И. М. Дерендяев, О методе хорд, построенных по узлам Че- бышева, Изв. вузов. Матем., 1958, номер 2, 52–60

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. М. Дерендяев, О методе хорд, построенных по узлам Че- бышева, Изв. вузов. Матем., 1958, номер 2, 52–60

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразуме- вает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 178.128.90.69

6 ноября 2022 г., 11:17:29

И З В Е С Т И Я В Ы С Ш И Х У Ч Е Б Н Ы Х З А В Е Д Е Н И Й

Л958г , ,, '. МАТЕМАТИКА № 2(3)

И. М. Дерендяев

О МЕТОДЕ ХОНД, ПОСТРОЕННЫХ ПО УЗЛАМ ЧЕБЫШЕВА 1. Хорошо известны в качестве приближенных методов решения различных классов нелинейных уравнений метод Ньютона (касатель­

ных) и1 метод хорд. Доказательства сходимости обоих методов опи­

раются на сходные формулы. Для метода Ньютона такой формулой является оценка остаточного члена ряда Тейлора, для метода хорд — оценка остаточного члена интерполяционной формулы Ньютона:

Я * ) - / Ы -

^~f^ (х-х

) <

xi — х0

^^тях\/"(х)\-\(х-х0)(х-Хг)\(А) , (А) где

« < л ; < ^ , a = min(x0, Xi, х), ф — тах(х0, Xi, x).

Метод хорд, однако, обладает большей гибкостью по сравнению

•с методом Ньютона вследствие того, что в нашем распоряжении остается свобода выбора узлов интерполяции.

В основу всего дальнейшего положен один специальный случай выбора узлов интерполяции, при котором имеется возможность улучшить общие оценки метода Ньютона и классического метода хорд.

Поясним основную идею исследованного нами метода.

Сходимость метода хорд будет тем быстрее, чем меньше правая часть оценки (А). Мы достигаем этого тем, что за узлы Хо, xi при­

нимаем нули квадратного полинома Чебышева. Как известно, при таком выборе интерполяционных узлов квадратный полином

| (х — хо) (х — Xi)\

наименее уклоняется от нуля.

В дальнейшем нули zo, zi квадратного полинома Чебышева для отрезка [х, х\ будем называть просто узлами Чебышева.

Л е м м а 1. Обозначим через I область т-мерного евклидова пространства (xt^xt^xt, i = 1,..., т) и через z0i, zu — узлы,

Чебышева для отрезка [xi, xi\:

zol = -4- [ (2 + V2) xi + (2 - V2) xi\,

Пусть f (xi,..., Xm) —непрерывная вместе с /^ функция el, вторые производные которой ограничены в области I

dx^tdx^k

и выполняются неравенства xi— xi^.2r (i = 1,..., т).

52

<К [i, £ = ! , . . . , т),

Тогда для любых xi из области I будем иметь оценку:

И I — 1/(*1 > — . Xm)—f(Zoi , ... , г0т)—

та

\ ^ / (201 . — > 20/ _ 1 • S\l > Z()i+1 гО т ) ~~ / (Z01 • — • ZOm ) / • „ \ \ ^

— Л . — . {xi — Zoi) ^

^ j 2i,- — Zo; I

Д о к а з а т е л ь с т в о . Имеет место равенство [1]

т

J4 = -I- У (xi — zu){xi~~Zoi)f xi{zoi,, ...,Zoi-i, ?/, гог+ii... ,zom)-\-

m

+ \ (A:/ — 2-oz) (XA — zok) X

• ft * = 1 • >

i< k

y.fxtxk(Zoi, ... ,Zol-l ,\,Ztl+l,, . . . , « o f t - l . ' ' i f t , -*0ft+l , . . . , - * т ) ,

где

zoi < Si < г н , Zoi<»),<*«, *oft < % < • * * • Известно, что

max | ( ^ _ 4 ) ( / _ ^ ) | = = 1

- к / < l 2

если t0, t\ — узлы Чебышева для отрезка [—1, 1]. Принимая во вни»

мание, что отрезок — 1 <! < ^ 1 преобразуется в отрезок xt^xi^. Xi при помощи соотношения

Xt Xi Xi + Xi ч

x= =-t-\-= , '

2 2

получим оценку

I (Xi — Zu) (Xl — Zoi) I < - - (Xi— Xif (/ = 1, ... , m).

8 —

Кроме того, очевидно,

| (xi— zoi) (хи — 20k) | < (xi — xi) (Xk — Xk) (i, k — 1,..., m).

Следовательно,

\A\^j/nK(2r)*-j-\-^m(m-¹⁾-2r-2r-K=(2m — -\mKr\

что и требовалось доказать.

2. Рассмотрим решение нелинейного интегрального уравнения с оператором Урысона:

x(s)~ (K\s, t, x(t)]dt = 0. (1) о

Пусть решение x*(s) этого уравнения существует в области

/⁰( | A ; ( S ) — Jfo|<r0, 0 < s , £<1), где х0, г0 — постоянные.

Потребуем, чтобы ядро K{s.t,x) удовлетворяло следующим условиям:

a) K(s,t,x) непрерывно в области h(\x(s)tr-Xo\^(l-\- ^)г0, 0 =С s> t> ^ 1)» где число а бпредело ниже;

5*

в) производная Кх (s, t, xj непрерывна в h и имеет в h ограни­

ченную резольвенту | Rx |<1 В;

с) | K"X*(S, t, х) К К в области h .

Последовательные приближения будем находить из линейных интегральных-уравнений

1 г

х„+1 (s) —С K[s, t, xn (t) ] [x„+i (t)—2(ол) (t) \dt- С K[s, t, 4n ) (t) ]dt^0

(n = 0, 1,...),.' ° (2) где

K[s,t,xn{t)] — y 4 •. ••.- — - — .

4

w-4

(o

Кривые x = zo')(t), x = z(i){f), являющиеся линиями узлов Чебы- шева, находятся по формулам:

4n)(t) = \[2xn(t)-rnV2], zP(t) = j[2x„(t) + nVn

Т е о р е м а 1. Если выполнены условия а), в), с) и, кроме того, справедливо неравенство

а = (Д + 1 ) Я г < 4 , - N т о последовательность \xn(s)h определяемая из уравнений (2), сходится к решению x*(s) уравнения (1), единственному в области /0. Скорость сходимости при этом характеризуется оценкой:

iMs)-**(s)ii(f)

~V:.:',. ".•!•',;;

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначив

Хо = Хо -\- Го, хо = Хо — Го, ,!-..•-,...•

получим

1 хо — Xo = 2ro L

Используя интерполяционную формулу, будем иметь

#(*, t,xf)-K(s, t, 200)) + ^ ( s , *, ХоК** — 40 )) + So(s, t).

Остаточный член b0(s,t), согласно лемме 1, при т<=1 оценится следующим образом:

| & o ( M I < ~ n i a x | / ^ ( M , *)!(*> — х0)2< ^ / Ы ) .

16 /„ — 4

.Уравнение (1), можно записать в виде

xi (я) - 40) + л* («) - X! (s) - J К[s, t, хо (t) ] [х, (0 - 40) +

' ' i ' : ' 0

1 1

+ x*($ — x^dt^zf--CR(s,t,^)dt — ft

(s, t)dt^0. ,

Первое приближение находим из уравнения :

ixi(s)^'f%i*i t^{t))\^(t)-^\dt- j K{s,t, zf)dt = 0.

О ••;,.:•;,: • • • . . . . * • • .

Следовательно, для определения погрешности х* (s) — xi (s)t бу­

дем иметь линейное интегральное уравнение

1 i -.'.

JC* (а) — xi (s) — CK\S, t, xo (t)} [x* (t) — xi (t)\ dt —С S0 (s, t) dt = <L

о о Отсюда

l l i

X* (s) - Xi (s) = f So (s, I) dt + fRXo (S, t) Г С 8o (t, a) da~\dt.

о о о

Следовательно,

U * ( s ) - ; c i ( s ) | < max 18„ ( M ) 10 + max | # J ) < - a r0.

o < s , < < i o < « , « < i 4

Обозначив n = — ar0, введем функции xi (s), xi(s), ограничиваю­

щие решение x*(s) сверху и снизу

xi=xi(s) — n, xi = *i(s) + n . , Покажем, что они не выходят из области Л .у г

Действительно,

\-xi — JCO|<|JCI(«) — x*(s)\ + n-{-\x*(s) — j c0| < A + - | ) r o . Аналогично

\xi — хо\ < ( l + - | )r° -

Поступая так и дальше, находим последовательность приближен­

ных решений {x„(s)\ и последовательность границ "{хаЩ, 'xn(s}\.

Используя метод математической индукции, легко показать, что все границы [Хп, хп] не выходят из области h, и справедлива оценка погрешности

2п—1

|*«(*) —**(*)!< ( f ) Го. ' - (3) Учитывая условие а < 4 , убеждаемся, что

Urn Xn(s) = x*(s).

П >-оо

Докажем единственность решения х*(s) в области /о. Пусть x(s) — решение уравнения (1), находящееся в области / о . К нему применимы все приведенные выше рассуждения и, следовательно,

2й— 1 '• ' ' '

\Xn(s)— ^"(S) I < ( ^ ) /"О-

Сопоставляя полученную оценку с (3), в силу единственнрсти яредела, будем иметь х = х*. Теорема доказана.

3. Обратимся к решению системы обыкновенных дифференциаль­

ных уравнений. Пользуясь сокращенной записью при помощи вектор- функций, будем иметь, вместо системы одно векторное уравнение

x'^flt, x), (4 где х{t) = [xi (t),... ,.xm{t)]—i. искомый /re-мерный вектор-функция от t,

f{t, х) —\fi (t, x),..., fm (t, JC)] —данный вектор. Решение х* уравне- яия (4) будем находить при начальном условии x\t,=y0.

55

г- ^

' П у с т ь по определению a) \x[—maxXi, в) j / > x , если yi^xn (/ = 1,..., от).

Последовательные приближения xn+i = С*л+1,1, ...,хп+\,т) опреде­

ляем из линейных уравнений

х ; + 1 - Фл +1 ( 0 ( ^ + 1 - г [ Г)) - / ( / , 4я )) = 0 (я = 0, 1,...)> (5) где Фя+1.(0 — линейный оператор, имеющий матрицу

/ft lr' % ' ' " ' 2ог-1 > ZU , Zoi+l , ... , Z0m ) Jk It. % > ••• > Zpm /

*(«) _ *(«)

z\l z0i II

(V& = 1,..., от) Линии узлов Чебышева

4

W = (4

i

,...

4"

l),4"

(0 = (4i

,...,2i"i)

определяются ниже. _ Пусть известны две вектор-функции х0, хо такие, что на полу­

сегменте (*о, h\:

хо < х* < хо и х0 \и = х0 [to=у0. Обозначим

Хо=-(х0 + х0) и r0 = j(x0 — Хо).

Потребуем, чтобы правая часть уравнения удовлетворяла усло­

виям:

1) функций/i (I, л:) непрерывны вместе с первыми производными

— \ i , k=\,..., m) в области R, определяемой неравенствами

\х — дсв|<(1 + 2шахф.(0)-|го|

n,t

и, кроме того,

0<J^-</. (i, k=\,...,m);

дхк

2) вторые производные ограничены в области R - ^ - | < / С (i,j,k=l,...,m);

dXidxk\

3) в области R выполняется неравенство

ехр [от (и — t) L) < М, to < t < и < h.

Если обозначить

fc=n—1

^

(t)^^2m~^mKM^r

\{t-to)Y-

-Г f l (2

-l)

то линии узлов Чебышева определяются по формулам:

4 ? (О = | [2хл, (t) - <]>„ (01 го | V 2],

• '. • (1=1, ...,т, п ==1,2,...).

5$- , , . ' ' .

> П — k — 1 — 1

Доказательство сходимости последовательных приближений опи­

рается на следующую лемму.

Л е м м а 2. Для стремления к нулю числовой последователь*

ности

' да"-* г0

г0, ri = aro,..., r„= fe=n_i ,...,

П v

-if'*-

k=i

где а и г0 — положительные числа, достаточно, чтобы число а:

удовлетворяло неравенству

а < Г « К б .

Точное значение I равно пределу

6 = л - 2

S = lim

П > со

(2л+1_1) Y\ (2k+1 — lfn~ ^{• f t - 2 яч—1}

ft=l

Д о к а з а т е л ь с т в о . Определим числа qn равенствами

а а

qn = a

k=n—\ - —

(2«+i — i) Y\ (2k+1 — l)2"-ft-2l 2"~\....

Легко доказать тождества

гп = а"г0[\ gf-Hn-D ( я = 2 , 3,...). (6>

Последовательность {?л}, строго возрастающая и ограниченная qn<gn+i<~= (я = 1,2,...).

Обозначим через ? предел последовательности {^п}:

q = lim qn=--~,

П >-со С

Используя тождества (6), получим оценку

, вл+1

г"<-~-'92П (л = 1,2,...).

Принимая во внимание условие леммы q— — <^1, видим, что lim r„ = 0.

Я *- со

Непосредственный подсчет дает для числа I значение, близкое к J / 6 , поэтому величина I «=» Кб является вполне удовлетворитель­

ной при практических вычислениях.

Условие а<С% является лишь Достаточным для стремления к нулю последовательности {гп\, тем не менее легко показать, что уже при а = 3 последовательность {гл} стремится к бесконечности.

Действительно, gi—1, qk>\ (6 = 2,3,...) при, а = 3, отсюда и из формул (6) сразу следует гп —»«= при п~* со.

Т е о р е м а 2. При выполнении условий 1) — 3) и условия

"" a{t)^KM-\r<,\-(t-t0)<- 5

2т — — ) т

ЬТ

(?) последовательные приближения, определяемые из уравнений (5), сходятся к решению уравнения (4) со скоростью, характеризуемой оценкой

\X* — Xn\<tyn{f)'\r0\.

Решение уравнения (4) единственно в области Ro(Xo<ix<x0, to^f^ti).

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть

— линии узлов Чебышева для исходной вилки \х0, х0]. На основа­

нии интерполяционной формулы Ньютона получим

fit, x)=/(t, 4

)+*I(*H*~42) + 8

(*),

где Ф ^ ) — линейный оператор, имеющий^матрицу

(i, k = l,..., m), ,и So(0 = [8oi (0, —» 8om(0] — погрешность.

Обозначив через xi искомое первое приближение, перепишем уравнение (4) в виде

х'ь- 4

'+х*' -

\ - М О (*i - 4

+** - х,)+

+4

'-/(г,4

)-8о(01=о.

Первое приближение найдем из уравнения

х\ - фд (о ( J C I J - Л - Ж 40)) = о,

тогда погрешность х* — xi, определится из уравнения

(«•—л/ЬФхВД**-•«,)-8о!(о:=о. (8)

Опираясь на очевидное неравенство Хы — хы ^ 21 r01 и используя лемму 1, получим оценку погрешности §ог(0

18о/ (0 | < fom - -)'от/С| го |2 = Do .

Заменим в М1трице (7) каждый элемент большим, именно числом L, и каждую составляющую вектора ba(t) большим числом Ц>, тогда

получим уравнение

в; - ; да 1- | Д о Н О . ,. (9)

т котором А0 = (£)<,,..., Ц,) и матрица, соответствующая линейному оператору А, составлена из одинаковых элементов L:

Легко видеть, что мы нахо п;имся в условиях применения теоремы 'С. А. Чаплыгина для систем дифференциальных уравнений [2], по­

этому из условия 1) теоремы, (8), (9) следует

x!j-xu<au 0Н1.Р,!..., m>- (10) Запишем уравнение (8)JB виде

Учитывая неравенство —QOI(£)^.DO и снова применяя теорему

•С. А. Чаплыгина, будем иметь

Хи — х*<*и. (10')

-58

•Объединяя (10) и (1С), получим |x* — x u | <a" или JB векторной форме

|х* — xi|<|«11.

Векторное уравнение (9) равносильно скалярному

<Х\ — mLai — Do = 0, где

ai = au (i= l,..., т).

Интегралом этого уравнения является выражение

t

at (*)j= С Do exp [mZ. (* — %)]dx.

to

Следовательно, ошибка оценится так:

\x* — xu\<DoM(t — U) (i = l,...,m)

«ли в векторной форме

\x^ — x1\<(2m—~\ma{t)-\r0\.

Введем обозначение ri(t) = f2m — ^\ma(t)-\r0\ и будем рассмат­

ривать вектор ri-=[n(t),...,ri(t)]. _ С помощью вектора п построим векторы Xi, Xi, охватывающие решение х* снизу и сверху i

• Xi=Xi — r1, Xi=pCi-\-n.

Принадлежность векторов xi и х\ [области R следует из нера-*

венств

|*i — J C O | < | J : I ' - * * | 4 - | * * — ^o| + | r i | < 2 | r i | + |r0| =

= Г 1 + 2 ^ 2 о т - - ) / я о ( « 1 - | г о | < 1 1 + 2 т а х фя( 0 ] - | г в | . Аналогичное неравенство справедливо и для Xi. _

^Подсчитав новые узлы Чебышева z§\ zW для [xi, xi\, второе приближение xi находим из уравнения

Xi-:<bt(t)(xi)-sSP)-f(t,38))=o,

где оператор Фг(^) имеет матрицу одинаковую по структуре с мат­

рицей оператора Ф\{€) с той разницей, что узлы Чебышева z$,zff заменены на z§, z$m

Определив погрешность | х* — xi |, строим как и [выше векторы

-Х% , Х2 И Т. Д.

Методом математической индукции можно показать, что векторы -Хп, хп (л = 1,"2,!...) не выходят из области R, и погрешность оце­

нивается неравенством

\x*-x„\<b(t)-\ro\.

Отсюда, на основании леммы 2, приняв во внимание условия теоремы, будем иметь lim хп — х*.

п — у °э

Единственность решения х* в области Ro доказывается как в тео­

реме 1. Что и требовалось доказать.

Рассмотренный метод может быть применен к решению всех жлассов уравнений, которые решаются методами Ньютона и Чаплы-

58

гина, например, алгебраических и трансцендентных, интегродиффе- ренциальных уравнений в частных производных.

В случае одного дифференциального уравнения первого порядка условие 1) может быть ослаблено, достаточно потребовать — < L.

дх Метод содержит более слабое требование а < 4 по сравнению с ме­

тодом Ньютона, где а <!2. Для дифференциального уравнения это- условие заменяется еще более слабым а < 4 К б .

Благодаря этому облегчается подбор начальных приближений, и метод может применяться в комбинации с методом Ньютона как первый шаг в вычислениях.

Скорость сходимости приближений превышает быстроту сходи­

мости метода Ньютона в условиях И. П. Мысовских [3].

Для дифференциальных уравнений оценка скорости сходимости совпадает с оценкой, данной Е. В. Вороновской [4] для модификации метода С. А. Чаплыгина, построенной с применением линейных поли­

номов наилучшего приближения.

В применении к дифференциальным уравнениям метод не содер­

жит требования знакопостоянства второй производной.

Пермский горный Поступило институт 15 XI 1957

ЛИТЕРАТУРА 1. Г. А. А р т е м о в , ДАН СССР, 101, № 2, 1955.

2. А. В Г е л ь ф а н д , Изв. АН СССР, сер. мат., № 5—6, стр. 583-594, 1938.

3. И. П. М ы с о в с к и х , Вест. Ленингр. унив-та, сер. мат. физ. и хим., № 11,, в. 4, стр. 25—48, 1953.

4. Е. В. В о р о н о в е к а я , ПММ, 19, стр. 121 — 126, 1955.