А. В. Гайдук, О. М. Худавердян, А. С. Шварц, Интегриро- вание по поверхностям в суперпространстве, ТМФ , 1982, том 52, номер 3, 375–383

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Гайдук, О. М. Худавердян, А. С. Шварц, Интегриро- вание по поверхностям в суперпространстве, ТМФ , 1982, том 52, номер 3, 375–383

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 18:57:08

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А

Том 52, № 3 сентябрь, 1982

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ПОВЕРХНОСТЯМ В СУПЕРПРОСТРАНСТВЕ

Гайдук А. В., Худавердян О. М., Шварц А. С.

Изучаются (т, п)-плотности — наиболее общие объекты, которые можно интегрировать по {т, п)-мерной поверхности в суперпростран­

стве. Показывается, что интегральные формы Бернштейна — Лейтеса можно интерпретировать как плотности; характеризуется класс плотно­

стей, отвечающих этим формам.

Во многих ситуациях приходится иметь дело с интегрированием по по­

верхности, лежащей в суперпространстве. Объекты, которые можно интег­

рировать по такой поверхности, рассматривались в ряде работ [1—5].

В частности, в работах [3—5] было введено понятие (т,п)-плотности ранга к. К этому понятию мы приходим, рассматривая интегралы вида

г» / dzB дНв \

(1) 5-р(^П

....___)*~С,

где z= (г/, 6) —точка (i/, iV)-мерного суперпространства EM>N, £=(#, у) пробегает (т,п)-мерное суперпространство, £=/(£) —параметрическое уравнение (т, п) -мерной поверхности Q в суперпространстве E^M>^N. Если интеграл (1) не меняется при репараметризации поверхности Q, т. е. при переходе от параметрического уравнения £—/(£) к уравнению.£=/(#(£)), то функция А называется (т, га)-плотностью ранга к (ранг плотности — это максимальный порядок производных, от которых зависит функция А).

Понятие плотности оказалось полезным при построении формализма кван­

товой теории поля, в котором полевые и координатные переменные равно­

правны. В настоящей работе мы будем изучать (7?г, п) -плотности ранга 1, Мы установим, в частности, что интегральные формы Бернштейна — Лей­

теса [1] можно рассматривать как частный случай плотностей ранга 1, Приведем основные определения. Под отображением суперпростран­

ства будем понимать всегда отображение с грассмановыми коэффициен­

тами. Точнее, мы будем говорить, что суперпространство с координатами (#, v) отображается в суперпространство с координатами (у, 0), если у=р(х, v), 6=ф(^г, v), где р — четные, а ф — нечетные функции с грассма­

новыми коэффициентами (функция на суперпространстве определяется как выражение вида

(2) ^ = ^ W . .^a^ ) v^a4 . . v^a» ,

a

375

Г Д е £ai . . . ад

(х) i- числовые бесконечно дифференцируемые функции.

Функция с грассмановыми коэффициентами определяется как линейная комбинация выражений вида (2) с коэффициентами, принадлежащими произвольной грассмановой алгебре).

Пусть задано отображение '£->-/(£) пространства Еш>п в EM>N. Будем считать дифференциал £)/(?) этого отображения несингулярным операто­

ром (дифференциал Df (£) можно рассматривать как линейный оператор с матрицей dzAjdtiR). В случае m^Mr n<:N линейный оператор, действую­

щий из Ет>п в Ём->N, мы называем несингулярным, если его образ являет­

ся (т, п) -мерной плоскостью в EM>N. Мы будем говорить, что рассматри­

ваемое отображение задает (щ, п) -мерную поверхность в EM>N; два отобра­

жения / и f задают одну и ту же поверхность, если существует такое обратимое отображение g суперпространства Ет>п в себя, что f=zf°g.

Отображение g называется репараметризацией поверхности (данное выше определение поверхности локально; это же замечание относится ко всем дальнейшим рассмотрениям. Переход к исследованию поверхности в целом производится стандартными методами и не вызывает каких-либо затруд­

нений) . От параметрического задания поверхности, описанного только что, можно перейти к заданию поверхности с помощью уравнений. Именно можно определить поверхность уравнениями <$i(z)—0, фя(^)=0; Z = l , . . . . . . ,М—т; Л — 1 , . . . , N—n, где ф* и ф^ — соответственно четные и нечетные функции. Часто удобно объединять четные и нечетные уравнения, вводя обозначение Фь=(фг, фя). Тогда уравнение поверхности записывается в виде

(3) Фь(*)=0.

Функции y>i{z), <fx(z) определяют отображение Ем> N в Ен~т> N~n. Мы требуем, чтобы дифференциал этого отображения был несингуля­

рен (оператор 5, действующий из Ем> N в EM~m>N~n, мы называем несин­

гулярным в случае, когда уравнение & = 0 определяет (т, п) -мерную плоскость в EM>N). Если r\LL'(z) —функция на EM>N, принимающая зна­

чения в множестве обратимых линейных операторов, действующих в EM~m>N-n, то уравнения Фь'(я)'=^0, где Фь (%)=>Чьь'(z)<$)L'(z), определяют ту же самую поверхность (доказательство возможности перехода от за­

дания поверхности с помощью уравнений к параметрическому заданию см. в [6]).

Рассмотрим функцию A(z, Л), где z — точка суперпространства EM>N, R — несингулярный линейный оператор, действующий из Ет>п в Ем>N. Функцию A (z, R) мы будем называть плотностью, если

(4) ' A{z,RL)=A(z1R)BerL

для любого оператора L, действующего в Ет>п. Легко проверить, что усло­

вие (4) гарантирует, что интеграл Л A(f(t)),Df(i)))dm+nt) не зависит от выбора параметризации z =/(£;) поверхности Q. Таким образом, функ­

цию A(z, iF?), удовлетворяющую условию (4) можно рассматривать как ( т , п)-плотность ранга 1 в указанном выше смысле. В настоящей статье

рассматриваются только плотности ранга 1, поэтому мы назвали А (я, Д) просто (т, п) -плотностью.

Нет необходимости требовать, чтобы плотность A (z, R) была опреде­

лена для всех несингулярных операторов R; мы предположим, однако, что замыкание операторов, на которых плотность не определена, нигде не плотно и что функция A(z, R) непрерывна там, где она определена.

Приведем примеры плотностей. Заметим прежде всего, что понятие формы объема в суперпространстве EM*N совпадает с понятием

(Ж, N) -плотности в EM>N. Напомним, что форма объема записывается в виде f(z)V(z), где f(z) —функция на EM>N, a V(z) — символ, преобразую­

щийся при замене переменных w-*-z по формуле F(z)=Ber (Dz(w))V(w).

Интеграл от f(z)V(z) по пространству EM*:iT определен как f(z)dM+Nz.

Далее отметим, что при отображении F пространства Ём>N в пространство

£M\N^r ^^т^ .^w)_^ПЛотность A(w, R) в E^M'>^N' переходит в (т, тг)-шготность в пространстве E^M>^N. Именно, если А — плотность в E^M,N\ то ей отвечает плотность A' =F*А в Е^м> ^N, определяемая формулой

(5) A'(z,Q)=A(F(z)4DF{z)-Q)., где DF(z) —дифференциал отображения Р.

Сделанное замечание позволяет построить по форме объема в Ет> п

(77г, п) -плотность в EM>N, рассмотрев отображение F пространства Ем> N

в Ет> п. Если F — линейное отображение, то форма объема ((т, ^-плот­

ность в Ет> п) переходит в (ттг, п)-плотность в EM>N, задаваемую формулой (6) A(z,R)=BeT(FR)..

Плотности вида (6), а также их произвольные линейные комбинации с коэффициентами, зависящими от z, будем называть плотностями типа Вег. В частности, плотностями типа Вег являются выражения вида

(7) A=^<bu.Amh...jn(z)B^

Здесь Ru...imjl... jn — матрица с элементами Rrs; r==iu...,im, /1? . . . , /n; s =

= 1 , . . . , т+щ du... W l. . . jn(z) — произвольные функции.1}

Отметим, что в случае, когда имеются только четные координаты (Ем> N=EM), всякой яг-мерной дифференциальной форме

i

можно сопоставить 7?г-плотность вида (7); это вытекает из соотношения Г С / ч D(Zi» " ' 'ZiJ im

У J * w W D(xx,...,xm)

где D(zit1... ,zim)/D(xu . . . ,xm) обозначает детерминант матрицы А^=

=dzjdxj; i=iu...., гт; / = 1 , . . . , m. Легко проверить, что в рассматривав-.

4> Иными словами, Rii...imjl...jn — квадратная матрица, составленная из т+п строк матрицы оператора R с индексами U, . . . , гт, /1? . . . , jn.

мом случае (N=0) всякая плотность типа Вег отвечает некоторой диффе­

ренциальной форме. В самом деле, если плотность А отвечает форме со, то плотность F*A отвечает форме F*o. Используя этот факт и замечая, что форму объема можно рассматривать как дифференциальную форму, убеждаемся, что плотность типа Вег отвечает некоторой дифференциаль­

ной форме. Отметим, что в суперслучае плотности типа Вег не обладают многими из свойств, имеющих место в обычном пространстве. В частности, при iV>0 не всякая плотность типа Вег может быть представлена в виде (7) (при 7V=0 мы доказали, что всякая плотность типа Вег отвечает диф­

ференциальной форме и, следовательно, записывается в виде (7)).

Интересный класс (т, 0)-плотностей может быть определен с помощью формулы

Щ A(ziR)^^Aau..a^i^mRam''-RamPm:

здесьД^р.— матричные элементы оператора Д, Aai.. ,am(z) —произволь­

ные функции²⁾ (без ограничения общности можно считать, что при пере­

становке индексов функция Aai... ат (z) не изменится, если оба индекса отвечают нечетным координатам, и меняет знак, есди хотя бы одному индексу отвечает четная координата). Без труда доказывается, что фор­

мула (8) действительно определяет плотность. Очевидно, что плотности вида (8) также можно рассматривать как обобщение плотностей в обыч- жом пространстве, отвечающих дифференциальным формам.

Указанное выше определение плотности было приспособлено для того, чтобы определить интеграл по поверхности, заданной параметрически.

Часто бывает удобно рассматривать интеграл по поверхности, заданной е помощью уравнений. Мы введем понятие D-плотности, приспособленное для интегрирования по поверхностям, заданным уравнениями.

Назовем (лг,?г)-2)-плотностью функцию B(z,S), удовлетворяющую ус­

ловию

(9) B(z,LS)=b{z,S) BerL

для любого линейного оператора L, действующего в EM-m>N~n. Здесь z — точка суперпространства Ем>N, S — несингулярный линейный оператор, действующий из EM>N в EM~m'N~n. Легко проверить, что условие (9) га­

рантирует, что интеграл

(10) lB(z,D<b{z))b{<!>{z))dM+Nz

зависит только от поверхности, определяемой уравнениями (3) (т. е. не зависит от произвола в выборе функций Фь (z)).

Построим взаимно однозначное соответствие между (га, п) -плотностями и (т?г, ?г)-.0-плотностями.

Заметим прежде всего, что в силу условия (4) (т, п) -плотность А до­

статочно задать на операторах R с матрицей вида ( j J, где / единичная матрица (мы считаем, что пространство £м> * отождествлено с прямой*

2) Как обычно, 8Pl...pm обозначает полностью антисимметричный тензор.

суммой,EM~m'N-n®Em> n), это позволяет записывать оператор /f, действую-

(

тора, действующего из Ет>п в Ем~т> isr~n, a R2 — матрица оператора, дейст­

вующего из Ет>п в Ет>п. В самом деле, если R2 — обратимая матрица, то оператор с матрицей I I может быть представлен в виде

• . / Л , \ _ / й А - \ о д-

\ о / ~ \ / / 2' и значит,

Л ( Л ) = л (Л^2 _ 1) в е г Д2. ,

В случае, если матрица R2 необратима* то А I х 1 определяется по непре­

рывности. Аналогично в силу условия (9) (т,п)-В-илотяость B{z, S) достаточно задать на операторах S с матрицей вида (/, V) (мы реализуем

^м,н к а к ПрЯМуЮ сумму EM-m'N-n®Em'n, символ V обозначает оператор, действующий из Ет>п в EM-m>N~n). Определим (т, ?г)-©-плотность B(z, S) по заданной (тп, п) -плотности A (z, i?), считая, что B(z (/, F))=*

=А lz, I • 1 1 (на операторы, не имеющие вида (/, У), ©-плотность В продолжаем, пользуясь условием (9)). Взаимная однозначность постро­

енного нами соответствия между (тп, п) -плотностями и (т, тг)-©-плотно- стями очевидна. Легко устанавливается, что интеграл от (иг, п) -плотности по поверхности равен интегралу от соответствующей (т, п) -©-плотности по той же поверхности.

Соответствие между (т, п) -плотностями и (ттг, /^-©-плотностями становится очень наглядным, если геометрически интерпретировать понятие плотности. Если линейный оператор R, действующий из Ет>п в EM'N не­

сингулярен, то его образ можно рассматривать как (т,п) -мерную плос­

кость М в EM>N. Если Rf=RL, где L — обратимый оператор в Ет*п, то об­

разы операторов R и R' совпадают. С помощью оператора R можно опре­

делить элемент объема на соответствующей (т, п) -мерной плоскости;

если R'=RL, BerL=l, то элементы объема, определенные операторами R и R\ на (т, п) -мерной плоскости совпадают. Это означает, что (ттг,тг)- плотность A {z, R) можно рассматривать как функцию A (z, Ж), где 01 —

(т, п) -плоскость с фиксированным элементом объема, функция A(z, $) должна удовлетворять условию A (z1 %$) =ХА (z, Ж) (символ ЯЖ обозна­

чает ту же плоскость, в которой элемент объема умножен на К). В геомет­

рической терминологии переход от понятия плотности к понятию .©-плот­

ности состоит в переходе от параметрического задания (т, п) -плоскости к заданию плоскости с помощью уравнений (иными словами, мы представ­

ляем плоскость не как образ линейного оператора, а как ядро линейного оператора).

Покажем теперь, что каждой (т, п) -плотности можно сопоставить (М—т, N—тг)-©-плотность и, следовательно, (М—т, N—'n) -плотность.

Именно по каждой (т, п) -плотности A(z, R) построим (М—т, N—n)-D- плотность В (z, S): В (z, S) =A (z, S*). Здесь £* обозначает оператор, сопря- 379

женный к S. Указанное только что соответствие будем называть двойст­

венностью. Это соответствие позволяет строить примеры D-плотностей, исходя из описанных выше примеров плотностей. В частности, (М—т, N—п) -D-плотности, двойственные к плотностям вида (7), могут быть за­

писаны в виде

W> &y... г^ Jь — матрица^{3 )} с элементами S^rs; г ^ = 1 , . . . , т+щ s=i^u . . . - • • ».£»» hi • • •, U (это следует из того, что если Р — линейный оператор, действующий в Е"1*п, то В е г Р = В е г Р * ) . Плотностям вида (8) двойственны

(М—т, 7V)-Д-плотности вида

СИ) ' B(z,S) = ^Bai...aJz)Btt...9mStatrJStmam,

здесьSp.a-.— матричные элементы линейного оператора S, отображающего Ем>N в Ет> °, 5a i...amU) —произвольные функции (эти плотности имеют максимальную размерность по нечетным переменным).

В статьях [1—2] было определено пространство интегральных форм 2 = ® 2А следующим образом. Пусть V(z) —форма объема на EM>N, 6г/г-, 66/

символы, удовлетворяющие соотношениям4) Ьуфу^=—Ьуфугх, 8у£в]=

=б9,бг/,, 69^69^=69^6^; г = 4 , . . . , М; / = 1 , . . . ^rN. Тогда Ф£1>М-Н-АЕМ>К) , если

О)

= £/"•••« **-.*„ '(*) V(z) Ш «'... (8у

)

" (60.) \

а,Р

...(69^)^, .агН . .+£*=*.. "

Если QczE^MN — {m,N) -мерная поверхность в E^M>^N, то определено отобра­

жение ограничения H^ik(E^M'^N)-^H^h(Q). Если а)^Ъ^т-^н(Е^м'^к), то определен интеграл от со по (m,N) -мерной поверхности Q, лежащей в суперпрост­

ранстве Е^м> ^N. Именно ограничивая оз на "Q, получим форму объема на Q, которую можно интегрировать по Q. Нетрудно построить взаимно одно­

значное соответствие между интегральными формами, принадлежащими

%m-N(EM>N) и (т, iV)-D-плотностями вида (11). Именно, если линейный несингулярный оператор S, отображающий Ем>N в Ет> °, определяет по­

верхность Q, заданную уравнением S z = 0 , а интегральная форма

®£1>м-т-н(Ем>н) имеет вид

(12) (d=f(z)V(z)8zu...8zim,

l ^ i i ^ . . .<:im^M+N, то значение соответствующей плотности на S с точ-- ностью до знака определяется формулой

(13) B(z, S)=f(z)e^Pl...p^mS^9lil.. .S^9mim.

На линейные комбинации плотностей вида (12) соответствие продолжает­

ся по линейности. Интеграл от интегральной формы (12) по {т, ^ - м е р ­ ной поверхности совпадает с интегралом от соответствующей Д-плотности по этой поверхности с точностью до знака.

>) Иными словами, ^...Wi-in ~ квадратная матрица, составленная из т+п столб­

цов оператора S с индексами i4, . . . , im, /i, •••,/«• /с- с_. fi .-

4) При замене переменных /=2/(z),*=(*/, 0) символы % , 69)=6z преобразу­

ются по формуле dzi=Szk -dzu/dzi.

Плотности являются наиболее общим объектом, который можно инте­

грировать по поверхности. Однако в случае обычного пространства, как правило, приходится интегрировать не произвольные плотности, а диффе­

ренциальные формы; в суперпространстве несколько выделенную роль играют интегральные формы. Поэтому представляют интерес отличитель­

ные признаки этих классов плотностей. Имеет место следующее утверж­

дение: Д-плотность полиноминальна тогда и только тогда, когда она отве­

чает интегральной форме (мы говорим, что Д-плотность В (z, S) полиноми­

альна, если она является полиномом от матричных элементов оператора S).

В одну сторону это утверждение очевидно. Из соотношения (13) следует, что В-плртность, отвечающая интегральной форме, полиномиальна. Допу­

стим теперь, что (7тг, м)-2)-пяотность B(z,S) полиномиальна. Рассмотрим в Е^м~^т' ^N^ⁿ линейные операторы Li и L², определенные формулами

{14) М и⁴, . . .

Lz\Ui, •..,

bl? • • • i b-W-n)

\U>ii • • • , UM-m, ^bl» b2? • • • i bN-n)

(здесь (щ ^£Е^м-^т'^м~^п, и — четные, £ — нечетные координаты). В силу ус­

ловия (9)

(15) B{z,LⁱS)^B(z,S)X, (16) B(z^rL²S)=B(z,S)ii-\

Из условия (16) мы видим, что для полиномиальности D-плотности B(z, S) необходимо, чтобы она была максимальной нечетной размерности

(если S(z, S) полиномиальна, то B(z, L²S) при n¥=N является полиномом ют |i, который не равен тождественно нулю, по крайней мере для некото­

рых S, и, следовательно, не может удовлетворять (16)). Из (15) следует что £)-плотность В (z, S) линейна по строкам матрицы 5. Иными словами,

для каждого а⁰ B(z, S) может быть представлена в виде \ ср5^аоР, где коэффициенты с^р зависят от S^a$ с а=т^а⁰. При доказательстве этого ут­

верждения мы используем то, что полином f{xi,..., я^п), удовлетворяющий условию f(Xx^u . . . ^1lkxⁿ)=Xf(xⁱ,... ,#ⁿ)» линеен по х\ (если бы рассматри­

ваемый полином имел степень &>1, то f(Xx^u . . . , Кх^п) при больших Я воз­

растало бы как X^h). Из линейности по строкам вытекает, что B(z, S) мож­

но записать в следующей форме: * B(z,S)=¹£^jB,^t...^K,^au,.^am,(z)S,^iat...S,^miam., m'=M-m,

где 2?^Pl... ^Pm;^ai.... am' (z) =0, если какая-либо пара из индексов р⁴,.. ., -fJ^mr сов­

падает. Далее заметим, что /^-плотность B(z, S) не меняется при четной перестановке строк матрицы S и меняет знак при нечетной перестановке

€трок этой матрицы (это следует из (9), если в качестве оператора L вы­

брать оператор перестановки координат). Отсюда вытекает, что коэффи­

циент -B^Pl... ^Pm'^ai... ^amr (z) антисимметричен по индексам . р^{1 ?}. . . , Вт', т. е. име­

ет вид S^Pl... ^Pm>^ai... а^т' (z) =B^ai... a^m> (z) e^Pl... $^m<. Мы приходим к нужному нам выводу, что B(z,S) имеет вид (11) с т~+т'. Очевидно, что плотность по­

линомиальна в том и только в том случае, если двойственная к ней D-плотность также полиномиальна. Поэтому из доказанного нами предло-

жения вытекает следующее двойственное ему утверждение: (т, п) -плот­

ность может быть полиномиальной только при тг=0, полиномиальная плотность при этом имеет вид (8). В частности, в обычном пространстве всякая полиномиальная плотность отвечает дифференциальной форме.

Отметим, что в обычном пространстве дифференциальные формы мож­

но выделить среди плотностей также иным способом. Всякой плотности А (у, R) сопоставляется функционал

(17) Ф л ( ^ш) = 1-А{]/(х)уВу(х))аГх%

где у=у(х) —параметрическое задание поверхности Qn (соотношение (17) является частным случаем соотношения (1) для рассматриваемых в настоящей работе плотностей ранга 1).

Рассмотрим пространство &т, состоящее из т?г-мериых поверхностей,, допускающих глобальную параметризацию yll=yll(xi1..., хт), где 0 < ^ < 1 ; .

£ = 1 , . . . , т. В пространстве <Вт можно ввести различные топологии.

I. Последовательность ттг-мерных поверхностей Qnm стремится к ттг-мер- ной поверхности Qm в топологии I, если существуют такие параметризации уп(х) и у(х) поверхностей Qnw и Qm, что уп{х) и Dyn(x) равномерно стре­

мятся к у (х) и Dy (x), соответственно.

II. Последовательность m-мерных поверхностей Qnm стремится к т- мерной поверхности Qm в топологии II, если существуют такие параметри­

зации уп{х) и у(х) поверхностей Qnm и Qw, что уп{х) равномерно стремит­

ся к у (х) и

max] (Dyn(x))VLi\<o°.

х,п

м

Имеет место утверждение, аналогичное теореме А работы [4]: 1) функ­

ционал ФА(йт) непрерывен на <§ш в топологии I; 2) функционал ФА(От) непрерывен на <§т в топологии II тогда и только тогда, когда плотность А (у, В.) соответствует дифференциальной форме.

Доказательство пункта 1 очевидно. Доказательство непрерывности

ФА(ЙШ) В топологии II в случае, если А (у, R) соответствует форме, непо­

средственно вытекает из теоремы Стокса. Доказательство разрывности функционалов, соответствующих плотностям, но не отвечающих формам, в топологии II аналогично доказательству соответствующего утверждения в теореме А работы [4].

Во введении было отмечено, что понятие плотности оказывается полез­

ным в формализме квантовой теории поля, в котором полевые и коорди­

натные переменные рассматриваются как равноправные. Именно интеграл вида (1), где А —плотность ранга /с, может рассматриваться как функцио­

нал действия в этом формализме. Заметим, однако, что функционал (1) можно интерпретировать таким образом и при более слабых ограничени­

ях — достаточно потребовать чтобы уравнения движения, отвечающие функционалу (1), были инвариантны относительно преобразования репа- раметризации (если А — плотность, то инвариантен сам функционал, а не только уравнения движения). Это более слабое условие заведомо выпол­

няется, если функционал (1) представлен в виде суммы функционалаг

отвечающего плотности, и функционала, приводящего к тривиальным уравнениям движения.

В связи с этим обсудим вопрос: при каких услових функционал (1) приводит к тривиальным уравнениям движения (т. е. вариация 8S функ­

ционала S тождественно равна нулю). Этот вопрос представляет и само­

стоятельный интерес. Мы покажем, что необходимым и достаточным ус­

ловием тривиальности уравнений движения, как и в обычном случае, яв­

ляется возможность представления функций А в виде дивергенции:

OXi ovj

ют U и У, зависящих от переменных х, v, суперполей у(х, v), 0(ar, v) и их производных. Если функция А представлена в виде (18), тривиальность уравнений движения очевидна. Для того чтобы доказать обратное утверж­

дение заметим, что функция /, определяемая по формуле

юбладает тем свойством, что и б I ldmx=0, поэтому / представляется в виде дивергенции по х от некоторой функции Uu зависящей от х, компонент суперполей у{х, v) и Q(x, v) и их производных по х при v=0 (т. е. от у(х, 0), 6(#,0),—>— v — - , *— • и т. д.). Далее, разло-

дх dv I v«e ox жение А (х, v, у (х, v ) , . . . ) по v дает

(19) A=v

...v

K+'£J[

...

K

...

,

i r<n

где второе слагаемое представляет собой полином степени, меньшей п по v. Ясно, что 1=К. Всякий полином степени меньше п по v можно пред­

ставить в виде дивергенции по v от некоторой функции Vu зависящей от я, компонент суперполей у и 0 и их производных по х; ясно, что справед^

ливо соотношение (18) с функциями Ui и У4 в правой части. Если теперь выразить в функциях Ut и У4 компоненты суперполей у и 6 через супер- поля и их производные по v и обозначить таким образом полученные функции через U и У, то получим, что справедливо соотношение (18).

Литература

[1] Бернштейн И. Н., Лейтес Д.; А.— Функц. анализ и его прилож., 1976, 11, № 1, 55-56.

[2] Бернштейн И: Н., Лейтес Д. А,— Функц. анализ и его прилож., 1976, 11, № 3, 70-71.

{3] Schwarz A.- Nucl. Phys., 1980, Bill, 154-166.

[4] Худавердян О. М., Шварц Л . С . - Т М Ф , 1981, 46, № 2, 187-198.

[5] Gayduk A. V., Ro manov V. N., Schwarz A. S.~- Gommun. Math. Phys., 1981, 79, 507-528..

[6] Березин Ф. А. Элементарные частицы. Седьмая школа физики ИТЭФ. Вып. 1.

М.: Атомиздат, 1980, 119 с.

Московский инженерно-физический Поступила в редакцию институт . 6.Х. 1981 г.

INTEGRATION OVER SURFACES IN SUPERSPACE Gayduk A. V., Khudeverdyan O. M., Schwarz A. S.

The (in, n)-densities are studied. These densities are the most general objects which can be integrated over (m, n)-dimensional surfaces in superspace. It is shown that the Bernstein — Leites integral forms can be considered as densities. The class of densities corresponding to integral forms is characterized.