Г. В. Григорян, Р. П. Григорян, Псевдоклассическое пре- образование Фолди–Вотхойзена и каноническое квантова- ние D = 2 n -мерной релятивистской спиновой частицы во внешнем электромагнитном поле, ТМФ , 1995, том 102, номер 3, 378–383

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Г. В. Григорян, Р. П. Григорян, Псевдоклассическое пре- образование Фолди–Вотхойзена и каноническое квантова- ние D = 2 n -мерной релятивистской спиновой частицы во внешнем электромагнитном поле, ТМФ , 1995, том 102, номер 3, 378–383

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

6 ноября 2022 г., 21:08:24

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Том 102, № 3 март, 1995

© 1995 г. Г.В. Григорян, Р.П. Григорян

ПСЕВДОКЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ-ВОТХОЙЗЕНА И КАНОНИЧЕСКОЕ

КВАНТОВАНИЕ D = 2п-МЕРНОЙ

РЕЛЯТИВИСТСКОЙ СПИНОВОЙ ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ

Каноническое квантование D = 2п-мерной дираковской спиновой частицы в произ­

вольном внешнем электромагнитном поле проведено в калибровке, которая позволяет описывать одновременно частицы и античастицы (как массивные, так и безмассовые) уже на классическом уровне. Для нахождения канонических (ньютон-вигнеровских) координат используется псевдоклассическое преобразование Фолди-Вотхойзена. Об­

суждается связь данной схемы квантования с картиной Блоунта, описывающей пове­

дение дираковской частицы во внешнем электромагнитном поле.

1. В В Е Д Е Н И Е

В работах [1-3] в рамках псевдоклассического подхода [4-7] было проведено класси­

ческое квантование релятивистской спиновой частицы, как свободной (в пространствах размерности D = 2п), так и во внешних магнитном и электромагнитном полях (при D = 4). Избранный способ квантования характеризуется тем, что еще на классическом уровне в теорию добавляются дополнительные условия по общему числу связей первого рода для фиксации калибровки. Было показано, что такая схема квантования приводит в случае свободной частицы к теории Дирака в картине Фолди-Вотхойзена (см. так­

же [8]), а при наличии внешнего поля - к картине Блоунта [9]. При этом квантование проводилось не в терминах исходных переменных теории, а в терминах новых перемен­

ных (типа Ньютона-Вигнера), для которых квантовые коммутационные соотношения имеют стандартных (канонический) вид. Переход перед квантованием к каноническим переменным представляется более последовательным способом действия, тем более что в случае квантования релятивистской частицы во внешнем электромагнитном поле опе­

раторная реализация теории в терминах исходных переменных не представляется воз­

можной ввиду сложности выражений соответствующих скобок Дирака.

В настоящей работе предлагается способ построения еще в классической теории пере­

менных типа Ньютона-Вигнера с использованием псевдоклассического аналога преоб­

разования Фолди-Вотхойзена. Этим способом можно непосредственно установить связь 378

ПСЕВДОКЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ-ВОТХОЙЗЕНА . . . 379

между каноническими переменными и исходными переменными теории, минуя процеду­

ру вычисления скобок Дирака с последующей их диагонализацией. Рассмотрение про­

водится в пространствах размерности D = 2п.

Отметим, что псевдоклассическое преобразование Фолди-Вотхойзена использова­

лось в [10] при получении выражения для гамильтониана взаимодействия электрона с постоянным внешним магнитным полем, которое после квантования автоматически приводило к диагонализованному гамильтониану.

2. С В Я З И

Рассмотрим действие теории, описывающей релятивистскую спиновую частицу во внешнем электромагнитном поле [4,6,11] в пространстве размерности D = 2п,

(1) S = I ^ T p ^ + e m2 - г ( ^ - f c > + i 6 > + i ) iX (&f- ~ mtD+г) + 2дх^А^1А + igeF^W

Здесь Хр - координаты частицы, до = 0,1, ... ,D — 1, точка означает дифференцирование по г вдоль траектории, £^м - грассмановы переменные, описывающие спиновые степени свободы, £ D + I > X и е ~ дополнительные поля (е - четный элемент, £jr>+i и х ~ нечетные элементы алгебры Грассмана)г д - заряд частицы, А*1 - вектор-потенциал электрома­

гнитного поля, F^v = d^Av — dvAp.

Действуя в той же последовательности, что и в [3], выпишем полный набор связей теории

% ъ (2а) Ф^м = 7Г^М - - f / i , до = 0 , 1 , 2 , . . . , £ > - 1 ; Фо = TTD+I + g&D+i,

(26) $D+z = V2-m2-igF^Zv, Ф д + 4 = ^ ; Ф#+5 = тге, Ф £ , +6= е + ^ , 1 и (2в) Фя+i = ^ £м - ™ £ D + I ; Ф Я + 2 = < о + 6 £ D + I ,

где 7ГМ, 7I\D+I, 7ге - импульсы, канонически сопряженные £м, £p+i и е, соответствен­

но, V» = Рм - # 4 ^ , ^о = - ж й , cD = y/V'f + m2 + igF^^t». Напомним [3], что ж^;о = хо — хт, и связь Ф/)+4 = #о ^— хт, введенная в теорию в качестве одного из до­

полнительных условий, в результате канонического преобразования от переменных х^, Рм к переменным х^' ,Р' ^ приобрела вид

(3) х'у, - хо - хт, х^г = х\ Р'ц = Р^

(соответствующая производящая функция имеет вид W = х^Р'^ — х т Р ' о ) ; значение х = -hi соответствует наличию частицы, а х = — 1 - античастицы. Независимыми переменными теории выбираются х^г, Р{, £^г.

3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ-ВОТХОЙЗЕНА

Следуя [10], введем в рассмотрение псевдоклассическое каноническое преобразова­

ние с генератором бесконечно малых канонических преобразований (4) 5^d = -2i(Vj^^D+i9,

где в - некоторая функция переменных теории, конкретный вид которой будет выбран ниже. Конечное преобразование произвольной динамической величины / при этом за­

дается формулой [12]

(5) / г е5* / = / + {/,5ci}* + ( 1 / 2 ! ) { { / , 5C 1} * , SC 1} * + . . . ,

где {.,.}* обозначает скобки Дирака по подсистеме связей (2а). Для переменных #м, Рм,

£^м, £D+I вычисление скобок Дирака по подсистеме связей (2а) приводит к следующим выражениям:

(6) {*„,?„}* = 0М„ , { ^ , & Л * = ^ {&>+i,fr+i}* = - » , {Pi»VvY=9F9JLV

(все остальные скобки равны нулю).

Рассмотрим теперь произвольную функцию А независимых переменных Xi, Vj, £*. и применим к ней формулу (5). Учитывая соотношения

{Afc>+i,S5} = A(20)(P,-fc),

(7) {Л{Г&), S^{c l}}* = -А(2вЫ^в+1 + (P&KD+IRI,

{A(Vj^^D+i,S^clr=0,

где 7 = * {(^j£j)> (^fc£fc)}* = Р? + i9Fij€i£j> -Ri ~ некоторая функция переменных теории, получаем для А

(8) I = Л - - L M. ( % ' ) Г &>+i вш(2^У)+

+ ⁱ М . ( % ' ) Г (Vktk)(coB(2$SY) - 1) + ( ^ ^ ) ^ + 1 Й 2 , 7

где i?2» так же как и f?i, есть некоторая функция переменных теории, в конкретизации вида которой нет необходимости. Если теперь выбрать функцию в такой, что tg(20y/j) =

^ и, следовательно, s i n ^ y ^ ) = ^ , cos(2^v/7) = ^ , то

(9) A = A-i{А,(г*)}- ^

liZ

l^

ЪШыЪ,

где и = х/"Р? + m2 + igFij^Cj = \Jl + m2-

4. ДИРАКОВСКИЕ СКОБКИ И КВАНТОВАНИЕ

Дальнейшей нашей задачей является доказательство того, что величины Xi,Vj,£,k, получающиеся в результате применения формулы (9) поочередно к Xi, Vj, £k > как раз и являются переменными типа Ньютона-Вигнера, т.е. их скобки Дирака по полной сис­

теме связей (2) имеют канонический вид. Воспользуемся с этой целью равенством

(10) {А,В}0(ф) = {А',В'}щф),

ПСЕВДОКЛАССИЧЕСКОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ-ВОТХОЙЗЕНА . . . 381

где А¹ = Л | Ф = О , В¹ = 5|ф⁼о, {..,. -}#(Ф) обозначает скобки Дирака по всей системе связей (2). Равенство (10) отражает известное свойство скобок Дирака: связи под зна­

ком скобки Дирака можно полагать равными нулю.

Используя теперь связи (2в), которые могут быть записаны в виде ( И ) &+1 = -а(Р&)/Р, & = Ь ( 7 З Д / Д , где J3 = —Ъхш + am, из формулы (9) получаем

(а + Ьх) (12) А' = А|Ф =о = А + i {Л, ( 7 ^ ) } * ( ? * & ) -

/?(о; + т) В частности, для переменных я / , Я / , £д/ получаем выражения (13) Xi' = Xi- ЫТ&)£ + ЪХ) = ft,

/3(о; + т) р(ш + т) р(ш + т)

которые для D — 4 в точности совпадают с выражениями для канонических перемен­

ных, полученных в [3] при диагонализапии скобок Дирака.

В качестве последующего шага преобразуем правую часть равенства (10). Имеем по определению

(14) {А',В'}В(Ф) ={А',В'У* ~ {А',<ртУ*С;г){рг,,В'У*-

Здесь (рг = (Ф#+ъ $D+2), {•., • •}** обозначает скобку Дирака по подсистеме свя­

зей (2а), (26), а С~^, - матрица, обратная матрице

(15) C^{r r}i = { ¥ v , ¥ V } * * .

Воспользуемся теперь тем обстоятельством, что связи (26) имеют специальную струк­

туру. Именно: для одной из связей каждой пары каноническая переменная равна нулю.

Это обстоятельство позволяет доказать следующее равенство:

(16) {F,G}** = {F,G}*

для произвольных динамических переменных F и G (см., например, [13]). С учетом (16) формула (14) переписывается в виде

(17) {А',в'}^0(ф) = {А', в'у - {A',v^ryc;^r){<p^rl,B'y- При этом матрица C^rri имеет вид

(18)

C

, = f o . , ¥ V } * = ( . °

2

_

2)),

где а = — axuj+Ът. Если теперь в качестве А', В' рассматривать функции независимых переменных Х{, Vj, £&, каковыми являются, например, (13), то с учетом соотношений

(19) {А';ЬУ = {А',и+1}*=0

(аналогично для В') легко показать, что во втором слагаемом в правой части (17) от­

лично от нуля только слагаемое, содержащее С^± D_|_1. Подставляя, далее, в (17) вместо Л ' и В⁷ их выражения типа (12), прямым вычислением можно показать, что

if D / l _ _ f ^ D l * , ; ГГЛ D 1 * <<п.£ЛЛ*ГТ>_*.\ (а + М

(20) {A\B'}

= {А,ВУ +%{{А,В}\{Т&)У (ПЫ"Ь

Р(ш + га)

Выбирая теперь в качестве А\ В' переменные qi, nj, фь (см. (13)), с учетом (6) получаем {il>i,il>j}D = {&>&}* = -iSij, {QUKJ}D = {xuVj}* = -iSij,

(21) {qu^j}D = {xi,Zj}* = 0 , {qi,qj}D = {xi,Xj}* = 0 , {*i,*j}D = ^ t i ( ^ ) - igdkFij£k(VrnGm)-jJ7 —^ = ^ i j ( g ) .

p(w + ra)

Полученные соотношения с учетом равенства (10) и доказывают утверждение о том, что ж», Vj, £fc являются переменными типа Ньютона-Вигнера. Соотношения (21) для D = 4 совпадают с аналогичными соотношениями, полученными ранее в [3].

Выражения для первоначальных переменных теории в терминах канонических пере­

менных имеют вид

Xi = qi -i^i(7Tj^j)- (22) Vi = щ + igFij^jiTTk^k)

a(Q, + ra)' (b + ax) a ( 0 + m ) ' (b + ax) a ( 0 + ra)'

где a = — axil + bra, ft = 1/7Г² -f ra² 4- igFijipiipj. Переменные qi, TTJ, ^fc являются каноническими переменными, и в их терминах удобно проводить квантование, как это было сделано в случае D = 4. Используя выражение (22), а также соотношения (23) £ D + I = *fa?^j)-~, & = ->с(тг^)-у

можно найти выражение для физического гамильтониана спиновой частицы во внепшем электромагнитном поле в пространстве размерности D = 2п в терминах канонических переменных

(24) Нф = Q, — дхАо — гдх

ft(fi-fra)

Квантование теории проводится аналогично квантованию в случае D = 4. Следует заметить, однако, что в отличие от D = 4 при разложении П (входящего, в частности, в

П С Е В Д О К Л А С С И Ч Е С К О Е ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФОЛДИ-ВОТХОЙЗЕНА ... 383 (24)) в ряд по степеням Fijtyityj необходимо сохранять члены порядка ^ j - ^ , после чего необходимо квантовать теорию по Березину и Маринову [4]. Если, однако, учесть, что при квантовании ф{ -> y§0";, и удерживать в квантовом гамильтониане только члены порядка h и ниже, то получим для квантового гамильтониана выражение

(25) НФ * й - дкАо - igxhF°k*j(?k4 ~ °*°к) + igh^Zl^

ЩП + га) №

где Q = yj%1 + га2, <=* обозначает вейлевское соответствие между операторами и их символами. Поскольку выражения первоначальных переменных в терминах каноничес­

ких переменных форм-инвариантны во всех размерностях пространства-времени, урав­

нения движения для D — 2п имеют тот же вид, что и при D = 4 [2,3]. Таким образом, преобразования Фолди-Вотхойзена существенно упростили переход к каноническим пе­

ременным и позволили провести каноническое квантование D = 2п-мерной спиновой частицы в произвольном внешнем электромагнитом поле.

Авторы благодарны И.В. Тютину за полезные обсуждения. Данные исследования частично поддержаны финансированием YPI-1993, "Bundesminister fur Forschung und Technologie", Federal Republic of Germany.

Список литературы [I] Григорян Г.В., Григорян Р.П. / / ЯФ. 1991. Т. 53. С. 1737.

[2] Григорян Г.В., Григорян Р.П. / / ЖЭТФ. 1993. Т. 103. С. 3.

[3] Григорян Г.В., Григорян Р.П. Preprint YERPHI-1377(7)-92.

[4] Березин Ф.А., Маринов М.С. / / Ann. Phys. (N.Y.) 1977. V. 104. P. 336.

[5] Casalbuoni R. / / Nuovo Cim. 1976. V. 33A. P. 115.

[6] Bardicci A. et al. / / Nuovo Cim. 1976. V. 35A. P. 377.

[7] Brink et al. / / Phys. Lett. 1976. V. 64B. P. 435; / / Nucl. Phys. 1977. V. B118. P. 76.

[8] Гитман Д.М., Тютин И.В. / / Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 51. С. 188. Preprint IC/90/188, Mir amare-Triest, 1990.

[9] Blount ЕЛ. II Phys. Rev. 1962. V. 126. P. 1636; V. 128. P. 2454.

[10] Bardicci A. et. al. // Phys. Lett. 1976. V. 64B. P. 319.

[II] Galvao C, Teitelboim C. / / J. Math.Phys. 1980. V. 21. P. 1863.

[12] Sudarshan E.C.G., Mukunda N. Classical dynamics: A modern perspective. New York, 1974.

[13] Гитман Д.М., Тютин И.В. Каноническое квантование полей со связями. М.: Наука, 1986.

Ереванский физический Поступила в редакцию институт 9.IV. 1994 г.

G.V. Grigoryan, R . P . Grigoryan

P S E U D O C L A S S I C A L F O L D Y - W O T E H O I S S E N T R A N S F O R M A T I O N A N D C A N O N I C A L Q U A N T I Z A T I O N O F D = 2 n - D I M E N S I O N A L

R E L A T I V I S T I C S P I N P A R T I C L E I N E X T E R N A L E L E C T R O M A G N E T I C F I E L D

The canonical quantization of the D = 2n-dimensional Dirac spin particle in an arbitrary electro­

magnetic field is performed in a gauge, that allows one to describe particles and antiparticles (both massive and massless) simultaneously just on the classical level. To find the canonical (Newton-Wig- ner) coordinates the pseudoclassical Foldy-Wotehoissen transformation is used. The connection of this quantization scheme with Blount's approach to Dirac particle in the external electromagnetic field is discussed.