В. Г. Дурнев, Об уравнениях с эндоморфизмами в сво- бодных полугруппах, Дискрет. матем., 1992, том 4, вы- пуск 2, 136–141

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

В. Г. Дурнев, Об уравнениях с эндоморфизмами в сво- бодных полугруппах, Дискрет. матем., 1992, том 4, вы- пуск 2, 136–141

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement

Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:21:37

Дискретная математика

том Н г выпуск

2*1992

УДК 519.71

ОБ УРАВНЕНИЯХ С ЭНДОМОРФИЗМАМИ В СВОБОДНЫХ ПОЛУГРУППАХ

В.Г. Д у р н е в

Для уравнений в свободных полугруппах с тремя образующими доказаны три теоремы о невозможности построения алгоритма, позволяющего установить сущест­

вование решений с ограничениями, формулируемыми в алгебраических терминах.

Обозначим через П³ = (а, Ь, с) свободную полугруппу со свободными обра­

зующими а9 Ь9 с, а через П2 = (а9 Ь) — свободную полугруппу со свободными обра­

зующими а, Ъ.

В связи с изучением в ряде работ [1-5] уравнений с различными ограничения­

ми на решения в свободных полугруппах и группах и в связи с вопросом 10.26 из

"Коуровской тетради" представляют интерес, на наш взгляд, следующие теоремы.

Т е о р е м а 1. Можно построить такой автоморфизм ф полугруппы П³ и такой ее эндоморфизм <р, что не существует алгоритма, позволяющего по произ­

вольному уравнению

и>(*1,. . . ⁹x^m9a⁹b⁹c) = u(xⁱ⁹ . . . ⁹x^m9a⁹b⁹c) определить, имеет ли оно такое решение g^x,. . . ⁹g^m, что

lK£i) = Кг, </>(Ы ⁼ #4-

С л е д с т в и е . Не существует алгоритма, позволяющего для произвольного уравнения вида

w(xl9. . . 9хП9 Ф(х1)9^р(х2)9а9Ь9с) = и ( * ь • • • ,хП9а,Ь9с) определить, имеет ли оно решение в П³ •

Д о к а з а т е л ь с т в о . Обозначим через \рх и <р2 эндоморфизмы полугруп­

пы П³, задаваемые равенствами

Ч>\Ф) = < М я ) = 1 , Vi(a) = a9 y2(b) = b9

Vi(c) =Ыс) =с-

Через Т(х9у) обозначим следующий предикат:

Т(х⁹у) o(xa = ax&yb = by&(3z)(z(ab) = (ab)z 8np^x(z) = x&y²(z)=y)).

Нетрудно понять, что для произвольных элементов g и h полугруппы П3 имеет местр эквивалентность: П³ f= T(g, h) <=* "существует натуральное число л такое, что g~any h = bnn.

© В.Г. Дурнев, 1992

О уравнениях с эндоморфизмами в свободных полугруппах 137 Предикат £(х, у, z) зададим следующим образом:

S(x,y,z)<=>(3u, v)(T(y,u)&v(xb) =

= (xb)v 8npx(v) = z&ip2(v) = и).

Покажем, что для натуральных чисел s, г, г имеет место эквивалентность:

П3 (= S{a\a\ar) <=* st = г.

Если П³ |= S(a^s,а*,а^г),то пусть £/, V - такие элементы из П³, что П3 И T(af,U)&V(asb) =

= (fl56)F&«pi(K) = лг& ^2( Ю = #•

Тогда U = b^f и при некотором /: К = (a^sb)^k. Равенство y²(V) ⁼ # Д^{а е т} равенст­

во /: = f, тогда равенство </?i(T) = ау дает нужное равенство r = sk = st.

Чтобы показать, что на П3 истинна формула S(as, af, ast), достаточно поло­

жить u-b*, v = (a^sby.

Имеет место следующий хорошо известный результат:

Для любого рекурсивно перечислимого множества А натуральных чисел мож­

но построить такую формулу Фд\х^г) вида ( З х², . . . , х^т)Ъ, где 47 = &?_ ^х <#

и каждая формула <# имеет один из следующих видов:

Xj + X j — Xq, XjXf ~ ^q*> **/ ~ **f> **/ ~ ^'

где с — натуральное число, что для произвольного натурального числа п имеет место эквивалентность: п Е А <=> N (=ф^^{1 )}(«), где N - множество натуральных чисел.

По формуле ФУ \ХХ) построим формулу Ф ^2 )( х ^ , полагая

<*>i²⁾(*i) = ( Э х², . . . , х^т) ( ^ & & 7 = 2 * / * ⁼ " / ) >

где ч>! получается из Ф заменой каждой формулы <# вида х^;- + x^t = x^q на х^;х^г = х^, вида XjXt = xq на £(х7-, xf, х ^ ) , вида х;-= с на х;- = ас, формулы вида х;- = xt не меняются.

Тогда

«ел «=* п3 Н Ф !2 )( 0 -

(2)

Переименовав переменные по формуле ФД ^;(х) и заменив, используя уравне­

ние xayxby = uavubv, имеющее лишь тривиальное решение, х = и, у = v, коньюк- цию равенств одним равносильным ей равенством, получим равносильную Ф^²'(х) формулу Ф^ '(х) вида

( 3 x², . . . , x^w, y²,...,y^t, *2,. . . , z , ) ( w ( x , x², . . . , x^m, y²,...,y^t9 z29...,zt,a9b) = и ( х , х2, . . . , xm, y2,...,yt, z2,. . . ,zt,a,b)&

&(&• = 2(^1(x/)= У{&Ъ(Х,) = Z,))).

Заметим, что анализ построения формулы Ф^3)(х) дает следующий полезный для дальнейшего факт: если g2, . . . , gm, h2, . . . , hti f2, . . . Jt - такие элементы полугруппы П3,что

w ( 0^w, g², . . . , £^w, й², . . . , й „ f²,...Jt,a,b) =

= и ( *^л, * 2 , . . . , * т > h²,...,h^t9 f²,...Jt,a,b), то g², • . • ,g^m> h²,. . . ,h^t, f²,... J^teil².

В дальнейшем для сокращения будем использовать обозначения х, у, z , g, / г , / и т.д. вместо соответствующих наборов переменных и элементов.

Рассмотрим формулу Ф^/ ;(ЛГ):

®A4)(X) = (Э*,.У z',x1,y1,z1)(w(x,xiy,z~,a,b) =

= i/(x,x , / , ^ , 0 , b)&xx = x2c x3c . . . cxt &

& ^1 = У2Су3С. . . СУГ & Z ! = Z2CZdC. . .CZt&

& <M*i) = J'I &<M*i) = *i).

Покажем, что

п

Ф <

У ) ~ П

ИФ^

Ю-

В самом деле, если П3 И Ф^ (ап), то, полагая

Xj = х²с х³с . . . с х „ у^х = у²су^ъс. . . су^и z^x = z²c z³c . . .cz^t и используя равенства &f _ х (<рх (Xf) = >>,• & у2(**) = zi) » получим равенства

<M*i) = <Pi(x2)c<pi(x3)c. . . c ^ ( xf) = д>2су3с. • • cyt = уi,

^2(^1) = 4>²(х²)с<р²(х³)с. • • cv²(x^t) = z²cz³c. . ,cz^t = z^1?

а значит, П3 |= Ф^\ап).

Пусть П³ H ^ V " ) и ^^{l 5} . . . , g^m, Л^{1 5}. . . , ^^f, /^{l 5}. . . , /^f- т а к и е элементы из П3,что

w(an,g2,. • • ,gm, h2,. . . ,Af> /2, • • • , Л , * , Ь ) =

= u(aⁿ,g²,.'.,g^m> Л^{2 >}. . . , й „ f²,...J^t,a,b)&

&£i = gicgzc - -cgt&hi = h²ch³c. . .ch^t&

& / i = hcfsC.cft&Mgi) = J h & ^ t e O = / i -

В силу сделанного выше замечания g², . . . ,g^m, f², • • • >Л> h²,. . . ,h^tGU², а поэтому и Vi(g²), . . . , Vi(g^m) ^ П² при / = 1,2. Тогда равенства <pi(#i) = / 4 ,

<P2Q?i)=/i дают равенства

^ i f e ) ^ i U3) c . •• c<£i(£f) = h2ch3c. . . c/zf,

^ f e ) ^²f e ) ^ • • ^²( £ r ) = f²cf³c... cf^t, которые влекут равенства

& J^{= 2}( ^ i ( f t ) = ht&toigt) = / , ) , что дает П3 Н Ф ^3 )( 0 -

Еще раз заменив конъюкцию равенств одним равносильным ей равенством и переименовав переменные, получим формулу Ф^ (х), равносильную форму­

ле Фд\х) и имеющую вид

( 3 j , z , xb . . . ,xk)(w(x,x,y,z,a,b9c) =

= u(x,x,y,z,a9b9c)&<pl(xl) = у&у2(хх) = z ) .

Обозначим через i// автоморфизм полугруппы П3, задаваемый равенствами ф(а) = Ь, ^ ( i ) = a, iKc) = с.

Тогда равенство <p²(*i) ^{= z} равносильно равенству i//(<p²(*i)) ⁼ Ф(?)9 т а к к а к

ф — автоморфизм. Но фу2 = $г ф, поэтому <p2(*i) = z '^ <Pi№(xi))- Ф(г)- Значит,

О уравнениях с эндоморфизмами в свободных полугруппах 139 формула ФД \х) равносильна формуле вида

(3x⁹y⁹z⁹v⁹l)(w(x⁹x⁹y⁹z⁹a⁹b⁹c) = u(x⁹x⁹y⁹z⁹a⁹b⁹c)&

&<PiC*i) = У&Ф(?) = и&ф(хг) = l&MO = v).

Заметим, что ^pi(xx) = у 8npi(l) = v <=» ^>l(xlalx1cl) = yavycv, ф(г) = v&\p(x¹) = I <=> ty{zax^lzbx^x) = v blval.

Поэтому переименовав переменные и заменив конъюкцию равенств одним равносильным ей равенством, получим формулу ФА(Х)> равносильную формуле Ф^ ' {х) и имеющую вид

( 3 * ! , . . . ⁹x^t)(w(x⁹x⁹a⁹ b⁹c) = u(x⁹x⁹a⁹b⁹c)&.

&у(х³) = х⁴ &ф(х^х) = х²), где у - это у^х.

Взяв в качестве А рекурсивно перечислимое, но нерекурсивное множество, мы завершим доказательство теоремы.

Справедливость следствия сразу следует из теоремы, если заменить, как выше, конъюкцию равенств одним равносильным ей равенством, например, используя тот факт, что

xayxby = uavubv <=> х = и&у = v.

Т е о р е м а 2. Можно указать такую подполугруппу Н с разрешимой в ли­

нейное время проблемой вхождения полугруппы П3, что не существует алгорит­

ма, позволяющего по произвольной системе уравнений в словах и длинах с ограни­

чением на решение вида

W = U & &(/5 у) е А \Xj\ = | Xf | & JCi £ H

определить, имеет ли эта система решение в П³.

Д о к а з а т е л ь с т в о проходит по той же схеме, что и доказательство теоре­

мы 1, если только внести следующие изменения.

Обозначим через o^a(g) число вхождений буквы ab g, где а € }а, Ь, с\.

Полагаем Нх = J w \ w G П2, оа (w) = ob (w)}.

Предикаты Т(х,у) и S(x9y9z) теперь определим следующим образом:

Т(х⁹у) <=>(3и)(ха = ax&yb = by&u = xy&uGHi), S(x9y9z) <=>(3u9v9w9l9p)(T(x9u)&v(au) = (au)v &

&T(y9w)&l = vzw&p = zw&lGHi &\v\ = \p\).

Нетрудно показать, что для натуральных чисел s, t9 r имеет место эквивалент­

ность

П³ \=S(a^s,a^f,a^r) <=> st = г.

Далее по той же схеме строятся формулы Ф^¹'(*!), Ф ^²' ( J ^ ) и ф^³)(х), при­

чем последняя будет иметь вид

( 3 * 1 , . . . 9xm)(w(x9x9a9b) = u(x9x9a9b)&

& &⁽/ , / ) е в 1 * / 1 = I x / I & & f « = ! * / € # ! ) .

Причем анализ построения этих формул показывает, что если g^x, . . . , g^m G

еп

и

w(tf^w,£i,. . .,g^m,a,b) = u(aⁿ⁹g^l9...⁹g^m9a⁹b), то gl9. ..9gm £ П2.

Используем это замечание для дальнейшего упрощения формул.

Обозначим через Я подполугруппу полугруппы П³, порожденную множеством Н\ U \с\, тогда g G Я *=> "g- имеет вид g\C^OL^g²c⁰ⁱ² . . . g^pc^aP при некотором р > 1, где « ! , . . . , а^р > 0 и g^b. . . ,£^р € # ! " . Легко понять, что проблема вхожде­

ния в Я решается в линейное время. Кроме того, для произвольныхg^x,.. . ,g^p из П² имеет место эквивалентность

&f^lgieHl <=> glcg2c...cgpceH.

(4)

Пусть Ф^ (х) - это формула

(3xl9... ,xm,xm + 1)(w(x,x,a,b) = u(x,x,a,b)&

&&(/,/)<= В |X/ | = U / | & Xm + 1 = XlCX2C. . ,CXpC&Xm + l^H),

тогда П3 И Ф14)(лл) <S> П3 f= Ф ^ С О -

Переименовав в формуле Ф^5'(х) переменные и заменив конъюкцию1 равенств одним равносильным ей равенством, получим формулу Ф^ (х) вида

(Зхг,.. . ,xm + i)(w(x,x,a,b,c) = u(x9x9a9b9c)&

такую, что п^А *=• П3 И Фл(д Л)-

Для завершения доказательства теоремы 2 достаточно в качестве А взять ре­

курсивно перечислимое, но нерекурсивное множество.

К сожалению, подполугруппа Я не является конечно порожденной.

В связи с теоремой 2 представляет интерес, на наш взгляд, вопрос об алгорит­

мической разрешимости проблемы истинности на П3 для формул вида (3x)(w(x,a,b,c) = u(x,a,b,c)&Xi Е Я ) .

Обозначим через <р следующий инъективный эндоморфизм полугруппы П3: у(а) = ab, уф) = Ь, <р(с) = с,

а через Я — подполугруппу, введенную в доказательстве теоремы 2.

При таких обозначениях имеет место следующая теорема 3.

Т е о р е м а 3. Не существует алгоритма, позволяющего по произвольной сис­

теме уравнений вида

w(x,a⁹b,c) = u(x,a,b,c)8np(x¹) = x² & х^ъ Е Я определить, имеет ли она решение в Н³.

Д о к а з а т е л ь с т в о проводим по той же схеме, что и доказательство теорем 1 и 2. Пусть Нх —подполугруппа, введенная в доказательстве теоремы 2.

Предикат Т(х, у) определяем так же, как и в доказательстве теоремы 2, а пре­

дикат S(x,y, z) определим следующим образом:

S(x,y, z) <=>(Эй, и, w, р, /, <7)(Г(х, м) &

&u(a,w) = ( a w ) u & r ( > , w ) & / = vzw&lGHi &

&р = ф)&я = pz&qeHi).

И опять для натуральных чисел 5, f, г имеет место эквивалентность П³ $=Б(а\а',а^г) <=> st = г.

Далее, как и в доказательстве теоремы 1, строим формулы Ф^'{хг), Ф^^х^, Ф\ } (х), причем последняя формула будет иметь вид

( 3 xl f. . . ,xm)(w(x9x9a9b) = u(x9x9a9b)&

О уравнениях с эндоморфизмами в свободных полугруппах 141 причем опять, если gx,. . . , gm £ П3 и

w(aⁿ,g^l,...,g^m,a,b) = u(aⁿ,gi,...,g^m,a,b), то gi,...,g^m £ П².

Условие &?^{е х} х,- G # i , как и в доказательстве теоремы 2, заменяем условием ( 3 *m + 1)Om + i = X i C *2c . . . c A :pc & xm + 1 € Я ) ,

а условие &*_ г <р(х^) = х;- заменим условием ( З хт + 2, хт + 3) ( л :т +2 = xf i cxi2c . . . cxf cc&

& Xw + 3 = X7 i CXy2 С. . . CXJ8C8np(Xm+2) = * m + 3 >

и завершим доказательство теоремы 3 так же, как было завершено доказательство теоремы 2.

В связи с теоремой 3 представляет интерес, на наш взгляд, вопрос об алгорит­

мической разрешимости проблемы истинности на П³ для формул вида (3x)(w(x,a,Z?,c) = w(x,a,b,c)&<p(Xi) = х²),

где у — фиксированный автоморфизм (эндоморфизм) полугруппы П3.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М а к а н и н Г.С. Проблемы разрешимости уравнений в свободной полугруппе // Мат. сбор­

ник. - 1987. - Т. 103 (145), № 2 (6). - С 147-236.

2. К о с о в с к и й Н.К. О множествах, представимых в виде решений уравнений в словах и длинах // Вторая всесоюзн. конфер. по мат. логике: Тез. кратких сообщений. - М., 1972. - С. 23.

3. К о с о в с к и й Н.К. О решении систем, состоящих одновременно из уравнений в словах и неравенств в длинах слов // Зап. научн. семинаров. Ленингр. отд. Мат. ин-та АН СССР. - Л., 1973. - Т. 33. - С. 24-29.

4. Д у р н е в В.Г. Об уравнениях на свободных полугруппах и группах // Мат. заметки. - 1974. - Т. 16. - № 5. - С 717-724.

5. В и с h i J., S e n g e r S. Definability in the existential theory of concatenation and undecidable extensions of mis theory // Z. math. Log. und Grudl. Math. - 1988. - V. 34. - №4. - P. 337-342.

Статья поступила 20.03.91