Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
С. Л. Соболев, Плотность финитных функций в пространстве L
(m)p(E
n) , Докл. АН СССР, 1963, том 149, номер 1, 40–43
Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
5 ноября 2022 г., 18:56:52
Д о к л а д ы А к а д е м и и н а у к С С С Р 1963. Том 149, № 1
МАТЕМАТИКА
Академик С. Л. СОБОЛЕВ
ПЛОТНОСТЬ ФИНИТНЫХ ФУНКЦИЙ В ПРОСТРАНСТВЕ L{™}(En) В настоящей заметке мы дадим непосредственное доказательство следую
щей теоремы.
Т е о р е м а . В пространстве классов функций Ь{™] (Еп) (р^> 1), задан
ных во всем эвклидовом пространстве Еп с нормой
= 2
( W f ^ ( 1 )\а\=т
финитные функции образуют плотное множество. Иными словами, прост
ранство Lpm ) (Еп) совпадает с замыканием множества финитных функций по норме (1).
Достаточно ограничиться установлением того, что при помощи финитных функций в метрике L( p m ) (Еп) можно приблизить такие элементы этого про
странства, которые:
а) неограниченно дифференцируемы всюду в Еп\
б) имеют частные производные Daf любого порядка а: \ а \ = т — k, О ^ k <^ nip, почти по всем направлениям стремящиеся к нулю на беско
нечности, и притом так, что
^ . ^ | Da/ | V ^ - V r < o o ; (2) в) функция / обращается в нуль тождественно при г > 3.
Пусть fn — средняя функция для /. Для пространства Ьр (г)
| | / - Д | | < Л б ( Л ) , (3) где
б ( Л ) < max \\f(y)-f(y+Ay)\\L (4)
Применяя к Daf (\ а | = т) неравенство (4), видим, что Dafh приближает
£>а/, откуда вытекает а). Ограничение б) доказывается при помощи полной индукции от производных высшего порядка к производным низшего порядка.
Пусть
оо
J[ 2 ( D W V - ^ r = С (Т) . (5)
О I а \=т
Тогда. Ср (у) — суммируемая функция угла у:
\срШ, = \\П[Т(ЕП. ( 6 )
Мы покажем последовательно, что для всех производных рассматривае
мого порядка и для почти всех у справедливо неравенство
00
5 | D 7 fr^-'dr < КСр (у), | а | = т - ky k < j , (7)
где К — постоянная, не зависящая от /. Из формулы (7) будет следовать, между прочим, что
\--\\Daf\pr~kpdx<K\\nPl}m)(En)- (8)
г>1 'Р П
При k = О формула (7), очевидно, верна. Производные порядка т — к выразим через производные порядка т — k + 1 при помощи интегрирова
ния полного дифференциала
оо
D 7 = Ce(T) - ^ ( D ^ d s (9)
X
по путям /, часть которых составляет уходящий на бесконечность луч из начала координат. Для производных порядка т — k + 1 формулу (7) считаем доказанной. Формула (8) имеет смысл почти для всех лучей. Почти для всех у постоянная Са (у) будет одной и той же.
Если бы нашлось два множества с не равной нулю мерой с различными значениями Са (у), то нашлось бы множество путей, зависящих от (п — 2) параметров, лежащих на сфере и имеющих отличную от нуля меру, вдоль которых
lim \ ^s(Daf)ds=\imR^s(Daf)dsy>n>0. (10)
r=R
Отсюда следовала бы расходимость интеграла
\\\Daf \ргп~кр~Чг rfy,
которая противоречит (7), уже установленному для | а | = т — k - f l . Исправляя / на соответствующий многочлен степени ниже т — k + 1, получим для эквивалентной функции формулу
00
D«f =-\±{Daf) ds. (11).
X
Отсюда применением неравенства Харди ((2), стр. 302)
00 оо
t~'\F (t)]P dt < [ r - ^ f \ t~r [tf (t)\P dt, (12);
где r < 1 и F (x) = ^ / (/) d t , устанавливаем (7).
X
Функции, удовлетворяющие а) и б), всегда можно разбить на два слагае
мых, одно из которых финитно, а другое равно нулю в шаре радиуса г = 3 вокруг начала. Отсюда вытекает достаточность ограничиться функциями, удовлетворяющими в).
У функций, удовлетворяющих а), б), в) и неравенству (7), производные любого порядка, в том числе порядка не выше чем т — nip, могут быть представлены формулой
х
D«f = \±{Daf)ds. (13)
О
При п не кратном р к интегралам (13) можно снова применить неравенство
х
Харди (12) для г > 1 и F (х) = ^/ (t) d t . Это устанавливает справедливость
о
41
формул (7) и (8) также и для nip < k <; т. В случае п = kp вместо формулы (7) можно установить более грубые неравенства:
00
^ | D 7 frn-kp-1 (In r)-p(\n In r)~pdr < KCP (T) (14) для почти всех у и, следовательно,
I- \\D«f\PrkP{\nr)-r (1П 1П Г Г ^ Г < /С ||/f(m), (15) которое и заменяет формулу (8), будучи верным для всех производных
от / порядка не выше /п.
Вместо (15) установим более сильное неравенство, верное почти для всех у:
| D 7 \р < rkp~n (In r y - W (т), | а | =m — j , (16) или
|Daf | < г " -л / р( I n r )1 / pK C (г). (17) Пусть функция / (х) удовлетворяет условию
оо
^ If ( * ) | V -;d * = Cp< о о , (18)
Л:
и пусть F (х) = \^f (t) dt. Введем новое переменное у по формуле о
^ ( Р - Ж Ш Г 1 , (19)
Обозначим
f W ^ -1 ) / p( | )1 / P= X ( y ) - (20) Невозрастающая перестановка % (г/) функции % (*/) в с и лУ 0 8)
оценивается
С другой стороны,
1 / ( р - 1 ) 1 Л Р - 1 ) _
КР ' у у
Применяя (22) к D*f, [ a | =т — п/р, получаем
|Da/1 < KC(r) (In г)1 / / ?', |а | = т - -J . (23) Последовательная оценка дает нам формулу (16), а следовательно, и (15).
Полагая теперь
* Ю - * ( Е } Щ ) - ( 2 4 )
где г|) (|) непрерывна со всеми производными,
i>i'"
<25>
будем иметь
dk . . к 1 1 ,ОА\
•^^<ШГгйГг7' ( 2 6 )
Лосле этого легко установить свойство
Н т 1 / - Л М > о , _ = 0 . (27)
При п ф 0 (mod р) в качестве срезывающей функции можно взять
% (Г) =Я|?(ЛГ). (28)
Простой пример:
/ (г) = [ 72 In (г2 + Л2) ]1/ . - * , А = 2, р = 2, m = 1,
показывает, что при /г, кратном р [| / — /я|)Л || не стремится к нулю, -ф* (г) в качестве срезывающей функции непригодно. Из этого же примера видно, что показатель у In г в формуле (23) неулучшаем.
Институт математики с вычислительным центром Поступило Сибирского отделения Академии наук СССР 17. X I 1962
Ц И Т И Р О В А Н Н А Я Л И Т Е Р А Т У Р А
1 С. Л . С о б о л е в, Некоторые применения функционального анализа в математичес
к о й физике, Л . , 1950. 2 Г. Х а р д и , Д ж . Л и т т л ь в у д , Г. П о л н а , Нера
венства, М., 1948.
43
