Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
И. И. Ерёмин, Парето-последовательная задача линейной оптимизации и двойственность, Докл. РАН, 1994, том 334, номер 2, 141–143
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумевает, что вы про- читали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 139.59.245.186
6 ноября 2022 г., 06:19:12
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 1994, том 334, № 2,141 -143
УДК 512.25/26+519.3:330.115
ПАРЕТО-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА
ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ И ДВОЙСТВЕННОСТЬ
© 1994 г. Член-корреспондент РАН И. И. Ерёмин
Поступило 24.09.93 г.
1 . П о с т а н о в к а з а д а ч и , о б о з н а ч е н и я и о п р е д е л е н и я . Н и ж е будет рассмотрена задача линейной оптимизации, синтезирующая две классические постановки: паретовскую опти
мизацию и последовательное (лексикографичес
кое) программирование [1]. Первая из них состо
ит в идентификации (теоретической или алгорит
мической) оптимального множества Arg„ задачи
max {CTx\Ax<b,x>0}, (1)
я
где Ах < b - матричная запись конечной системы линейных неравенств,
СТ = т C,JC
г скх
хт= [*,, хп] e R", Arg„(l) := [х е М0\ с]х > с]х, Vi = 1, к, х e M
М0={х>0\Ах<Ь).
Vi = 1, к, х G MQ => с]х = cjx, Vi = I, к),
Пусть p = ( 4 , Z,) - любая перестановка ин
дексов I = 1,..., к. Под з а д а ч е й п о с л е д о в а т е л ь н о г о п р о г р а м м и р о в а н и я понима
ется задача идентификации оптимального мно
жества Argp заключительной из задач:
max{ cikx\ х G MQ } , тах{с£_,дг| хе Arg(2*) },
max {с,,х| J t G A r g ( 22) }
(2.) (2*_,)
(20 Итак, по определению: Argp(2) = Arg(21). Для упрощения записи в дальнейшем будем полагать
Институт математики и механики
Уральского отделения Российской Академии наук, Екатеринбург
р = (к, к - 1 , 1 ) (а т а к ж е q = ( / , / - 1 , 1 ) ) . З а дачи (1) и (2) допускают синтез в ф о р м е
max . />,я
Ск.х
А х< ] Г я / , х > 0 (3) Сух
где { С,} *, {Bj}[- набор матриц согласованных размерностей, { г>> 0 } ', - набор векторных пара
метров. В (3) вкладывается смысл з а к л ю ч и т е л ь ной из задач:
max{C"[jc| хе M0(r)}, max{Cl_i*| хе Arg„(3*)},
m a x { d x | xe Arg„(32)}
(3*) (3*-,)
(3.) П о определению: Argp„(3) := Arg„(3i). Архитек
тура задачи (3) допускает написание ф о р м а л ь н о двойственной задачи этого ж е вида:
_ —1
<
в]и
В]и
-1
Ати>^С^, и>0 i= 1
(3*)
Здесь q = ( / , / - 1 , 1 ) , {/?'> 0 } * - набор вектор
ных параметров соответствующих размерностей.
Наконец, выпишем задачи, перекрестно скаляри- зующие (3) и ( 3 * ) :
max
j £ (
С]х, Р!) \ А х < £ В/, х >о | ,
( 3 ^ )max £ (В]иУ) I Ати > £ с(/ с ' , и > о | . ( 3 ^ )
; = 1
Задачи ( 3 ^ ) и (3*^) находятся в классической двойственности.
141
— МАТЕМАТИКА
142 ЕРЁМИН Проблема анализа задачи (3) распадается на круг вопросов, связанных с реализацией схемы:
(3) ( 3 ^ )
! ! м
(3*) ( 3 1 . ) Схема 1
при некоторых {RJ}j и {г1},. Символ означает переход к скаляризованной задаче с включением э соответствующих оптимальных множеств.
Общую постановку (3) определим как (к, /)-тип парето-последовательных задач (кратко: со-задач, со = [р, я]). Задача (3*) имеет (/, £)-тип. Под (0,0)-т и п о м будет пониматься задача max {(с, JC)|
Ах < Ь, х > 0 } . Двойственная к ней min {(b, м)| Ати >
> с, и > 0} будет иметь т а к ж е (0,0)-тип.
2. Т е о р е м а о с к а л я р и з а ц и и н е к о т о р ы х т и п о в с о - з а д а ч . В целом проблема реализации схемы 1 является весьма трудной, причем трудности носят принципиальный харак
тер. Д а ж е реализация верхней строки этой схемы требует сужения понятия я-оптимизации. П о э т о му ниже формулируются теоремы, относящиеся только к определенным типам со-задач.
Рассмотрим (2, 0)-задачу вида
max, С\х хеМ, (4)
а т а к ж е ее скаляризирующую
max{(C2 rjc, R2) + (С[х, Rl)\ х e M J . ( 4 ^ ) Т е о р е м а 1. Если задача (4)разрешима, то существует непустое множество значений па
раметров /?' > 0 и R2 > 0 таких, что A r g ^ J с A r g J 4 ) .
Введем новый тип я'-оптимизации. Е е конст
рукция состоит в следующем. Запишем задачу
тах{С
г;с|;се М=
; = 1
(5) где {М,}™ - выпуклые многогранники. Опреде
лим отображение т, сопоставляющее однознач
ным образом множеству Arg„(5) другое множест
во Arg„(5) с Arg„(5) ("урезанное" паретовское множество):
Arg„(5) ^ Агё я.(5),
а именно: положим Мх = со M и введем задачу
тзх{СТх\хе М[}. (6)
л
Заметим, что M, - выпуклый многогранник, по
этому Arg„(6) = >гД е {Г,-}/ — некоторая сово- купность гг ней многогранника Мх. Образуем
пересечения My п Г, =: Г,, Ф 0, множество таких пересечений непусто. Если S = {(//)! Гу, * 0], то
Г.(. и определим как Axg„.(5).
0') e s Задачу
max {Стх\х e М)
п'
и определим как задачу идентификации множе
ства Arg„.(5). П о л о ж и м со' = [р, п']. В ы п и ш е м зада
чу (0, £)-типа со смыслом я'-оптимизации:
max
со'
Ckx
je 6 М0 ( 7 )
и ее скаляризующую
m a x ] £ (Cjx,R')\ хе М0\ (7scal) Т е о р е м а 2. Если задача ( 7 ) разрешима, то существует непустое множество значений век
торных параметров {R1> 0}\ таких, что A r g ^ J с A r g J 7 ) .
3. Д в о й с т в е н н о с т ь д л я н е к о т о р ы х т и п о в со-з а д а ч. Рассмотрим (2, 1)-задачу
max.
со
С2х АхйВ.г, х>0\ (8)
и двойственную к ней (1, 2)-задачу
тт{В]и\ ATu>C2R2 + C,Rl, И > 0 } . (8*)
л
Т е о р е м а 3. Если задача (8) разрешима при некотором г1 > 0, то существует непустое мно
жество значений векторных параметров /?' > 0 и R2>0 таких, что реализуется схема
A r g J S ) — Arg ( 8 ^ )
il il w
Arg„(8*)
A r g ( 0 ,
при этом скаляризация задачи (8) осуществля
ется с помощью R1 и R2, а задачи (8*) - с по
мощью г1.
Наконец, рассмотрим вопрос о симметричной двойственности для задачи поиска экстремума линейной функции на паретовском множестве многокритериальной задачи линейного програм
мирования. Это будут задачи (2, 2)-типа.
Выпишем вначале задачи
max{CTx\Ax<b + Br,x>0}, (9)
min {ВТи\Ати >c + CR,u> 0 } . (Ю)
Д О К Л А Д Ы А К А Д Е М И И Н А У К том 334 № 2 1994
ПАРЕТО-ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНАЯ ЗАДАЧА ЛИНЕЙНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ 143 Здесь С = [ с , , . . . , c j , В = [Ьх,..., Ь,], с{ G R", Ь,е Rm.
Симметрично двойственные задачи, которые охарактеризованы выше, имеют вид
m a x { crx | * e Arg„(9)}, mm{bTu\ue ArgK(10)};
их скаляризующие суть задачи:
тах{сгд: + (Стх, R)\Ах < b + Br, х > 0 } , min{bTu + <ßTu, r) I Ати >с + CR, и > 0 } .
Пусть М(г) - допустимое множество для (9), М*(/?) - допустимое множество для (10),
b(r) = b + Br = [6,(г) bm(r)Y, c(R) = c+CR = ( И ) (11*)
( H » i ) ( H b i )
= [С 1(А),...,ся(/г)]г;Лдс = a„x т
Для системы ограничений в (9) система (ah,x) = bj(r), s=l,..„ s,
(aj,x)<bj(r) Vjïs (12) называется s - г р а н и ч н о й (в предположении независимости векторов а^, s = 1, s) [2], а множество ее решений (в случае непустоты) - I - г р а н ь ю . Множество {js}ss=i назовем и н д е к с н ы м и д е н т и ф и к а т о р о м ^-гранич
ной системы (12). Пронумеруем все такие иденти
ф и к а т о р ы : JN. Для j e [1, N] осуществим выбор R' > 0 такого, что
X^ C 'G cone {а,}, (13) если таковой возможен.
Множество реализуемых Rj в силу (13) будет частью множества Ч т о б ы не усложнять обозначений, будем считать, что для любого j век
тор R] реализуем в силу соотношения (13). В ситуа
ции так выбранного j Arg max {(Сх, R1) \ х е М(г)}
является гранью многогранника М(г), определя
емой идентификатором /у. Аналогичным обра
зом определим набор идентификаторов /,, /г для (10). П о л о ж и м Гу, := Arg max {(С7"*, RJ)\ х G G M(r-)}, TJS := Argmin{(ßRM, r*)\ и e М * ( # ) } .
Л е м м а . Пусть задача (11) разрешима. Тогда существуют наборы векторных параметров
{RJ)j и {r1}, (J с {j}x, 1 с { / } [ ) , совпадающих с точностью до единого положительного множи
теля с вышеозначенными, при которых выпол
няются соотношения
Arg max {сТх\ х G Гу, * 0} =
= Arg max {(с, х) + (RJ, Стх) | х e M(f)}, Arg min{(Z>, и)| и G Г * Ф 0 } =
= Argmin{(è, и) + (Вти, И)| и G M*(R>)}.
Множества {Rj} и {г1}, удовлетворяющие лемме, назовем х а р а к т е р и с т и ч е с к и м и . Для каждого I 3/'(/): A r g ( l l ) lr = r. = Arg max {(с, * ) | д: G
симметрично: для каждого j 3/(/): A r g ( l l * ) =
= Arg{(è, и)\иеГ*1ф).
Характеристические множества назовем р а в н о в е с н ы м и , если
Зу'о.'о: Äk)=Jo> '0о) = 'о-
Т е о р е м а 4. Пусть задачи Ly,-: max {(с,-, x ) | Ах< bj,.x > 0], i = 0, 1, .... к;7 = 0, 1, /) разре
шимы (здесь полагаем с0 = c,b0 = Ь). Для сущест
вования R > 0 и г > 0, реализующих схему (11) ^ ( 1 1к а 1)
il Il w
( П * ) ( 1 1 * ^ ) , необходимо и достаточно существование равно
весных характеристических множеств [RJ], {г*}.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова
ний (код проекта 93-012-447).
С П И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1. Еремин И.И. II ДАН. 1991.Т.317.№5.С. 1045-1048.
2. Черников С.Н. Линейность неравенства. М.: На
ука, 1968. 488 с.
Д О К Л А Д Ы А К А Д Е М И И Н А У К том 334 № 2 1994
