рассматривается производственный процесс по изготовлению роботов, в котором задейст- вованы люди и роботы. Роботы характеризуют- ся ограниченным сроком службы T. Отсюда возникает необходимость в наличии обратной связи по готовой продукции: робот со склада готовой продукции заменяет робота, вырабо- тавшего свой ресурс, на конвейере. Будем рас- сматривать технологические операции, которые может выполнять как человек, так и робот. В этом случае себестоимость выпускаемого изде- лия складывается из затрат робота и трудоза- трат человека.

Задачей настоящей работы является нахож- дение оптимального распределения работ меж- ду человеком и роботом. Проблема возникает

(3)

ПРИКЛАДНЫЕ АСПЕКТЫ ИНФОРМАТИКИ Н.И. Аристова

из-за того, что существуют операции, выполне- ние которых роботом может оказаться неэффек- тивным из-за его ограниченного срока жизни и вероятностного выполнения технологических операций. Определение необходимой степени автоматизации α должно проводиться по крите- рию минимизации участия человека в производ- ственном процессе.

2. Ручное изготовление

Рассмотрим предприятие по производству роботов, на котором все технологические опе- рации выполняют люди. Будем предполагать, что вероятность правильного выполнения тех- нологической операции человеком q меньше 1.

Это предприятие не автоматизировано. Схема такого производства показана на Рис. 1.

Для изготовления робота на конвейере ис- пользуется m видов технологических операций.

Все операции выполняются человеком. Рабочий А1 выполняет технологическую операцию пер- вого вида с вероятность правильного выполне- ния q₁, рабочий A2 – технологическую операцию второго вида с вероятность правильного выпол- нения q₂ и т. д. То есть технологические опера- ции могут быть выполнены человеком непра- вильно, и бракованный технологический узел перейдет на следующую технологическую опе- рацию. Готовый робот R выходит с конвейера и поступает на склад готовой продукции. Вероят- ность правильной сборки робота равна P.

Человек затратит на изготовление робота на данном предприятии время:

∑

=

= α

Φ ^m

j j ja n

1

1( 0) _{, (1)}

где nj - общее число операций j-го вида, необ- ходимое для изготовления робота, m - общее число видов технологических операций, ис- пользуемых при сборке робота, a_j- время, за- трачиваемое человеком на выполнение опера- ции j-го вида. Однако изготовленный за время (1) робот из-за ошибок изготовления будет год- ным только с некоторой вероятностью P. Вы- числим эту вероятность.

Предположим статистическую независи- мость всех технологических операций по сбор- ке робота, т.е. будем предполагать, что вероят- ность правильно выполнить операцию не зависит от вероятности правильного выполне- ния других операций.

Тогда вероятность изготовления годного ро- бота человеком равна:

∏

=

α ^m

j n j

q j

P

1

0)

( , (2)

где qj - вероятность правильного выполнения технологической операций j-го вида человеком.

Запишем стоимость робота на предприятии с учетом вероятности правильного выполнения операций человеком:

∏

∑

=

= α

Φ _m

j n j m

j j j

q j

n a )

( 0

1 (3)

Стоимость единицы рабочего времени робота зависит от времени его жизни и вероятности пра- вильного выполнения технологических операций и для ручного производства принимает вид:

Рис. 1. Схема ручного изготовления робота

R 1

rm j =

r1 А1/q1

m ...

2

Am/qm

А2/q2

r2

…

… Склад

P Брак Контроль

(4)

∏

=

∑

_m

j n

j m

j j j

q j

n a T ) 1 0

1(

λ

^{. (4)}

3. Использование роботов,

изготовленных вне предприятия

Рассмотрим далее предприятие, на котором часть операций выполняет человек, а часть операций автоматизирована. Для автоматиза- ции некоторых операций на данном заводе ис- пользуются роботы, изготовленные на заводе, где автоматизация отсутствует.

В схеме, показанной на Рис. 2, теоретически каждую технологическую операцию может вы- полнить или робот, или человек. Задача состоит в том, чтобы распределить выполнение техно- логических операций между роботами и людь- ми таким образом, чтобы стоимость изготов- ленного робота была минимальна. При этом и роботы, и человек выполняют технологические операции с некоторой вероятностью правиль- ного изготовления. Конструкция реальных ро- ботов не позволяет выполнять все виды техно- логических операций. Среди «невыполняемых»

могут быть и те, которые необходимы для их собственного изготовления. Более того, не все потенциально выполняемые технологические операции выгодно автоматизировать для мини- мизации стоимости изготавливаемого робота.

Алгоритм выбора оптимального уровня авто- матизации будет изложен ниже. Формализуем вначале процедуру вычисления стоимости ро- бота в этом случае.

Вероятность правильного изготовления но- вого робота совместно человеком и роботом, изготовленном на другом предприятии, при ус- ловии их статистической независимости равна:

j j j

j n

j m

j n

j p

q

P ⁽¹ ⁾

1

)

(α ^α ⁻^α

∏

=

= ^{, (5)}

где p_j и q_j - вероятность правильного выполне- ния операции j-го вида роботом и человеком соответственно, α_j - степень автоматизации операции j-го вида.

Степень автоматизации операции j-го вида может принимать только значения в диапазоне:

0≤

α

j ≤1 (j =12, ,..., )m . Степень автоматизации определяет, какая часть одинаковых технологических операций данного вида выполняется роботом. При пол- ной автоматизации, когда все n_j операций j-го вида выполняет робот, α_j равно 1. На полно- стью неавтоматизированном предприятии все операции выполняет человек α_j равно 0.

Стоимость робота, выпускаемого на данном заводе, имеет вид

j j j

j n

j m

j n j m

j

m j

j j

q p

b n

n a

) 1 ( 1

1 1

1 2

) 0 ( )

1 ( ) (

α α

λ α α

α

−

=

= =

∏

∑

⁻ ⁺

∑

=

Φ ^{. (6)}

В (6) первая сумма в числителе описывает прямые затраты труда человека на производст- во данного робота с учетом вероятностного ха- рактера выполнения технологических опера- ций, вторая сумма – косвенные затраты труда человека с учетом вероятностного характера выполнения технологических операций.

Рис. 2. Схема производства при использовании «чужих» роботов

… 1

rm

j =

r1

А1/q1,R1/p1

m ...

2

Аm/qm, Rm/pm

А2/q2,R2/p2

r2 … R Склад

(5)

Стоимость единицы рабочего времени робо- та зависит от времени его жизни. Ресурс изго- товленного робота буден равен исходному вре- мени жизни T, поскольку робот никаких операций не выполнял. Тогда стоимость едини- цы рабочего времени робота при использова- нии на заводе труда человека и покупных робо- тов принимает вид:

j j j

j n

j m

j n j m

j

m j

j j

q p Т

b n

n a

) 1 ( 1

1 1

1 2

) 0 ( )

1 ( ) (

α α

λ α α

α

λ

−

=

= =

∏

∑

⁻ ⁺

∑

= ^{. (7)}

4. Изготовление

с самовоспроизведением

Рассмотрим далее предприятие, на котором часть операций выполняет человек, а часть операций автоматизирована. Для автоматиза- ции некоторых операций используются роботы, произведенные на данном заводе. Другими сло- вами, в этом случае реализована обратная связь по готовой продукции или используется схема самовоспроизведения роботов. При этом и ро- боты, и человек выполняют технологические операции с некоторой вероятностью правиль- ного выполнения. Схема такого производства приведена на Рис. 3.

Формула (6) определяет стоимость робота при его изготовлении с помощью покупных ро- ботов, стоимость единицы рабочего времени которых равна λ₁. При использовании покуп- ных роботов в (6) подставляется значение

) 0

1(

λ , а при использовании сделанных на заво-

де - λ₂(α)^.

Стоимость роботов, изготовленных с ис- пользованием роботов собственного производ- ства, будет равна:

j j j

j n

j m

j n j m

j

m

j j j j

j j j

q p

b n

n a

) 1 ( 1

1 2

3

) ( )

1 ( ) (

α α

α λ α α

α

−

=

∏

∑

⁻ ⁺

∑

=

Φ ^{. (8)}

Соответственно стоимость единицы рабоче- го времени робота будет равна:

j j j

j n

j m

j n j m

j

m j

j j

q p Т

b n

n a

) 1 ( 1

1 2 3

) ( )

1 ( ) (

α α

α λ α α

α

λ

−

=

∏

∑

⁻ ⁺

∑

= ^{. (9)}

Задача состоит в том, чтобы найти такой вектор автоматизации α, который бы миними- зировал выражение (9). Из-за нелинейности функции λ3(α) отсутствует замкнутое реше- ние по α. Однако возможно получить числен- ное решение. Как показано в [1], оптимальный вектор автоматизации αопт имеет своими ком- понентами только 0 и 1, что определяет пере- бор 2^m вариантов.

5. Пример

Пусть для изготовления промышленного ро- бота используется четыре вида технологиче- ских операций. Первую операцию робот вы- полнять не может. Остальные три операции могут выполняться и роботом, и человеком.

Ресурс изготовленного робота обозначим через T=600.

Рис. 3. Схема производства при использовании схемы самовоспроизведения Обратная связь по продукции

… 1

rm

j =

r1

А1/q1,R1/p1

m ...

2

Аm/qm, Rm/pm

А2/q2,R2/p2

r2 … R Склад

(6)

В Табл. 1 заданы временные значения вы- полнения четырех видов технологических опе- раций роботом и человеком, вероятности их правильного выполнения, а также число одина- ковых технологических операций.

Используя данные из Табл. 1, определим стоимость робота, изготовленного вручную:

∏

∑

=

Φ ₄

4

1(0) _m

j n j m

j j j

q j

n a

=265. (11)

Стоимость единицы рабочего времени робо- та будет равна

442 , ) 0 0 ) (

0

( ¹

1 = Φ =

λ

T ^{. (12)}

Результаты расчетов по формулам (6) и (8) для различных вариантов автоматизации сведе- ны в Табл. 2.

На Рис. 4 показана зависимость стоимости робота от разных схем автоматизации. В пер- вой позиции – стоимость робота при ручном изготовлении, когда вектор автоматизации

) 0000

α

( ^{содержит}^только^нули.^В^{остальных} позициях вектор автоматизации принимает по- следовательно все значения от 0001 до 0111 (четвертую операцию робот выполнять не мо- жет, и там всегда будет ноль).

Как видно из Рис. 4, минимальная стоимость без самовоспроизведения достигается при зна- чении вектора автоматизации 0100. При этом стоимость робота уменьшается от 265 до 165, то есть более чем в 1,5 раза. Использование

Табл. 1 Вид технологической

операции j

Время выполнения

операции человеком aj

Время выполнения

операции роботом bj

Вероятность правильного выполнения операции человеком qj

Вероятность правильного

выполнения перации роботом pj

Число одинаковых операции n_j

1 1 11 0,99 0,99 10

2 2 3 0,99 0,98 10

3 5 3 0,98 0,98 15

4 4 ∞ 0,99 - 10

Табл. 2

Вектор автоматизации α(0000) α(0001) α(0010) α(0011) α(0100) α(0101) α(0110) α(0111) Ф2 (без самовоспроизведения) 179 336 280 358 165 235 169 247 Ф3 (с самовоспроизведением) 265 304 270 313 151 190 144 186

Рис. 4 Стоимость роботов при разных уровнях автоматизации с использованием самовоспроизведения (серый), без использования самовоспроизведения (черный) 0

50 100 150 200 250 300 350 400

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

Вектор автоматизации, α

Стоимостьизготовленияробота

(7)

эффекта самовоспроизведения позволяет еще более снизить стоимость робота до 144 при значении вектора автоматизации 0110.

Отметим также, что автоматизация какой- либо технологической операции сама по себе может и не снизить стоимость изготавливаемо- го робота. Например, на рисунке, когда вектор автоматизации равен a(0001), a(0010) и a(0011), стоимость робота, изготовленного с/без исполь- зования эффекта самовоспроизведения, даже возрастает по сравнению с ручной сборкой.

Заключение

В современных условиях производства при наличии в арсенале предприятий сложных тех- нологических инструментов актуальной остает- ся задача нахождения оптимального уровня ав- томатизации [2, 3].

Основные выводы.

1. Выполнение всех технологических опе- раций только роботом в большинстве случаев не позволяет достичь максимального эффекта от автоматизации, так как любой робототехни- ческий комплекс имеет ограниченный ресурс и выполняет технологические операции правиль- но с вероятностью, меньшей единицы.

2. Для достижения оптимального уровня ав- томатизации необходимо проводить расчеты и определять компоненты вектора автоматиза- ции, позволяющие минимизировать затраты труда человека в производственном процессе.

При этом необходимо учитывать вероятност- ный характер выполнения технологических операций человеком и роботом.

Наибольшего эффекта от автоматизации технологических операций, выполняемых пра- вильно с вероятностью, меньшей единицы, можно достичь при использовании схемы про- изводства роботов с применением самовоспро- изведения, то есть на предприятиях с обратной связью по продукции.

Литература

1. Чадеев В.М. Управление использованием роботов для производства роботов // Автоматика и телемеханика.

1998. №12.

2. Ceryan O., Duenyas I., Koren Y. Optimal Control of an Assembly System with Demand for the End-Product and Intermediate Components // IIE Transactions 44 (5), 2012.

P. 386-403.

3. Lindström V., Winroth M. Aligning manufacturing strat- egy and levels of automation: A Case Study //Journal of engineering and technology management. 2010. (27). 3-4.

P. 148-159.

Аристова Наталья Игоревна. Старший научный сотрудник ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН. Кандидат технических наук. E-mail: avtprom@yandex.ru