В. И. Гельфгат, Условия коммутирования ганкелевых матриц, Ж. вычисл. ма- тем. и матем. физ., 2011, том 51, номер 7, 1181–1193

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. И. Гельфгат, Условия коммутирования ганкелевых матриц, Ж. вычисл. ма- тем. и матем. физ., 2011, том 51, номер 7, 1181–1193

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

5 ноября 2022 г., 17:48:27

(2)

1181

1. Критерий коммутирования двух произвольных матриц с вещественными или комплексны ми элементами известен (см. [1]), но не очень удобен для использования, так как он связан с при ведением обеих матриц к канонической жордановой форме. Для более узкого класса ганкелевых матриц он может быть сформулирован в иной форме, учитывающей специфику рассматривае мого класса матриц и к тому же допускающей эффективную проверку.

К задаче нахождения такого критерия можно также прийти, обобщая поставленную X.Д. Ик рамовым задачу классификации нормальных ганкелевых матриц, решение которой анонсирова но в [2] и полностью изложено в [3].

Ниже в разд. 2 исходная задача сводится к задаче для комплексных тёплицевых матриц, в тер минах которых в последующем изложении будут установлены искомые условия коммутирова ния. В разд. 3 вводится ряд используемых для дальнейшей работы обозначений и дается перечень нужных свойств вводимых матриц. В разд. 4 проводятся предварительные преобразования урав нения для тёплицевых матриц. В разд. 5 указаны нужные свойства решений этого уравнения.

В разд. 6 выводятся условия на тёплицевы матрицы, обеспечивающие коммутацию исходных ганкелевых матриц. В заключительном разд. 7 изложены некоторые доводы насчет возможного алгоритма численной проверки коммутирования двух заданных ганкелевых матриц, который может оказаться более быстрым, чем алгоритм, основанный на быстрых вариантах непосредствен ного вычисления произведения этих матриц и проверке симметричности этого произведения.

2. Пусть две комплексные ганкелевы матрицы H₁ и H₂ порядка n > 2 (случай n ≤ 2 тривиален) коммутируют:

[H₁, H₂] = 0, (1)

тогда, вводя связанные с этими матрицами комплексные тёплицевы матрицы T₁ и T₂ согласно соотношениям

H₁ = (T₁ + iT₂)P_n, H₂ = (T₁ – iT₂)P_n,

где P_n – перъединичная матрица порядка n, и учитывая их персимметричность, получаем для них уравнение

(2) Такие связи исходных комплексных ганкелевых матриц с введенными также комплексными тёплицевыми матрицами вызваны стремлением обеспечить вещественность T₁ и T₂, как это при нято в [2], в задаче классификации нормальных ганкелевых матриц, к которой сводится постав ленная выше задача при H₂ = . Здесь и далее черта над матрицей означает ее комплексное со пряжение, а верхний индекс т – ее транспонирование.

T₁T₂^т = T₂T₁^т.

H₁

УСЛОВИЯ КОММУТИРОВАНИЯ ГАНКЕЛЕВЫХ МАТРИЦ

(117036 Москва, ул. Шверника, 4, НПО “АКМА”) e'mail: vgelf@mail.ru

Поступила в редакцию 12.08.2010 г.

Переработанный вариант 19.10.2010 г.

Установлены условия коммутирования ганкелевых матриц. В качестве следствия подтвер жден список классов нормальных ганкелевых матриц, указанный ранее в работе Х.Д. Икра мова и В.Н. Чугунова. Библ. 5.

Ключевые слова: коммутирование, матрицы ганкелевы, тёплицевы, орбита, классификация.

УДК 519.613

(3)

Отметим, что уравнение (2) указывает на эквивалентность задачи отыскания условий симмет ричности произведения двух комплексных тёплицевых матриц T₁ и исходной задаче, и на это также было указано в [2] для вещественных матриц T₁ и T₂.

Таким образом, решаемая в настоящей работе задача представляет собой комплексный аналог задачи, изученной в [2], [3], но, в отличие от метода этих работ, метод настоящей работы связан с представлением коммутаторов некоторых числовых тёплицевых матриц с произвольными тёп лицевыми матрицами в виде сумм не более двух матриц ранга 1, использованием техники работы с блочными матрицами и в основном с бескоординатной работой с векторами.

3. Введем в рассмотрение две матрицы Q_L и Q_U, являющиеся нижней и, соответственно, верх ней жордановой клетками порядка n, отвечающими нулевому собственному значению. Всевоз можные многочлены от Q_L или от Q_U, соответственно, с комплексными или вещественными ко эффициентами образуют алгебры нижнетреугольных или, соответственно, верхнетреугольных тёплицевых матриц над ⺓^или⺢, для которых будем использовать стандартные обозначения L и, соответственно, U.

Далее будем использовать известное LUразложение тёплицевой матрицы T в виде T = L + U, в котором диагональная часть матрицы T может быть отнесена либо к матрице L, и тогда снабдим матрицу U верхним правым индексом (0), либо к матрице U, снабдив теперь уже матрицу L тем же индексом; тем же индексом будем снабжать и матрицу T, если надо подчеркнуть, что она име ет нулевую диагональ.

Указание аргументов матриц L или U в виде L( ) или U( ) означает, что nмерные векторы или являются нулевым столбцом матрицы L или транспонированной нулевой строкой матри цы U соответственно, в частности L^т( ) = U( ). Нумерацию строк и столбцов матриц и коорди нат векторов будем вести с нуля.

Введем ряд обозначений: для любого nмерного вектора через обозначим через a его (n – 1)мерный подвектор, введенный формулой = (a₀, a^т)^т, где a₀ – нулевая координата исход ного вектора, – для вектора с равной единице координатой с нулевым номером и равными ну лю остальными координатами, – для вектора нулевого столбца матрицы T, введенного форму лой T = , d (или , или в зависимости от контекста), – для диагонального элемента той же матрицы T и аналогичные обозначения для – транспонированного вектора нулевой строки той же матрицы, введенного формулой T^т = . При необходимости элемент d и нужные векторы будем снабжать правыми нижними индексами 1 или 2, указывающими на их принадлежность матрицам T₁ или T₂.

Для λ ≠ 0 введем обозначение C^[^λ^]( ) для λциркулянта с нулевым столбцом его LUразложе нием C^[^λ^]( ) = L( ) + λU⁽⁰⁾((0, l^тP_{n – 1})^т). Для циркулянтов (при λ = 1) и косоциркулянтов (при λ = –1) сохраним стандартные обозначения C( ) и S( ). Все эти матрицы диагонализуемы в виде

где диагональная матрица D^[^λ^] = (при необходимости ветвь корня λ^1/n будем специ ально оговаривать, но всегда для циркулянтов λ^1/n = 1, а для косоциркулянтов λ^1/n = exp(iπ/n)), F_n– матрица дискретного преобразования Фурье с элементами (F_n)_kl = exp(2πikl/n) для k, l = 0, 1, …, n – 1, а диагональная матрица diag( ) = , где есть kя координата вектора . Век тор = будем называть λспектром (там, где это ясно, – просто спектром) соответствую щего λциркулянта, а иногда, допуская вольность речи, спектром вектора . При необходимости вектор снабдим нижним индексом, указывающим на его связь с соответствующим вектором , а координаты вектора будем нумеровать нижними индексами, перенося нумерацию вектора в круглых скобках в верхний индекс; так, будет обозначать mю координату спектра вектора .

T₂^т

aˆ bˆ aˆ

bˆ

aˆ aˆ

eˆ

lˆ

eˆ lˆ ˆl

0 uˆ

0

uˆ

eˆ uˆ

lˆ lˆ

C^{[ ]}^λ( )lˆ = (D^{[ ]}^λ)^–¹F_n^–¹diag(F_nD^{[ ]}^λlˆ)F_nD^{[ ]}^λ,

⊕k=0 n–1

λ^1/n ( )^k

aˆ ⊕k=0

n–1

aˆ

k aˆ

ˆf F_nD^{[ ]}^λlˆ

lˆ

ˆf lˆ

ˆf

m ( )n

lˆn

(4)

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ том 51 № 7 2011

И, наконец, введем также обозначения Q_C и Q_S для образующих алгебр циркулянтов и косо циркулянтов соответственно и укажем на их связи с ранее введенными матрицами: Q_C =

= (I₁⊕P_{n – 1})P_n, Q_S = ((–I₁) ⊕ P_{n – 1})P_n. Здесь и далее I_k обозначает единичную матрицу порядка k.

4. При преобразовании уравнения (2) используем следующее Предложение. Уравнение (2) эквивалентно уравнению

(3) В самом деле, в силу того что Q_L – жорданова клетка максимального порядка, это уравнение утверждает, что второй аргумент коммутатора – нижнетреугольная тёплицева матрица, а учет ее антисимметричности влечет ее равенство нулю. Обратная импликация очевидна. Правый со множитель коммутатора P_n введен для получения в дальнейшем более симметричных уравнений.

Используя известное тождество для коммутаторов трех произвольных матриц M₁, M₂ и M₃: [M₁, M₂M₃] = [M₁, M₂]M₃ + M₂[M₁, M₃],

упростим уравнение (3), используя персимметричность тёплицевых матриц и приводя его к виду (4) Далее, применяя стандартную технику, описанную в [4], выразим коммутатор [Q_L, T] через введенные выше векторы:

(5) Раскрывая в (4) коммутаторы согласно (5), преобразуем это уравнение к виду

(6)

Структура матрицслагаемых последнего уравнения имеет замечательную специфику: матри цы, заключенные в первые фигурные скобки, имеют равные нулю столбец и строку с нулевыми номерами, в то время как ненулевые элементы остальных слагаемых, наоборот, сосредоточены в этих строке и столбце. Это обстоятельство позволяет расщепить уравнение (6) на систему из трех уравнений, приводимую в очевидным образом упрощенном виде

(7)

где общий для двух последних уравнений вектор имеет вид

Очевидно, что при таком расщеплении фактически использовано представление матрицы ле вой части уравнения (6) в блочной форме со скалярным левым верхним блоком.

Подчеркнем, что система уравнений (7) получена путем обратимых преобразований уравне ния (1) и, следовательно, эквивалентна ему и уравнениям (2) и (3). В следующем разделе мы рас смотрим некоторые свойства решений этих уравнений.

5. Назовем решением эквивалентных уравнений (2), (3) и (7) упорядоченную пару тёплицевых матриц T₁ и T₂, удовлетворяющую эти уравнения, и обозначим эту пару {T₁, T₂}. Назовем реше ние тривиальным, если матрицы линейно зависимы. Нетрудно убедиться в том, что такая пара матриц действительно является решением. Соответствующие этим матрицам исходные ганкеле вы матрицы H₁ и H₂ отнесем к классу 1, потому что в частном случае вещественных матриц T₁ и

Q_L,T₁T₂^т–T₂T₁^т

[ ]P_n = 0.

Q_L,T₁

[ ]P_nT₂–[Q_L,T₂]P_nT₁+T₁[Q_L,T₂^т]P_n–T₂[Q_L,T₁^т]P_n = 0.

Q_L,T

[ ]P_n = [Q_L,U^{( )}⁰ ]P_n = (0 u, ^тP_n_–₁)^тeˆ^т–eˆ 0 u( , ^тP_n_–₁).

0 u, ₁^тP_n_–₁

( )^т(0 u, ₂^т)–(0 u, ₂^тP_n_–₁)^т(0 u, ₁^т)

[ ]–[(0 l, ₁^т)^т(0 l, ₂^тP_n_–₁)–(0 l, ₂^т)^т(0 l, ₁^тP_n_–₁)]

{ }+

+{eˆ[(0 u, ₂^тP_n_–₁)T₁^{( )}⁰ –(0 u, ₁^тP_n_–₁)T₂^{( )}⁰ ]+[T₁^{( )}⁰(0 l, ₂^тP_n_–₁)^т–T₂^{( )}⁰(0 l, ₁^тP_n_–₁)^т]eˆ^т}+ +d₂{[(0 u, ₁^тP_n_–₁)^т–(0 l, ₁^тP_n_–₁)^т]eˆ^т–eˆ[(0 u, ₁^тP_n_–₁)–(0 l, ₁^тP_n_–₁)]}– –d₁{[(0 u, ₂^тP_n_–₁)^т–(0 l, ₂^тP_n_–₁)^т]eˆ^т–eˆ[(0 u, ₂^тP_n_–₁)–(0 l, ₂^тP_n_–₁)]} = 0.

P_n_–₁[u₁u₂^т–u₂u₁^т] = [l₁l₂^т–l₂l₁^т]P_n_–₁, T₁^{( )}⁰(0 l, ₂^тP_n_–₁)^т–T₂^{( )}⁰(0 l, ₁^тP_n_–₁)^т–rˆ = 0, T₁^{( )}⁰^т(0 u, ₂^тP_n_–₁)^т–T₂^{( )}⁰^т(0 u, ₁^тP_n_–₁)^т+rˆ = 0,

rˆ

rˆ = d₁[(0 u, ₂^тP_n_–₁)^т–(0 l, ₂^тP_n_–₁)^т]–d₂[(0 u, ₁^тP_n_–₁)^т–(0 l, ₁^тP_n_–₁)^т]+(u₁^тP_n_–₁l₂–u₂^тP_n_–₁l₁)eˆ.

(5)

T₂ соответствующая им исходная ганкелева матрица H₁, равная , принадлежит к этому классу в классификации работы [2]. Таким образом, исходная задача сводится к описанию остальных решений, которые назовем нетривиальными.

Введем на множестве всех решений изучаемых уравнений линейное преобразование =

= g₀₀T₁ + g₁₀T₂, = g₀₁T₁ + g₁₁T₂, которое, введя комплексную матрицу второго порядка g с эле ментами g_ik для k = 0, 1, запишем в условной форме { , } = {T₁, T₂}g. Нетрудно убедиться в том, что такое преобразование переводит одно решение в другое, причем вырожденное преобразова ние переводит любое решение в тривиальное, что позволяет при поиске нетривиальных решений ограничиться невырожденными преобразованиями, образующими группу GL(2, ⺓), а в веще ственном случае – группу GL(2, ⺢) или – в ряде нужных нам случаев – ей сопряженную группу (2, ⺢^{) =} ^GL(2,⺢^)g0 с матрицей g₀ = . Эту группу для краткости будем именовать g₀сопряженной вещественной группой.

Применение всей совокупности таких преобразований превращает множество нетривиаль ных решений в объединение непересекающихся однородных пространств – орбит преобразуе мых решений, превращая тем самым задачу описания нетривиальных решений в задачу нахож дения сечения множества орбит, т.е. указания представителей орбит.

Эта идея является комплексным вариантом идеи работы [2], в которой она использовалась для преобразования ранее введенных авторами специального класса тёплицевых матриц.

Множество тривиальных решений также может быть описано, как совокупность орбит реше ний {0 · I_n, T}, а произвольные ненулевые кратные какихлибо решений могут быть заменены на однократные этих решений при использовании подходящего диагонального преобразования g₀₀⊕ g₁₁.

Упомянем еще одно преобразование, переводящее одно решение в другое, – транспонирова ние, которое можно трактовать как внешний автоморфизм, переводящий одну орбиту в другую:

{ , } = {P_nT₁P_n, P_nT₂P_n}. Использование этого преобразования позволяет переносить форму лируемые утверждения для пары матриц {T₁, T₂} на другую пару { , }.

6. Классификацию решений будем производить, анализируя, в первую очередь, первое урав нение системы (7), которое мы считаем ключевым в этой системе. Оно утверждает линейную за висимость четырех векторов P_{n – 1}u₁, P_{n – 1}u₂, l₁ и l₂. Анализ этой зависимости будем проводить, ис следуя возможные ранги двух систем векторов {P_{n – 1}u₁, P_{n – 1}u₂} и {l₁, l₂}.

6.1. Ранг какойлибо из указанных систем равен нулю. Пусть для определенности ранг 1й си стемы равен нулю. Это означает, что оба вектора u₁ и u₂ нулевые. Первое уравнение системы (7) в этом случае гласит, что векторы второй системы векторов l₁ и l₂ или оба нулевые, что приводит к тривиальному решению, или хотя бы один из них ненулевой и они, следовательно, линейно за висимы, что позволяет их представить в виде

В этом случае второе уравнение системы (7) сводится к уравнению d₂α = d₁β, а это означает, что обе матрицы – нижние треугольные и линейно зависимы. Учет внешнего автоморфизма – транспонирования – позволяет утверждать, что в случае нулевого ранга какойлибо из указан ных систем векторов обе матрицы линейно зависимы и одновременно являются либо верхнетре угольными, либо нижнетреугольными; таким образом, рассмотренный случай приводит к три виальным решениям, т.е. к решениям класса 1.

6.2. Ранги обеих систем равны единице, что в общем случае означает H2

T˜

1

T˜

2

T˜

1 T˜

2

GL g₀^–¹ 1 1

i –i

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎛ ⎞

T˜

1 T˜

2

T₁^т T₂^т

l₁ = αl, l₂ = βl, l≠0, α ²+ β²≠0.

l₁ = αl, l₂ = γl, l≠0, α²+ γ²≠0,

u₁ = βu, u₂ = δu, u≠0, β²+ δ²≠0,

(6)

а матрицы T₁ и T₂ приобретают вид

Подставляя выражения для этих матриц в исходное уравнение (2), после простых преобразо ваний приводим его к виду

где введены обозначения Δ = αδ – βγ, p = d₂α – d₁γ, q = d₁δ – d₂β.

Левая часть последнего уравнения представляет собой строго нижнетреугольную матрицу, а правая часть – матрицу, транспонированную по отношению к левой, следовательно, они обе рав ны нулевой матрице:

ΔL((0, l^т)^т)U^т((0, u^т)^т) + pL((0, l^т)^т) + qU^т((0, u^т)^т) = 0.

Решение этого уравнения допускает два основных варианта в зависимости от значения вели чины Δ.

6.2.1. Δ = 0, что влечет соотношение pl + qu = 0; это, в свою очередь, может быть в двух случаях.

Случай i. p = 0, q = 0. Образуя линейную комбинацию δT₁ – βT₂, убеждаемся, что вследствие принятых условий она равна нулевой матрице, что означает линейную зависимость матриц T₁ и T₂ и тем самым принадлежность соответствующих им ганкелевых матриц 1му классу.

Случай ii. p ≠ 0, q ≠ 0, т.е. ненулевые векторы l и u линейно зависимы, что позволяет их выра зить через ненулевой вектор ρ: l = qρ, u = –pρ, а сами матрицы T₁ и T₂ вследствие γq = –δp и αq = –βp приобретают вид

(симметрическая ненулевая матрица с нулевой диагональю); таким образом, обе матрицы T₁ и T₂ суть линейные функции от одной и той же ненулевой симметрической матрицы, причем изза p = d₂α – d₁γ≠ 0 эти функции линейно независимы. Эти решения принадлежат орбитам {I_n, }, = , ≠ 0. Нарушение последнего условия ведет к принадлежности орбиты к классу 1;

ниже мы будем постоянно сталкиваться с такой ситуацией, когда среди решений какогото клас са присутствуют решения предшествующих классов. Если допускать ненулевые пересечения классов, как это сделано в [2], [3], то не надо налагать никаких ограничений. Чтобы не допустить ненулевого пересечения классов, надо избавиться от лишних решений, налагая явные, как в дан ном случае, или неявные, как в большинстве других случаев ограничения на параметры реше ний. Неявные ограничения в основном сводятся к заданию параметров одной тёплицевой мат рицы, нахождению из соответствующего уравнения параметров другой тёплицевой матрицы и отсеиванию решения в случае принадлежности найденного решения предыдущим классам.

Назовем соответствующие найденным решениям для тёплицевых матриц ганкелевы матрицы решениями класса 2, потому что в случае вещественных матриц T₁ и T₂ соответствующая этим тёплицевым матрицам ганкелева матрица принадлежат этому классу коммутирующих ганкеле вых матриц из работы [2].

6.2.2. Δ ≠ 0. В этом случае матрицы T₁ и T₂ могут быть записаны в виде

(8) и являются линейно независимыми вследствие Δ ≠ 0, т.е. эти решения принадлежат орбитам ре шений {L( ), U( )} при выполнении условия {L( )U^т( ) = U( )L^т( ), которое, в зависимости от равенства или неравенства нулю произведения нулевых координат , допускает два вида ре шений.

T₁ = d₁I_n+αL 0 l(( , ^т)^т) β+ U 0 u(( , ^т)^т), T₂ = d₂I_n+γL 0 l(( , ^т)^т) δ+ U 0 u(( , ^т)^т).

ΔL 0 l(( , ^т)^т)U^т((0 u, ^т)^т)+pL 0 l(( , ^т)^т)+qU^т((0 u, ^т)^т) =

= ΔU 0 u(( , ^т)^т)L^т((0 l, ^т)^т)+pL^т((0 l, ^т)^т)+qU 0 u(( , ^т)^т),

T₁ = d₁I_n+αT₀^{( )}⁰, T₂ = d₂I_n+γT₀^{( )}⁰ , где T₀^{( )}⁰ = q L 0[ (( ,ρ^т)^т)+U 0(( ,ρ^т)^т)]

T₀^{( )}⁰ T₀^{( )}⁰ (T₀^{( )}⁰)^т T₀^{( )}⁰

T₁ = αL q/(( Δ,l^т)^т) β+ U p/(( Δ,u^т)^т) = αL lˆ( ) β+ U u( )ˆ , T₂ = γL q/(( Δ,l^т)^т) δ+ U p(( /Δ,u^т)^т) = γL lˆ( ) δ+ U u( )ˆ

lˆ uˆ lˆ uˆ uˆ lˆ

ˆl

0uˆ

0

2

(7)

Случай 1. = 0. Это условие приводит по крайней мере к одному из двух уравнений:

L((0, l^т)^т)U^т( ) = 0, L( )U^т((0, u^т)^т) = 0,

совокупное решение которых находится путем представления матриц L и U в виде многочленов от Q_L и Q_U соответственно:

подстановка которых в последние уравнения приводит к решениям вида

(9) таким образом, ведущие k₁ координат вектора и k₂ координат вектора обязаны быть нулевы ми, а среди остальных координат каждого вектора есть ненулевые (иначе такое решение будет принадлежать классу 1). Тем самым матрицы T₁ и T₂ являются суммами ненулевых верхнетре угольной и нижнетреугольной матриц, ненулевые части которых образуют матрицы того же ти па, порядки которых в сумме не превышают n. Соответствующие найденным тёплицевым мат рицам T₁ и T₂ исходные ганкелевы матрицы H₁ и H₂ назовем решениями 3го класса, так как для вещественных T₁ и T₂ матрица H₁ нормальна и принадлежит этому классу в классификации ра боты [2]. Эти решения принадлежат орбитам решений {L( ), U( )} при L( )U^т( ) = 0, которые имеют вид (9) с указанными ограничениями.

Случай 2. ≠ 0. Это условие после подходящего диагонального преобразования, обращаю щего и в 1, приводит к решениям вида (8), принадлежащим орбитам {L( ), U( )} при L( )U^т( ) = I_n, = = 1 и l ≠ 0. Соответствующие найденным матрицам T₁ и T₂ исходные ган келевы матрицы H₁ и H₂ назовем решениями класса 4, так как для вещественных матриц T₁ и T₂ соответствующая ганкелева матрица H₁ нормальна и принадлежит этому классу нормальных ганкелевых матриц в классификации работы [2].

6.3. Ранг какойлибо из указанных систем векторов равен 2. Примем без ограничения общно сти, что ранг 2й системы равен 2. Тогда из первого уравнения системы (7) следует, что векторы P_{n – 1}u₁ и P_{n – 1}u₂ линейно зависят от векторов l₁ и l₂: (P_{n – 1}u₁, P_{n – 1}u₂) = (l₁, l₂)w, причем детерминант комплексной матрицы 2го порядка w равен единице и, следовательно, ранг 1й системы векто ров также равен 2. При проведении gпреобразования над любым решением такого рода матрица w подвергается преобразованию подобия: = g^–1wg, которое может быть использовано для при ведения этой матрицы к каноническому виду: в комплексном случае – к комплексной жордано вой форме, а в вещественном случае – к вещественной. Следуя работе [2], будем выбирать в ка честве представителей орбит этих решений решения с именно такими нормальными формами матрицы w и к тому же в том же, как и в [2], порядке следования.

6.3.1. Матрица w приводится к диагональному виду. Так как матрица с одним упорядочением собственных значений подобна матрице с иным упорядочением, а также подобна транспониро ванной матрице, то, чтобы не засчитывать одну и ту же орбиту дважды, ограничим область зна чений первого собственного значения λ объединением четырех областей: {λ = exp(iϕ), 0 < ϕ < π}, {|λ| > 1}, {λ = 1} и {λ = –1}. Так как детерминант матрицы w равен единице, то второе собственное значение (если оно есть) полностью определяется первым. Разберем поочередно эти варианты, причем для комплексного случая первые две области будем рассматривать раздельно, имея в ви ду переход к задаче из [2], хотя они могут быть изучены единообразно вместе.

6.3.1.1. {λ = exp(iϕ), 0 < ϕ < π}. Это означает, что матрица T₁ является λциркулянтом, а матри ца T₂ есть λ^–1циркулянт. Для выполнения основного условия (2) необходимо, чтобы λцирку лянт был равен λ^–1циркулянту , что с учетом выражения для λ может быть только при выполнении условия:

(10) ˆl

0uˆ

0

uˆ lˆ

L lˆ( ) ˆl

kQ_L^k, U u( )ˆ

k=0 n–1

∑

^u^ˆ^k^Q^U^k^,

k=0 n–1

∑

= =

L lˆ( ) ˆl

kQ_L^k, U u( )ˆ

k=k₁ n–1

∑

^u^ˆ^k^Q^U^k^, ^k¹⁺^k²

k=k₂ n–1

∑

^n;

= = =

lˆ uˆ

lˆ uˆ lˆ uˆ

ˆl

0uˆ

0

ˆl

0 uˆ

0 lˆ uˆ

lˆ uˆ ˆl

0 uˆ

0

w˜

T₁T₂^т T₂T₁^т

C^{[ ]}^λ( )lˆ1 C^{[ ]}^λ((I₁⊕(λ^–¹P_n_–₁))lˆ2) = νI_n, ν∈⺓^.

(8)

Непосредственный расчет ν из левой части (10) дает ν = ; далее рассмотрим разные случаи значений этого выражения.

Случай а. ≠ 0, следовательно, очевидным диагональным преобразованием можно об ратить в единицу. Оба сомножителя в левой части уравнения (10) не вырождены, и тем самым матрица T₁ – произвольный комплексный невырожденный λциркулянт, а матрица T₂ – также комплексный невырожденный λ^–1циркулянт с условием T₂ = . Иная форма представления этих решений получается после перехода к спектрам:

где = , = – спектры векторов ₁ и ₂ (здесь ветви корней λ^1/n и (1/λ)^1/n сле дует согласовать так, чтобы D^[^λ^]D^[1/^λ^] = I_n). Очевидно, что это уравнение для имеет ненулевое решение при любом векторе ≠ 0, соответствующем невырожденности C^[^λ^]( ₁).

Случай б. = 0. Обе части уравнения (10) равны нулю, т.е. комплексные λциркулянты T₁ и являются делителями нуля. Эти решения принадлежат орбитам {C^[^λ^]( ₁), C^[1/^λ^]( ₂)} при = 0 и выполнении соотношения (10) при ν = 0, которое после перехода к спектральному представле нию приобретает более прозрачный вид: = 0 для k = 0, 1, …, n – 1. Очевидно, что по лученное уравнение для разрешимо при любом векторе .

Для вещественных матриц T₁ и T₂ нормальная форма матрицы w имеет вид матрицы поворота на угол ϕ с нулевой строкой (cosϕ, sinϕ). Преобразование w преобразует ее в диаго нальную матрицу exp(iϕ) ⊕ exp(–iϕ), и это обстоятельство дает основание вместо вещественных преобразований вещественного решения {T₁, T₂} использовать g₀сопряженные вещественные преобразования комплексно сопряженной пары {T₁ + iT₂, T₁ – iT₂}; при таком преобразовании матрица w приобретает диагональный вид, а матрицы T₁ + iT₂ и T₁ – iT₂ оказываются λцирку лянтом C^[^λ^]( ) и ему комплексносопряженным λ^–1циркулянтом C^[1/^λ^]( ) соответственно, а ос новное условие (2) удовлетворяется только при унитарности λциркулянта C^[^λ^]( ). Случай б не реализуется, так как для любой матрицы M условие = 0 влечет ее равенство нулю. Итак, в вещественном случае решения {T₁ + iT₂, T₁ – iT₂} принадлежат g₀сопряженным вещественным орбитам решений {C^[^λ^]( ), C^[1/^λ^]( )}, где C^[^λ^]( ) – унитарный λциркулянт (вещественные T₁ и T₂ определяются соотношением T₁ + iT₂ = C^[^λ^]( )), и именно в подобной формулировке для соот ветствующей этим тёплицевым матрицам ганкелевой матрицы этот класс описан в [2].

Однако в обоих случаях указанным способом можно получить часть решений, для которых rank(l₁, l₂) < 2, т.е. принадлежащих первым четырем классам, что противоречит исходной посылке п. 6.3. К примеру, если в случае б у вектора все компоненты одновременно равны или не равны нулю, то такие решения принадлежат 1му классу.

Назовем найденные решения для тёплицевых матриц с отсеянными лишними значениями параметров, удовлетворяющие условиям C^[^λ^]( ₁)(C^[1/^λ^]( ₂))^т = νI_n при ν ∈ {0, 1}, rank(l₁, l₂) = 2 и принадлежащие орбитам {C^[^λ^]( ₁), C^[1/^λ^]( ₂)} для рассматриваемых значений λ, и соответствую щих этим тёплицевым матрицам ганкелевых матриц решениями класса 5 в согласии с [2], когда векторы ₁ и ₂ вещественны. Отметим только, что в работе [3] отсутствует нумерация следующих после четвертого классов, в связи с чем эту нумерацию продолжаем согласовывать с нумерацией из [2].

6.3.1.2. |λ| > 1. Это означает, что P_{n – 1}u₁ = λl₁ и P_{n – 1}u₂ = λ^–1l₂ и, следовательно, матрицы T₁ и T₂ являются λциркулянтом и λ^–1циркулянтом соответственно. В этом случае основное условие (2)

lˆ1 т

lˆ2

lˆ1 т

lˆ2 lˆ1

т

lˆ2

T₁^–^т

ˆf

k ( )1

ˆf

k(modn) –

( )2

1 для k 0 1, , ,… n–1,

= =

ˆf

1 F_nD^{[ ]}^λlˆ1 ˆf

2 F_nD^[^1/^λ^]lˆ2 lˆ lˆ

ˆf

2

ˆf

1 lˆ

lˆ1 т

lˆ2

T₂^т lˆ lˆ lˆ1

т

lˆ2

ˆf

k ( )1

ˆf

k(modn) –

( )2

ˆf

2 ˆf

1

g₀^–¹wg₀

lˆ lˆ

lˆ MM^т

lˆ lˆ lˆ

lˆ

ˆf

1

lˆ lˆ

2*