журн., 1972, том 13, номер 2, 309–333

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Ю. А. Казьмин, О единственности решения од- ной интерполяционной задачи. I, Сиб. матем.

журн., 1972, том 13, номер 2, 309–333

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользова- тельским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 139.59.245.186

3 ноября 2022 г., 22:14:29

(2)

Т. XIII, № 2 Март — Апрель 1972

У Д К 517.535.4 Ю. А. КАЗЬМИН

О Е Д И Н С Т В Е Н Н О С Т И Р Е Ш Е Н И Я О Д Н О Й И Н Т Е Р П О Л Я Ц И О Н Н О Й З А Д А Ч И . I

В т е о р и и и н т е р п о л и р о в а н и я х о р о ш о и з в е с т н а с л е д у ю щ а я з а д а ч а Абе

л я (*). П у с т ь F(z) — ц е л а я ф у н к ц и я роста н е в ы ш е первого п о р я д к а и типа а, 0 ^ а < + ° ° - К л а с с т а к и х ф у н к ц и й * д а л ь н е й ш е м будем обозна

чать символом [ 1 ; а]. Т р е б у е т с я восстановить ф у н к ц и ю F(z) б [ 1 ; о] по з н а ч е н и я м ее п о с л е д о в а т е л ь н ы х п р о и з в о д н ы х , з а д а н н ы х в т о ч к а х , обра

з у ю щ и х а р и ф м е т и ч е с к у ю прогрессию

F<ⁿ⁾(a + hn)=Aⁿ, гс = 0, 1, 2 , . . . ( А ) В с о о т н о ш е н и я х (А) п р е д п о л а г а е т с я , что ч и с л а а и h — в е щ е с т в е н н ы ,

причем h > 0. Эти у с л о в и я н е у м а л я ю т общности п о с т а н о в к и з а д а ч и , т а к к а к с л у ч а й , когда одно и з ч и с е л а и л и h (кфО) и л и оба к о м п л е к с н ы (в ч а с т н о с т и , и когда fe<0), с в о д и т с я к у к а з а н н о м у простой з а м е н о й п е р е м е н н о й .

И з в е с т н о , что и н т е р п о л я ц и о н н а я з а д а ч а А б е л я ( А ) и м е е т единствен

ен

ное р е ш е н и е в к л а с с е [ 1 ; С У^л) = Ц [ 1 ; сг], г д е о^А — б л и ж а й ш и й к н а ч а -

0 < О^А

лу к о о р д и н а т п о л о ж и т е л ь н ы й к о р е н ь у р а в н е н и я xe^hx = (he)~\ в^А =

= 0 , 2 7 8 . . . / К В этом с л у ч а е ф у н к ц и я F(z) б [ 1 ; о^А) , у д о в л е т в о р я ю щ а я у с л о в и я м ( А ) , в о с с т а н а в л и в а е т с я по ч и с л а м {А^п} и н т е р п о л я ц и о н н ы м р я д о м А б е л я . М о ж н о п о к а з а т ь , что к л а с с [ l > ~т~ )⁼ U а1 т о ж е я в л я -

L h / o < i / / i

ется к л а с с о м е д и н с т в е н н о с т и з а д а ч и ( А ) . Б о л е е того, в р а с с м а т р и в а е м ы х т е р м и н а х к л а с с [ 1 ; 1 / h) я в л я е т с я м а к с и м а л ь н о ш и р о к и м к л а с с о м единст

венности. П о с л е д н е е о з н а ч а е т , ч т о п р и V o , о ^ 1 / h н а й д е т с я о т л и ч н а я от тождественного н у л я ф у н к ц и я F(z) б [ 1 ; о] т а к а я , что д л я нее и м е ю т место р а в е н с т в а

F^{n) (a + hn)^0, п = 0, 1, 2 , . . . . ( А⁰) З а м е т и м , ч т о вопрос о в о с с т а н о в л е н и и ф у н к ц и и F(z) б [ 1 ; 1 / h) по з а д а н

н ы м з н а ч е н и я м п р о и з в о д н ы х ( А ) не т а к прост, к а к п р и F(z) б [ 1 ; о^А).

З а д а ч а (А) и с с л е д о в а л а с ь и в более о б щ и х , ч е м [ 1 ; а] и [ 1 ; о ) , к л а с с а х ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а (см. (^{1 - - 6}) ) .

Р а с с м о т р и м з а д а ч у в о с с т а н о в л е н и я ц е л о й ф у н к ц и и в с л у ч а е , когда кроме у с л о в и я ( А ) и м е е т с я д о п о л н и т е л ь н а я и н ф о р м а ц и я о п о в е д е н и и

(3)

ф у н к ц и и F(z). П у с т ь вместе с ( А ) з а д а ю т с я п о с л е д о в а т е л ь н ы е производ

н ы е

где Р — в е щ е с т в е н н о е число, н е р а в н о е a, h — то ж е , что и в равенст

в а х ( А ) . З а д а ч у о в о с с т а н о в л е н и и ц е л о й ф у н к ц и и э к с п о н е н ц и а л ь н о г о типа F(z) п о з а д а н н ы м з н а ч е н и я м п р о и з в о д н ы х ( А ) и ( В ) в д а л ь н е й ш е м бу

дем н а з ы в а т ь и н т е р п о л я ц и о н н о й з а д а ч е й ( А — В ) , а соответствующую однородную з а д а ч у

з а д а ч е й ( А⁰ — В⁰) .

У т о ч н и м п о с т а н о в к у з а д а ч и . Т р е б у е т с я в о с с т а н о в и т ь все м н о ж е с т в о ф у н к ц и й F(z), у д о в л е т в о р я ю щ и х с о о т н о ш е н и я м ( А — В ) и п р и н а д л е ж а щ и х тому и л и и н о м у к л а с с у ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а , и в ы д е л и т ь к л а с с ы е д и н с т в е н н о с т и и н т е р п о л я ц и о н н о й з а д а ч и ( А — В ) .

Р е ш е н и ю п о с т а в л е н н о й з а д а ч и ( г л а в н ы м образом, проблеме единствен

ности) п о с в я щ е н а работа. З а д а ч а ( А⁰ — В⁰) р е ш а е т с я в одном в а ж н о м к л а с с е ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а , к о т о р ы й м ы обозначаем символом [ 1 ; D⁰). П о к а з а н а в н е к о т о р о м смысле н е р а с ш и р я е м о с т ь у п о м я н у т о г о к л а с с а д л я з а д а ч и ( А — - В ) . Д р у г и м и словами, д о к а з а н о , что к л а с с [ 1 ; D⁰) я в л я е т с я м а к с и м а л ь н о в о з м о ж н ы м к л а с с о м к о р р е к т н о с т и д л я з а д а ч и ( А — В ) ; это о з н а ч а е т , что в к л а с с е ф у н к ц и й [ 1 ; D⁰) ( п р и за

д а н н о м h > 0, ибо D⁰ = D⁰(h)) «обилие» р е ш е н и й ( и в частности, един

ственность) з а д а ч и ( А — В) з а в и с и т т о л ь к о от с о о т н о ш е н и я м е ж д у п а р а м е т р а м и <х и р, в то в р е м я к а к в любом д р у г о м , более ш и р о к о м к л а с с е , с о д е р ж а щ е м к л а с с [ 1 ; Д>) в к а ч е с т в е своей п р а в и л ь н о й ч а с т и , з а д а ч а ( А — В) п р и л ю б ы х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а и р и м е е т по м е н ь ш е й м е р е к о н т и н у у м р а з л и ч н ы х р е ш е н и й * \

И з у ч а е т с я , н а с к о л ь к о м и н и м а л ь н о й я в л я е т с я и н ф о р м а ц и я о ф у н к ц и и F(z) в [ 1 ; Do), с о д е р ж а щ а я с я в у с л о в и и ( В ) , е с л и известно, ч т о д л я F(z) в ы п о л н е н ы р а в е н с т в а ( А ) .

И с с л е д о в а н п р е д е л ь н ы й с л у ч а й з а д а ч и ( А — В ) , когда Р~ > а . Этот слу

ч а й ( а = р) в з а д а ч е ( А⁰ — В⁰) р а в н о с и л е н з а д а ч е ( А⁰) с д о п о л н и т е л ь н ы м у с л о в и е м : к а ж д ы й к о р е н ь a-^hn у р а в н е н и я F^{n) (z) = 0 п р и Vn и м е е т к р а т н о с т ь , н е м е н ь ш у ю 2. У п о м я н у т а я п р е д е л ь н а я з а д а ч а н а м п р е д с т а в л я е т с я и н т е р е с н о й е щ е и потому, что она тесно с в я з а н а с и н т е р п о л я ц и о н н о й п р о б л е м о й Б р у в ь е , в о з н и к ш е й и з н у ж д т е о р и и д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й с з а п а з д ы в а ю щ и м а р г у м е н т о м (см., н а п р и м е р , (⁷>⁸) ) .

К р о м е того, з а д а ч а (А — В) р а с с м а т р и в а е т с я в к л а с с а х , е д и н с т в е н н о с т ь р е ш е н и я в к о т о р ы х н е з а в и с и т от п а р а м е т р о в а и р. З д е с ь н а б л ю д а е т с я любопытное я в л е н и е : т а к и е м а к с и м а л ь н о ш и р о к и е к л а с с ы к о р р е к т н о с т и

F<*>(p + / m ) = f iⁿ, тг == 0, 1, 2 , . . . , (В)

*) Всюду в дальнейшем «аббревиатура» «по меньшей мере континуум решений»

означает, что множество всех решений, о которых идет речь, имеет мощность, боль

шую или равную мощности континуума.

(4)

з а д а ч и (А — В) одновременно я в л я ю т с я и к л а с с а м и е д и н с т в е н н о с т и этой з а д а ч и п р и л ю б ы х з н а ч е н и я х п а р а м е т р о в а и р и з а д а н н о м ф и к с и р о в а н ном h > 0.

В ц е л о м ж е р а б о т а п р о д о л ж а е т н а ш и и с с л е д о в а н и я в области т е о р и и и н т е р п о л и р о в а н и я а н а л и т и ч е с к и х ф у н к ц и й (см., н а п р и м е р , (^{3 9}" *^{1 2}) ) .

1 . Сведения и з теории функций. Обозначения. Постановка задачи Д л я любой ц е л о й ф у н к ц и и э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а

п = 0

имеет место с л е д у ю щ е е и н т е г р а л ь н о е п р е д с т а в л е н и е

где y^F(t) =

2

^{u n}^{/ t}^{n + i} — ф у н к ц и я , а н а л и т и ч е с к а я в некоторой OKpeCT-

n s s O

ности бесконечно у д а л е н н о й т о ч к и , а Г — т а к а я з а м к н у т а я ж о р д а н о в а к р и в а я , в н у т р и которой с о д е р ж а т с я все особенности ф у н к ц и и y^F(t). Д р у г и м и словами, в и н т е г р а л ь н о м п р е д с т а в л е н и и (1) в к а ч е с т в е к о н т у р а и н т е г р и р о в а н и я Г м о ж е т быть в з я т а л ю б а я з а м к н у т а я ж о р д а н о в а к р и в а я , обла

д а ю щ а я свойством: о т к р ы т а я о г р а н и ч е н н а я область, г р а н и ц е й которой с л у ж и т Г, с о д е р ж и т з а м к н у т о е м н о ж е с т в о s u p p y^F. О т м е т и м т а к ж е , ч т о п р е д с т а в л е н и е (1) д л я д а н н о й ц е л о й ф у н к ц и и э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а е д и н ственно с точностью до у к а з а н н ы х в а р и а ц и й в выборе к о н т у р а Г. И н т е г р а л ь н о е п р е д с т а в л е н и е (1) носит н а з в а н и е п р е о б р а з о в а н и я Б о р е л я д л я F(z), a y^F(t) н а з ы в а е т с я ф у н к ц и е й , а с с о ц и и р о в а н н о й по Б о р е л ю с д а н н о й ф у н к ц и е й F(z) роста н е в ы ш е первого п о р я д к а и н о р м а л ь н о г о т и п а . М н о ж е с т в о в с е х ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а , п р е д с т а в и м ы х в виде (1) п р и д а н н о м ф и к с и р о в а н н о м к о н т у р е Г, будем о б о з н а ч а т ь симво

лом [ 1 ; i n t T ) . З д е с ь е д и н и ц а о з н а ч а е т , ч т о п о р я д о к ф у н к ц и и F(z) 6 б [ 1 ; i n t T ) не п р е в ы ш а е т 1, а ч е р е з i n t T о б о з н а ч е н а область, « в н у т р е н н я я » п о о т н о ш е н и ю к Г, в которой с о д е р ж а т с я все особенности ф у н к ц и и

y^F(t), а с с о ц и и р о в а н н о й по Б о р е л ю с F(z) б [ 1 ; i n t F ) , т. е. F(z) б [ 1 ; i n t T ) л и ш ь тогда, когда s u p p y^F i n t Г. З а м е т и м , что у п о м и н а в ш и й с я в ы ш е к л а с с ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а [ 1 ; а) = (J [ 1 ; т ] в н а ш и х о б о з н а ч е н и я х есть н е ч т о иное к а к [ 1 ; m t C^a) , где С^а — о к р у ж н о с т ь \t\ =

= о .

В д а л ь н е й ш е м в с ю д у б у д е м п о л ь з о в а т ь с я с л е д у ю щ и м и о б о з н а ч е н и я м и . Е с л и Г — з а м к н у т а я ж о р д а н о в а к р и в а я , т о з н а ч к и i n t T и е х Ь Г всегда о з н а ч а ю т соответственно в н у т р е н н ю ю и в н е ш н ю ю о т к р ы т ы е обла

сти по о т н о ш е н и ю к Г, н а к о т о р ы е к о м п л е к с н а я п л о с к о с т ь р а з б и в а е т с я этой к р и в о й .

(5)

Символ A(D) о з н а ч а е т п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й , а н а л и т и ч е с к и х в о т к р ы той о г р а н и ч е н н о й односвязной области D ( т о п о л о г и я в A (D) о п р е д е л я е т с я р а в н о м е р н о й сходимостью н а п р о и з в о л ь н о м к о м п а к т е KaD). Ч е р е з A*(D) обозначим п р о с т р а н с т в о ф у н к ц и й , а н а л и т и ч е с к и х вне и н а г р а н и ц е 0D области D и о б р а щ а ю щ и х с я в н у л ь н а бесконечности. Т о п о л о г и я в A*(D) о п р е д е л я е т с я р а в н о м е р н о й сходимостью н а одной и з з а м к н у т ы х к р и в ы х la, а б 91 (£^а U i n t l^a cz D п р и V^a6 § t ) , « а п п р о к с и м и р у ю щ и х и з н у т ри» г р а н и ц у 3D. Х о р о ш о и з в е с т н о , что п р о с т р а н с т в а A (D) и A* (D) — вза

и м н о с о п р я ж е н н ы е .

М о ж н о д а т ь другое э к в и в а л е н т н о е о п р е д е л е н и е к л а с с а [ 1 ; i n t Г ) . Ф у н к ц и я F(z) б [ 1 ; о] тогда и т о л ь к о тогда п р и н а д л е ж и т к л а с с у [ 1 ; i n t F ) , когда а с с о ц и и р о в а н н а я с н е й по Б о р е л ю ф у н к ц и я

y^F(t) = ^ F^{( n )}( 0 ) / £^{( n + 1 )} б Л * ( i n t Г ) .

п = 0

С о в е р ш е н н о очевиден и з о м о р ф и з м к л а с с а [ 1 ; i n t Г) п р о с т р а н с т в у A*(int Г ) , к о т о р ы й у с т а н а в л и в а е т с я б о р е л е в ы м п р е д с т а в л е н и е м ( 1 ) :

[ 1 ; i n t Г ) Э F(z) ^y^F(z) б A*(mtT).

П у с т ь т е п е р ь G — н е о г р а н и ч е н н а я (и д а ж е н е о б я з а т е л ь н о односвяз- н а я ) область к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и Z. Ч е р е з [ 1 ; G) о б о з н а ч и м к л а с с ц е л ы х ф у н к ц и й э к с п о н е н ц и а л ь н о г о т и п а F(z), д л я к о т о р ы х в п р е о б р а з о в а н и и Б о р е л я (1) в к а ч е с т в е к о н т у р а и н т е г р и р о в а н и я Г м о ж н о в з я т ь з а м к н у т у ю ж о р д а н о в у к р и в у ю , о б л а д а ю щ у ю свойством: s u p p y^F cz i n t Г cz G.

С п о м о щ ь ю п р е о б р а з о в а н и я Б о р е л я ('1) п о с л е д о в а т е л ь н ы е п р о и з в о д н ы е (А) могут б ы т ь з а п и с а н ы с л е д у ю щ и м образом:

F<ⁿ⁾ ( о + hn) = f (ze^h*)ⁿe«*y^F(z) dz=Aⁿ, n = 0 , 1 , 2 , . . . , (2) Am «f

после чего з а д а ч а ( А ) с т а н о в и т с я э к в и в а л е н т н о й з а д а ч е об о т ы с к а н и и м н о ж е с т в а всех р е ш е н и й y^F(z) б 4 * ( i n t Г ) у р а в н е н и й ( 2 ) . И з в е с т н о , что з а д а ч а (А) ( ~ ( 2 ) ) и м е е т е д и н с т в е н н о е р е ш е н и е , если область i n t Г л е ж и т в области однолистности ф у н к ц и и w — W(z) = ze^hz. В п р о т и в н о м с л у ч а е и н т е р п о л я ц и о н н а я з а д а ч а (А) не и м е е т единственного р е ш е н и я в к л а с с е [ 1 ; i n t Г ) ; более того, не п р е д с т а в л я е т т р у д а п о к а з а т ь , что з а д а ч а ( А⁰) и м е е т тогда, п о м е н ь ш е й м е р е , к о н т и н у у м р а з л и ч н ы х н е т р и в и а л ь н ы х р е ш е н и й (см. (²*³) ) . Обычно в к а ч е с т в е области однолистности у п о м я н у той в ы ш е ф у н к ц и и w — W(z) = ze^hz б р а л а с ь область U ( ч е р т е ж 1 ) , со

д е р ж а щ а я н а ч а л о к о о р д и н а т и о г р а н и ч е н н а я к р и в о й dU = С, у р а в н е н и е которой в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х и м е е т вид

( С ) : р = " 7 * ? 1

> - я ^ с р ^ л (² = р е^г* ) .

& s i n | ( p |

З а м е т и м , что область U — м а к с и м а л ь н а я область однолистности ф у н к ц и и w — W(z) — ze^hz, и и м е н н о п о э т о м у к л а с с ц е л ы х ф у н к ц и й [ 1 ; U) есть м а к с и м а л ь н о ш и р о к и й к л а с с е д и н с т в е н н о с т и з а д а ч и ( А ) . О б р а т и м т а к ж е

(6)

в н и м а н и е н а то, что т о ч к а z = — 1 / h я в л я е т с я точкой д в у л и с т н о с т и ф у н к ц и и w = W{z), ибо в н е й W'(—llh) = О, но W"(-l/h) ФО (см., н а п р и м е р , (²~⁶) ) . О д н а к о с н е м е н ь ш и м у с п е х о м м о ж н о р е ш а т ь и н т е р п о л я ц и о н н у ю з а д а ч у (А) и в любом и з к л а с с о в [ 1 ; G ) , где G— область одно

л и с т н о с т и ф у н к ц и и w = W(z) = ze^hz, п р и ч е м р е ш е н и е н а х о д и т с я в з а м к н у т о й форме и в я в н о м в и д е м о ж е т быть в ы п и с а н о с п о м о щ ь ю интег

р а л о в типа К о ш и (³) .

П р о в е д е м р а з б и е н и е к о м п л е к с н о й плоскости Z н а области однолистно

сти ф у н к ц и и w = W(z) = ze^h\ С этой ц е л ь ю р а с с м о т р и м области U^h, к = О, ± 1 , ± 2 , . . . , о п р е д е л я е м ы е н е

р а в е н с т в а м и .

я — | <р | 2 л — |ср|

(С/о) < р <

h s i n I ф I (— я < ! ф < 0 , 0 < с р

s i n I ф I

щ z = р е * ) ; д л я к ^ 1 область U^h о п р е д е л я е т с я т а к и м и н е р а в е н с т в а м и

/ Г 7 Ч 2кп — ф (2к + 2) — ф

(U^k): , < Р < 7 • п s i n ф h s i n ф ( 0 < ф < я ; z = pe*),

Чертеж 1

в то в р е м я к а к область с о т р и ц а т е л ь н ы м и н д е к с о м U-^h м о ж е т быть о п и с а н а к а к м н о ж е с т в о точек z = ре*^ф к о м п л е к с н о й плоскости, у д о в л е т в о р я ю щ и х н е р а в е н с т в а м

/г s i n | ф | fcsin|q>|

( — Ж ф < 0 ) . О т м е т и м с и м м е т р и ч н о с т ь областей U^ti и U-h относительно в е щ е с т в е н ной оси д л я з н а ч е н и й и н д е к с а к ^ 1; области U и U⁰ не имеют симмет

р и ч н ы х « н а п а р н и к о в » , но зато к а ж д а я и з н и х сама с и м м е т р и ч н а относи

т е л ь н о д е й с т в и т е л ь н о й оси. Области U и U^h, к = О, ± 1 , ± 2 , . . . , с х е м а т и ч е с к и и з о б р а ж е н ы н а ч е р т е ж е 1.

З а м е т и м , что к а ж д а я из в ы д е л е н н ы х областей U и U^k, к = О, ± 1 ,

± 2 , . . . я в л я е т с я м а к с и м а л ь н о й областью однолистности ф у н к ц и и w —

= W(z) = ze^hz. П р и этом область U к о н ф о р м н о о т о б р а ж а е т с я ф у н к ц и е й w = ze^hz н а плоскость W с р а з р е з о м вдоль о т р и ц а т е л ь н о й ч а с т и в е щ е с т в е н н о й оси от т о ч к и — 1 / he до — о о ; U⁰ — н а п л о с к о с т ь W с д в у м я п р я м о л и н е й н ы м и р а з р е з а м и ( — о о ; — i I he] и [ 0 ; +<*>), а к а ж д а я и з областей

U^h, к = ± 1 , ± 2 , . . . , — н а плоскость W с п р я м о л и н е й н ы м р а з р е з о м от 0 до + о о .

И т а к , если F(z) 6 [ 1 ; U) и л и F(z) б [ 1 ; U^h),k = 0, ± 1 , ± 2 , . . . , то и з р а в е н с т в ( А⁰) всегда следует т о ж д е с т в о F(z) = 0 . И , если F(z) б [ 1 ; G ) , где GZD U ( и л и GzzU^h, к = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ) , то з а д а ч а ( А⁰) в к л а с с е

[ 1 ; G) и м е е т по к р а й н е й мере к о н т и н у у м р а з л и ч н ы х р е ш е н и й (см.,* н а -

(7)

п р и м е р , (^{2 > 3}) ) . Н а ш а ц е л ь — в ы я с н е н и е вопроса о том, н а с к о л ь к о допол

н и т е л ь н а я к (А) и н ф о р м а ц и я о п о в е д е н и и F(z), с о д е р ж а щ а я с я в р а в е н с т в а х ( В ) , р а с ш и р и т к л а с с единственности з а д а ч и ( А ) .

2 . Р е ш е н и е задачи ( А⁰ В⁰) в классе целых функций [ 1 ; А ) )

П у с т ь D⁰ = U[) U⁰[)dU, где области U и U⁰ о п р е д е л е н ы в ы ш е . З а м е тим, ч т о р а в е н с т в а ( А⁰ — В⁰) э к в и в а л е н т н ы с л е д у ю щ и м

2 ш •

I п = 0 , 1 , 2 , . . . .

(а°-р°),

Р а с с м о т р и м т е п е р ь ф у н к ц и ю

(3)

w =

Wo(z)=y

ze^hz + -^-.

1 he

В (³) б е р е т с я в е т в ь к о р н я , п р и н и м а ю щ а я п о л о ж и т е л ь н ы е з н а ч е н и я н а по

л о ж и т е л ь н о й ч а с т и в е щ е с т в е н н о й оси. Л е г к о у б е д и т ь с я , что ф у н к ц и я w = W⁰(z) однолистно и к о н ф о р м н о о т о б р а ж а е т область D⁰ н а плоскость W с п р я м о л и н е й н ы м р а з р е з о м вдоль д е й с т в и т е л ь н о й оси от т о ч к и — 1 / У he до — О О .

П у с т ь G⁰ = Wo(DQ) = W \ ( — О О ; — l / У he]. Тогда р а в е н с т в а ( а⁰ — (3°) д л я ф у н к ц и и F(z) б [ 1 ; D⁰) могут б ы т ь п е р е п и с а н ы в с л е д у ю щ е й р а в н о с и л ь н о й ф о р м е

—: w1 г ²ⁿ exv[aZ⁰(w)]Z⁰' (w)y^F(Z⁰(w))dw = О, 2ni J

— f w²ⁿexv[$Z^Q(w)]Zo'(w)y^F(Zo(w))dw = 0, ( n = 0 , l , 2 , . . . ) ,

(4) 2ni^t

где T^W — образ к о н т у р а Г п р и о т о б р а ж е н и и ( 3 ) , T^W U i n t Г„, с : G⁰, z =

= Z⁰(w) — ф у н к ц и я , о б р а т н а я к ф у н к ц и и w = W⁰( z ) , о с у щ е с т в л я ю щ а я о т о б р а ж е н и е о б л а с т и G⁰ в область Z >⁰( Z⁰( G⁰) = D⁰) .

П р е д с т а в и м ф у н к ц и ю y^F(Z^Q(w)), г о л о м о р ф н у ю н а к р и в о й Г„„ в виде р а з н о с т и

y^r(Z⁰(w)) = y+(w) -y-(w). (5)

В (5) ф у н к ц и я y⁺(w) а н а л и т и ч н а в з а м к н у т о й о г р а н и ч е н н о й области Г«,U i n t Г„, a y-(w) — р е г у л я р н а в з а м к н у т о й н е о г р а н и ч е н н о й области Y^w U e x t Г,, и о б р а щ а е т с я в н у л ь н а б е с к о н е ч н о с т и . П р е д с т а в л е н и е (5) лег

к о м о ж е т б ы т ь п о л у ч е н о и з и з в е с т н ы х ф о р м у л Сохоцкого — Ш е м е л и , н о

(8)

в н а ш е м с л у ч а е к н и м без т р у д а м о ж н о п р и д т и и с п о м о щ ь ю и н т е г р а л ь н о й ф о р м у л ы К о ш и д л я ф у н к ц и и y^F(Z⁰(w)) ( и н т е г р а л К о ш и от ф у н к ц и и y^F(Z⁰(w)) б е р е т с я по к о н т у р у , я в л я ю щ е м у с я г р а н и ц е й некоторой доста

точно у з к о й д в у х с в я з н о й области Я, с о д е р ж а щ е й к р и в у ю T^w; область ж е Q в ы б и р а е т с я т а к и м образом, ч т о б ы ф у н к ц и я y^F(Z⁰(w)) б ы л а голоморфной в ее з а м ы к а н и и Q ) .

И с п о л ь з у я п р е д с т а в л е н и е ( 5 ) , от р а в е н с т в (4) п р и х о д и м к с л е д у ю щ и м с о о т н о ш е н и я м

— w1 с ²ⁿexv[$Z⁰{w)]Zo'(w)y~(w)dw = О , 2т J

W

1 , ⁽⁶⁾

—. w²ⁿ exp[aZo(w)]Z⁰'(w)y (w)dw = О , 2m *

w

n = 0 , 1 , 2 , , . . . .

З а м е ч а н и е 1. З а д а ч и о е д и н с т в е н н о с т и р е ш е н и й систем у р а в н е н и й ( А⁰ — В⁰) и (6) э к в и в а л е н т н ы .

Д е й с т в и т е л ь н о , д о п у с т и м , что и з (6) всегда следует с п р а в е д л и в о с т ь т о ж д е с т в а y~{w) = 0 д л я Vy(w) G Л * ( i n t Г * ) . Это о з н а ч а е т , что к а ж д а я ф у н к ц и я y^F(Z⁰(w)), у д о в л е т в о р я ю щ а я с о о т н о ш е н и я м ( 4 ) , н е и м е е т осо

бенностей в области T^w U i n t T^w. Н о отсюда следует, что в с я к а я ф у н к ц и я y^F(z), у д о в л е т в о р я ю щ а я бесконечной системе у р а в н е н и й ( а⁰ — регу

л я р н а в р а с ш и р е н н о й к о м п л е к с н о й плоскости. П о теореме Л и у в и л л я y^F(z) = const. А т а к к а к у ^ ( ° ° ) = 0, то и з последнего с о о т н о ш е н и я в ы т е к а е т с п р а в е д л и в о с т ь т о ж д е с т в а y^F(z) = 0.

В е р н о и обратное у т в е р ж д е н и е . Д о п у с т и м , что система у р а в н е н и й (6) имеет н е т р и в и а л ь н о е р е ш е н и е 0 Ф У~(и>) б A* ( i n t Гц,). Т о г д а ф у н к ц и я

Yf(2)=

* \ГШЖ

^Л

,

^{z 6 e}

xtr

2 я г J tг — z

о т л и ч н а от т о ж д е с т в е н н о г о н у л я , п р и н а д л е ж и т п р о с т р а н с т в у A* ( i n t Г ) и у д о в л е т в о р я е т р а в е н с т в а м ( а⁰ — р^э) .

П е р е й д е м к р е ш е н и ю у р а в н е н и й ( 6 ) . В с о о т н о ш е н и я х (6) з а м е н и м к о н т у р и н т е г р и р о в а н и я T^w н о в ы м к о н т у р о м L^BtRl к о т о р ы й о п р е д е л и м т а к :

1) к о н т у р L^{e> д} о б р а з о в а н д у г о й о к р у ж н о с т и достаточно большого р а д и у с а \w\ = Д , |г|)| < я — a r c sin е / R, где е > 0 и достаточно м а л о , а w = re'*;

2) в полосе | I m w | ^ e ( R e w < 0 ) к о н т у р L^RtR состоит и з д в у х п р я м о л и н е й н ы х отрезков I m w = ± 8 д л я w т а к и х , что — У #² — е² ^ Re w ^

^ — 1 / У/г в и з а м ы к а ю щ е й их п о л у о к р у ж н о с т и | w + 1 / yhe\ = е,

— 1 / ihe < R e w ^ — 1 / f u e + e;

3) т е р м и н ы «достаточно большое R» и «достаточно м а л о е е» о з н а ч а ют с л е д у ю щ е е : R > 0 и е > 0 в ы б и р а ю т с я т а к и м и , ч т о б ы в ы п о л н я л о с ь с о о т н о ш е н и е L^{e> R} U i n t L^e> ^R ^ T^w\j i n t IV, в о с т а л ь н о м ж е в ы б о р R и е п р о и з в о л е н (см. ч е р т е ж 2 ) .

(9)

Очевидно, что п р и любом выборе к о н т у р а и н т е г р и р о в а н и я L^e, я, у д о в л е т в о р я ю щ е г о т р е б о в а н и я м 1) — 3 ) , з а м е н а в и н т е г р а л а х (6) к о н т у р а T^w н а н о в ы й — L^tt в н е и з м е н и т и х з н а ч е н и й . Р а в е н с т в а (6) с и н т е г р и р о в а н и е м по п о с т р о е н н о й к р и в о й L^e,^R д л я к р а т к о с т и будем о б о з н а ч а т ь символом ( 6 L ) . П р е д с т а в и м н а к о н т у р е L^{t t R} п о д ы н т е г р а л ь н ы е ф у н к ц и и и з (6L) (не з а в и с я щ и е от п) с л е д у ю щ и м образом

(exp[aZo(w)]Z^0/(w)y-(w)Ôâ+{w)-Oâ-(w),

\exv[$Z⁰(w)]Z/(w)y-(w) = Ot⁺(w)—Oi-(w).^{( }}

Ч е р е з Ф⁺ о б о з н а ч е н ы ф у н к ц и и , г о л о м о р ф н ы е в з а м к н у т о й о г р а н и ч е н н о й области L^E,R U i n t Ь^г,^л, а ф у н к ц и и Ф~ — а н а л и т и ч н ы в з а м к н у т о й н е о г р а н и

ченной области L^{e< R} U e x t L^{e> R} и о б р а щ а ются в н у л ь н а бесконечности.

И з р а в е н с т в ( 6 L ) следует, что ф у н к ц и и Ф^а~(ш) и ф р - ( и ; ) я в л я ю т с я ч е т н ы ми, а это о з н а ч а е т их а н а л и т и ч н о с т ь н е

только в о б л а с т и L^{e> R} [} e x t L^e, д, но и в области, п о л у ч а ю щ е й с я из у к а з а н н о й поворотом на у г о л я . В о з ь м е м к о н т у р Сг,^R, с и м м е т р и ч н ы й о т н о с и т е л ь н о н а ч а ла к о о р д и н а т и о т л и ч а ю щ и й с я от L^e,^R Чертеж 2 и и ш ь тем, что в полуполосе | I m w \ ^ е,

Re w > 0 к р и в а я C^e,^R состоит и з д в у х п р я м о л и н е й н ы х о т р е з к о в I m w = ± е , 1 / У he ^ R e w ^ У R² — е² и з а м ы к а ю щ е й их п о л у о к р у ж н о с т и \w — 1 / У Ле | = €, 1 / У he — е ^ Re ш

^ 1/У/ге; в о с т а л ь н ы х ж е своих ч а с т я х к о н т у р ы Lê>R и C^t,^R и д е н т и ч н ы . У к а з а н н ы е р а з л и ч и я м е ж д у к о н т у р а м и L^{e> R} и Cê,^R п у н к т и р н о й л и н и е й с х е м а т и ч е с к и и з о б р а ж е н ы н а ч е р т е ж е 2. Ч е т н о с т ь ф у н к ц и й Ф^а~(и>) и Ф^Р~(гг?) п о з в о л я е т у т в е р ж д а т ь , что Ф^а~ ( г # ) и Ф$~(и?) б A*(intC^B,^R). О т с ю да и и з (7) н е п о с р е д с т в е н н о следует, что ф у н к ц и я y~(w) н е о б х о д и м о д о л ж н а б ы т ь р е г у л я р н о й в о б л а с т и С^г,^R[)extCê,^Rl т. е. y~{w) б ^ * ( i n t C⁸, я ) .

Это, в свою очередь, п о з в о л я е т у т в е р ж д а т ь , что н а к о н т у р е С^г,^R с п р а в е д л и в ы р а в е н с т в а

ехр [aZo(w)]Z⁰'(w)y-(w) — e x p [ a Z⁰( — w ) — Z⁰'(—w)y( —w) = t | )^{a +}( w ) , , (8) exv[$Z⁰(w)]Z⁰'(w)y-(w) — e x p [ p Z⁰( — w ) \ Z ,^r ( — w)y( —w) =

где \ | )⁺ — н е к о т о р ы е ( н е ч е т н ы е ) ф у н к ц и и , г о л о м о р ф н ы е в з а м к н у т о й об

л а с т и С^е, д (J i n t С^е, д. У р а в н е н и я (8) и (6) э к в и в а л е н т н ы , если в (6) r ^w = С^ед.

Е с л и система у р а в н е н и й (8) и м е е т р е ш е н и е у (w) 6 A* (mtC^e,^R), то о н о

(10)

у д о в л е т в о р я е т н а к о н т у р е С^е, я р а в е н с т в у

A«(w)y-(w) =f⁺(w), (9)

в котором ч е р е з A⁰(w) ( к о э ф ф и ц и е н т к р а е в о й з а д а ч и ( 9 ) ) обозначен опре

д е л и т е л ь с и с т е м ы (8)

A⁰(w)=-Z⁰'(w)Z⁰'(-w) ex$[aZ⁰(w)] e x p [ a Z⁰( — w)] Г

e x p [ f l Z⁰( w ) ] e x p [ a Z⁰( - w)] I '⁽ '

а п р а в а я ч а с т ь f⁺{w) в (9) — н е к о т о р а я ф у н к ц и я , г о л о м о р ф н а я в з а м к н у той области С^{е я} U i n t Сея. О т м е т и м , что д е т е р м и н а н т A⁰(w) т о ж е р е г у л я р е н в области Сея U i n t Сея. Следовательно, общее р е ш е н и е системы (8) содер

ж и т с я в общем р е ш е н и и к р а е в о й з а д а ч и Р и м а н а ( 9 ) . И с п о л ь з у ю щ и й с я з д е с ь т е р м и н « к р а е в а я задача» в д е й с т в и т е л ь н о с т и я в л я е т с я очень с и л ь н ы м в ы р а ж е н и е м , т а к к а к ф у н к ц и и , у ч а с т в у ю щ и е в « к р а е в ы х соотношени

я х » (8) и ( 9 ) , г о л о м о р ф н ы на к о н т у р е С&я, и поэтому и х г р а н и ч н ы е з н а ч е н и я просто с о в п а д а ю т со з н а ч е н и я м и н а к р и в о й С^ея этих ф у н к ц и й ; тем н е м е н е е м ы с о х р а н и м т е р м и н « к р а е в ы е задачи» и т. п. с тем, чтобы в д а л ь н е й ш е м без помех и в с я ч е с к и х оговорок и с п о л ь з о в а т ь а п п а р а т к р а е в ы х з а д а ч д л я н а ш и х ц е л е й . По поводу к р а е в ы х з а д а ч см., н а п р и м е р , (^{1 9}) . Е с л и м ы н а й д е м общее р е ш е н и е к р а е в о й з а д а ч и Р и м а н а (9) и сумеем из этого об

щ е г о р е ш е н и я в ы д е л и т ь м н о ж е с т в о всех р е ш е н и й с и с т е м ы ( 8 ) , то это м н о ж е с т в о и будет п о л н ы м р е ш е н и е м з а д а ч и ( 6 С ) .

М н о ж е с т в о р е ш е н и й к р а е в о й з а д а ч и (9) з а в и с и т от и н д е к с а з а д а ч и н а к о н т у р е С^{з я}, к о т о р ы й BF н а ш е м с л у ч а е р а в е н ч и с л у н у л е й о п р е д е л и т е л я До (и;), л е ж а щ и х в области i n t C^{e R} (мы всегда м о ж е м р а с п о р я д и т ь с я выбо

р о м й > ! О и 8 > 0 так, чтобы о п р е д е л и т е л ь A⁰(w) не о б р а щ а л с я в н у л ь н а к о н т у р е Сея ) . Отметим, что д е т е р м и н а н т A⁰(w) я в л я е т с я н е ч е т н о й ф у н к ц и е й . Поэтому, если точка w я в л я е т с я его н у л е м , то и точка — w т о ж е обла

д а е т этим свойством. И з в ы р а ж е н и я (10) д л я Д⁰( ^ ) н а х о д и м , что если Д⁰ (и;) = 0, то т о ч к а w у д о в л е т в о р я е т у р а в н е н и ю

e x p { ( a - P ) [ Z⁰( i / ; ) - Z⁰(-w)]} = 1, о т к у д а

Z⁰(w)-Zb(-w) = — , п = 0, ± 1 , ± 2 , . . . ( И ) a — р

С д р у г о й стороны, с п р а в е д л и в ы т о ж д е с т в а

/ 1 \^ъ

w= \Z⁰(w)exy[hZ⁰(w)] + — J ,

/ 1 \^ъ

—^w = ( Z⁰( — u ; ) e x p [ f t Z⁰( — + ^ ) •

(12)

(11)

И з (12) следует, ч т о

Z⁰(w) е х р [hZo(w)] = Zo(—w) ехр [hZ⁰(—w)]. (13) И з (11) и (13) т е п е р ь л е г к о н а й т и {Z⁰(±w)}

„ . . л п nnh , лп Z⁰(wⁿ)= ctg -

Р а —р а - Р

_ . . лп лпк лп

Z⁰(~ wⁿ)=

--ctg

^{- i} ⁽¹⁴⁾

а — p⁶ а — p а — p ' rc=0,l,2,...

В (14) з н а ч е н и ю п == 0 у с л о в и м с я с т а в и т ь в соответствие точку Z(w⁰) =

= — 1 / h\ последнее ж е р а в е н с т в о в ы п о л н я е т с я п р и w⁰ = 0.

О б р а т и м в н и м а н и е , ч т о т о ч к и (14) я в л я ю т с я л и ш ь к а н д и д а т а м и в п р о о б р а з ы н у л е й о п р е д е л и т е л я A⁰(w), и н а ш а б л и ж а й ш а я ц е л ь — в ы д е л е н и е и з м н о ж е с т в а точек (14) тех, к о т о р ы е п р и н а д л е ж а т области D⁰.

З а м е ч а н и е 2. Е с л и в ы п о л н е н о с о о т н о ш е н и е

h I ( а — Р) —• целое число, (15) то д е т е р м и н а н т A⁰(w) и м е е т л и ш ь один н у л ь w⁰ = 0, с о о т в е т с т в у ю щ и м

п р о о б р а з о м которого я в л я е т с я точка z⁰ = — 1 / й , что н е п о с р е д с т в е н н о сле

д у е т и з в ы к л а д о к , п р и в о д я щ и х к ( 1 4 ) . В п р о ч е м , в этом с л у ч а е и ф о р м а л ь но н и одна И Б точек ( 1 4 ) , за и с к л ю ч е н и е м т о ч к и Z⁰(w⁰) = Z⁰(0) = — 1 / А, н е л е ж и т в к о н е ч н о й ч а с т и к о м п л е к с н о й п л о с к о с т и . И т а к , п р и в ы п о л н е н и и у с л о в и я ( 1 5 ) , вопрос о н у л я х о п р е д е л и т е л я A⁰(w) я с е н . Т е п е р ь в ы я с н и м , к а к и е ж е и з точек (14) с н о м е р а м и /г, о т л и ч н ы м и от н у л я , л е ж а т в области D⁰ в том с л у ч а е , когда т р е б о в а н и е (15) н е в ы п о л н я е т с я . Д л я о п р е д е л е н н о сти у с л о в и м с я в д а л ь н е й ш е м с ч и т а т ь а > р . Л е г к о в и д е т ь , что д л я п > 0 и м е ю т место р а в е н с т в а

v l лп _^{/ v 7} .^ч лпк

\Z^Q(wⁿ)\ =, — , ф п = a r g Z^Q( wⁿ) = лк(п) ,

I лпк | а — р

( а - р ) sin ~ I а — р I

п р и ч е м целое ч и с л о к(п) с л е д у е т в з я т ь т а к и м , ч т о б ы в ы п о л н я л о с ь требо

в а н и е

лпк

0 < лк(п) - < я , ( 1 6 ) а — р

которое о т р а ж а е т тот ф а к т , что точка Z⁰(wⁿ) (п > 0 и а > Р) р а с п о л о ж е н а в в е р х н е й п о л у п л о с к о с т и I m z > 0. Н е о б х о д и м ы м и д о с т а т о ч н ы м у с л о вием п р и н а д л е ж н о с т и т о ч к и Z⁰(wⁿ) области D⁰ я в л я е т с я в ы п о л н е н и е н е р а в е н с т в а

ftsincpn

Отсюда следует, что д л я точек Z⁰(wⁿ) и з ( 1 4 ) , п о п а в ш и х в область А , , и м е е т место с о о т н о ш е н и е к(п) < 2, ч т о в свою очередь вместе с (16) п о з в о л я е т сделать з а к л ю ч е н и е о с п р а в е д л и в о с т и т о ж д е с т в а

к(п) = 1. (17)

(12)

Т е п е р ь и з (17) и н е р а в е н с т в (16) д е л а е м вывод, что в • Д> л е ж а т л и ш ь те т о ч к и и з (14) с п > О, н о м е р а к о т о р ы х у д о в л е т в о р я ю т н е р а в е н с т в а м

0 < / 1 < ( < х - р ) /ft (18) (подчеркнем, ч т о левое н е р а в е н с т в о строгое в в и д у того, что здесь не у ч и

т ы в а е т с я точка z = — 1 / h, с о о т в е т с т в у ю щ а я н о м е р у п = 0, ибо эта точка всегда п р и н а д л е ж и т области Д ) . Н е т р у д н о у б е д и т ь с я в том, что точка Wo = 0 ( ~ Z⁰( 0 ) = — 11 К), и точки

/ 1 \, / 2

± wⁿ = \Zo(± wⁿ) ехр [hZ⁰(±^Wn)]-f—j ,

соответствующие т о ч к а м ( 1 4 ) , п о п а в ш и м в область D⁰, действи

тельно я в л я ю т с я н у л я м и д е т е р м и н а н т а A⁰(w). В р е з у л ь т а т е у с т а н о в л е н о , что д е т е р м и н а н т A⁰(w) всегда имеет к о н е ч н о е число н у л е й в области G⁰, и это число р а в н о 2Nâ$ + 1, где Nâ$ — н а и б о л ь ш е е целое число, у д о в л е т в о р я ю щ е е н е р а в е н с т в у (18) (в с л у ч а е ( а — Р) / h ^ 1 считаем Nâ^ = 0 ) .

З а м е ч а н и е 3. П а р ы прообразов н у л е й Z⁰(wⁿ) и Z⁰(—wⁿ) о п р е д е л и т е л я A o ( w ) , л е ж а щ и е в области D⁰, не только к о м п л е к с н о с о п р я ж е н н ы е , но и всегда р а с п о л о ж е н ы н а г р а н и ц е дU области однолистности U ф у н к ц и и ze^hz.

К р и в а я dU п р е о б р а з о в а н и е м (3) п е р е в о д и т с я в м н и м у ю ось iv к о м п л е к с н о й плоскости w = и.+ ш, и п р и этом к о м п л е к с н о с о п р я ж е н н ы е точки Z⁰(wⁿ) и Z⁰(—wⁿ) £ dU п е р е й д у т в п а р у точек wⁿ = ivⁿ и — wⁿ = —ivⁿ, с и м м е т р и ч н о р а с п о л о ж е н н ы х относительно н а ч а л а к о о р д и н а т w = 0 н а оси iv.

Л е м м а 1. Все нули определителя A⁰(w) — простые.

Д о к а з а т е л ь с т в о л е м м ы , к а к это следует и з ( 1 0 ) , сводится к п р о в е р к е в ы п о л н е н и я н е р а в е н с т в а

Z⁰'(tvⁿ) +Z⁰'(-wⁿ) Ф0. (19)

Д л я т о ч к и w⁰— 0 н е р а в е н с т в о (19) п р о в е р я е т с я н е п о с р е д с т в е н н ы м под¬

счетом 2 Z^{0 /}( 0 ) = 2 1 / ф 0, а д л я wⁿф 0 в с п р а в е д л и в о с т и (19) м о ж но у б е д и т ь с я с л е д у ю щ и м образом. П р е д п о л о ж и м п р о т и в н о е : д л я к а к о й - т о п а р ы wⁿ и — wⁿ вместо (19) в ы п о л н я е т с я р а в е н с т в о . Это р а в е н с т в о э к в и в а л е н т н о с л е д у ю щ е м у с о о т н о ш е н и ю

2^Z⁰(w)ex^V[hZo(wⁿ)] + ^ *

2 ( z

⁰

( -

^wⁿ^)ex^V^[hZ⁰^{(- u ;}ⁿ) ] + i - ) * exp[hZ⁰(wⁿ)]{l + hZ⁰(wⁿ)) e x p [ f t Z⁰( - wⁿ)] (1 + hZ⁰(- wⁿ)) ' ибо Zo(w) = ijWo{z). У ч и т ы в а я т о ж д е с т в а (12) и wⁿФ0 (~Z⁰(wⁿ)=£

Ф — 1 / h), и з (20) п о л у ч а е м р а в е н с т в о

ехр [hZ⁰(wⁿ)] (1 + hZo(wⁿ)) = е х р [hZ⁰(-wⁿ)] (1 + fcZ^o(-i0„)), которое с п о м о щ ь ю т о ж д е с т в а (13) л е г к о у п р о щ а е т с я с л е д у ю щ и м образом:

exp{/&[Zo(wⁿ) — Zo(—wⁿ)]} = 1 . С с ы л к а н а с о о т н о ш е н и е (11) п о з в о л я е т

(13)

с д е л а т ь вывод, что н у л ь м^п(ф0) тогда и только тогда имеет к р а т н о с т ь

> 1, когда в ы п о л н я е т с я р а в е н с т в о е х р [ 2 я ш А / ( « — $ ) ] = 1, э к в и в а л е н т ное тому, что Z⁰(wⁿ) = оо, а следовательно, wⁿ б i n t С^е,^R п р и V e > 0 и R > 0 .

В е р н е м с я к з а д а ч а м (8) и ( 9 ) . Общее р е ш е н и е к р а е в о й з а д а ч и (9) и м е ет вид

ТМ =

^{N c C} , ( 2 1 )

w

n = l

П^

²

-^п

²

)

где 2N^C + 1 — число точек ±wⁿ, п о п а в ш и х в н у т р ь к о н т у р а C^ttR (±wⁿ б б i n t С^е, к ) , а ч е р е з PWQ обозначен п р о и з в о л ь н ы й п о л и н о м с т е п е н и не в ы ш е 2N^C. Очевидно, что всегда 0 ^ N^c ^ N^a$.

В ы д е л и м и з общего р е ш е н и я (21) к р а е в о й з а д а ч и (9) те р е ш е н и я , к о т о р ы е у д о в л е т в о р я ю т системе ( 8 ) . П о д с т а в л я я (21) в ( 8 ) , у б е ж д а е м с я в том, что р е ш е н и я с и с т е м ы ( 8 ) , с о д е р ж а щ и е с я в ( 2 1 ) , у д о в л е т в о р я ю т н а С^е,^R к р а е в ы м у с л о в и я м

^— [exip[aZ^Q(w)]Z⁰'(w)P^2Nc (w) +

+ e x p [ a Z „ ( - w)]Z.'(- w)P„^c (— w)] = ¥^{а +}( ш ) ,

(22)

— [ex^V[$Z⁰(w)]Z„'(w)P^2Nc(w) +

Jtc\W)

+ e x p [ p Z⁰( - w)]Z⁰'(- w)P^2Nc ( w)] = %⁺' u > ) ,

где ч е р е з n^c(w) д л я к р а т к о с т и обозначен з н а м е н а т е л ь дроби ( 2 1 ) . Очевид

но, что в ы р а ж е н и я , н а х о д я щ и е с я в к в а д р а т н ы х с к о б к а х в л е в ы х ч а с т я х р а венств ( 2 2 ) , п р и н а д л е ж а т п р о с т р а н с т в у A(m%C^b,^R). П о э т о м у п р и w = 0 они необходимо д о л ж н ы о б р а щ а т ь с я в н у л ь , что н е м е д л е н н о п р и в о д и т к р а в е н с т в у 2e-^a/hi2JJM>^2Nc (0) = 0, ибо Z⁰'(0) = ]2е / h. Отсюда P^2Nc (0) = 0 , а поэтому общее р е ш е н и е с и с т е м ы (8) не имеет особенности в н а ч а л е к о ординат, вследствие чего оно м о ж е т быть п р е д с т а в л е н о в виде

Nc

y~(w) = £ [AJ(w- w^k) + BJ(w + w^h)], (23)

где A^h и B^h — н е к о т о р ы е к о н с т а н т ы . П о д с т а в л я я (23) в ( 8 ) , п о л у ч и м а н а лог с о о т н о ш е н и й ( 2 2 ) . И н т е г р и р у я п е р в о е и з н и х по о к р у ж н о с т и

| w — w^h \ — б, н е с о д е р ж а щ е й н и к а к и х д р у г и х точек — w^h и ±wⁿ, п ф к, о т л и ч н ы х от w^h, п о л у ч и м

ехр [aZ⁰(w^h)]Zo'(w^h)A^k + е х р [ a Z⁰( — w^k) ] Z⁰' ( — w^k) B^h = 0,

ft = l , 2 , . . . , i V^c. (24)

( И н т е г р и р о в а н и е второго с о о т н о ш е н и я (8) н е и м е е т с м ы с л а , т а к к а к оно п р и в о д и т к строке в и д а ( 2 4 ) , где а з а м е н я е т с я н а р. Это новое у р а в н е н и е