Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
А. Н. Доледенок, О задаче Канторовича с ограничени- ем на плотность, Матем. заметки , 2018, том 104, вы- пуск 1, 45–55
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11506
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
5 ноября 2022 г., 18:55:58
Математические заметки
Том 104 выпуск 1 июль 2018
УДК 519.2
О задаче Канторовича с ограничением на плотность
А. Н. Доледенок
В статье рассматривается задача Канторовича оптимальной транспортиров- ки с ограничением на плотности для мер на бесконечномерном пространстве.
При такой постановке допустимый транспортный план неотрицателен и мажо- рируется заданной функцией-ограничителем. Доказаны существование и един- ственность решения данной задачи.
Библиография: 18 названий.
Ключевые слова: задача Канторовича, задача с ограничением, оптималь- ная транспортировка, бесконечномерный анализ.
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm11506
1. Введение. В последние десятилетия задачи оптимальной транспортировки Монжа и Канторовича привлекают значительное внимание исследователей. Зада- ча Канторовича оптимальной транспортировки была поставлена в начале 40-x годов XX века в работе [1], ставшей классической, и развита в более поздней работе [2]. Эта задача может быть сформулирована как линейная задача оптимизации на выпук- лой области: среди всех мер с заданными проекциями найти оптимальную меру, где оптимальность измеряется относительно функции стоимости. Этой тематике посвящена обширная литература разных авторов (см., например, обзоры и моно- графии [3]–[13] и цитированные там работы). Задача оптимальной транспортировки представляет не только самостоятельный интерес, но и имеет множество приложе- ний в нелинейном анализе, теории вероятностей, дифференциальной геометрии.
В работе [14] была поставлена и решена модификация этой задачи, предполага- ющая поточечное ограничение на плотности мер – задача оптимальной транспор- тировки с ограничением плотности. Требуется найти оптимальную меру среди всех мер с заданными проекциями, имеющих плотности, ограниченные некоторой данной функцией. В [14] показано, что локальная невырожденность функции стоимости влечет экстремальность оптимального плана и, как следствие, его единственность.
Иными словами, оптимальный план является крайней точкой некоторого выпуклого множества. В более поздней работе [15] авторами было представлено упрощенное доказательство единственности оптимального плана, опирающееся на особую харак- теризацию крайних точек выпуклого множества и построение подходящих возмуще- ний. Вопросы двойственности рассмотрены теми же авторами в статьях [16] и [17].
Работа поддержана проектом Российского фонда фундаментальных исследований (грант
№ 17-01-00662).
○c А. Н. Доледенок, 2018
45
Постановка задачи с ограничением плотности не менее естественна, чем классиче- ский вариант, однако прежде никогда не рассматривалась. В цитированных работах исследовался случай мер на конечномерном пространстве R𝑛 с мерой Лебега. Кро- ме того, задача Монжа–Канторовича с дополнительными ограничениями плотности линейного типа исследовалась в работе [18]. В нашей работе исследована задача оптимальной транспортировки с ограничением плотности для бесконечномерного пространства, а именно бесконечномерного куба с мерой Лебега. (Аналогично мож- но исследовать случай бесконечномерного тора с мерой Лебега). Предварительно мы рассмотрим вопрос о существовании решений в задаче с ограничениями в слу- чае общих пространств. Кроме того, получена характеризация множества крайних точек множества мер с фиксированными проекциями и ограничением на плотность (лемма 3), обобщающая результат Кормана и МакКэна (см. [15], предложение 3.2).
2. Постановка задачи. Пусть даны два вероятностных пространства(𝑋,A, 𝜇) и (𝑌,B, 𝜈), на 𝑋×𝑌 задана функция𝜒>0, интегрируемая относительно 𝜇⊗𝜈, а классΓ𝜒(𝜇, 𝜈)состоит из плотностейℎотносительно𝜇⊗𝜈, задающих вероятностные меры на 𝑋 ×𝑌 c проекциями 𝜇 и 𝜈 на 𝑋 и 𝑌 соответственно, причем ℎ 6 𝜒.
Напомним, что проекция меры 𝜎на𝑋 ×𝑌 на сомножитель 𝑋 задается формулой 𝐵 ↦→𝜎(𝐵×𝑌).
Класс Γ𝜒(𝜇, 𝜈)– это выпуклое множество. Действительно, для всяких функций ℎ1, ℎ2∈Γ𝜒(𝜇, 𝜈)и числа𝛼∈[0; 1]функция
ℎ𝛼=𝛼ℎ1+ (1−𝛼)ℎ2
также лежит в Γ𝜒(𝜇, 𝜈), так как выполнены неравенства06ℎ𝛼6𝜒 и проекциями меры, заданной плотностью ℎ𝛼, являются𝜇и𝜈.
Для функции𝑐∈𝐿∞(𝜇⊗𝜈)(ее принято называть функцией стоимости) рассмот- рим на Γ𝜒(𝜇, 𝜈)линейный функционал
𝐼𝑐(ℎ) =
∫︁
𝑋×𝑌
𝑐(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥, 𝑦)𝜇⊗𝜈(𝑑𝑥 𝑑𝑦). (2.1) Ставится следующая задача оптимальной транспортировки с ограничением плот- ности: минимизировать функционал (2.1) на выпуклом множестве плотностейℎиз классаΓ𝜒(𝜇, 𝜈). Будем называть функцию, на которой достигается минимум, опти- мальной функцией (оптимальным планом). Чтобы избежать исследования триви- ального случая, будем предполагать, что Γ𝜒(𝜇, 𝜈)̸=∅.
Приводимый в следующем пункте результат о существовании решений задачи оптимальной транспортировки с ограничением плотности относится к общему слу- чаю вероятностных пространств, но основные результаты о единственности связаны со спецификой меры Лебега.
3. Существование решения. Первый основной результат работы состоит в следующем.
Теорема 1. Функционал𝐼𝑐 достигает минимума наΓ𝜒(𝜇, 𝜈).
Доказательство. Зададим такую топологию на𝐿1(𝜇⊗𝜈), для которой класс Γ𝜒(𝜇, 𝜈)компактен, а функционал 𝐼𝑐 непрерывен. Существование решения задачи оптимизации будет следовать из общего факта, что непрерывная функция достигает минимума на компактном множестве.
Для этого снабдим пространство𝐿1(𝜇⊗𝜈)слабой топологией. КлассΓ𝜒(𝜇, 𝜈)рав- номерно интегрируем в силу того, что все функции из Γ𝜒(𝜇, 𝜈) ограничены одной и той же интегрируемой функцией. Вследствие этого Γ𝜒(𝜇, 𝜈) имеет компактное замыкание в слабой топологии 𝐿1(𝜇⊗𝜈) (см. [4; теорема 4.7.18]). Чтобы показать компактность класса Γ𝜒(𝜇, 𝜈), достаточно показать, что он замкнут. Ввиду выпук- лости Γ𝜒(𝜇, 𝜈)достаточно проверить замкнутость по норме.
Пусть {ℎ𝑛} – последовательность плотностей в Γ𝜒(𝜇, 𝜈), сходящаяся по норме к функции ℎ∞ ∈𝐿1(𝜇⊗𝜈). Необходимо проверить, чтоℎ∞ ∈Γ𝜒(𝜇, 𝜈), т.е. что ме- раℎ∞имеет проекции𝜇и𝜈 и мажорируется функцией𝜒почти всюду по мере𝜇⊗𝜈.
Последнее очевидно. Первое следует из того, что для всех функций 𝜙∈𝐿∞(𝜇⊗𝜈) имеем
𝑛→∞lim
∫︁
𝑋×𝑌
ℎ𝑛𝜙 𝑑𝜇⊗𝜈 =
∫︁
𝑋×𝑌
ℎ∞𝜙 𝑑𝜇⊗𝜈. (3.1) При подстановке𝜙=𝜓·1𝑌 в (3.1), где𝜓∈𝐿∞(𝜇), легко видеть, что проекциейℎ∞ на𝑋 является𝜇. Аналогично проверяется, что проекциейℎ∞ на𝑌 является𝜈. Это влечет замкнутостьΓ𝜒(𝜇, 𝜈)по норме, а тогда и в слабой топологии.
Функцинал 𝐼𝑐 непрерывен в слабой топологии по определению. Таким образом, существование оптимального плана доказано.
4. Постановка задачи для бесконечномерного куба. Существование реше- ния задачи оптимальной транспортировки с ограничением плотности – достаточно простой факт, не требующий жестких ограничений на рассматриваемые объекты.
С единственностью дело обстоит иначе – прежде чем приступать к доказательству единственности решения, необходимо сделать некоторые уточнения. Прежде всего, доказательство будет использовать специфику меры Лебега, поэтому в дальнейшем мы будем работать со следующей конструкцией. Случаи, когда некоторые получен- ные результаты могут быть распространены на более общие условия, будут огово- рены отдельно (см. леммы 2и3).
Рассмотрим пространство𝑇 – счетную степень единичного отрезка. Оно наделя- ется счетной степенью меры Лебега, обозначаемой через 𝜆.
Пусть заданы неотрицательная интегрируемая функция𝜒∈𝐿1(𝜆⊗𝜆)и неотри- цательные плотности 𝑓 ∈𝐿1(𝜆),𝑔∈𝐿1(𝜆)с равными массами:
∫︁
𝑇
𝑓 𝑑𝜆=
∫︁
𝑇
𝑔 𝑑𝜆.
Рассмотрим выпуклое множество интегрируемых плотностей c фиксированными проекциями
Γ𝜒(𝑓, 𝑔) ={︀
ℎ∈𝐿1(𝜆⊗𝜆) : 06ℎ6𝜒,причем
𝑓 – проекцияℎна первый сомножитель, 𝑔– проекция ℎна второй сомножитель}︀
,
где проекции определяются так:
𝑓(𝑥) =
∫︁
𝑇
ℎ(𝑥, 𝑦)𝜆(𝑑𝑦), 𝑔(𝑦) =
∫︁
𝑇
ℎ(𝑥, 𝑦)𝜆(𝑑𝑥).
Для функции стоимости𝑐∈𝐿∞(𝜆⊗𝜆)рассмотрим следующий линейный функ- ционал наΓ𝜒(𝑓, 𝑔):
𝐼𝑐(ℎ) =
∫︁
𝑇×𝑇
𝑐(𝑥, 𝑦)ℎ(𝑥, 𝑦)𝜆(𝑑𝑥 𝑑𝑦). (4.1) Рассматривается задача о минимизации функционала (4.1) на классе Γ𝜒(𝑓, 𝑔).
Как уже было показано, минимум (4.1) достигается, если класс Γ𝜒(𝑓, 𝑔) непуст.
По крайней мере одна из оптимальных функций ℎявляется крайней точкой клас- саΓ𝜒(𝑓, 𝑔). Напомним, что функцияℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔)называетсякрайней точкойвыпук- лого множестваΓ𝜒(𝑓, 𝑔), еслиℎне является серединой никакого отрезка, лежащего в Γ𝜒(𝑓, 𝑔).
В силу ограниченности функции стоимости ее можно считать неотрицательной всюду на 𝑇 ×𝑇, так как при замене функции стоимости 𝑐 функцией 𝑐+𝐶, где 𝐶∈R– константа, функционал 𝐼𝑐 заменится функционалом
𝐼𝑐+𝐶=𝐼𝑐+𝐶
∫︁
𝑋
𝑓, где число 𝐶∫︀
𝑋𝑓 одно и то же для всехℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔).
5. Условия на функцию стоимости. Пусть функция𝑐 ∈𝐿∞(𝜆⊗𝜆) такова, что для всякой пары переменных (𝑥𝑖, 𝑦𝑗), где 1 6 𝑖 < ∞, 1 6 𝑗 < ∞, существует смешанная вторая частная производная
𝜕𝑖,𝑗𝑐= 𝜕2𝑐
𝜕𝑥𝑖𝜕𝑦𝑗
.
Более того, будем также предполагать, что для некоторого фиксированного числа 𝑁 ∈ N∪ ∞ существует не более чем счетный набор дизъюнктных открытых мно- жеств {𝐺𝑘}𝑁𝑘=1,𝐺𝑘 ⊂𝑇 ×𝑇, такой, что выполнены следующие условия:
(C1) всякое множество 𝐺𝑘 имеет положительную меру Лебега, т.е. для всякого 𝑘6𝑁 справедливо неравенство𝜆(𝐺𝑘)>0;
(C2) объединение всех множеств из набора {𝐺𝑘}𝑁𝑘=1 имеет полную меру Лебега, т.е.
𝜆 (︂
𝑇×𝑇∖ (︂ 𝑁
⨆︁
𝑘=1
𝐺𝑘 )︂)︂
= 0;
(C3) для всякого𝑘6𝑁 существует пара переменных(𝑥𝑖𝑘, 𝑦𝑗𝑘)такая, что функция
𝜕𝑖𝑘,𝑗𝑘𝑐либо строго положительна, либо строго отрицательна на 𝐺𝑘.
Стоит отметить, что указанные условия на функцию стоимости не являются слиш- ком ограничительными. Например, в случае непрерывных вторых производных не годится, чтобы в точках множества положительной меры одновременно все вторые смешанные производные обращались в нуль. В частности, для функции стоимо- сти𝑐, представленной рядом вида∑︀∞
𝑛=1𝑓𝑛(𝑥𝑛, 𝑦𝑛), условие выполнено сразу на всем пространстве, если не все 𝑓𝑛 распадаются в суммы функций от𝑥𝑛 и𝑦𝑛.
Простейшим нетривиальным примером функции стоимости, удовлетворяющей поставленным условиям для любого набора множеств {𝐺𝑘}𝑁𝑘=1, подчиненного усло- виям (C1)–(C2), может служить функция
𝑐(𝑥, 𝑦) =
∞
∑︁
𝑛=1
1
2𝑛(𝑥𝑛−𝑦𝑛)2.
6. Единственность решения. В этом разделе мы предлагаем следующую схе- му проверки единственности решения задачи оптимальной транспортировки с огра- ничением плотности. Сначала мы покажем, что всякая функцияℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔), явля- ющаяся крайней точкой выпуклого классаΓ𝜒(𝑓, 𝑔), может быть представлена в виде 1𝑊𝜒для некоторого измеримого по Лебегу множества𝑊 ⊂𝑇×𝑇. Затем будет пока- зано, что всякий оптимальный планℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔)является крайней точкой. Наконец, будет сделан вывод о единственности решения задачи оптимальной транспортиров- ки с ограничением плотности.
Будем обозначать через𝑒𝑖 = (0,0, . . . ,1,0,0, . . .)∈𝑇 бесконечномерный элемент, у которого компонента с номером𝑖равна единице, а остальные компоненты нулевые.
Лемма 1. Пусть дано измеримое по Лебегу множество 𝑈 ⊂ 𝑇 ×𝑇 положи- тельной меры. Тогда для всякого достаточно малого𝛿 >0и всякой пары перемен- ных (𝑥𝑖, 𝑦𝑗)существуют рациональные числа (будем называть их рациональными сдвигами)𝜙𝑖𝑋, 𝜙𝑗𝑌 ∈(0;𝛿)и измеримое по Лебегу множество𝑉 ⊂𝑈 положитель- ной меры такие,что для всякой точки(𝑥, 𝑦)множества 𝑉 выполнены включения
(𝑥+𝜙𝑖𝑋𝑒𝑖, 𝑦),(𝑥, 𝑦+𝜙𝑗𝑌𝑒𝑗),(𝑥+𝜙𝑖𝑋𝑒𝑖, 𝑦+𝜙𝑗𝑌𝑒𝑗)∈𝑈.
Доказательство. Зафиксируем пару переменных(𝑥𝑖, 𝑦𝑗). Для всякого множе- ства 𝐴⊂𝑇×𝑇 обозначим через
𝐴𝜙𝑖
𝑋 ={(𝑥, 𝑦)∈𝑇×𝑇 : (𝑥+𝜙𝑖𝑋𝑒𝑖, 𝑦)∈𝐴}
сдвиг множества 𝐴 в первом сомножителе𝑇 по переменной𝑥𝑖 на𝜙𝑖𝑋. Аналогично рассмотрим сдвиг множества 𝐴во втором сомножителе𝑇 по переменной𝑦𝑗 на𝜙𝑗𝑌:
𝐴𝜙𝑗𝑌 ={(𝑥, 𝑦)∈𝑇×𝑇 : (𝑥, 𝑦+𝜙𝑗𝑌𝑒𝑗)∈𝐴},
а также сдвиг множества 𝐴 в пространстве 𝑇 ×𝑇 по обеим переменным 𝑥𝑖 и 𝑦𝑗
одновременно:
𝐴𝜙
𝑗 𝑌
𝜙𝑖𝑋 ={(𝑥, 𝑦)∈𝑇×𝑇 : (𝑥+𝜙𝑖𝑋𝑒𝑖, 𝑦+𝜙𝑗𝑌𝑒𝑗)∈𝐴}.
Пусть{𝑎𝑛}∞𝑛=1– последовательность вещественых положительных чисел, каждое из которых не превосходит числа 1/2. Рассмотрим компакт
𝐾{𝑎𝑛}= [𝑎1; 1−𝑎1]×[𝑎2; 1−𝑎2]× · · · ×[𝑎𝑛; 1−𝑎𝑛]× · · ·
с топологией произведения и счетной степенью меры Лебега𝜆. Меру этого компакта 𝜆(𝐾{𝑎𝑛}) =
∞
∏︁
𝑛=1
(1−2𝑎𝑛)
выбором подходящей последовательности{𝑎𝑛}можно сделать сколь угодно близкой к 1, при этом 𝐾{𝑎𝑛} ⊂ 𝑇×𝑇. Зафиксируем такую последовательность{𝑎𝑛}, что мера Лебега множества 𝐸=𝐾{𝑎𝑛}∩𝑈 положительна.
Пусть𝛿= min(𝑎𝑖, 𝑎𝑗)/2. Покажем существование такого сдвига𝜙𝑖𝑋∈(−𝛿; 0), что 𝜆(𝐸∩𝐸𝜙𝑖
𝑋)>0. Рациональных сдвигов из интервала(−𝛿; 0)счетное число, поэтому
занумеруем их натуральным рядом, т.е. через 𝜙𝑖 обозначим𝑖-й сдвиг (𝑖∈N). Если нашлись два различные сдвига𝜙𝑖,𝜙𝑗такие, что𝜙𝑖> 𝜙𝑗и𝜆(𝐸𝜙𝑖∩𝐸𝜙𝑗)>0, то имеем 𝜆(𝐸∩𝐸𝜙𝑗−𝜙𝑖)>0. Допустим, что искомого сдвига𝜙𝑖𝑋 не существует, т.е. для всякой пары сдвигов𝜙𝑖,𝜙𝑗 таких, что𝜙𝑖> 𝜙𝑗, справедливы равенства
𝜆(𝐸𝜙𝑖∩𝐸𝜙𝑗) = 0, 𝜆(𝐸∩𝐸𝜙𝑖) = 0, 𝜆(𝐸∩𝐸𝜙𝑗) = 0.
Поскольку 𝜆(𝐸) положительно, найдется число𝑀 ∈N такое, что𝑀 ·𝜆(𝐸)>1.
Рассмотрим 𝑀 различных сдвигов 𝜙1, . . . , 𝜙𝑀, принадлежащих интервалу (−𝛿; 0).
С одной стороны,
𝐹 =
𝑀
⋃︁
𝑖=1
𝐸𝜙𝑖 ⊂𝑇×𝑇,
и следовательно, 𝜆(𝐹)6 1. С другой стороны, 𝜆(𝐹) = 𝑀 ·𝜆(𝐸)> 1. Полученное противоречие доказывает существование сдвига𝜙𝑖𝑋 такого, что𝜆(𝐸∩𝐸𝜙𝑖
𝑋)>0.
Перейдем к рассмотрению множества 𝐵 = 𝐸∩𝐸𝜙𝑖
𝑋 положительной меры. По- строим сдвиг𝜙𝑗𝑌 ∈(−𝛿; 0)такой, что𝜆(𝐵∩𝐵𝜙𝑗𝑌)>0. Легко видеть, что множество 𝐵∩𝐵𝜙𝑗𝑌 совпадает с множеством
𝑊 =𝐸∩𝐸𝜙𝑖
𝑋 ∩𝐸𝜙𝑗𝑌 ∩𝐸𝜙
𝑗 𝑌
𝜙𝑖𝑋. Следовательно, 𝜆(𝑊)>0.
Поделим 𝑖-й отрезок[0; 1]𝑖 из первого сомножителя𝑇 на𝑁𝑋 равных полуинтер- валов длины меньше |𝜙𝑖𝑋|/5, а𝑗-й отрезок [0; 1]𝑗 из второго сомножителя𝑇 на𝑁𝑌
равных полуинтервалов длины меньше |𝜙𝑗𝑌|/5. Заметим, что 𝑊 =
𝑁𝑋
⨆︁
𝑝=1 𝑁𝑌
⨆︁
𝑞=1
𝑊𝑝𝑞,
где в𝑊𝑝𝑞лежат точки из𝑊 с𝑥𝑖, принадлежащим𝑝-му полуинтервалу отрезка[0; 1]𝑖, и 𝑦𝑗, принадлежащим𝑞-му полуинтервалу отрезка[0; 1]𝑗. Ясно, что для некоторых 16𝑝06𝑁𝑋,16𝑞06𝑁𝑌 мера 𝜆(𝑊𝑝0𝑞0)положительна. Наконец, рассмотрим мно- жество𝑉 =𝑊𝑝0𝑞0. Множества𝑉, 𝑉|𝜙𝑖
𝑋|,𝑉|𝜙𝑗𝑌|,𝑉|𝜙
𝑗 𝑌|
|𝜙𝑖𝑋| являются подмножествами𝑈, попарно не пересекаются и все имеют положительную меру Лебега. Лемма доказана.
Похожее свойство выполнено и при более общих предположениях. Прежде чем формулировать соответствующее утверждение, напомним определение точечного изоморфизма.
Определение 1. Рассмотрим(𝑋,A, 𝜇),(𝑌,B, 𝜈)– два измеримых пространства с неотрицательными мерами. Точечный изоморфизм этих пространств𝐽 есть такое взаимно-однозначное отображение 𝑋 на 𝑌, что выполнены равенства 𝐽(A) = B и 𝜇∘𝐽−1=𝜈.
Определение 2. Пространства (𝑋,A, 𝜇) и (𝑌,B, 𝜈)называются изоморфными mod 0, если существуют множества𝑁∈A𝜇,𝑁′ ∈B𝜈с𝜇(𝑁) =𝜈(𝑁′) = 0и точечный изоморфизм𝐽 пространств𝑋∖𝑁 и𝑌 ∖𝑁′, которые рассматриваются с ограничен- ными на них мерами 𝜇и𝜈 и𝜎-алгебрамиA𝜇 иB𝜈.
Лемма 2. Пусть даны два суслинских пространства с борелевскими вероят- ностными безатомическими мерами (𝑋,A, 𝜇)и (𝑌,B, 𝜈)и 𝜇⊗𝜈-измеримое мно- жество 𝑈 ⊂𝑋×𝑌 положительной меры. Тогда существует ненулевая функция 𝜉 ∈ 𝐿1(𝜇⊗𝜈) с носителем в 𝑈 такая, что ∫︀
𝑋𝜉(𝑥, 𝑦)𝜇(𝑑𝑥) = 0 п.в. по мере 𝜈 и ∫︀
𝑌 𝜉(𝑥, 𝑦)𝜈(𝑑𝑦) = 0 п.в.по мере𝜇.
Доказательство. Согласно [4; теорема 9.2.2] пространство(𝑋,A, 𝜇)изоморф- но mod 0пространству([0; 1],Σ, 𝜆), гдеΣ– борелевская𝜎-алгебра,𝜆– мера Лебега.
Иными словами, существуют множества 𝑋′ ∈ A𝜇, 𝐼𝑥 ∈ Σ𝜆 с 𝜇(𝑋′) = 1, 𝜆(𝐼𝑥) = 1 и точечный изоморфизм 𝐽 пространств 𝑋′ и 𝐼𝑥, которые рассматриваются с огра- ниченными на них мерами 𝜇 и𝜆и 𝜎-алгебрамиA𝜇 иΣ𝜆. Аналогично существуют множества 𝑌′ ∈B𝜈, 𝐼𝑦 ∈Σ𝜆 с𝜈(𝑌′) = 1, 𝜆(𝐼𝑦) = 1 и точечный изоморфизм𝑆 про- странств𝑌′ и 𝐼𝑦.
Выполнена следующая цепочка равенств:
𝜇⊗𝜈(𝑈) =𝜇⊗𝜈(𝑈∩(𝑋′×𝑌′)) =𝜆⊗𝜆(𝐽⊗𝑆(𝑈∩(𝑋′×𝑌′))).
Множество
𝑉 =𝐽⊗𝑆(𝑈∩(𝑋′×𝑌′))
лежит в пространстве (𝐼𝑥×𝐼𝑦, 𝜆⊗𝜆). Аналогично рассуждениям, приведенным в лемме 1, построим для измеримого по Лебегу множества 𝑉 ⊂ 𝐼𝑥×𝐼𝑦 положи- тельной меры и достаточно малого 𝛿 >0 множества𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, 𝑉4 ⊂𝑉, получаемые сдвигами множества𝑉 в пространстве𝐼𝑥×𝐼𝑦. Тогда функция𝜁∈𝐿1(𝐼𝑥×𝐼𝑦, 𝜆⊗𝜆), задаваемая равенствами
𝜁(𝑡, 𝑠) :=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+1, если (𝑡, 𝑠)∈𝑉1∪𝑉3,
−1, если (𝑡, 𝑠)∈𝑉2∪𝑉4, 0 иначе,
удовлетворяет условиям
∫︁
𝐼𝑥
𝜁(𝑡, 𝑠)𝜆(𝑑𝑡) =
∫︁
𝐼𝑦
𝜁(𝑡, 𝑠)𝜆(𝑑𝑠) = 0.
Рассмотрим множества 𝑈1, 𝑈2, 𝑈3, 𝑈4 ∈𝑋′×𝑌′ положительной меры 𝜇⊗𝜈 – про- образы 𝑉1, 𝑉2, 𝑉3, 𝑉4 при отображении 𝐽 ⊗𝑆: 𝑋′ ×𝑌′ → 𝐼𝑥 ×𝐼𝑦, и функцию 𝜉 ∈ 𝐿1(𝑋′ ×𝑌′, 𝜇⊗𝜈), заданную равенством 𝜉(𝑥, 𝑦) = 𝜁(𝐽(𝑥), 𝑆(𝑦)). Иными сло- вами,
𝜉(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+1, если (𝑥, 𝑦)∈𝑈1∪𝑈3,
−1, если (𝑥, 𝑦)∈𝑈2∪𝑈4, 0 иначе.
Несложно видеть, что функция 𝜉 корректно определена, не равна нулю на мно- жестве положительной меры𝜇⊗𝜈, носитель𝜉содержится в𝑈 и выполнена цепочка равенств
∫︁
[0;1]
𝜁(𝑡, 𝑠)𝜆(𝑑𝑡) =
∫︁
[0;1]
𝜁(𝑡, 𝑠)𝜇∘𝐽−1(𝑑𝑡) =
∫︁
𝑋′
𝜁(𝐽(𝑥), 𝑆(𝑦))𝜇(𝑑𝑥)
=
∫︁
𝑋′
𝜉(𝑥, 𝑦)𝜇(𝑑𝑥) =
∫︁
𝑋
𝜉(𝑥, 𝑦)𝜇(𝑑𝑥) = 0
п.в. по мере𝜈. Аналогично,∫︀
𝑌 𝜉(𝑥, 𝑦)𝜈(𝑑𝑦) = 0п.в. по мере𝜇. Таким образом, функ- ция𝜉искомая. Лемма доказана.
Лемма 1 дает возможность получить характеристику крайних точек выпуклого классаΓ𝜒(𝑓, 𝑔)в случае бесконечномерного куба, а лемма2позволяет сформулиро- вать аналогичный результат при более общих предположениях.
Лемма 3. Пусть даны два суслинских пространства с борелевскими вероят- ностными безатомическими мерами(𝑋,A, 𝜇)и(𝑌,B, 𝜈). Плотностьℎ∈Γ𝜒(𝜇, 𝜈) является крайней точкой Γ𝜒(𝜇, 𝜈)тогда и только тогда,когдаℎ= 1𝑊𝜒для неко- торого измеримого по мере 𝜇⊗𝜈 множества 𝑊 ⊂𝑋×𝑌.
Доказательство. Суслинское пространство с борелевской вероятностной без- атомической мерой изоморфно mod 0 отрезку [0; 1] с мерой Лебега, поэтому для наглядности проведем доказательство для случая бесконечномерного куба, т.е. бу- дем считатьℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔).
Условие ℎ ∈ Γ𝜒(𝑓, 𝑔) влечет неравенства 0 6 ℎ 6 𝜒. Если ℎ является крайней точкой, то эти неравенства не могут одновременно быть оба строгими на множе- стве положительной меры 𝑈 ⊂ 𝑋 ×𝑌. В самом деле, пусть такое множество 𝑈 существует. Тогда для некоторого числа𝜀 >0множество
𝑈𝜀={(𝑥, 𝑦)∈𝑇×𝑇:𝜀 < ℎ(𝑥, 𝑦)< 𝜒(𝑥, 𝑦)−𝜀}
также будет иметь положительную меру. Лемма 1 дает для множества𝑈𝜀 и пары переменных (𝑥1, 𝑦1)число𝛿 > 0, сдвиги 𝜙1𝑋, 𝜙1𝑌 ∈(0;𝛿)и множество 𝑉 ⊂𝑈𝜀 поло- жительной меры, такие, что множества𝑉,𝑉𝜙1
𝑋,𝑉𝜙1𝑌,𝑉𝜙𝜙11𝑌 𝑋
являются подмножества- ми 𝑈𝜀и попарно не пересекаются. Положим
𝜉(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎪⎪
⎨
⎪⎪
⎩
+1, если(𝑥, 𝑦)∈𝑉 или(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙𝜙11𝑌
𝑋
,
−1, если(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙1
𝑋 или(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙1𝑌, 0 иначе.
Эта функция корректно определена. Cимметрии по переменным 𝑥1и 𝑦1, использо- ванные при построении𝜉, гарантируют равенство нулю интегралов от𝜉по первому и второму сомножителям. Другими словами, проекции плотности 𝜉 на оба сомно- жителя равны нулю. Носитель функции𝜉 содержится в множестве𝑈𝜀, на котором справедливы неравенства 𝜀 < ℎ < 𝜒−𝜀. Следовательно, обе функции ℎ± =ℎ±𝜀𝜉 принадлежат Γ𝜒(𝑓, 𝑔). Они не совпадают с ℎ и различны в силу того, что мно- жество 𝑉 имеет положительную меру. Выражение функции ℎ= (ℎ++ℎ−)/2 как выпуклой комбинацииℎ+ иℎ−означает, чтоℎне является крайней точкойΓ𝜒(𝑓, 𝑔).
Полученное противоречие показывает, что крайняя точкаℎмножестваΓ𝜒(𝑓, 𝑔)име- ет вид 1𝑊𝜒.
Обратно, всякая функция ℎ = 1𝑊𝜒, где 𝑊 ⊂ 𝑇 ×𝑇 – измеримое по Лебегу множество, является крайней точкой Γ𝜒(𝑓, 𝑔). В самом деле, пусть ℎ= 1𝑊𝜒 пред- ставлена как выпуклая комбинация ℎ= (ℎ1+ℎ2)/2, где ℎ1, ℎ2 ∈ Γ𝜒(𝑓, 𝑔). Так как обе функции ℎ1, ℎ2 неотрицательны, они должны равняться нулю там, где равня- ется нулю ℎ. Иными словами, ℎ1,2 = 0 вне множества 𝑊. Вследствие того, что ℎ1,2 6𝜒, они должны совпадать с 𝜒 там, где ℎ совпадает. Итак, ℎ1,2 = 𝜒 на 𝑊. Таким образом, ℎ1 =ℎ2 =ℎ; следовательно, функция ℎ= 1𝑊𝜒 является крайней точкойΓ𝜒(𝑓, 𝑔). Лемма доказана.
Теперь покажем, что оптимальный план является крайней точкой множества Γ𝜒(𝑓, 𝑔).
Теорема 2. Пусть в случае меры Лебега𝜆на бесконечномерном кубе𝑇 функция стоимости 𝑐 удовлетворяет условиям (С1)–(С3), фиксирована неотрицательная функция-ограничитель 𝜒 ∈ 𝐿1(𝜆⊗𝜆) и неотрицательные плотности проекций 𝑓 ∈𝐿1(𝜆),𝑔 ∈ 𝐿1(𝜆) таковы,что множество Γ𝜒(𝑓, 𝑔) непусто. Если функция ℎ является оптимальным планом,то ℎ– крайняя точка множестваΓ𝜒(𝑓, 𝑔).
Доказательство. Допустим, чтоℎ∈Γ𝜒(𝑓, 𝑔)не является крайней точкой мно- жества Γ𝜒(𝑓, 𝑔). Мы докажем теорему, построив возмущение функции ℎ, которое уменьшит значение функционала 𝐼𝑐. Согласно лемме3 имеем ℎ̸= 1𝑊𝜒; следова- тельно, множество
𝑈 ={(𝑥, 𝑦) : 0< ℎ(𝑥, 𝑦)< 𝜒}
имеет положительную меру. Следовательно, для достаточно малого 𝜀 >0 множе- ство
𝑈𝜀={(𝑥, 𝑦)∈𝑈 :𝜀 < ℎ(𝑥, 𝑦)< 𝜒−𝜀}
также имеет положительную меру.
Согласно условию (С2), наложенному на функцию стоимости𝑐, мера Лебега мно- жества 𝑇 ×𝑇∖(⨆︀𝑁
𝑘=1𝐺𝑘) равна нулю. Следовательно, пересечение множества 𝑈𝜀
с одним из множеств𝐺𝑘 имеет положительную меру, иначе мы бы имели 𝜆(𝑈𝜀) =𝜆
(︂
𝑈𝜀∩ (︂ 𝑁
⨆︁
𝑘=1
𝐺𝑘
)︂)︂
=𝜆 (︂ 𝑁
⨆︁
𝑘=1
(𝑈𝜀∩𝐺𝑘) )︂
6
𝑁
∑︁
𝑘=1
𝜆(𝑈𝜀∩𝐺𝑘) = 0.
Обозначим это множество через 𝐺𝐾. Согласно условию (С3) ему соответствует такая пара переменных(𝑥𝑖𝐾, 𝑦𝑗𝐾), что вторая смешанная производная функции сто- имости 𝜕𝑖𝐾,𝑗𝐾𝑐либо всюду на𝐺𝐾 положительна, либо всюду на 𝐺𝐾 отрицательна.
Обозначим через𝜎знак функции𝜕𝑖𝐾,𝑗𝐾𝑐на𝐺𝐾. Также нам понадобятся множества 𝐺𝛿𝐾={(𝑥, 𝑦)∈𝐺𝐾 : (𝑥+𝛼𝑒𝑖𝐾, 𝑦+𝛽𝑒𝑗𝐾)∈𝐺𝐾 для всех0< 𝛼, 𝛽 < 𝛿}.
Для достаточно малых 𝛿 множества 𝐺𝛿𝐾 непусты, так как 𝐺𝐾 открыто. Эти множества образуют вложенную последовательность: если 𝛿1 < 𝛿2, то 𝐺𝛿𝐾2 ⊂ 𝐺𝛿𝐾1. В силу открытости 𝐺𝐾 легко видеть, что каждая точка из 𝐺𝐾 принадлежит 𝐺𝛿𝐾 для достаточно малого 𝛿, поэтому⋃︀
𝛿→0𝐺𝛿𝐾 =𝐺𝐾. Следовательно, для достаточно малого 𝛿0 пересечение𝐺=𝐺𝛿𝐾0∩𝑈𝜀имеет положительную меру.
По лемме1построим для множества𝐺и𝛿0/2множество положительной меры𝑉 и сдвиги 0 < 𝜙𝑋, 𝜙𝑌 < 𝛿0/2 такие, что множества 𝑉, 𝑉𝜙𝑋, 𝑉𝜙𝑌, 𝑉𝜙𝜙𝑌
𝑋 являются подмножествами 𝐺 и попарно не пересекаются. В силу включения 𝐺⊂𝐺𝛿𝐾0 спра- ведливы включения 𝑉, 𝑉𝜙𝑋, 𝑉𝜙𝑌, 𝑉𝜙𝜙𝑋𝑌 ⊂𝐺𝐾.
Зададим возмущение 𝜉соотношениями
𝜉(𝑥, 𝑦) :=
⎧
⎪⎨
⎪⎩
+1, если(𝑥, 𝑦)∈𝑉 или(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙𝜙𝑌
𝑋,
−1, если(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙𝑋 или(𝑥, 𝑦)∈𝑉𝜙𝑌, 0 иначе.
Справедливы равенства
∫︁
𝑇
𝜉(𝑥, 𝑦)𝜆(𝑑𝑥) =
∫︁
𝑇
𝜉(𝑥, 𝑦)𝜆(𝑑𝑦) = 0
п.в. по мере 𝜆. Носитель 𝜉 лежит в множестве 𝑈𝜀, на котором справедливы нера- венства 𝜀 < ℎ < 𝜒−𝜀. Следовательно, функцияℎ𝜀=ℎ−𝜎𝜀𝜉принадлежитΓ𝜒(𝑓, 𝑔).
Она не совпадает с ℎ в силу того, что множество 𝑉 имеет положительную меру.
Изменение значения функционала, порожденное возмущением−𝜎𝜀𝜉, равно 𝐼𝑐(ℎ𝜀)−𝐼𝑐(ℎ) =𝐼𝑐(−𝜎𝜀𝜉) =−𝜎𝜀
∫︁
𝑇×𝑇
𝑐(𝑥, 𝑦)𝜉(𝑥, 𝑦)𝜆⊗𝜆(𝑑𝑥 𝑑𝑦)
=−𝜎𝜀
∫︁
𝑉
[︀𝑐(𝑥, 𝑦) +𝑐(𝑥+𝜙𝑋𝑒𝑖𝐾, 𝑦+𝜙𝑌𝑒𝑗𝐾)
−𝑐(𝑥+𝜙𝑋𝑒𝑖𝐾, 𝑦)−𝑐(𝑥, 𝑦+𝜙𝑌𝑒𝑗𝐾)]︀
𝜆⊗𝜆(𝑑𝑥 𝑑𝑦)
=−𝜎𝜀𝜙𝑋
∫︁
𝑉
[︂∫︁ 1 0
(︂ 𝜕𝑐
𝜕𝑥𝑖𝐾
(𝑥+𝑠𝜙𝑋𝑒𝑖𝐾, 𝑦+𝜙𝑌𝑒𝑗𝐾)
− 𝜕𝑐
𝜕𝑥𝑖𝐾
(𝑥+𝑠𝜙𝑋𝑒𝑖𝐾, 𝑦) )︂
𝑑𝑠 ]︂
𝜆⊗𝜆(𝑑𝑥 𝑑𝑦)
=−𝜎𝜀𝜙𝑋𝜙𝑌
∫︁
𝑉
[︂∫︁ 1 0
∫︁ 1 0
𝜕2𝑐
𝜕𝑥𝑖𝐾𝜕𝑦𝑗𝐾(𝑥+𝑠𝜙𝑋𝑒𝑖𝐾, 𝑦+𝑡𝜙𝑌𝑒𝑗𝐾)𝑑𝑠 𝑑𝑡 ]︂
𝜆⊗𝜆(𝑑𝑥 𝑑𝑦).
Здесь мы дважды воспользовались формулой Ньютона–Лейбница. В силу того, что множество𝑉 было выбрано внутри множества𝐺𝛿𝐾0, всюду на области интегриро- вания вторая производная функции стоимости имеет знак𝜎, поэтому интеграл так- же имеет знак𝜎, а все выражение отрицательно. Следовательно,𝐼𝑐(ℎ𝜀)−𝐼𝑐(ℎ)<0, что противоречит оптимальности ℎ. Итак, оптимальный план ℎявляется крайней точкой множестваΓ𝜒(𝑓, 𝑔). Теорема доказана.
Следствие 1. В условиях теоремы 2оптимальный план ℎединственен.
Доказательство. Еслиℎ0 и ℎ1 оба минимизируют𝐼𝑐 наΓ𝜒(𝑓, 𝑔), то по линей- ности функционала𝐼𝑐 и выпуклости множестваΓ𝜒(𝑓, 𝑔)функцияℎ1/2= (ℎ0+ℎ1)/2 также его минимизирует. Согласно теореме2 все три функцииℎ0,ℎ1,ℎ1/2 являют- ся крайними точками множества Γ𝜒(𝑓, 𝑔); следовательно, по лемме 3 справедливы равенстваℎ0= 1𝑊0𝜒,ℎ1= 1𝑊1𝜒,ℎ1/2= 1𝑊1/2𝜒для измеримых по Лебегу множеств 𝑊0, 𝑊1, 𝑊1/2 ⊂𝑇 ×𝑇. Поэтому ℎ0 =ℎ1 =ℎ1/2. Это и есть требуемая единствен- ность. Следствие доказано.
Представляет несомненный интерес распространение доказанного результата на случай счетной степени стандартной гауссовской меры вместо меры Лебега и функ- ции стоимости, равной квадрату нормы ее пространства Камерона–Мартина, т.е.
𝑋 =R∞ и 𝑐(𝑥, 𝑦) =∑︀∞
𝑛=1(𝑥𝑛−𝑦𝑛)2. Однако такая функция слишком сингулярна с точки зрения наших условий (она бесконечна почти всюду относительно квадрата меры). Поэтому этот случай требует отдельного изучения.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Л. В. Канторович, “О перемещении масс”,Докл.АН СССР,37(1942), 199–201.
[2] Л. В. Канторович, “Об одной проблеме Монжа”,УМН,3:2 (1948), 225–226.
[3] В. И. Богачев, А. В. Колесников, “Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы”,УМН,67:5 (407) (2012), 3–110.
[4] V. I. Bogachev,Measure Theory, Vol. I, II, Springer-Verlag, Berlin, 2007.
[5] L. Ambrosio, “Lecture notes on optimal transport problems”,Mathematical Aspects of Evolving Interfaces, Lecture Notes in Math.,1812, Springer-Verlag, Berlin, 2003, 1–52.
[6] L. Ambrosio, N. Gigli, “A user’s guide to optimal transport”,Modelling and Optimisation of Flows on Networks, Lecture Notes in Math.,2062, Springer-Verlag, Berlin, 2011, 1–155.
[7] L. Ambrosio, N. Gigli, G. Savar´e, Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Lectures Math. ETH Z¨urich, Birkh¨auser Verlag, Basel, 2005.
[8] L. C. Evans, “Partial differential equations and Monge–Kantorovich mass transfer”,Cur- rent Developments in Mathematics, Intern. Press, Boston, MA, 1997, 65–126.
[9] W. Gangbo, R. J. McCann, “The geometry of optimal transportation”,Acta Math.,177:2 (1996), 113–161.
[10] R. J. McCann, N. Guillen, “Five lectures on optimal transportation: geometry, regularity and applications”,Analysis and Geometry of Metric Measure Spaces, CRM Proc. Lecture Notes,56, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2013, 145–180.
[11] S. T. Rachev, L. R¨uschendorf, Mass Transportation Problems, Vol. I, II, Probab. Appl., Springer-Verlag, New York, 1998.
[12] C. Villani,Topics in Optimal Transportation, Grad. Stud. Math.,58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2003.
[13] C. Villani,Optimal Transport.Old and New, Grundlehren Math. Wiss.,338, Springer-Ver- lag, New York, 2009.
[14] J. Korman, R. J. McCann, “Optimal transportation with capacity constraints”, Trans.
Amer.Math.Soc.,367:3 (2015), 1501–1521.
[15] J. Korman, R. J. McCann, “Insights into capacity constrained optimal transport”,Proc.
Natl.Acad.Sci.USA,110:25 (2013), 10064–10067.
[16] J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “Dual potentials for capacity constrained optimal transport”,Calc.Var.Partial Differential Equations,54:1 (2015), 573–584.
[17] J. Korman, R. J. McCann, C. Seis, “An elementary approach to linear programming du- ality with application to capacity constrained transport”,J.Convex Anal.,22:3 (2015), 797–808.
[18] Д. А. Заев, “О задаче Монжа–Канторовича с дополнительными линейными ограни- чениями”,Матем.заметки,98:5 (2015), 664–683.
А. Н. Доледенок
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова
E-mail:anya11235@mail.ru
Поступило 24.12.2016 Исправленный вариант 16.05.2017
