М. М. Вишик, Неархимедовы меры, связанные с ря- дами Дирихле, Матем. сб. , 1976, том 99(141), но- мер 2, 248–260

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

М. М. Вишик, Неархимедовы меры, связанные с ря- дами Дирихле, Матем. сб. , 1976, том 99(141), но- мер 2, 248–260

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским согла- шением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 23:10:37

УДК 511.61

Неархимедовы меры, связанные с рядами Дирихле

М. М. Вишик (Москва) Введение

В работах Ю. И. Манина [2] и [3] построены некоторые р-адические L-функции, связанные с преобразованиями Меллина параболических форм относительно SL(2, Z). В предлагаемой статье получено обобще­

ние этих результатов, которое касается, в основном, двух пунктов.

Во-первых, мы рассматриваем параболические формы относительно Г⁰(А) с характером е. Во-вторых, допускается «рост р-адической меры»

и как следствие рост р-адической L-функции. Это позволяет включить в рассмотрение все простые числа, не делящие кондуктор А, и построить р-адические L-ряды с характерами Гекке мнимого квадратичного поля для простых р, остающихся простыми в этом поле (распадающиеся р уже разобраны в работе [4]; правда, для нераспадающихся р не удается включить в число аргументов вес). Это легко сделать с помощью основ­

ной теоремы § 3, если воспользоваться результатами об алгебраичности меры (см. [4]).

Мы используем более изощренную, чем в [2] и [3], конструкцию р-адического интегрирования, которая является эквивалентом методов р-адической интерполяции Амис — Велю [1]. Эти методы позволяют также получать р-адическое функциональное уравнение как следствие архимедова.

В дополнении к § 3 мы приводим по совету Ю. И. Манина явные формулы для собственных значений операторов Гекке, обобщающие теорему 1.3 статьи [2].

В § 4 рассмотрен пример совсем другого рода — конструкция комп- лекснозначных мер на группе Галуа, связанных с L-рядами Артина.

Автор приносит благодарность Ю. И. Манину, из бесед с которым возникла эта статья.

§ 1. Интегрирование неограниченных 5-адических мер

1.1. Пусть 5 — конечное непустое множество простых чисел и рб5.

Обозначим через Zs пополнение Z в S-адической топологии, и пусть Zs —группа единиц кольца Zs. Имеется канонический изоморфизм

Zs^®Zl (1) Пусть Ср — Qp — поле Тейта, хр —• композиция проекции Z*s-+Z*p и вложе­

ния zp с с*р.

1.2. Мы рассматриваем функции / : Z*s->CP, которые зависят в окрест­

ности каждой точки a£Zs только от р-компоненты в разложении (1).

Дополнительно мы зададим положительное целое h и потребуем, чтобы

— ^ / существовала и удовлетворяла условию Липшица. Пусть X (Zs) — dx^p

множество всех таких функций.

1.3. Пусть $A(Z$)— пространство Ср-функций на Z*s, локально являю­

щихся многочленом от х^р степени меньше h. Пусть V^p—конечномерное линейное пространство над Ср, || • [| — р-адическая норма на нем, | • | — норма­

лизованное абсолютное значение на Ср.

О п р е д е л е н и е , / i - д о п у с т и м о й м е р о й на Zs называется Ср-ли­

нейный функционал |х: %h (Z*s) ->• Vp, удовлетворяющий следующему усло­

вию роста:

Vi, 0 < * < / i , sup aez^s

J {Xp-ap)

dA = o{\mt

). (2)

a+(m) |

Интеграл в этом равенстве — запись значения \х на произведении много­

члена от х^р и характеристической функции множества а+(т)\ т-+0 в 5-адической топологии. Заметим, что условие (2) достаточно проверять для фиксированной системы представителей Ат классов Z*s mod m.

1.4. К о н с т р у к ц и я с у м м Р и м а н а . Пусть f, \i, Am — такие, как выше. Положим

b£Am b+(m) i=o

К о м м е н т а р и й . Мы приближаем функцию отрезком ряда Тейлора и «интегрируем» многочлен Тейлора согласно п. 1.3.

1.5. Л е м м а . Пусть Ат—другая система представителей Z*s modm.

Тогда S > (/=) — SA (fl-^O, когда m->0 в Zs. Д о к а з а т е л ь с т в о .

А™ Ь>£Ат Ъ'Нт) 1~°

В последнем равенстве b = b' mod т. Соберем в правой части все члены с (хь—bvy-.

Так как /(/1_1) удовлетворяет условию Липшица, последняя сумма есть f{i)(b) + 0 ( | т \н~{) и константа в О равномерна по Ь. Сравнив это с усло­

вием (2), получим ||S ' (f)—SAm (f) || = o ( l ) , что и требовалось.

g Математический сборник, т. 99(141), № 2

j (xp — ap)ldii

а+(т)

li-fr

= о ( | т П . (4)

1.6. О п р е д е л е н и е - л е м м а . Существует HmSAm(f) = j / d [ x .

т—И) *

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.5.

1.7. Л е м м а . Пусть H^>h, \i Недопустима и \i = \*>\ h * Пусть выполнено следующее условие:

Vf, 0 < * < Я , sup

*

Тогда V fe£H(Z*s) § f d\L = § f dp.

* *

Доказательство получается из того замечания, что в формуле (3), где h заменено на Я, a jx — на |л, равномерно исчезают члены с t ^ / i при т->-0.

1.8. Все конструкции этого параграфа с очевидными изменениями про­

ходят, если вместо Zs взять Zp или какую-нибудь открытую подгруппу Z*p-

§ 2. Аналитичность J ^d\i n o /

*

2.1. Пусть X(•) = Horriconst (•, С*р) — непрерывные р-адические характеры топологической группы. Положим

(р, если р > 2, .. . Г „*. , . _

? = г ft l / = = {*GZ/> * = 1 mod?}.

[4, если р = 2, Имеет место разложение

* (4) - *((z/qzf e e zl) e х (и). (5>

Характеры из первой компоненты называются ручными, из второй — дикими. Введем аналитическую Ср-етруктуру на X(U). Для этого мы укажем изоморфизм

<p:X(U)ZzT={ubCl\\u — l\<l}.

Выберем g — топологическую образующую группы U (например, l-\-q) и положим ф(х) =x(g) для x£X(U). Структура аналитической группы трансляциями переносится на все X(Zs)-

2.2, Аналитическая функция F: T-+Vp это, по определению, сумма степенного ряда 2, а<(м —1)*, сходящегося в Т (a&Vp). Если F : T-+Vp и G\T-+CV— две аналитические функции, то запись F=o(G) означает, что

sup \F(u)\ = o( sup \G(u)\) п р и г - > 1 — 0 . (6) Ясно, что справедливость соотношения (6) не зависит от выбора нормы в Vp.

Если F задана на X(Zs), то мы применяем ту же запись, если (6) выпол­

нено на каждой компоненте.

2.3. Т е о р е м а . Пусть ft^>0, |i — h-допустимая мера на Z*s. Тогда функция Хн-* J ld\x (XgX(Zs)) аналитическая и равна o(log/z(-)).

zs

2.4. Во-первых, заметим, что теорему достаточно доказать для мер, принимающих значения в Ср. (Рассмотреть всевозможные функционалы Vp-^-Cp.) Во-вторых, используя разложение (5), легко свести теорему к такому же утверждению относительно J %d\i (см. замечание 1.8). Под-

и робности этой редукции мы оставим читателю.

2.5. Напомним основные факты о многоугольниках Ньютона.

Ос

Пусть F (и) = 2 а1 (и — 1); Ф 0 — аналитическая на Т функция. Тогда

/ = 0

logp sup |F (и) | —кусочно линейная функция переменной f = l o gpr . Обозна-

\u-i\<r

чим ее MF(t). На интервалах линейности значение этой функции дается формулой \ogp\ai\-\-it, где а{(и—1)г" — максимальный по модулю (лиди­

рующий) член разложения F. Поэтому нули функции F не могут иметь координату ty лежащую внутри интервала линейности. Доказывается, что радиусы нулей соответствуют по формуле г=р* координатам t точек излома функции MF. Количество нулей р таких, что | р — 1 | = г , равно разности угловых коэффициентов MF(t).

2.6. П р и м е р . Пусть F(u) = \ogu= у, ( — 1 )я-1 ( ц"1 ) Я. Все нули F(и)

—N

даются формулой Р = 1Р , N > 0. Отсюда координаты точек излома MF (t) вычисляются по гформуле tN = — • т=- (ср —функция Эйлера), Af > 1.

Ф(Р )

Если tN<t<tN+1, то ^¥^=#(р\р(р)=[0, — о о < * ( Р ) < 0 =

N

= 2 Ч(Р*) =PN> г д е # — ч и с л о элементов множества. Поэтому MF(tN+1)—

s=o

-MP(tN)=pN(-±jf- А п г ) = 1 . Кроме того, MP(tJ = - - ± -

\ ф ( Р ) Ф(Р ) / Р — 1

Поэтому MF (tN) = N — <-£— .

Р — 1

2.7. Начнем доказывать теорему 2.3.

Возьмем систему представителей U mo& qpm особого вида: Am={gj}, 0 ^ / ^ pm— 1 . Пусть %U£X(U) таков, что %u(g)=u. Тогда для *6£/

Хи(л) = м1ов*/1ад. (7)

Напишем сумму Римана для %и(х):

pm

-

-

xiPte')

Используя формулу (7), легко убедиться, что %«° (g') =R(u, l o g « ) , где

8; «

q* R(X,Y)=0[X,Y], О — кольцо целых в СР degxR(X, Y)<pm, degYR(X, Y)=i. Все, что нам нужно от сумм Римана,— следующие три условия. Для простоты обозначений SAfn (%u) далее фигурирует как

S^m(u).

(a) Sm(u)=R[m)(u) + Rim)(u)\ogu+ . . . + R£l (и) log^ и, где R[m)- многочлены.

(Р) supl/?iw)(")H^(Pm(W)).

иет

it \р \

(Y) Sm+1 (и) - Sm (и) = 0 mod У1 4 - 1 ) ,

Первые два условия следуют из того, что сказано выше, и из оценки роста в определении /i-допустимой меры.

Условие (у) следует из того, что Sm (X) = J %d\i для X = Х0 • х1р, 0 ^ и

< л < ^ > где Х0 —характер порядка рт.

Оставшаяся часть доказательства разбита на две леммы.

2.8. Л е м м а . Если выполнены условия (а) — (у), то последователь­

ность Sm(u) равномерно сходится на любом круге \и—11 ^ г < 1 .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть, как в п. 2.6, tN = гг-, N доста-

ф(Р )

точно велико. \Пусть Mm (f) — многоугольник Ньютона разности Sm-i(w)—

— Sm(u). Из условия (у) следует, что при малых ^отрицательных t

— Mm(t)> — MF(t), где F(u) = loghu. Поэтому (см. п. 2.6) Мт (tm) —

dt dt

—Mm(tN)^h(m—N) при m>N. Но из условий (а) и (Р) следует, что Mm(tm)=hm — d(m), где d(m)-+oo при m->oo. Следовательно, Mm(tN)->—oo при m-^oo, что доказывает требуемое.

2.9. Л е м м а. В условиях леммы 2.8 предел равен o(\oghu).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть F(u) = l i m Sm(u). Существование пре-

m-юо

дела было только что доказано. Воспользуемся очевидным неравенством

MF (tN) < max Mm (tN) = sup (max Mm (tN), max Mm (tN)). (8)

0<m<oo 1,2 m<iV m>N

С л у ч а й m^.N. В силу (ос) и ((3)

Mm(tN)^ max (Nl — J£-+mh — ml — d(m)),

o^Kh-i \ p — 1 /

где d(m)-+oo при т-+оо. Перепишем последнее выражение в виде

max (Nh + (m — N) (h—l) 12 d ( m ) W Nh — (Лт — m) —d(m). (9)

0</</z-i \ p — 1 /

С л у ч а й m>N. Рассуждаем так же, как в доказательстве леммы 2.8. Имеем Mm(tm)—Mm(tN)^>h(m — N); Mm(tm)=mh — c(m), где с(т)-*оо при т-^оо. Поэтому

Mm(tN)<^Nh~c(m). (10)

Комбинация соотношений (8), (9), (10) дает M^F(t^N)=Nh — e(N), где e(N)-+oo при N-^oo. Отсюда легко следует утверждение леммы.

Доказательство теоремы 2.3 закончено.

2.10. Л е м[м а. Пусть F : X (Z*s) -+VP — аналитическая функция класса о (log* (•)). Пусть V X е Tors X (Z*s) hi IV i9 0 < i < h, F(X-xlp) = 0. Тогда F = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Легко свести все к случаю, когда F—функция на Т и Ffe^Y) = 0 VY€ I V » . Пусть F=£0. Тогда J - MF( 0 > ^ Mo(t)>

где G(a) = log*a. Последнее неравенство противоречит предположению о росте F. Лемма доказана.

§ 3. р-адические ряды Гекке, отвечающие модулярным формам относительно конгруэнцподгрупп

3.1. Пусть Л— натуральное число,

Г0 (Л) = [(ас b^SL (2> 2) | с = 0 mod л } .

Пусть е—характер Дирихле mod Л. Мы условимся считать г(п) = 0 при

оо

(я, А)ф\. Пусть Ф(г) = С ^ %neminz — параболическая форма типа

/ 2 = 1

(— (v + 1)» Л, е), где Х± = 1, v + 1 > 1 — вес формы.

Напомним, что это означает следующее:

Предположим дополнительно, что Ф — собственная функция всех опера­

торов Гекке. Это равносильно разложимости ряда Гекке в зйлеровское произведение

и (s, I) = з *"*"*

П (

- V-

+

(р) ^

)

- о *)

л = 1 р

Для каждого модуля m и каждого примитивного характера %modm положим

оо ^s °°

Ь Ф ( 5 , Х)= £ Х(«)Х„«-= - ^ - f < Dx( t W - . (12)

Л — 1 О

00 /О — 1 \

где Фх( г ) = ^ X (я) Awe2™"2. Форма Ф = Ф |(v+1) принадлежит типу (—(v+1), Л, е"1) и также собственна относительно операторов Гекке.

Начиная с этого места, мы отождествляем алгебраические числа с р-адическими с помощью фиксированного вложения QQ.C^V. Пусть со(/?) — такой корень уравнения £2—A,pg+e(p)pv=0, что ordp(co(p)) < v , co*(p) — другой корень этого уравнения. Распространим со и со* по мультиплика­

тивности на все целые числа, взаимно простые с Л. Заметим, что со(р) =

='(о(р)е~1(р) удовлетворяет уравнению g2—Xpg+e"1(p)pv=0, которое соответствует р-множителю L^(s9 1) (см. (11)). Действительно, так как

р-ый оператор Гекке, Тр е-эрмитов, то ХР(Ф, Ф ) = ( Ф | ГР, Ф) =

= е(р) (Ф, Ф|ГР) =г(р)кР(Ф, Ф).

Обозначим еще через G(%) сумму Гаусса

27ti —

m a mod tn

3.2. Пусть Л1^ф —модуль, порожденный в С периодами формы Ф и всех ее сдвигов на элементы SL (2, Z):

r==o g65L(2,Z) о

Так как этих сдвигов конечное число, то MF — свободный модуль конеч­

ного ранга. Пусть М=Мф-\-М$ и Мр — пополнение MQ в /?-адической топологии. Это — векторное пространство над С^р конечной размерности.

Вопрос о том, какова эта размерность, окончательно не решен.

В. В. Шокуров [6] доказал, что она не больше 4.

3.3. Пусть div(w) = {l — простое| l\w] для wdZ. Пусть S из § 1 таково, что 5 П С Н У ( Л ) = Q .

Т е о р е м а . Существует единственная аналитическая функция Ьф((о, •) на группе X(Z*S) со значениями в Мр такая, что выполнены следующие два условия:

1) Пусть XGTorsX(Zs), m—кондуктор X, 1 < A Z < V . Тогда Ьф (со, %-%) = — in 1Щ- Ьф (/г, X) х

ФХ р) G(x)©(m) ( 2 < ФУ

* П О - X (?) со* (q) q-n) (1 - X"1 (q) со"1 (q) ^). (13)

geS\dlv(m)

2) Ьф((д9 •) принадлежит типу o(logh(-))> г<5е /г= [ordpco(p)]+ 1.

Кроме того, имеет место функциональное уравнение

У+1

£ф (со, ^ = А 2 лГ1 ( - A) LS (ю, л^лТ1). С14) 3.4. Л е м м а . Положим для a6Q, O^&^-v— l

ioo too

Q*(a) = f Ф(г — a)z^fedz, P*(a) = f 0(z)z^kdz.

о - a

Тогда значения Pk(a)у (знаменатель a)k-Qh{a) принадлежат Мф.

Доказательство дословно повторяет доказательство леммы 1.5 работы [4].

3.5. Л е м м а . J ft (5L±£^ = V * Q * (a) — 8 (P) P ^1"2^ (Pa)-

Д о к а з а т е л ь с т в о получается из действия Гр: И

^pQik(a) = j (Ф|ГР)(2 —a)z*dz:

too р_х

Г е (р) pv<D (pz — pa) 2* dz + У, f Р "1 ф (?— - — " ) z* d*-

о i=z0 о

ВЬяв в первом и н т е г р а л е pz, а в о с т а л ь н ы х zip в к а ч е с т в е новой пере­

менной и н т е г р и р о в а н и я , получим требуемое.

3.6. Л е м м а . Следующая формула определяет конечно аддитивную функцию открыто-замкнутых подмножеств Z*s со значениями в ( Шф. Пусть d i v ( m ) = S .

I** (а + И ) - - ^ - 2 р (д) со* (л) /i-A-iQfc ( - 4 r ) . (15)

со (т) п]п \тп 1 /

Д о к а з а т е л ь с т в о . Нужно проверить только конечную аддитив­

ность, так как принадлежность (Шф следует из леммы 3.4. Достаточно рассмотреть случай покрытия следующего вида: a + ( m ) = U a + /m +

1=0

•+(рт). Применим лемму 3.5. Имеем

И р * ) /i|pm iT0 VPW/»"1 /

Mp™) Li/»" ^ W "1/ Kmrr1))

Aim К™1/]

Pfn J

Е с л и п о д с т а в и т ь ХР=ау(р) + со*(р), то члены с со*(р) с о к р а т я т с я со второй суммой. К р о м е того, г(р) -pv=(d(p) -G)*(p). П о э т о м у полученное в ы р а ж е ­ ние р а в н о

J = £ а.» (») »• w»-'- (• w р-% t J r ) - - w «•• о* *>-*-& (5г))-

Pf/l

= J ! h S \i(n)G>*(n)n-k-*Qk

<° И л | т что и требовалось.

3.7. Л е м м а . Пусть % — характер Дирихле, примитивный modm^

d i v ( ^ i ) c : 5 . Тогда имеет место равенство в модуле (Ш^ф:

J Г1 dph = П (1 - X (р) со* (р) p-*-i) (1-Х""1 (р) со"1 (р) р*) х

peS\div(m1)

z5

m?+1

m, /*

X - l Фу (г) 2f e&.

ffl(%)G(x) J X W 0

Д о к а з а т е л ь с т в о . Р а с с м о т р и м с н а ч а л а с л у ч а й d i v ( m4) — S.

Имеем

г

i

_ ^ . 2 I* (л) <** (л) л-*-

s г

(а) о* ( - М .

a mod mt

Последняя сумма при п Ф 1 исчезает из-за примитивности X и периодичности

loo

Qk(a) с периодом 1. Для л = 1 она равна Г г'⁵⁵ 2 З^ДОФгг —^ йг.

Но сумма под знаком интеграла равна - ^ — Ф х (^г) (^см- [2] или [5]). Пусть б(х)

теперь div (т^фБ. Пусть р £ S \ d i v (/?%), m = pm^v S^x = div (m). Приме­

ним формулу (15) для Z*s^x:

Г x-i ф , ⁼ ^ _ 2 х-¹ (a) 2 [x (я) со* (л) /г*-ЧЪ ( - 5 - Л .

J ®(m) ^flmod*^{m Я | | Я} W "¹/

Пусть /⁰ mod/? таково, что a + /o^i = 0 mod/7. Воспользуемся тем, что х определен modm^l9 и будем отдельно суммировать mod*/^ и rnodp, кроме /⁰. Имеем

„fc 2 Г¹ (а) 2 р (я) со* (я) я-*-» S & ( ^a~^±i^

0 3 (m) a mod* wt n | m /f/0 mod p

К последней сумме применим лемму 3.5. Проведя преобразования, как в доказательстве леммы 3.6, и пользуясь тем, что ар и (a + Um^lp пробегает вместе с а весь то&*т^и получим:

/72

= (1 - X (р) со* (р) p-*-i) (1 - Х-¹ (р) от' (р) р*) j X-M(x,.

ZS i \ P

Последовательно увеличивая div(m⁴), получим нужное утверждение.

3.8. О с н о в н а я л е м м а . Существует С^р-линейная форма (I: ^t J(Z*s) ->

—> М^р такая, что J x^kp d\x = \i^k(a + (m)) при 0 <: & <1 v — 1.

a+(m)

Для \i выполнено следующее условие роста: V/, 0 ^ / ^ v — 1 , sup fl+(m)

Д о к а з а т е л ь с т в о . Существование \i следует из леммы 3.6. Для проверки второго утверждения можно считать а целым числом. Имеем

J (x

-a

)

d$ = J ( ' )

+ И ) =

аЦт)

1 ' I \ , Л-г ™Г

= S ( ( - ^ - f ^ S И")-*(«),-- j Ф(

) (* + ^ ) dz =

г=о \ / л | m -a]mn-i

1 I l\ i0°

= - г - S H (»)ю* («) "_ 1 S L К - «)'"' f («"_12 + а)гФ (г) <fe =

-а/тпг ml

2 Нп)^Чп)п^Р,(£А.

co(m) n

Применение леммы 3.4 завершает доказательство.

3.9. Приступим к конструкции Ьф. Положим Ьф (со, х) = J x"pxd\x для

*

*e*(Z*5).

В силу лемм 3.8 и 1.7

L0 (со, #) == J Хргх d\x,

*

где [x=]Ji| » с Я = [ordp со (р)] + 1. Лемма 3.8 показывает, что jx ft-до- пустима. Применяя теорему 2.3, получаем, что условия 1) и 2) в теореме 3.3 выполнены.

ЗЛО. Докажем теперь, что функциональное уравнение выполнено для х=1~1х% где х — характер Дирихле. Для этого преобразуем правую часть (13) с помощью архимедова функционального уравнения. Оно имеет вид (см. [5])

V+1

ЛФ (s, X) = Г (s) (2л)_51ф (s, X) = Сх (т?А)Т ~\& (v+1—s, Х-1), Сх = i ^ e (m) -^SLX (—Л).

Здесь m — кондуктор %• Поэтому правая часть (13) равна

• Cv (пА4) г V"-»AA (v + 1 — я, Х-1) х

0(Х)(о(т) *V °V

х П (1 - X (?) со* (?) <г") (1 - Г1 ft) (о"1 (<?) «Г1).

(76S\div(m)

Множитель перед iy+i-n равен

V + l V + 1

t^UH е ( т ) Х ( - Л ) Л2 =—HL^ Л2 (i-%)-i(-A).

Остается проверить, что J j инвариантно при заменах (%, со, со*, п) ™~

я

"^ (%~\ <*>» «Л v + 1 — я ) . Это очевидно.

Функциональное уравнение теперь следует из леммы 2.10.

3.11. Утверждение о единственности в теореме 3.3 в силу условий 1), 2) следует из леммы 2.10.

Дополнение: явные формулы для собственных значений операторов Гекке

1. Пусть Ф — параболическая форма рассмотренного типа (см. п. 3.1),

too

0 ( Ф ) = f Ф(г)г*<1г9 0 < ; / < ; v — - 1 . Следующая теорема обобщает теорему

о

1.3 работы [2].

Т е о р е м а . Пусть (/г, А)=Л. Тогда

Л>6>0, Д ' > 6 ' > 0

где / f >б)(Ф) = п (ф| (* Л m o d А \ .

При доказательстве используется следующий факт о непрерывных дробях Гурвица.

2. В а р и а н т л е м м ы Х е й л ь б р о н н а . Семейство пар (dh d ^ ) , / ^ 0 , последовательных знаменателей подходящих дробей Гурвица ко всем числам bid, rf^l, 0^b<cd, (Ь, d) = l, совпадает с семейством пар

(А, б), выбранных из решений уравнения d—AA'—i66', которые под­

чинены условиям А > 6 > 0 , (А, й) = 1, Д ^ б ' ^ 0 , (А', 60 = 1 (ср. с п. 5.2 статьи [2]).

3. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы . Имеем

too оо

0 0 d | /х ' fcmod</

*/j/t 6modrf ^/^

Соберем теперь все члены с одинаковым нижним пределом в интеграле и будем суммировать по bf (b, d) = l. При этом возникнет коэффициент

<г (т) = S « (D) D - . (18)

Таким образом,

too

fi A h

Преобразуем интеграл в правой части (19). Пусть -=± = —, -~- , . . .

ш -— — последовательность подходящих дробей Гурвица к —-. ^d - „ „r d

Известно, что g/ = [ l x l\ GSL(2, Z). Поэтому

too

5 Д л

= Ф

б к;

mod Л ] , так как Ф типа (— (v + 1)» Л, s). Числа

ioo m bl-\ldl-i m £/(*«>)

|ф(г)йг==2 J Ф(г)& = 2 J Ф-(*)<** =

b/d /=o fy/d/ /=o g/*(o) т ioo m ioo

= S 1

^ '

)

^ = S 1 (

18д (?) (<W + ^ Г

^ .

/=0 0 1=0 О

Подставим полученное выражение в правую часть (19) и преобразуем суммирование по лемме 2. Получим:

too

S <*.(}) 2 f Ф

d\n \ а I rf=AA'-66', J \ А>6>0, (А,б)=1, Д'>6'>0, (Д',б')-=1 °

Воспользуемся формулой (18) и внесем Dv~x под знак интеграла так:

£)v - 1 (te + A)v-1 = (6De + AD)*"1. Кроме того, e (D) f Ф

(D~X 0\ /* * 0 DJ [b A

AD, A' — , 6D, б' — пробегают множество, указанное в формулировке тео-

D d

ремы. Остается преобразовать подынтегральное выражение по формуле -бинома и вынести суммирование наружу. Теорема доказана.

§ 4. Меры на группе Галуа, связанные с L -рядами Артина

4.1. Пусть k — глобальное поле, К — его расширение Галуа. Группа Галуа G(K/k) наделяется топологией Крулля, в которой она компактна и вполне несвязна. Любое открыто-замкнутое подмножество G(Klk) — объединение классов смежности по открытому нормальному делителю.

4.2. Напомним, что по конечномерному комплексному представлению рх: G(K/k)-+GL(V) строится L-ряд Артина L(s, %, K/k) (%— характер рх). Любое такое представление пропускается через конечную фактор­

группу G(E/k), и имеет место равенство

L(s, %,K/k) = L(s, %Ejk). (16) Мы обозначаем одной и той же буквой характер фактор-группы и его

композицию с канонической проекцией на неё. Относительно (16) и дру­

гих свойств L-ряда Артина см. [7].

4.3. Т е о р е м а . Следующая формула определяет меру на открыто- замкнутых подмножествах G(Klk) со значениями в аддитивной группе мероморфных функций комплексного переменного s:

а б G (K/k), (xs (aG (K/E)) = — 1 - 2 X ( О L (s, X, E/k),

% пробегает множество неприводимых характеров G (Elk).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть kczEczMaK — башня расширений Галуа над k. Получаем: aG(K/E) = \J axG(K/M),

%eG(K/E)/G(K/M)

S tis (axG (KIM)) = - Ц - S S X (t-%-1) L (s, X, M/k) =

2 L(s,H, M/k)X (^(iTHr1)

Теорема следует из свойства (16) и следующей элементарной леммы.

4.4. Л е м м а . Если G — конечная группа, % — неприводимый харак­

тер G, # < | G , то

N-i , ч __ / 0 , если Рх не пропускается через G/H, . .

&е# \[H]^(g) в противном случае.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, достаточно проверить первое утвер­

ждение. Левая часть (17) задает центральную функцию на G/H:

$(Hg)= 2 %(hg). Пусть g — неприводимый характер G/H. Тогда лея

1а1 gHeG/н iu 1 heHgHeG/н

так как % и g, по предположению, различны. Лемма доказана.

4.5. Построенная мера ^s обладает тем свойством, что J %d\is =

G(K/k)

= L (s, X, K/k). Это легко получить из соотношения ортогональности для характеров.

4.6. Чтобы получить интегральное представление р-адической L-функции Артина типа того, которое выписано в п. 3.9, нужна инфор­

мация о значениях \Xi-k, k^\. Для случая вполне вещественных полей алгебраических чисел это, быть может, удастся сделать, воспользовав­

шись результатами Делиня (P. Deligne, Lettre a Serre, 16/XII 1973).

4.7. Для случая k = Qy K=Q(\P~°°) можно получить интегральное представление /7-адической L-функции Леопольдта — Куботы с помощью естественной регуляризации меры |ы0. В этом случае все L-ряды абелевыг

и мы получаем с точностью до языка теорию Ивасавы. На круговые рас­

ширения любого вполне вещественного поля она была обобщена Дели- нем (Lettre a Serre, 16/XII 1973), который показал, что возможность регуляризации определяется свойствами многообразий Гильберта.

(Поступила в редакцию 16/IV 1975 г.)

Литература

1. Y. Amice, J. Velu, Distributions p-adique associees aux series de Hecke, Journees ari- thmetiques, Bordeaux, 1974.

2. Ю. И. Манин, Периоды параболических форм и р-адические ряды Гекке, Матем.

сб., 92 (134) (1973), 376—401.

3. Ю. И. Манин, Значения р-адических рядов Гекке в целых точках критической по­

лосы,, Матем. сб., 93 (135) (1974), 621—626.

4. М. М. Вишик, Ю. И. Манин, р-адические ряды Гекке мнимых квадратичных полейг

Матем. сб., 95 (137) (1974), 357—383.

5. Andre Weil, Uber die Bestimmung Dirichletcher Reihen durch Funktionalgleichungen,.

Math. Ann., 168 (1967), 149—156 (русский перевод: Математика, 14:6 (1970)).

6. В. В. Шокуров, Модулярные символы старшего веса, Функц. анализ, 10, вып. 1 (1976).

7. S. Lang, Algebraic number theory, Addison — Wesley, 1970.