Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. В. Гришин, Асимптотика в лиево нильпотентных относительно сво- бодных алгебрах и расширенные алгебры Грассмана, Матем. замет- ки , 2020, том 107, выпуск 6, 848–854
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12476
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 23:32:42
Математические заметки
Том 107 выпуск 6 июнь 2020
УДК 512.552.4
Асимптотика в лиево нильпотентных относительно свободных алгебрах и расширенные алгебры Грассмана
А. В. Гришин
Настоящая работа посвящена оценке коразмерностей 𝑐𝑛 для многообразия ассоциативных алгебр, заданного тождеством [𝑥1, . . . , 𝑥𝑙] = 0 для нечетного 𝑙.
Основное поле имеет характеристику, отличную от 2 и 3. При этом весь- ма эффективно применяется конструкция, называемая расширенной алгеброй Грассмана.
Библиография: 11 названий.
Ключевые слова: лиево нильпотентная алгебра, коразмерность𝑇-идеала, расширенная алгебра Грассмана, мера включения.
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm12476
1. Введение. Изучение комбинаторики относительно свободных алгебр, как известно (см. [1]–[6]), приводит к исследованию асимптотики размерностных функ- ций, связанных с этими алгебрами. Асимптотика представляет также и самостоя- тельный интерес. В настоящей статье рассматриваются лиево нильпотентные алгеб- ры индекса𝑙, т.е. относительно свободные алгебры𝐹(𝑙), заданные тождеством “длин- ного коммутатора” [𝑥1, . . . , 𝑥𝑙] = 0. При 𝑙 = 2 получаем алгебру обычных коммута- тивных многочленов. Всюду ниже 𝑙 – нечетное число. При 𝑙 = 3 получаем отно- сительно свободную алгебру Грассмана, многообразие которой порождено класси- ческой алгеброй Грассмана Gr (см., например, [3], [7]). При 𝑙 > 5 такой алгебры, по-видимому, не существует. Однако имеется так называемая расширенная алгеб- ра Грассмана кратности 𝑚 (обозначение 𝐸𝑚), удовлетворяющая при 𝑙 = 2𝑚+ 1 тождеству [𝑥1, . . . , 𝑥𝑙] = 0, не удовлетворяющая тождеству [𝑥1, . . . , 𝑥𝑙−1] = 0 и явля- ющаяся в некотором смыслемодельной алгеброй многообразия, порожденного тож- деством[𝑥1, . . . , 𝑥𝑙] = 0. Точное определение будет дано чуть ниже. При𝑙= 3имеем Var Gr = Var𝐹(3). Однако при𝑙>5имеются тождества алгебры𝐸𝑚, не вытекающие из тождества [𝑥1, . . . , 𝑥𝑙] = 0. Так, например, тождество [[𝑥1, 𝑥2]2, 𝑥2] = 0, имеющее место в𝐸2, не следует из тождества[𝑥1, . . . , 𝑥5] = 0. Многочлен[[𝑥1, 𝑥2]2, 𝑥2](слабый элемент Холла) является ненулевым центральным элементом в алгебре 𝐹(5).
Итак, алгебра𝐸𝑚порождает многообразие, вообще говоря, меньшее, чемVar𝐹(𝑙). Тем не менее, алгебра 𝐸𝑚 может быть полезна при изучении комбинаторики и аси- мптотики в алгебре 𝐹(𝑙). Следует отметить, что в [8] доказано, что многообразие
○c А. В. Гришин, 2020
848
АСИМПТОТИКА В ЛИЕВО НИЛЬПОТЕНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СВОБОДНЫХ 849
Var𝐸2 задается тождествами [𝑥1, . . . , 𝑥5] = [[𝑥1, 𝑥2]2, 𝑥2] = 0. Это весьма нетриви- альный результат.
Перейдем теперь к точным определениям и обозначениям. Пусть 𝐹 =⟨1, 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, . . .⟩ – некоторая относительно свободная унитарная ассоциативная алгебра над бесконечным полем 𝑘 характеристики ̸= 2,3. Переменные 𝑥𝑖, а также стандартные объекты типа центра, коммутанта и т.д. во всех относительно свободных алгебрах обозначаются одними и теми же буквами.
Пусть 𝑀𝑛 – подпространство полилинейных многочленов степени 𝑛 от перемен- ных 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛, 𝑀 =⨁︀
𝑀𝑛 – все правильные полилинейные многочлены.
Подпространство 𝑉 в 𝑀 назовем однородным, если 𝑉 =⨁︀
𝑉𝑛, где𝑉𝑛 =𝑀𝑛∩𝑉. Представляет интерес асимптотика функции dim𝑉𝑛 от переменной 𝑛 для различ- ных важных однородных подпространств 𝑉, таких, например, как центр, комму- тант и т.д. В частности, если 𝑉 =𝑀, то dim𝑉𝑛 =𝑐𝑛 – весьма важная и интересная функция, называемая коразмерностью 𝑇-идеала, задающего относительно свобод- ную алгебру. Ее исследованию посвящено много замечательных работ. Другая важ- ная функция – это 𝑑𝑛 = dim𝑃(𝑉𝑛), где 𝑃(𝑉𝑛) – подпространство в 𝑉𝑛, состоящее из собственных многочленов. В связи с изучением асимптотики подпространств недавно появилось еще одно понятие. Пусть 𝑈 и𝑉 – два однородных подпростран- ства и 𝑈𝑛 ⊂𝑉𝑛. Назовем мерой включения 𝑈 в 𝑉 предел (если он существует)
𝜇(𝑈, 𝑉) = lim
𝑛→∞
dim𝑈𝑛 dim𝑉𝑛
.
Нахождение этого числа – это всегда весьма нетривиальная задача (см. [9]). Неко- торые вычисления будут проделаны в п.4.
Для изучения асимптотики нам понадобятся следующие определения. Пусть𝑓(𝑛) и 𝑔(𝑛) – две вещественнозначные функции натурального аргумента. Скажем, что 𝑓(𝑛) мажорирует 𝑔(𝑛) (обозначение 𝑓(𝑛) ≻ 𝑔(𝑛)), если существует такое положи- тельное число 𝛾, что начиная с некоторого 𝑛имеет место неравенство𝑓(𝑛)> 𝛾𝑔(𝑛).
Будем говорить, что 𝑓(𝑛) имеет порядок роста не более (не менее), чем 𝑔𝑛, если 𝑔(𝑛) ≻ 𝑓(𝑛) (соответственно 𝑓(𝑛) ≻ 𝑔(𝑛)). Если 𝑓(𝑛) ≻ 𝑔(𝑛) и 𝑔(𝑛) ≻ 𝑓(𝑛), то будем говорить, что 𝑓(𝑛) и 𝑔(𝑛) имеют одинаковый порядок роста и обозначать 𝑓(𝑛)≍𝑔(𝑛). Например, 5𝑛3+√
𝑛≍7𝑛3−10.
В [10] была высказана гипотеза, что для алгебры 𝐹(2𝑚+1) имеют место соотноше- ния
𝑑𝑛 ≍𝑛2(𝑚−1), 𝑐𝑛 ≍2𝑛𝑛2(𝑚−1).
Ранее в [10], [11] эта гипотеза была доказана для 𝐹(5) и 𝐹(7). В общем случае вопрос пока открыт. Однако в следующем пункте в общем случае будет дана оценка снизу, что потребует применения расширенной алгебры Грассмана.
Пусть 𝐸 – ассоциативная алгебра с единицей над полем 𝑘, заданная порождаю- щими 𝑒𝑚 (где 𝑚∈N), 𝜃𝑖𝑗, где 𝑖, 𝑗∈N, 16𝑖6𝑗, и определяющими соотношениями
𝑒𝑖𝑒𝑗 +𝑒𝑗𝑒𝑖 =𝜃𝑖𝑗, [𝜃𝑖𝑗, 𝑒𝑚] = 0.
Подалгебра, порожденная единицей и элементами 𝜃𝑖𝑗, является алгеброй коммута- тивных многочленов 𝑘[𝜃𝑖𝑗], а сама алгебра 𝐸 является свободным модулем над этой алгеброй с базисом из стандартных слов𝑒𝑖1. . . 𝑒𝑖𝑠, где16𝑖1 6· · ·6𝑖𝑠. Обоснование этого факта, а также связь с алгебрами Клиффорда можно найти в [8].
Расширенной алгеброй Грассмана кратности 𝑚 назовем фактор-алгебру 𝐸𝑚 = 𝐸/Θ𝑚, где Θ – идеал алгебры 𝐸, порожденный элементами 𝜃𝑖𝑗. В частности, 𝐸1 – обычная алгебра Грассмана. Алгебру 𝐸𝑚 характеризует следующая
Теорема 1. Алгебра 𝐸𝑚 удовлетворяет тождеству [𝑥1, . . . , 𝑥2𝑚+1] = 0, но не удовлетворяет тождеству [𝑥1, . . . , 𝑥2𝑚] = 0.
Доказательство. Индукция по 𝑚. Так как 𝐸1 – обычная алгебра Грассмана, то на ней выполнено тождество обычного тройного коммутатора [[𝑥1, 𝑥2], 𝑥3] = 0.
Рассмотрим произвольный набор одночленов 𝑢1, . . . , 𝑢2𝑚+1. Тогда [𝑢1, . . . , 𝑢2𝑚+1] = [[[𝑢1, . . . , 𝑢2𝑚−1], 𝑢2𝑚], 𝑢2𝑚+1].
По индуктивному предположению [𝑢1, . . . , 𝑢2𝑚−1] – линейная комбинация выра- жений 𝜃𝑖1𝑗1· · ·𝜃𝑖𝑚−1𝑗𝑚−1𝑣, где 𝑣 – некоторый одночлен от элементов 𝑒𝑖. Учитывая, что элементы 𝑒𝑖 и 𝜃𝑖𝑗 коммутируют, получаем линейную комбинацию выражений вида
𝜃𝑖1𝑗1· · ·𝜃𝑖𝑚−1𝑗𝑚−1[[𝑣, 𝑢2𝑚], 𝑢2𝑚+1] =𝜃𝑖1𝑗1· · ·𝜃𝑖𝑚−1𝑗𝑚−1𝑤,
где 𝑤 ∈ Θ. Следовательно, рассматриваемый длинный коммутатор в алгебре 𝐸𝑚
равен нулю.
Осталось рассмотреть длинный коммутатор [𝑒1, . . . , 𝑒2𝑚] =∑︁
±𝜃𝑖1𝑗1· · ·𝜃𝑖𝑚𝑗𝑚+· · · ,
в котором наборы индексов (𝑖1, 𝑗1, . . . , 𝑖𝑚, 𝑗𝑚) попарно различны. В силу свойств алгебры 𝐸𝑚 это выражение отлично от нуля, и рассматриваемый длинный комму- татор отличен от 0. Теорема доказана.
На основании теоремы 1 можно рассмотреть следующий гомоморфизм (канони- ческий или грассманов гомоморфизм кратности 𝑚)
𝜌𝑚: 𝐹(2𝑚+1)→𝐸𝑚 𝑥𝑖 ↦→𝑒𝑖.
Его ядро представляет значительный интерес и будет рассмотрено в п.4.
2. Вычисление размерностей основных подпространств в расширенной алгебре Грассмана 𝐸𝑚. Мы оценим размерности некоторых важных подпро- странств алгебры 𝐸𝑚. Результаты этих оценок затем в пп.3 и 4 применяются для получения оценок размерностей в относительно свободной алгебре 𝐹(2𝑚+1).
Полилинейными элементами из𝐸𝑚 будем называть линейные комбинации одно- членов от 𝑒𝑖 и 𝜃𝑖𝑗, которые являются полилинейными многочленами от 𝑒𝑖. Количе- ство элементов 𝜃𝑖𝑗 в одночлене от 𝑒𝑖 и𝜃𝑖𝑗 будем называтьуровнем этого одночлена.
Из самой конструкции алгебры 𝐸𝑚 и ее основных свойств следует
Лемма 1. Система,состоящая из полилинейных элементов степени𝑛уровня𝑙 алгебры 𝐸𝑚,имеющих вид
𝑒𝛼1· · ·𝑒𝛼𝑟𝜃𝑖1𝑗1· · ·𝜃𝑖𝑙𝑗𝑙, (2.1) где все наборы (𝑖1, 𝑗1, . . . , 𝑖𝑙, 𝑗𝑙) попарно различны и 𝛼1 < · · · < 𝛼𝑟, линейно незави- сима.
АСИМПТОТИКА В ЛИЕВО НИЛЬПОТЕНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СВОБОДНЫХ 851
Систему элементов алгебры 𝐸𝑚 назовем 𝑠-регулярной, если она состоит из мно- гочленов вида 𝑓+𝑔, где 𝑓 – всевозможные элементы вида (2.1), причем𝑖, 𝑗 >𝑠+ 1, 𝑔– линейные комбинации элементов вида (2.1), у которых хотя бы один из индексов 𝑖1, 𝑗1, . . . , 𝑖𝑙, 𝑗𝑙 не превосходит 𝑠.
Лемма 2. Регулярная система линейно независима.
Доказательство. Вторые слагаемые 𝑔, очевидно, не могут взаимодействовать с первыми 𝑓, а первые по лемме 1 линейно независимы.
Лемма 3. В 𝑠-регулярной системе уровня 𝑙 имеется (︂𝑛−𝑠
2
)︂(︂𝑛−𝑠−2 2
)︂
· · ·
(︂𝑛−𝑠−2(𝑙−1) 2
)︂
элементов.
Доказательство прямо следует из самой конструкции 𝑠-регулярной системы.
Имеет место следующая
Теорема 2. Размерность полилинейной части алгебры 𝐸𝑚 выражается фор- мулой
dim𝑀(𝐸𝑚) = 1 + (︂𝑛
2 )︂
+ (︂𝑛
2
)︂(︂𝑛−2 2
)︂
+· · ·+ (︂𝑛
2
)︂(︂𝑛−2 2
)︂
· · ·
(︂𝑛−2(𝑚−1) 2
)︂
.
Доказательство. Базис полилинейной части пространства𝐸𝑚по существу яв- ляется объединением базисов пространств 𝑀(Θ𝑙)/𝑀(Θ𝑙+1), где Θ – идеал алгеб- ры 𝐸𝑚, порожденный элементами 𝜃𝑖𝑗, 𝑙 6 𝑚−1. Остается применить лемму 3.
Теорема доказана.
3. Оценка снизу для 𝑑𝑛. В относительно свободной алгебре𝐹(2𝑚+1) рассмот- рим правильные полилинейные собственные многочлены от переменных 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 вида
𝑃 =𝑝(𝛼𝑖 1)
1𝑗1 · · ·𝑝(𝛼𝑖 𝑚−1)
𝑚−1𝑗𝑚−1𝑞1· · ·𝑞𝑠, где 𝑝(𝛼)𝑖𝑗 = [[𝑥𝛼, 𝑥𝑖], 𝑥𝑗], 𝑖, 𝑗 >𝑚+ 1, 𝛼 6𝑚, (I) 𝑞𝑖 – короткие коммутаторы.
Многочлены 𝑃 возможно построить, если 3(𝑚− 1) + 2𝑠 = 𝑛, т.е. если число 𝑛−3(𝑚−1) четное. Далее,
𝑄=𝑞𝑖(𝛼1,𝛽)
1𝑗1 𝑝(𝛼𝑖 2)
2𝑗2 · · ·𝑝(𝛼𝑖 𝑚−1)
𝑚−1𝑗𝑚−1𝑞1· · ·𝑞𝑠, где 𝑞(𝛼,𝛽)𝑖𝑗 = [[[𝑥𝛼, 𝑥𝑖], 𝑥𝑗], 𝑥𝛽], (II) 𝑝(𝛼)𝑖𝑗 такие же, как и выше, а 𝑖, 𝑗>𝑚+ 1, 𝛼, 𝛽6𝑚.
Многочлен 𝑄 построить возможно, если 4 + 3(𝑚−2) + 2𝑠 = 𝑛, т.е. если число 𝑛−3(𝑚−1)−1 четное.
В любом случае можно построить хотя бы одну из систем многочленов𝑃 или 𝑄.
Образы систем многочленов 𝑃 и 𝑄 при грассмановом гомоморфизме образу- ют 𝑠-регулярные системы, и, следовательно, по лемме 2 они линейно независимы.
Согласно лемме 3 количество элементов в этих системах описывается многочленом от 𝑛 степени 2(𝑚−1). Отсюда следует
Теорема 3. Имеет место соотношение 𝑑𝑛 ≻𝑛2(𝑚−1).
Как уже отмечалось выше, в [10], [11] доказаны обратные соотношения для 𝐹(5) и 𝐹(7).
4. Оценка снизу для 𝑐𝑛. Используя методы [10], [11], докажем следующий по существу центральный результат. Всюду ниже 𝑉𝑛 – это 𝑛-полилинейная часть алгебры 𝐹(2𝑚+1).
Теорема 4. Функция 𝑐𝑛 имеет порядок роста не ниже чем 2𝑛𝑛2(𝑚−1). Будем использовать следующий факт.
Лемма 4. Система,состоящая из полилинейных многочленов вида 𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠,
где 𝑥𝑖1, . . . , 𝑥𝑖𝑟 ∈ {𝑥1, . . . , 𝑥[𝑛/2]}, 1 6 𝑖1 < · · ·< 𝑖𝑟 6 [𝑛/2], 𝑐𝑗 – короткие коммута- торы от переменных из множества {𝑥1, . . . , 𝑥[𝑛/2]},линейно независима.
Доказательство. Допустим, что система зависима и нетривиальная линейная комбинация вида
𝛼𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠 +· · · ,
где 𝛼 ̸= 0, равна нулю. Пусть, далее, 𝛼𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟 – произведение в этой сумме наи- большей длины со свойством 𝛼 ̸= 0. Тогда, положив 𝑥𝑖1 = · · · = 𝑥𝑖𝑟 = 1, получаем 𝛼𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠 = 0. Противоречие.
Отметим, что рассматриваемая в лемме4система при фиксированном𝑟содержит (︀[𝑛/2]
𝑟
)︀ элементов.
Доказательство теоремы 4. Рассмотрим систему Σ𝑛, состоящую из полили- нейных многочленов от переменных 𝑥1, . . . , 𝑥𝑛 вида
𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠𝑦𝑡1· · ·𝑡𝑚−1,
где 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑟 6 [𝑛/2], 𝑐𝑗 – короткие коммутаторы от переменных из мно- жества {𝑥1, . . . , 𝑥[𝑛/2]}, 𝑡𝛼 – тройные коммутаторы от переменных из множества {𝑥[𝑛/2]+1, . . . , 𝑥𝑛} вида [[𝑥𝑛, 𝑥𝛼], 𝑥𝛽], причем 𝑥𝑛 зафиксировано, а 𝛼 и 𝛽 любые (так- же, как и в доказательстве теоремы3),𝑦 – упорядоченное произведение оставшихся переменных из множества {𝑥[𝑛/2]+1, . . . , 𝑥𝑛}. Смешанный образ при грассмановом отображении системы Σ𝑛, обозначаемый ниже через Σ𝑛, в силу леммы 4 линейно независим и состоит из элементов вида
𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠𝑒𝛿1· · ·𝑒𝛿𝑞𝜃𝛼1𝛽1· · ·𝜃𝛼𝑚−1𝛽𝑚−1 +𝑓,
где [𝑛/2] + 1 6 𝛼𝑖 6 𝑛−1, [𝑛/2] + 1 6 𝛽𝑖 6 𝑛−1, [𝑛/2] + 1 6 𝛿1, . . . , 𝛿𝑞 6 𝑛, 1 6 𝑖1 < · · · < 𝑖𝑟 6 [𝑛/2], а все слагаемые элемента 𝑓 содержат элементы вида 𝜃𝑖𝑛. Ясно, что рассматриваемая система Σ𝑛 при фиксированном 𝑟 содержит следующее количество элементов:
(︂[𝑛/2]
𝑟
)︂(︂[𝑛/2]
2 )︂
· · ·
(︂[𝑛/2]−2(𝑚−2) 2
)︂
,
где сомножитель (︀[𝑛/2]
𝑟
)︀ выражает количество элементов вида 𝑥𝑖1· · ·𝑥𝑖𝑟𝑐𝑗1· · ·𝑐𝑗𝑠, а (︀[𝑛/2]
2
)︀· · ·(︀[𝑛/2]−2(𝑚−2) 2
)︀ – количество элементов вида 𝑒𝛿1· · ·𝑒𝛿𝑞𝜃𝛼1𝛽1· · ·𝜃𝛼𝑚−1𝛽𝑚−1 и ограничивается снизу многочленом от 𝑛степени 2(𝑚−1).
АСИМПТОТИКА В ЛИЕВО НИЛЬПОТЕНТНЫХ ОТНОСИТЕЛЬНО СВОБОДНЫХ 853
Общее количество 𝜔𝑛 элементов системы Σ𝑛 выражается формулой
𝜔𝑛 =
[𝑛/2]
∑︁
𝑟=0
(︂[𝑛/2]
𝑟
)︂(︂[𝑛/2]
2 )︂
· · ·
(︂[𝑛/2]−2(𝑚−2) 2
)︂
.
Отсюда, учитывая, что
[𝑛/2]
∑︁
𝑟=0
(︂[𝑛/2]
𝑟 )︂
≻2𝑛 и
(︂[𝑛/2]
2 )︂
· · ·
(︂[𝑛/2]−2(𝑚−2) 2
)︂
≻𝑛2(𝑚−1),
а также 𝑐𝑛> 𝜔𝑛, получаем требуемый результат. Теорема доказана.
Пусть полилинейная часть алгебры 𝐸𝑚 имеет вид 𝑀(𝐸𝑚) = ⨁︀
𝐿𝑛, где 𝐿𝑛 – подпространство полилинейных элементов степени 𝑛 от 𝑒1, . . . , 𝑒𝑛. Пусть далее 𝑀(ker𝜌𝑚) = ⨁︀
𝐾𝑛 – полилинейная часть ядра гомоморфизма 𝜌𝑚. Из теоремы 4 получаем такие следствия.
Следствие 1. Имеет место соотношение dim𝐾𝑛 ≻2𝑛𝑛2(𝑚−1).
Доказательство. Учитывая, что dim𝐾𝑛+ dim𝐿𝑛 = dim𝑉𝑛, получаем dim𝐾𝑛
2𝑛𝑛2(𝑚−1) = dim𝑉𝑛
2𝑛𝑛2(𝑚−1) − dim𝐿𝑛
2𝑛𝑛2(𝑚−1).
Из теоремы 2 следует, что dim𝐿𝑛 – многочлен от𝑛 степени 2(𝑚−1), т.е.
𝑛→∞lim
dim𝐿𝑛
(2𝑛𝑛2(𝑚−1)) = 0,
Отсюда получаем, dim𝐾𝑛/(2𝑛𝑛2(𝑚−1))> 𝛾 для некоторого 𝛾 >0 и всех достаточно больших 𝑛.
Следствие 2. Мера включения ⨁︀
𝐾𝑛 в ⨁︀
𝑀𝑛 равна 1.
Доказательство. Имеет место соотношение dim𝐾𝑛+ dim𝐿𝑛 = dim𝑉𝑛.
Следовательно,
𝑛→∞lim
dim𝐾𝑛
dim𝑉𝑛 = 1− lim
𝑛→∞
dim𝐿𝑛
dim𝑉𝑛 = 1−0.
Следствие2показывает, что ядро грассманова гомоморфизма в асимптотическом смысле заполняет “почти всю” алгебру 𝐹(2𝑚+1).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] В. Н. Латышев, “О выборе базы в одном 𝑇-идеале”, Сиб.матем.журн., 4:5 (1963), 1122–1127.
[2] И. Б. Воличенко, 𝑇-идеал, порожденный элементом [𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4], Препринт № 22, Ин-т матем. АН БССР, Минск, 1978.
[3] D. Krakowski, A. Regev, “The polynomial identities of the Grassman algebra”, Trans.
[4] А. В. Гришин, “Асимптотические свойства свободных конечно-порожденных алгебр некоторых многообразий”, Алгебра и логика,22:6 (1983), 608–625.
[5] А. В. Гришин, “Показатель роста многообразия алгебр и его приложения”,Алгебра и логика,26:5 (1987), 536–557.
[6] A. Giambruno, S. Mishchenko, M. Zaicev, “Codimensions of algebras and growth functions”, Adv.Math.,217:3 (2008), 1027–1052.
[7] П. Ж. Чирипов, П. Н. Сидеров, “О базисах тождеств некоторых многообразий ассо- циативных алгебр”, Pliska Stud.Math.Bulgar., 2(1981), 103–115.
[8] А. В. Гришин, С. В. Пчелинцев, “Собственные центральные и ядерные многочлены относительно свободных ассоциативных алгебр с тождеством лиевой нильпотентно- сти степени 5 и 6”, Матем.сб.,207:12 (2016), 54–72.
[9] А. В. Гришин, “О мере включения в относительно свободных алгебрах с тождеством лиевой нильпотентности степени 3 и 4”,Матем.сб., 210:2 (2019), 75–86.
[10] А. В. Гришин, “Об асимптотике коразмерностей𝑐𝑛 в алгебре𝐹(7)”,Матем.заметки, 104:1 (2018), 25–32.
[11] А. В. Гришин, “Об аддитивной структуре и асимптотике коразмерностей 𝑐𝑛 алгебры 𝐹(5)”,Фундамент.и прикл.матем.,21:1 (2016), 93–104.
А. В. Гришин
Московский педагогический государственный университет
E-mail:grishinaleksandr@yandex.ru
Поступило 16.06.2019 После доработки 17.12.2019 Принято к публикации 21.01.2020