С. С. Волосивец, Б. И. Голубов, Операторы Харди и Беллмана в пространствах, связанных с H (T) и BM O (T) , Изв. вузов. Матем., 2008, номер 5, 4–13

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

С. С. Волосивец, Б. И. Голубов, Операторы Харди и Беллмана в пространствах, связанных с H (T) и BM O (T) , Изв. вузов. Матем., 2008, номер 5, 4–13

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и со- гласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 23:02:05

Известия вузов. Математика http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/

2008, №5, c. 4–13 e-mail: izvuz.matem@ksu.ru

С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Б.И. ГОЛУБОВ

ОПЕРАТОРЫ ХАРДИ И БЕЛЛМАНА В ПРОСТРАНСТВАХ, СВЯЗАННЫХ С H(T) И BM O(T)

Аннотация.Пусть1≤p <∞и функцияf ∈L^p[0, π]имеет ряд Фурье ^∞

n=1a_ncosnx. Согласно результату Харди ряд ^∞

n=1n^{−1 n}

k=1a_kcosnxявляется рядом Фурье некоторой функцииH(f)∈ L^p[0, π]. Если же1< p≤ ∞иf ∈L^p[0, π], то ряд ^∞

n=1

∞

k=nk⁻¹a_kcosnxявляется рядом Фурье некоторой функции B(f) ∈ L^p[0, π]. Аналогичные результаты верны для синус-рядов, что позволяет определить оператор Харди H на L^p(T), 1 ≤ p <∞, а оператор Беллмана B — на L^p(T), 1 < p ≤ ∞. В работе доказано, что оператор Беллмана ограниченно действует в V M O(T), а оператор Харди отображает некоторое подпространствоC(T)также вV M O(T).

Установлена также инвариантность некоторых классов функций с заданными мажорантами модулей непрерывности или наилучших приближений в пространствахH(T),L(T),V M O(T) относительно операторов Харди и Беллмана.

Ключевые слова: преобразование Харди, преобразование Беллмана, BMO, VMO, мажоранта модуля непрерывности.

УДК: 517.51

Abstract. Assume that 1 ≤ p < ∞ and the function f ∈ L^p[0, π] has the Fourier series ∞

n=1a_ncosnx. According to Hardy, the series ^∞

n=1n^{−1 n}

k=1a_kcosnxis the Fourier series of a certain functionH(f)∈L^p[0, π]. But if 1< p≤ ∞ andf ∈L^p[0, π], then the series ^∞

n=1

∞

k=nk⁻¹a_kcosnx is the Fourier series of a certain function B(f) ∈ L^p[0, π]. Similar assertions are true for sine series. This allows one to define the Hardy operator HonL^p(T), 1 ≤p <∞, and to define the Bellman operatorBonL^p(T), 1< p≤ ∞. We prove that the Bellman operator boundedly acts in V M O(T), and the Hardy operator maps a certain subspace C(T) into V M O(T). We also prove the invariance of certain classes of functions with given majorants of modules of continuity or best approximations in the spaces H(T),L(T),V M O(T) with respect to the Hardy and Bellman operators.

Keywords: Hardy transform, Bellman transform, BMO, VMO, majorant of modulus of continuity.

Поступила 02.10.2007

Работа первого автора выполнена при финансовой поддержке гранта Президента Российской Федерации (проект НШ-2970.2008.1), второго — при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 08-01-00669.

4

Введение

Пусть 1≤p <∞ и функцияf ∈L^p[0, π]имеет ряд Фурье ∞

n=1

a_ncosnx. (1)

Как показал Г. Харди [1], [2], ряд ^∞

n=1A_n(a) cosnx, где A_n(a) =n^{−1 n}

k=1a_k,n∈N, также яв- ляется рядом Фурье некоторой функции F =H(f)∈L^p[0, π]. При p=∞ это утверждение неверно. Р. Беллман [3] доказал такое утверждение для сопряженного к H(f) оператора:

если функция f ∈ L^p[0, π], 1 < p < ∞, имеет ряд Фурье (1), то ряд ^∞

n=1B_n(a) cosnx, где B_n(a) = ^∞

k=n

a_k/k, является рядом Фурье некоторой функции B(f) ∈ L^p[0, π]. Сформули- рованные выше результаты верны также для синус-рядов Фурье. Лу [4] изучил действие оператора Беллмана в пространствах L^∞[0, π] и Llog⁺L[0, π], а А.А. Конюшков [5] дока- зал инвариантность классов Lip(α, p), 1 ≤ p ≤ ∞, относительно преобразований Харди и Беллмана при некоторых ограничениях на α в зависимости от p. О других результатах, связанных с операторами Харди и Беллмана, можно узнать из обзора [6].

Ограниченность оператора H(f) в пространстве Харди H(T) была установлена А. Сис- какисом [7], [8]. К. Стемпак [9], Д.В. Джианг и Ф. Мориц [10], один из авторов [11], [12] дали другие доказательства этого утверждения. В силу двойственностиH(T)иBM O(T)отсюда следует ограниченностьB(f)в пространствеBM O(T). Прямое доказательство этого факта см. в [12]. Ж. Ксяо [13] показал, чтоH(f) действует изL^∞[0, π]вBM O[0, π]. Непериодиче- ские аналоги результатов, касающихся пространств H и BM O, можно найти в [10], [14] и [15].

В данной работе показано, что B(f) ограниченно действует из V M O(T) в V M O(T), а образы четных функций из C(T), для которых f(0) = (2π)⁻¹

T

f(t)dt, при действии H также лежат в V M O(T). Кроме того, устанавливается инвариантность некоторых классов с заданными мажорантами модулей непрерывности или наилучших приближений в H(T), L(T),V M O(T) относительно операторовH иB.

1. Определения и известные результаты

Как обычно, через L^p(T), 1 ≤ p ≤ ∞, обозначаем пространство 2π-периодических из- меримых функций с конечной нормой f_p =

T |f(x)|^pdx_1/p

при 1 ≤ p < ∞ и f_∞ = ess sup

x∈T |f(x)|при p=∞. Здесь и далееT= [−π, π]. ПространствоC(T) состоит из2π-пери- одических непререрывных функций f, для которых f∞ = max

x∈T |f(x)|. Если f ∈L^p[0, π], 1 ≤ p ≤ ∞, то ее можно доопределить на [−π,0], так что она станет четной (нечетной).

Поэтому согласно введению операторы Харди и Беллмана определены и действуют на про- странствах четных (нечетных) функций с нулевым средним значениемL^p_c(T)₀ (L^p_s(T)), пер- вый — при 1 ≤ p < ∞, второй — при 1 < p ≤ ∞ (случай p = ∞ см. в [4]). Здесь и далее нижний индексc в обозначении пространства указывает на то, что рассматривается подпространство четных функций, соответственно, индексsуказывает на подпространство нечетных функций. Результаты Харди [1], [2] собраны в следующей теореме.

6 С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Б.И. ГОЛУБОВ

Теорема A. Пусть функция f ∈ L^p_c(T)₀, 1 ≤ p < ∞, имеет ряд Фурье (1). Тогда ряд ∞

n=1A_n(a) cosnx является рядом Фурье функции H(f)∈L^p_c(T)₀, причем

H(f)(x) =c(f) +H₁(f)(x) +H₂(f)(x), (2) где c(f) = −(2π)⁻¹

T

xctg(x/2)f(x)dx, оператор H1(f)(x) равен 2⁻¹ π x

f(t) ctg(t/2)dt при 0 < x ≤ π и равен 2^{−1 x}

−πf(t) ctg(t/2)dt при −π ≤ x < 0, а H₂(f)(x) = −(2π)⁻¹

T

f(x− t) ln|2 sint/2|dt.

Если функция f ∈L^p_s(T), 1≤p <∞, имеет ряд Фурье ∞

n=1

a_nsinnx, (1)

то ряд ^∞

n=1A_n(a) sinnxтакже является рядом Фурье функцииH(f)∈L^p_s(T)и дляH(f)(x) имеет место представление (2), гдеc(f) = 0.

В работе [16] был дан явный вид оператора Беллмана B(f).

Теорема B. Пусть функция f ∈ L^p_c(T)₀, 1 < p ≤ ∞, имеет ряд Фурье (1). Тогда ряд ∞

n=1B_n(a) cosnx является рядом Фурье функции B(f)∈L^p_c(T)₀, причем

B(f)(x) =c₀(f) +B₁(f)(x) +H₂(f)(x), (3) где c₀(f) = (2π)⁻¹

T

f(t) ln|2 sint/2|dt, а B₁(f)(x) = 2⁻¹ctg(x/2)^x

0

f(t)dt при x∈T\ {0}.

Дляf ∈L^p_s(T),1< p≤ ∞, с рядом Фурье(1)ряд ^∞

n=1B_n(a) sinnxтакже является рядом Фурье функции B(f)∈L^p_s(T) и для B(f)(x) справедливо представление (3), гдеc₀(f) = 0. Замечание 1. Константы в формулах (2) и (3) нужны, чтобы их левые части имели среднее значение нуль на T. Формулы (2) и (3) особенно удобны для изучения действия операто- ров H иB в перестановочно-инвариантных пространствах (см. [17], [18]). Из формулы (3), например, легко следует, что для x∈T\ {0} иf ∈L^∞_c (T)₀ (f ∈L^∞_s (T))

|B(f)(x)| ≤(2π)⁻¹f_∞(2ln|2 sinx/2|₁+πxctg(x/2)_∞), т.е. B(f) ограничен в L^∞_c (T)₀ иL^∞_s (T).

Замечание 2. В работе Ф. Морица [15] периодическим оператором Чезаро называется опе- ратор H₁(f), а периодическим оператором Копсона называетсяB₁(f).

Произвольная функция f ∈L^p(T), 1≤ p≤ ∞, представима в видеa₀/2 +f_c(x) +f_s(x), где f_c ∈L^p_c(T)₀,f_s∈L^p_s(T). Тогда по определению

H(f)(x) =a₀/2 +H(f_c)(x) +H(f_s)(x), B(f)(x) =a₀/2 +B(f_c)(x) +B(f_s)(x). (4) Действительное пространство Харди H(T) состоит из функций f ∈ L(T), для которых тригонометрически сопряженная функция

f(x) = lim

ε→0(2π)⁻¹ _π

ε

(f(x−t)−f(x+t)) ctg(t/2)dt

(определенная почти всюду (см. [19], гл. VIII)) также принадлежит L(T). Норма функции f ∈H(T) определяется равенствомf_H =f₁+f₁. Так как по теореме М. Рисса ([19], гл. VIII, § 14) из f ∈L^p(T),1< p <∞, следуетf∈L^p(T), то

L^p(T)⊂H(T)⊂L(T), 1< p <∞. (5) Пусть f ∈ L(T) и f_∗δ = sup

0<|I|≤δ|f(x)−f_I|_I, где f_I = |I|⁻¹

I

f(t)dt, I = [a, b] ⊂ R и

|I| = b−a ≤ 2π. Будем писать f ∈ BM O(T), если f_∗ := f_∗2π < ∞ и f ∈ V M O(T), если lim

δ→0f_∗δ = 0. Оба пространства BM O(T) и V M O(T) полны относительно · _∗, ес- ли отождествлять отличающиеся на константу функции. ОпределениеBM O(R) принадле- жит Ф. Джону и Л. Ниренбергу [20], пространство V M O(R) ввел Д. Сарасон [21]. В силу результатов [21] (см. также [22], гл. 6, § 5) C(T) плотно в V M O(T) и для f ∈ V M O(T) имеем lim

h→0f(x+h)−f(x)∗ = 0. Учитывая последнее свойство и интегральную непре- рывность для f ∈ L(T) ( а также для fв случае f ∈ H(T)), мы можем ввести ω(f, δ)_X =

sup

0<h≤δf(x+h)−f(x)_X для f ∈ X(T), где X(T) = H(T), V M O(T), C(T) или L(T). Для X = C будем писать ω(f, δ) вместо ω(f, δ)_C, а для X = L будем использовать обозна- чение ω(f, δ)₁ вместо ω(f, δ)_L. Известно (см. [22], гл. 6, § 4), что BM O(T) является сопря- женным к H(T), поэтому из (5) вытекают соотношения L^∞(T) ⊂ BM O(T) ⊂ L^p(T) при 1< p <∞. Далее будем рассматривать такжеf^∗ = sup

|I|≤2πinf

c∈R|f(x)−c|_I. Легко видеть, что f^∗ ≤ f∗ ≤2f^∗ (см. [22], гл. 6, § 1). Кроме того, будут рассматриваться пространства BM O[c, d], для элементов f которых f_{BM O[c,d]}:= sup

I⊂[c,d]|f −f_I|_I <∞.

Сформулируем два указанных во введении результата.

Теорема C([12]). Оператор БеллманаBограниченно действует в пространствеBM O(T). Теорема D([13]). Пустьf ∈L^∞имеет ряд Фурье(1) (или(1)). Тогда ряд ^∞

n=1A_n(a) cosnx _∞

n=1A_n(a) sinnx

является рядом Фурье функции F ∈BM O[0, π], причем F_{BM O[0,π]} ≤

Cf_L^∞_[0,π].

Пусть везде далее ω(δ) — модуль непрерывности, т. е. непрерывная, возрастающая на [0,2π] функция такая, чтоω(0) = 0 и ω(δ₁+δ₂) ≤ω(δ₁) +ω(δ₂) при 0 ≤δ₁ ≤δ₁+δ₂ ≤2π. Считаем, что ω(δ)= 0при δ >0. Будем писать ω∈B, если

∞ ν=n

ν⁻¹ω(ν⁻¹)≤Cω(n⁻¹), n∈N, (B) и ω∈B₁, если

n⁻¹ n ν=1

ω(ν⁻¹)≤Cω(n⁻¹), n∈N. (B₁) Будем использовать эквивалетные включению ω ∈ B₁ условия из статьи Н.К. Бари и С.Б. Стечкина [23].

8 С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Б.И. ГОЛУБОВ

Теорема E. Условие (B₁) равносильно любому из двух условий: δ

_2π

δ

t⁻²ω(t)dt≤Cω(δ), δ∈(0,2π]; (Z₁) существует A >1 такое, что lim

t→0ω(At)/ω(t)< A. (L₁) Будем рассматривать классы H^ω(T)_X ={f ∈X(T) :ω(f, δ)_X ≤Cω(δ)}, где X(T) те же, что и выше. Вместо H^ω(T)_C и H^ω(T)_L пишем H^ω(T) и H^ω(T)₁ соответственно. Пусть T_n

— пространство тригонометрических полиномов степени не выше n∈Z+. ТогдаE_n(f)_X = inf{f −t_nX :t_n∈T_n},n∈Z₊, и E(ε)_X ={f ∈X(T) :E_n(f)_X ≤Cε_n,n∈Z₊}, где {ε_n}^∞₀

— убывающая к нулю последовательность и X(T) — те же, что в определении ω(f, δ)_X. Снова пишем E(ε) и E(ε)₁ вместо E(ε)_C и E(ε)_L. Отметим, что в определениях E(ε)_X и H^ω(T)_X константа C зависит отf, но не отn.

Поскольку нормы в рассматриваемых пространствах X(T) инвариантны и непрерывны относительно сдвига, во всех этих пространствах с помощью стандартных схем Д. Джексона и С.Н. Бернштейна (см. [24], гл. 4, § 2, и гл. 5, § 4) доказываются следующие прямая и об- ратная теоремы приближения.

Теорема F. Пусть f ∈ X(T). Тогда E_n(f)_X ≤Cω(f,1/(n+ 1))_X при всех n∈ Z+, где C не зависит от f и n.

Теорема G. Пусть f ∈ X(T). Тогда для любых n ∈ N верно неравенство ω(f,1/n)_X ≤ Cn^{−1 n}

k=0E_k(f)_X, гдеC не зависит от f.

2. Вспомогательные утверждения

Доказываемая ниже лемма 1 является аналогом леммы 2из работы Б. Куттнера [25], в которой изучался случайω(δ) =δ^α,0< α≤1.

Лемма 1. Пусть ω(x) — модуль непрерывности такой, что lim

x→0ω(2x)/ω(x) < 2 и f ∈ H^ω(T)₁. Тогда ^x

0 |f(t)|dt≤Cω(x) при достаточно малыхx. Доказательство. Рассмотрим J(x) =ω⁻¹(x)

x

0 |f(t)|dt,x >0. Тогда 2ω(x)J(x)−ω(2x)J(2x) = 2

_x

0 |f(t)|dt− _2x

0 |f(t)|dt=

= _x

0 (|f(t)| − |f(t+x)|)dt≤ _x

0 |f(t)−f(t+x)|dt≤C₁ω(x) при 0< x≤π/2. Перепишем полученное неравенство в виде

J(2x)≥2ω(x)J(x)/ω(2x)−C₁ω(x)/ω(2x), 0< x≤π/2. (6) По условию существуютk∈Nиε >0такие, что2ω(x)/ω(2x)>1 +εна(0, π/2^k]. При этом в силу возрастания ω(x) и ω(x)J(x) для x ∈ [π/2^k+1, π/2^k] находим, что ω(π/2^k+1)J(x) ≤ ω(x)J(x)≤ω(π/2^k)J(π/2^k), отсюдаJ(x)≤K на[π/2^k+1, π/2^k]. ПустьJ(x) неограничена в любом (0, δ), 0 < δ < π/2. Тогда найдутся x₀ ∈ (0, π/2^k+1) такое, что (1 +ε)J(x₀)−C₁ >

J(x₀) > K, и m ∈ N, для которого 2^mx₀ ∈ [π/2^k+1, π/2^k]. В силу возрастания функции y = εx−C₁ и (6) получаем J(2ⁱx₀) > J(2ⁱ⁻¹x₀) при i = 1,2, . . . , m. Поэтому, с одной стороны, имеемJ(2^mx₀)> K, а с другой —J(2^mx₀)≤K. Противоречие.

Замечание 3. Согласно теореме E из условия леммы следует ω ∈ B₁, но обратное не обязательно верно, хотя для многих конкретных функций это так.

Лемма 2. Пустьω∈B∩B₁. Тогда H^ω(T)_H =H^ω(T)₁.

Доказательство. Так как · ₁ ≤ · _H, то всегда H^ω(T)_H ⊂ H^ω(T)₁. Пусть теперь f ∈ H^ω(T)₁, ω ∈ B ∩B₁. По обобщенной теореме Привалова (см. [23], § 5) f ∈ H^ω(T)₁ и по определению нормы в H(T) имеемω(f, δ)_H ≤ω(f, δ)₁+ω(f , δ) ₁, откудаf ∈H^ω(T)_H. Лемма 3. Пусть f ∈ BM O[0, π] и f — 2π-периодическая четная функция. Тогда f ∈ BM O(T), причемf∗ ≤8f_{BM O[0,π]}.

Доказательство. Из условия f ∈BM O[0, π]∩BM O[−π,0]и для I ⊂[0, π] илиI ⊂[−π,0]

величина |f −f_I|_I не превосходит f_{BM O[0,π]}. Пусть I = [a, b], a < 0 < b и |a| ≤ b ≤ π. Тогда

|I|⁻¹

I

|f(x)−f_[0,b]|dx≤b⁻¹ _b

0 |f(x)−f_[0,b]|dx+ _|a|

0 |f(x)−f_[0,b]|dx

≤

≤2b⁻¹ _b

0 |f(x)−f_[0,b]|dx≤2f_{BM O[0,π]}. (7) В силу четности f в случае π ≥ |a|> bдля f_[a,0] вместо f_[0,b] получается такая же оценка.

Если I ⊂[0,2π], то в силу2π-периодичности и четности f(x) имеем f(x+π) =f(x−π) = f(π−x), т. е. графикy=f(x)симметричен относительноx=πи, рассуждая, как в (7), для c=f_[π,b] или c=f_[a,π] получаем|f−c|I ≤2f_{BM O[0,π]}. Наконец, если−π < a <0< π < b, то аналогично (7)

|I|⁻¹

I

|f(x)−f_[0,b]|dx≤2f_{BM O[0,2π]}≤4f_{BM O[0,π]}.

СлучаиI ⊂[−π,0]и a <−π <0< b < π разбираются аналогично. В итогеf_∗≤2f^∗ ≤

8f_{BM O[0,π]}.

3. Основные результаты

Теорема 1. Оператор Беллмана B ограниченно действует в пространстве V M O(T). Доказательство. Пустьf ∈V M O(T). Из теоремы F дляV M O(T)вытекает существование t_n∈T_n,n∈N, таких, что lim

n→∞f−t_n∗ = 0. Но по определению оператора БеллманаB(t_n) есть также тригонометрический полином, т. е. B(t_n) ∈ V M O(T). По теореме C получаем B(f)− B(t_n)_∗ ≤C₁f −t_n∗, отсюда lim

n→∞B(f)− B(t_n)_∗ = 0. В силу полноты V M O(T) находим, чтоB(f)∈V M O(T). Ограниченность оператораBв пространствеV M O(T)также

следует из теоремы C.

Теорема 2. 1) Пусть {ε_n}^∞_n=0 убывает к нулю и f ∈ E(ε)_{V M O}. Тогда B(f) также при- надлежит E(ε)_{V M O}.

2) Пустьω∈B₁ и f ∈H^ω(T)_{V M O}. Тогда B(f)∈H^ω(T)_{V M O}.

Доказательство. 1) Пусть t_n ∈ T_n, n∈ Z+, таковы, что f −t_n∗ = E_n(f)_{V M O}. Тогда по теореме C и условиюf ∈E(ε)_{V M O} имеем

B(f)− B(t_n)_∗ ≤C₁f−t_n∗ ≤C₂ε_n, n∈Z₊.

Поскольку по определениюB(t_n)∈T_n, тоE_n(B(f))_{V M O} ≤C₂ε_n иB(f)∈E(ε)_{V M O}.

10 С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Б.И. ГОЛУБОВ

2) Применяя теорему F для V M O(T) и рассуждая аналогично доказательству 1), полу- чаем E_n(B(f))_{V M O} ≤C₃ω(1/(n+ 1)),n∈Z+. Применяя теорему G дляV M O(T)и условие ω ∈ B₁, находим ω(B(f),1/n)_{V M O} ≤ C₄ω(1/n). Отсюда стандартным образом выводим ω(B(f), δ)_{V M O} ≤C₅ω(δ),δ∈(0,2π], и B(f)∈H^ω(T)_{V M O}. Теорема 3. 1) Пусть{ε_n}^∞_n=0 убывает к нулю и f ∈E(ε). Тогда B(f)∈E(ε).

2) Пустьω∈B₁ и f ∈H^ω(T). Тогда B(f)∈H^ω(T).

Доказательство. Согласно замечанию 1 |B(f)(x)| ≤C₁f∞ приf ∈L^∞(T)иx∈T\ {0}, поскольку|a₀/2|=|(2π)⁻¹

T

f(t)dt| ≤ f_∞ иf_c∞=(f(·) +f(−·))/2−a₀/2_∞≤2f_∞, f_s∞ ≤ f_∞. Но, как легко видеть, для f ∈ C(T) функции B₁(f)(x) и, как следствие, B(f)(x)непрерывны в нуле. Поэтому в этом случае в неравенствеB(f)∞≤C₁f∞можно считать, что слева стоит равномерная норма. 1) Пусть t_n ∈ T_n, n∈ Z₊, таковы, что f − t_n∞=E_n(f)≤C₂ε_n. Тогда

B(f)− B(t_n)_∞≤C₁f−t_n∞≤C₃ε_n, n∈Z₊. (8) Так как в левой части (8) стоит равномерная норма и B(t_n)∈T_n, то B(f)∈C(T) иB(f) ∈ E(ε). 2) Известно (см. [23], лемма 4), что при ω ∈B₁ условияg ∈E(ε) и g∈H^ω, где ε_n = ω(1/(n+ 1)), равносильны. Поэтому утверждение 2) теоремы вытекает из утверждения 1).

Замечание 4. Пункт 2) теоремы 3 обобщает теорему 17 из [5], где рассматривалисьω(δ) = δ^α,0< α <1. При этом доказательство несколько проще, чем в [5].

Замечание 5. Ф. Мориц [15] установил, что операторB1(f)(см. (3)) ограниченно действует из H_c(T) в L_c(T). Рассуждая аналогично доказательствам теорем 2и 3, можно показать, что оператор B(f) действует из E_c(ε)_H в E_c(ε)₁ при любой {ε_n}^∞_n=0 ↓ 0 и оператор B(f) действует из H_c^ω(T)_H вH_c^ω(T)₁ приω∈B₁. Последний результат, однако, для большинства ω ∈B₁ слабее, чем

Теорема 4. Пусть ω(x) — модуль непрерывности такой, что lim

x→0ω(2x)/ω(x) < 2, и g ∈ H^ω(T)₁. Тогда B(g)∈H^ω(T)₁.

Данная теорема является обобщением теоремы 16 из [5], где рассматривался случай ω(δ) =δ^α,0< α <1, и допускает такое же доказательство. Необходимо только сделать два замечания. 1) При оценке выражения ^h

0 |g(t)|dt вместо леммы 2из [25] надо использовать лемму 1 данной работы. 2) При оценке^π

h

t⁻¹|g(t)|dtаналогично доказательству теоремы 15 из [5], кроме леммы 1, необходимо использовать условие (Z₁) из теоремы E. В остальном доказательство проходит так же, как в [5].

Замечание 6. Переходя к изучению свойств преобразования Харди, отметим, что для t_n∈T_n необязательноH(t_n)∈T_n. Так, например, для

t_n=α₀/2 + n k=1

α_kcoskx, α= n k=1

α_k, (9)

имеем

H(t_n) =α₀/2 + n k=1

(α₁+· · ·+α_k) coskx/k+α ∞ k=n+1

coskx/k. (10)

Последнее слагаемое в правой части (10) согласно результату Й. Берга [26] принадлежит BM O(T), но анализ доказательства теоремы 1.1 в [26] показывает, что если ^∞

k=1

a_kcoskxесть ряд Фурье функции из V M O(T) и последовательность {a_k}^∞_k=1 убывает, то lim

k→∞ka_k = 0. Поэтому H(t_n) при α = 0 принадлежит BM O(T), но не V M O(T). Чтобы получить поло- жительный результат о действии Hна C(T), надо ввести подкласс Q(T) ⊂C(T) функций со свойствомf(0) = (2π)⁻¹

T

f(t)dt. Тогда для t_n иα из (9) условиеt_n∈Q(T)равносильно тому, чтоα= 0, и согласно (10) H(t_n)∈T_n−1.

Теорема 5. 1) Оператор Харди H ограниченно действует изQ_c(T) в V M O(T). 2) Еслиω∈B₁ и f ∈H_c^ω(T)∩Q(T), то H(f)∈H_c^ω(T)_{V M O}.

Доказательство. 1) Пусть f ∈ Q_c(T), тогда f(0) = a₀/2 = (2π)⁻¹

T

f(t)dt. Докажем, что существуютq_n∈T_n∩Q_c(T),n∈N, такие, чтоlim_n→∞f−q_n∞= 0. Действительно, пустьt_n иαтакие, как в (9), иf−t_n∞< ε. Так как|f(0)−t_n(0)|< ε, получаем|a₀/2−α₀/2−α|< ε, откуда|α|<|a₀−α₀|/2 +ε. Но|a₀−α₀|/2 = (2π)⁻¹

T

(f(x)−t_n(x))dx< ε, поэтому|α|<2ε. В результате

f(x)−(t_n(x)−αcosx)_∞≤ f(x)−t_n(x)_∞+|α|<3ε,

причем t_n(x)−αcosx ∈ T_n∩Q_c(T). Поскольку для четной функции полином наилучше- го приближения тоже четен, существование q_n с нужными свойствами установлено. Как отмечено в замечании 5, H(q_n) ∈T_n. По теореме D и лемме 3 получаем, что H действует ограниченно изL^∞_c (T) в BM O_c(T). Поэтому

H(f)− H(q_n)∗ ≤C₁f −q_n∞, (11) и в силу полнотыV M O(T) получаем H(f)∈V M O(T).

2) Если f ∈ H_c^ω(T)∩Q(T), то согласно теореме F найдем для C(T) полиномы t_n ∈ T_n, n∈N, такие, чтоf−t_n∞≤C₂ω(1/n)и построим по нимq_n∈T_n, как указано выше. Тогда, как показано в 1), f−q_n∞≤3C₂ω(1/n) и из (11) следуетE_n(H(f))_{V M O} ≤3C₁C₂ω(1/n). Используя теорему G дляV M O(T) и условие ω∈B₁, получаем H(f)∈H^ω(T)_{V M O}. Теорема 6. Пусть ω∈B∩B₁, f ∈H^ω(T)_H. Тогда H(f)∈H^ω(T)_H.

Доказательство. Согласно лемме 2при условииω ∈B∩B₁имеемH^ω(T)_H =H^ω(T)₁. Если f ∈H^ω(T)₁, тоE_n(f)₁ ≤C₁ω(1/(n+ 1)) приn∈Z+. С другой стороны, по теореме 1 из [27]

E_n(H(f))₁ ≤C₂ n k=0

E_k(f)₁/n≤C₃ω(1/n)

согласно условию ω ∈ B₁. Наконец, по теореме G для L(T) и условию ω ∈ B₁ получаем H(f)∈H^ω(T)₁ =H^ω(T)_H. Замечание 7. Представляется вероятным, что условиеω∈Bв теореме 6 является излиш- ним.

Литература

[1] Hardy G.H.Notes on some points in the integral calculus // Messenger Math. – 1919. – V. 49. – P. 149–155.

[2] Hardy G.H. Notes on some points in the integral calculus, LXVI // Messenger Math. – 1928. – V. 58. – P. 50–52.

12 С.С. ВОЛОСИВЕЦ, Б.И. ГОЛУБОВ

[3] Bellman R.A note on a theorem of Hardy on Fourier constants// Bull. Amer. Math. Soc. – 1944. – V. 50.

– № 10. – P. 741–744.

[4] Loo C.-T.Transformations of Fourier coefficients // Amer. J. Math. – 1949. – V. 71. – № 2. – P. 269–282.

[5] Конюшков А.А.О классах Липшица// Изв. АН СССР. Cер. матем. – 1957. – Т. 21. – № 3. – С. 423–448.

[6] Голубов Б.И.О преобразованиях Харди и Беллмана коэффициентов Фурье/ В кн.: “Ряды Фурье: теория и приложения”. – Киев: Ин-т матем. Укр. Акад. наук, 1992. – С. 18–26.

[7] Siskakis A.G. Composition semi-groups and the Cesaro operator onH^p // J. London Math. Soc. – 1987. – V. 36. – № 1. – P. 153–164.

[8] Siskakis A.G.The Cesaro operator is bounded onH¹ // Proc. Amer. Math. Soc. – 1990. – V. 110. – № 2. – P. 461–462.

[9] Stempak K.Cesaro averaging operators// Proc. Royal Soc. Edinburgh. – 1994. – V. 124A. – P. 121–126.

[10] Giang D.V., Moricz F. The Cesaro operator is bounded on the Hardy space // ActaSci. Math. (Szeged). – 1995. – V. 61. – № 3–4. – P. 535–544.

[11] Голубов Б.И. О преобразованиях Харди и Беллмана пространств H¹ иBMO // Матем. заметки. – 1998. – T. 63. – № 3. – C. 475–478.

[12] Golubov B.I.On boundedness of the Hardy and Bellman operators in the spaces H and BMO // Numer.

Funct. Anal. Optimiz. – 2000. – V. 21. – P. 145–158.

[13] Xiao J.Cesaro transforms of Fourier coefficients ofL^∞-functions// Proc. Amer. Math. Soc. – 1997. – V. 125.

– № 12. – P. 3613–3616.

[14] Голубов Б.И.Ограниченность операторов Харди и Харди–Литтлвуда в пространствахReH¹иBMO // Матем. сб. – 1997. – Т. 188. – № 7. – С. 93–106.

[15] Moricz F.The harmonic Ces`aro and Copson operators on the spacesL^p,1≤p≤ ∞,H¹andBMO// Acta Sci. Math. (Szeged). – 1999. – V. 65. – № 1–2. – P. 293–310.

[16] Голубов Б.И.Об одной теореме Беллмана // Матем. сб. – 1994. – Т. 185. – № 11. – С. 31–40.

[17] Andersen K.F.On the representation of Fourier coefficients of certain classes of functions// Pacific J. Math.

– 1982. – V. 100. – № 2. – P. 243–248.

[18] Родин В.А.Преобразования Харди и Беллмана в пространствах, близких кL∞иL1 // Записки науч.

сем. ПОМИ. – 1999. – Т. 262. – С. 204–213.

[19] Бари Н.К.Тригонометрические ряды.– М.: Физматгиз, 1961. – 936 с.

[20] John F., Nirenberg L.On functions of bounded mean oscillation// Comm. Pure Appl. Math. – 1961. – V. 14.

– P. 415–426.

[21] Sarason D.Functions of vanishing mean oscillation // Trans. Amer. Math. Soc. – 1975. – V. 207. – № 2. – P. 391–405.

[22] Гарнетт Дж.Ограниченные аналитические функции.– М.: Мир, 1984. – 472 с.

[23] Бари Н.К., Стечкин С.Б.Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций// Тр. Моск. матем. о-ва. – 1956. – Т. 5. – С. 483–522.

[24] Дзядык В.К.Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.– М.: Наука, 1977.

– 512 с.

[25] Kuttner B.Some theorems on fractional derivatives// Proc. London Math. Soc. – 1953. – V. 3. – P. 480–497.

[26] Bergh J.Functions of bounded mean oscillation and Hausdorff–Young type theorems// Lect. Notes in Math.

– 1988. – V. 1302. – P. 130–136.

[27] Конюшков А.А.О наилучших приближениях при преобразовании коэффициентов Фурье методом сред- них арифметических и о рядах Фурье с неотрицательными коэффициентами// Сиб. матем. журн. – 1962. – Т. 3. – № 1. – С. 56–78.

С.С. Волосивец

доцент, кафедра теории функций и приближений,

механико-математический факультет, Саратовский государственный университет, 410028, г. Саратов, ул. Астраханская, д. 83,

e-mail:volosivetsss@mail.ru

Б.И. Голубов

профессор, кафедра высшей математики, Московский физико-технический институт,

141700, Московская область, г. Долгопрудный, Институтский переулок, д. 9, e-mail:golubov@mail.mipt.ru

S.S. Volosivets

Associate Professor, Chair of Theory of Functions andApproximations, Faculty of Mathematics andMechanics,

Saratov State University, 83 Astrakhanskaya str., Saratov, 410028 Russia, e-mail:volosivetsss@mail.ru

B.I. Golubov

Professor, Chair of Higher Mathematics, Moscow Physical Engineering Institute,

9 Institutskii lane, Dolgoprudnyi, Moscow region, 141700 Russia, e-mail:golubov@mail.mipt.ru