А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола, Обобщенный принцип невязки, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, том 13, номер 2, 294–302

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

А. В. Гончарский, А. С. Леонов, А. Г. Ягола, Обобщенный принцип невязки, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1973, том 13, номер 2, 294–302

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

5 ноября 2022 г., 19:11:11

Том 13 Март 1973 Апрель № 2

УДК 518:517.948 О Б О Б Щ Е Н Н Ы Й П Р И Н Ц И П Н Е В Я З К И

А. В. ГОНЧАРСКИЙ, А. О. ЛЕОНОВ, А. Г . ЯГОЛА (Москва)

Предлагается и обосновывается р е г у л я р и з у ю щ и й а л г о р и т м д л я ре­

ш е н и я некорректно п о с т а в л е н н ы х з а д а ч с п р и б л и ж е н н о з а д а н н ы м опе­

ратором. Алгоритм основан на м и н и м и з а ц и и ф у н к ц и о н а л а Тихонова с в ы ­ бором п а р а м е т р а р е г у л я р и з а ц и и по введенному а в т о р а м и обобщенному л р и н ц и п у н е в я з к и . Д о к а з ы в а е т с я т а к ж е р я д теорем, у т о ч н я ю щ и х свой­

ства н е в я з к и .

В настоящей работе предлагается регуляризующий алгоритм [*] для решения некорректно поставленных задач с приближенно заданным опе­

ратором. Алгоритм основан на минимизации функционала Тихонова [²] с выбором параметра регуляризации по так называемому обобщенному принципу невязки.

§ 1. Постановка задачи

Пусть Z, Я и U — вещественные гильбертовы пространства, причем относительно Z и Я будет предполагаться следующее:

а) справедливо вложение Я ^ Z , и если z^H, то ||z)|^H > ]\z\\^z]

б) Я всюду плотно в Z.

Такой тройкой пространств (Z, Я, U) являются, например, простран­

ства L²[a,b], И У [ а , Ь], L²(—°°, +°о) соответственно.

Рассмотрим операторное уравнение I рода • , (1) Az = и, z<^E, н е U, ' J

где А — линейный непрерывный оператор из Z в .U, удовлетворяющий условию единственности в Я : если Zi и z² принадлежат Я и таковы, что

и и

Azt = Az², то Zi = z². Будем полагать, что вместо точного набора «вход­

ных данных» задачи (1), а именно {А, й}, определяющих z —точное ре­

шение (1), принадлежащее Я , задано двухпараметрическое семейство S(ft, б) = {(Ah, й^ь) : 0 < ft < ft⁰, О < б < б⁰} (ft⁰ и б⁰ — постоянные), эле­

менты которого представляют собой приближенные входные данные зада­

чи (1) для каждой пары чисел ц = (ft, б), характеризующих близость операторов А и A^h, а также правых частей к . и U^b^U соответственно.

Здесь элементы й&, принадлежащие пространству U, и числа S е (0, 6<Л таковы, что

Обобщенный принцип невязки 295

Семейство {A^h}, 0<h<h⁰, состоит из линейных непрерывных опера­

торов из Z в U, причем число h, характеризующее близость операторов А и Ah, определяется соотношением

/ о ч Uz-A^kz\\u " ' (3) й = s u p . — —

Задача заключается в том, чтобы построить регуляризующий по Ти­

хонову алгоритм [ ' ] , позволяющий по приближенной входной информа­

ции {Ah, йь} строить z4 ^ Н, т) = (h, б),— приближенное решение за­

дачи (1).

Подобные вопросы рассматривались в [3~5] . В частности, в [5] был предложен регуляризующий алгоритм, основанный на минимизации функ­

ционала Тихонова [²] с выбором параметра регуляризации а по прин­

ципу невязки. В этой же работе был доказан ряд фундаментальных тео­

рем о поведении невязки как функции а. Если, однако, оператор в зада­

че (1) задан с ошибкой, вопрос о выборе а по принципу невязки значи­

тельно усложняется. Предложенные до сих пор обобщения принципа невязки на этот случай обладают той характерной особенностью, что вы­

бираемое согласно им значение параметра регуляризации, вообще говоря, зависит от оценки нормы точного решения (1), что ограничивает возмож­

ности эффективного применения регуляризующих алгоритмов, основан­

ных на этих обобщениях, для решения практических задач. Нам пред­

ставляется естественным несколько видоизменить принцип выбора а, так что полученный в результате этого алгоритм нахождения приближенного решения задачи (1) с выбором параметра а по принципу невязки стано­

вится регуляризующим и в случае приближенного задания оператора.

Переходим к изложению результатов.

§ 2 . Некоторые вспомогательные утверждения Рассмотрим функционал Тихонова

( 4 ) М^аи,йъ,Ан]=аЫ\^н2+\\Апг^йЛи\ а > 0 , z^H.

Как известно [²] , в случае непрерывного линейного оператора A^h сущест­

вует единственная экстремаль этого функционала z^, реализующая его минимум в Н при данных т] = (h, б) и а. Введем следующие вспомога­

тельные функции [⁵] , определенные при а > 0 для каждого фиксирован­

ного ц:

<5) Ы*)=Шг?'-йъ\\и\

(6) У.Ла)=М\н\

(7) щ(а) = M«[^Zr]a,u^b,A^h] = р^ч( а ) +ау^ц(а).

Результатами работы [⁵] являются следующие важные утверждения относительно функций (5) - (7), которые в дальнейшем используются

1) при а > 0 функции (5) — (7) непрерывны;

2) функция 7 п ( а ) монотонно не возрастает, a iPn(cc) и q>n(a) монотонно не убывают при а > 0;

3) справедливы предельные соотношения lim Y ^ i (^a)⁼ 0>

а~>+оо

lim P n( a ) = lim ф^{Т 1}( а ) = IIw^uH^\

а->+оо а->+ро

Прежде чем произвести более детальное исследование свойств функций (5) — (7), сделаем следующее важное замечание.

Пусть Di(A^h) ^A^hZ. „Очевидно, что Di(A^h) представляет собой линеал в U. Замыкая его по норме Z7, получим подпространство D(Ah) ^=Di(Ah)r

D(A^h) s U. Единственным подпространством в U, ортогональным к D(A^h)^f является

Ker A^h+ = {и :u^U, A^h+u = 0 } ,

где A h+ — оператор, сопряженный с Ah. Действительно, пусть это не так и существует такой элемент щ ^ С/, что щ ортогонален к D (Ah), но не при- надлежит множеству Ker Ah +. Тогда для всякого z ^ Z

(ai, AhZ) и = 0 = (z, А^н+щ) z.

Полагая z = A^h+u^u получим, что А^к+щ 0, т. е. щ е Ker A^h+>. Получен­

ное противоречие доказывает единственность Ker A^{h +} как подпространства в С/, ортогонального кВ(Ап). Таким образом, гильбертово пространство U представимо в виде прямой суммы

U = D(A^h) ® Ker A^h+.

Последнее означает, что для любого элемента » e U единственным обра­

зом справедливо представление u = v + w, где у е К е г Л4" , а w ^ D(Ah)r

причем в силу ортогональности подпространств D (Ah) и Ker Ah +

(v, w)u=0.

В частности, для элементов гг5 & £7

(8) й^ъ = vⁿ + и>^ц, щ ^ Ker A^h+, wⁿ^D (A^h), (i^,, Wr) и = 0,

Отметим кроме того, что из определения проекции элемента на подпрост­

ранство и из ортогональности D (A^h) и Ker A ^h+ следует, что (9) 1 1 ^ 1 1 ^ = inf \\A^hz-u^bh². •

Используя это замечание, можно доказать следующую лемму.

Л е м м а 1. Для каждого г\ = (/г, б) справедлива оценка

Ыи²< (б + й И я )². . . *

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из (8) следует, что ,

1 1 ^ 1 1 ^ = i n f \\A^hz-Ub\\u²^A^hz-ub\\u². ¹

Обобщенный принцип невязки 297

Используя неравенство треугольника, а также (2) и (3), легко полу­

чить, что

(10) , Ш - и^ь \ \ и² < (8 + Ы Ш \ откуда и следует утверждение леммы.

Следующая лемма понадобится для уточнения свойств функций ( 5 ) - ( 7 ) .

Л е м м а 2. Справедливо следующее предельное соотношение:

(11) lim (AhZf — й^в, йь)и = — UyJV-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Как известно [6] , необходимым условием того,, что V — экстремаль функционала (4) при данных а и т), является равен­

ство

(12) ' • a ( z f , z )^H + {A^hz^r]a-Ub,A^hz)^u = 0

для всякого z е Я, В частности, для z = 2л а из (12) можно получить (13) a\\z^\\H²+\\A^hz^r]a-u^b\\^u2+ (А^^ца-й^ь, и^ь)и = 0.

Далее из оценки

| (Anzf-ub^ul < ' У [ | §^ч( а ) ] | | 2 b L < l l S b l l i r^a следует, что существует конечный верхний предел

(14) lim {A^hz* — в^в, йь) и.

Домножая (13) на а, используя (14) и ограниченность функции |3г,(а) [51 при а > 0, получим

ит"а²И^^а11^{н 2}'=0,

• а-»+о ИЛИ

(15) 1 ь т а У [У т 1( а ) ] = 0.

Из (12) и (15) следует, что для каждого фиксированного z <= Н (16) ' lim (Ahz1?-ub,Ahz)u = 0.

То же справедливо и для всякого у е Z. Действительно, так как множест­

во Н всюду плотно в Z, то для всякого у e Z и каждого 8 > 0 найдется такое ze е Я , что

(17) 'llz

^e

-j/ll

^z

o - .

;

^J

2WA

^h

\\\\u

^b

K

Кроме того из (16) следует, что для данного ё найдется такое- а⁰( е ) , что для всех 0 < а =Са⁰(е)

Тогда из неравенства

\(Ahz«-ub,Ahy)u\ < \\A^h\\\\u^b\\u\\y ~ Ze\\z+ \(A^hz^-Ub, A^hz^e)uf,

а также из (17) и (18) следует, что | (A^hz^ — й^ь, Апу)и \ < е, как только а < а⁰( е ) . Тем самым показано, что для всякой функции w ^ Dt(A^h)

<19) lim (Anzf - йь ,w) и = 0..

Остается отметить, что любой элемент из D (Ah) сколь угодно близко при­

ближается элементами из Di(A^h). Поэтому равенство (19) справедливо и для каждого w^D(Ah). В частности, при w = w4 из (19) и (8) легко по­

лучить, что

lim (A^hz^,w^)u = II itfjl и².

а- > + 0 :

Используя это, а также очевидное равенство (A^hz^na — в&, йь) и = (A^hZy?, w⁴) и — | | й⁵ получим, используя также (8), что

lim {A^hz* — гг.5, й^ь)и = Ww^u2 — ^й^ьК² = — И^ИсЛ Лемма доказана.

§ 3. Некоторые дополнительные свойства функций (5) — (7) Доказанная в предыдущем параграфе лемма 2 позволяет уточнить по­

ведение функций 7n(a), Ipri(a) и q)4(a) при a + 0. Справедлива следую­

щая теорема.

Т е о р е м а 1. Пусть — проекция элемента й^ь иа Ker A^h+. Тогда спра­

ведливы предельные соотношения

(20) lim ^(a)=ll^ll

^C72

,

(21) lim <р„ ( а ) = 1 1 У^ЧИ „²,

а-*-+0

(22) lim aYn(a) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как w4 D(Ah) = AhZ, то для всякого х > 0 найдется такое zx е Z, что

(23) Wwv-AnZxWuOt.

Далее, для любого 8 > 0 существует элемент z* ^ Н такой, что (24) I U^x - z^xsL ^ 8 ,

ибо Н всюду плотно в Z. Очевидно следующее неравенство:

p„(a) < М^а[?г?, в^&, A^h] < M^a[z»% й^ъ, А^п], т. е.

(Рп(а) < allz/Цн2 + UhzS - й^ъ\\и\

откуда ^ lira р^л( а ) ^ Н Л ^ н8 —

а- > + 0

Обобщенный принцип невязки 299

Жспользуя неравенство треугольника, (23) и (24), получим . Um Pt,(a)"<(ll-4f clle-+x + Нм?ч —

Так как числа е и % произвольные, а — й^ъ\\и² = \\vr\Wu², тс

<25) и п Т ^ Ы ^ Ь Д ^². Но из (9) следует, что

^л(сс) = U ^a — wf iU2 ^ inf НЛдг; — гг5Пи2 ==

z e Z

Поэтому , , г (26) lim р^л( о с ) ^

а->+о'

Сопоставляя (25) и (26), приходим к выводу, что

l i m р ^ С с х ) ^ . '

^что и доказывает (20).

Справедливость (22) следует из доказанного в лемме 2 утверждения ( 1 1 )^г а также из (13) и (20). Наконец, (21) легко следует из (20) и (22).

Теорема доказана.

Представляет интерес вопрос об условиях, гарантирующих строгую мо­

нотонность функций | ф п ( а ) , (Зг, (а) и уц ( а ) . Справедлива следующая теорема.

Т е о р е м а 2. Пусть для данного г\ выполнено условие ^{

(27) WubWu^tf+Wv^Wv².

Тогда функции (5) — (7) строго монотонны при а > 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Покажем прежде всего, что г^ца Ф 0 для всех а > 0. Действительно, в противном случае из необходимого условия экстре­

мальности элемента z„a (18) следует, что 4л +й б = 0, т . е . г г5^ К е г Ah +. По­

этому, согласно (13), IIйь 11с/^{2 =} ||УТ)Ии², что противоречит условию (27).

Таким образом, ^ ( а ) > 0 для всякого a > 0.

Далее, из этого факта и неравенства _v,._

(28) уЛа²)< « , 0 < a i < a² .

а² — аА 1 ' "' ' - !

(см. [⁵] ) , следует строгая монотонность функции <р^ч(а). Используя мето­

дику, развитую в работе [5] , нетрудно показать/ что из неравенства у^ц(а) > 0, а > 0 , следует строгая монотонность функции Yn(a). Наконец, строгая монотонность функции ip4(а) следует из неравенства

Мы) -

^ ( a i ) > аЛч^аО -

ч

^ц

(а

²

)

] , 0 <

а,

< а²,

полученного в [⁵] , и строгой монотонности функции 7^Л( а ) . Теорема дока­

зана.

Установленные в этом параграфе дополнительные свойства функций

§ 4. Основные теоремы Введем функцию

Рл(а) =р

^л

(а) ~ (б + А У Е т ^ а ) ] )

²

- ( Я л ,

где

/bin = I I I I г Д

определенную при

а > 0

и каждом фиксированном ц > 0v Назовем ее обобщенной невязкой. Справедлива следующая

Т е о р е м а 3. Пусть для всех hub таких, что 0 < б < 6.⁰, 0 < h < /г⁰, выполнено условие

(29) I I ^ I U ^ ^ + ix,.

Тогда для каждой такой пары ц = (ft, б) существует число а(г]), являют щееся решением уравнения

(30) ^{Р ч}( а ) = I U ^ a - , B b L 2 - (б + Л| М 1 н)²- | х^ч = 0.-

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из свойств 1 ) — 3 ) функций % (а) и Y n ( a ) сле­

дует, что при каждом фиксированном ц функция P n ( a ) монотонно не убы­

вает при a > 0 и непрерывна. Кроме того

lim p

ⁿ

( a ) = II йьК

²

— Щ

^—

б

²

.

Используя результаты теоремы 1, легко показать, что l i m р^л( < х ) < - «².

а->+о

Таким образом, непрерывная монотонно не убывающая функция р^п( а ) ис­

черпывает интервал (—б², ||гг⁵||г/² — щ — б²) при a > 0. Так как число 0 по условию (29) принадлежит этому интервалу, то существует решение, а(ц) уравнения (30). Теорема доказана.

Большой интерес представляет вопрос о единственности решения урав­

нения (30).

Т е о р е м а 4. Пусть выполнено условие (29). Тогда решение уравнения (30) единственно.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Из теоремы 2 следует, что функция р^л( а ) стро­

го монотонна на полуоси 0 < a < + °°. Отсюда, учитывая непрерывность р и( а ) , нетрудно получить единственность решения уравнения (40).

Доказанные теоремы 3—4 обосновывают возможность однозначного вы­

бора параметра регуляризации из уравнения (30). Назовем предложен­

ный выше способ выбора а(т)) обобщенным принципом невязки.

Пусть а{г\) — значение параметра регуляризации, выбранное по обоб­

щенному принципу невязки. Обозначим соответствующую экстремаль функционала Тихонова (4) через z^\ Тогда при выполнении (29) каж­

дому г] соответствует единственный элемент z^⁴⁾ ^ П.

Т е о р е м а 5. Пусть {ц^п}, 0 < /г < А⁰, 0 < б < б⁰,— произвольная по­

следовательность, сходящаяся к нулю (т. е. hⁿ и 8^П независимо стремятся к нулю при п-+- ⁰⁰), такая, что для всякого номера п выполнено условие

(31) ||гй

^п

||<,

²

>6

^{п 2}

+щ

^п

.

Тогда последовательность { z ^^{n )} } сходится при п -*• °° к z в метрике Н.

Обобщенный принцип невязки 301

Д о к а з а т е л ь с т в о . Очевидно, что

: , в.

^я

,

A J < [г, щ^п, A^hJ + ^ или, с учетом (4) и (30),

' <* ЫИчУГн + (6n + K\C

ⁿⁿ⁾

\\

^H

f + Ц

^{Ч п}

<а(л

^п

)1 zfn +

Учитывая (10) из леммы 2, получаем

(32) а

Ы h£

^V

£

^{+ (6п +}

М

^Z

^

^{r e )}

|

^H

)

²

<a.(r)

ⁿ

)|z||

²

H+

^{(6П + ВД|„)2.}

Из (32) следует, что

(II 4

^V

Ия - И

¹

«я) (II4Г"' 1 н + 12 ||

^н

) +

+ К [2б„ + К(14Г"'||„ + 1 | 2 ||^я)]} < 0, т. е.

; « < ' '^{1 )}| 1 я < ! 1 - 1 / Г - '

Таким образом показано, что множество {z^ⁿ⁾} равномерно ограниче- но в метрике Я .

Далее, пользуясь стандартными рассуждениями (см., например, [5] ) , легко показать, что последовательность {z^ⁿ⁾} сильно сходится к z в метрике Я при п ->- °°. Теорема доказана.

З а м е ч а н и е . Пусть вместо числа известно его п р и б л и ж е н н о е значение

| хл 8 такое, что

<33) { 0 < ще — (XTI < е.

Тогда к р и т е р и й выбора а (г)) следует видоизменить с л е д у ю щ и м образом: значение п а р а м е т р а р е г у л я р и з а ц и и а(т], е) в ы б и р а е т с я и з у р а в н е н и я

•(34) р^л (а) - (Л + Луп ( а ) )² - ^ - е = 0.

Легко видеть, что т е о р е м ы 3—4 остаются с п р а в е д л и в ы м и и д л я этого случая, е с л и всюду з а м е н и т ь н а щ8 + е. П р и независимом с т р е м л е н и и к н у л ю г\ ж г о с т а е т с я справедливой и теорема 5.

§ 5. Регуляризующий алгоритм обобщенной невязки

Приведенные выше теоремы позволяют сформулировать алгоритм по­

строения приближенного решения задачи (1) по данной совокупности при­

ближенных входных данных {A^h, гг⁵}, который мы назовем алгоритмом об­

общенной невязки:

1) при каждом а > 0 минимизируется функционал Тихонова (4) и на­

ходится единственная его экстремаль z^ е= Я, соответствующая {A^h, и^ь}

2) с некоторой точностью е находится величина щ из (33) (как вид­

но из (9), это может быть сделано построением последовательности {zⁿ} <=

<=Z, минимизирующей выпуклый функционал I(z) = \\A^hz — и^ъ\\и² с за­

данной точностью е ) ;

3) значение параметра регуляризации <х(т], е) находится из уравне­

ния (34).

Однозначно построенный таким образом элемент 2ч а ( т ь е ) Н принимает­

ся за приближенное решение задачи (1), соответствующее данному набо­

ру входных данных {A^h, й^ь). Как следует из результатов теорем 3—5, при выполнении естественного условия (31) предлагаемый алгоритм является регуляризующим [*].

З а м е ч а н и е . Следует у к а з а т ь н а то, что если в процессе н а х о ж д е н и я ч и с л а щ⁸ о к а ж е т с я , что \х^^е < б², то вид обобщенной н е в я з к и может быть несколько в и ­ доизменен. В этом случае достаточно п о л о ж и т ь

р „ ( а ) - = U I I I I X J² —'

и в ы б и р а т ь а(г]) из условия Рт)(а) = 0. Легко п о к а з а т ь , что п р и в ы п о л н е н и и у с ­ л о в и я \\йь\\и > б будут справедливы аналоги теорем 3—5 д л я этого с л у ч а я , т. е. а л ­ горитм н а х о ж д е н и я п р и б л и ж е н н о г о р е ш е н и я (1), п о л у ч а е м ы й в этом случае, т а к ж е я в л я е т с я р е г у л я р и з у ю щ и м .

В заключение авторы считают своим приятным долгом выразить бла­

годарность А. Н. Тихонову за постоянное внимание к работе, а также В. А. Морозову, В. Б. Гласко, П. Н. Заикину, В. А. Винокурову и А. В. Т и - хонравову за многократные обсуждения и полезные замечания.

Поступила в редакцию 17.12.1971 Переработанный вариант 2.03.1972

Ц и т и р о в а н н а я л и т е р а т у р а v

1. А. Н. Т и х о н о в . О р е г у л я р и з а ц и и некорректно п о с т а в л е н н ы х задач. Докл. АН СССР, 1963, 153, № 1, 4 9 - 5 2 .

2 А. Н. Т и х о н о в. О р е ш е н и и н е к о р р е к т н о п о с т а в л е н н ы х з а д а ч и методе р е г у л я ­ р и з а ц и и . Докл. АН СССР, 1963,151, № 3, 501—504.

3. А. Н. Т и х о н о в . О методе р е г у л я р и з а ц и и з а д а ч оптимального у п р а в л е н и я . Докл.

АН СССР, 1965, 162, № 4, 763—766.

4. В. К. И в а н о в . О п р и б л и ж е н н о м р е ш е н и и о п е р а т о р н ы х у р а в н е н и й первого рода.

Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1966, 6, № 6, 1089—1094.

5. В. А. М о р о з о в . О п р и н ц и п е н е в я з к и п р и р е ш е н и и о п е р а т о р н ы х у р а в н е н и й м е ­ тодом р е г у л я р и з а ц и и . Ж . вычисл. матем. и матем. физ., 1968, 8, № 2, 295—309.

6. В. А. М о р о з о в . П р и м е н е н и е метода р е г у л я р и з а ц и и к р е ш е н и ю одной н е к о р р е к т ­ ной задачи. Вестн. МГУ.' Сер. физ., матем., 1965, № 4, 13—27.

Ч. В. Б . Г л а с к о , П. Н. З а и к и н . О программе р е г у л я р и з у ю щ е г о алгоритма. В сб.

«Вычисл. методы и программирование». Вып. V. М., Изд-во МГУ, 1966, 61—73.

8. В; В. В о е в о д и н . О методе р е г у л я р и з а ц и и . Ж . вычисл. матем. и матем. физ.^

1969, 9, № 3, 6 7 3 - 6 7 5 .