журн., 1974, том 15, номер 2, 450–454

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

Л. М. Шнеерсон, О свободных подполугруппах конечно-определенных полугрупп, Сиб. матем.

журн., 1974, том 15, номер 2, 450–454

Использование Общероссийского математического портала Math- Net.Ru подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользователь- ским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 23:23:53

Т. XV, № 2 Март — А п р е л ь 1974

УДК 519.45 Л. М. Ш Н Е Е Р С О Н

О СВОБОДНЫХ ПОДПОЛУГРУППАХ КОНЕЧНО-ОПРЕДЕЛЕННЫХ ПОЛУГРУПП

Данная заметка посвящена доказательству следующего утверждения.

Т е о р е м а . Пусть полугруппа П задана в п+к образующих (1)

к определяющими соотношениями

Тогда можно эффективно найти, по крайней мере, п из образующих ( 1 ) , свободных в порождаемой ими подполугруппе.

Очевидно имеем

С л е д с т в и е . Пусть П — полугруппа с п образующими

в которой выполнено некоторое нетривиальное тождество. Тогда для зада­

ния этой полугруппы в образующих (2) необходимо не менее чем п—1 оп­

ределяющих соотношений.

В то же время, как будет показано ниже, при любом натуральном п существует полугруппа с п образующими и п—1 определяющими соотно­

шениями, которую нельзя породить никаким множеством менее чем из п элементов, и удовлетворяющая тождеству ухху= (ху)².

В качестве следствия из доказательства теоремы при к=1 легко полу­

чить аналог известной теоремы Магнуса о свободе для полугрупп с одним определяющим соотношением (см., например, (')). Аналогичны­

ми методами можно доказать также следующую теорему, относящуюся к вопросу об изоморфизме некоторой полугруппы со свободной полугруппой.

Если полугруппа Л, с п+к образующими и к определяющими соотно­

шениями в этих образующих, обладает некоторой системой из п образую­

щих, то она является свободной полугруппой ранга п.

Этот результат, впрочем, можно получить и непосредственно из анало­

гичной теоремы Магнуса для групп (2) .

§ 1. Мы приступим теперь к доказательству теоремы. Пусть *П — полугруппа вещественных функций, порождаемая п+к Элементами вида

Ai=B^h i = l , 2 , . . . , к.

(2) flj, и г ,. . •, а

(3)

Отдел заметок 451

(где a,, \ j ( / = 1 , 2, . . . , п, n+i, ..., n+k) — некоторые действительные чи­

сла) , относительно операции ⁰ — взятия суперпозиции, т. е. для любых df

двух функций f(x), g(x)G*U, f(x)°g{x)=g(f(x)). Через *Р обозначим класс всех таких полугрупп.

Определим отображение ф на образующих полугруппы П

Ф

(4) a^t—>*Xi, г= 1 , 2, . . . , п, п+1,... , п+к

и естественным образом продолжим его до отображения слов. Нас будет интересовать случай, когда отображение ф будет гомоморфизмом П на *П.

Для этого необходимо и достаточно, чтобы *хи *х2, ..., 'х удовлетворяли системе функциональных уравнений

( 5 ) Ai(f=Bi(f, i = l , 2, . . . , к.

Отметим также, что система ( 5 ) всегда совместна, поскольку имеет оче­

видное решение *х^у=*х². . . =*xⁿ=*xⁿ⁺ⁱ= . . . =*х^п+к^х. Каждая функция А{<р, Bi(p из ( 5 ) вполне определяется термальной записью (3) й имеет вид

п+к ^

= Д а ,^у • х +- 2^ ij • к^и (а^{1 ;} а^г, . . . , а„, а „^{+ 1}, . . . , а^{п + А}) ,

3 = 1 3 = 1 п+к ^

Btf = Д о.]^1,-х + 2_jlj-kj{^an « г , • а„, а^{? г + 1}, а^п+ к ) ,

3=1 3 = 1

подходящие полиномы от а4, а2, • • •, сс„, an+i, • • •, аи + Л. Поэтому, в общем случае, для того чтобы набор функций (3) давал решение системы ( 5 ) , необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих систем (ба)

Д <

=

3 = 1

и

п+к

(бб) £ ш ап+1? ап+&)

3=1

— hj (^al i ^a2 i •••> ^ая ) ЯП+IJ ^an+/e)] = 0 ^(i=1> d).

З а м е ч а н и е 1. Как нетрудно видеть, в (6а) числа и, и s^t} обозначают количество вхождений образующего а, соответственно в левую и правую части определяющего соотношения А{=В^{. Считая числа cti, а², . . . , а^п, an+i, ..., ап+к положительными, можно прологарифмировать обе части каждого из уравнений (6а), после чего заменить (6а) системой

n+k

(6а)' ^ (fij - sy) lg a, = 0 ( i = 1 >. . . . ^{к )}. .

3 = 1

Очевидно, (6а)' можно рассматривать как систему из к линейных одно­

родных уравнений относительно п+к неизвестных lg а^и lg а², l g aⁿ, 14*

lg a„+i, . . . , lg aⁿ+h. Обозначим матрицу коэффициентов этой системы че­

рез А и пусть г⁴ — ее ранг, причем, как можно считать без потери общно­

сти, минор A Ti-ro порядка, стоящий в правом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля. Это означает, что в (6а)' неизвестные l g a i , l g a2, . . . . . . , lg a„.+*-r i могут быть приняты в качестве свободных неизвестных, и для подходящих рациональных чисел p qm ( д = 1 , 2, г4; пг=1, 2, . . . ..., п+к—г4) справедливы равенства

п+к—r^t

lg <W-g = ^ Pqm lg a^m

m = i

или, что то же самое,

п+к—r^t

(7) an + f c_g= JJ dm*".

После подстановки произвольного решения a¹= a / , a ^ a z , a„=a„',

a^{t l +}i = a ^^{l + 1} , a^{n + i l}= a ^^{+ k}с и с т е м ы (6а)' в каждое из уравнений (66)

система (66) превращается в обычную систему из к линейных однород­

ных уравнений с п+к неизвестными g⁴, g², . • •, gn, gn+i, • • •, Соответ­

ствующую матрицу коэффициентов мы условимся обозначать через В ( а / , а / , а / , а ^+ 1 , а ^+ к ) .

З а м е ч а н и е 2. Придадим неизвестным oci, a2, a„, a „+ 1, . . . . . . , an + f t значения, равные единице, тогда в (3) элементами *хЛ, *х2, ...

будут функции

— ^ "Т" ?1> ^a" ⁼ +~ &2J •••» - ^ п⁰ "Т" % = ^ ^ n + i ^

= Ж -f- gn+li •••) ^n+fc — X +• gn+Jf.

И, как легко понять, образом произвольного слова U при отображении Ф°: aj-*-x+%j, / = 1 , 2 , . . . , п, п+1,..., п+к будет функция

п+к

Щ° = Х + ^ & Р 3=1

где tj — количество вхождений образующего а, в слово U. Поэтому, учиты­

вая замечание 1, мы приходим к тому, что при a i , = a2= . . . = a „ = an + 1= . . . . . . =a„+ft—1 система (66), если ее рассматривать независимо от системы (6а)', может быть получена из последней простым переименованием каж­

дого неизвестного lgccj, на g,- ( / = 1 , 2, . . . , п, п+1, ..., п+к). Положим теперь a i = a2= . . . = a „^{+ f t}_ r , = a . Тогда, в силу соотношения (7), минор А'

?Ч-го порядка, стоящий в правом верхнем углу матрицы В (а, а, ..., а...),

п+к—Гг

представляет собой форму вида

S

(где k^s, p^s — некоторые рациональные числа, а индекс s принимает конеч­

ное число значений), которая, согласно замечанию 2, при а = 1 совпадает

Отдел заметок 453 с определителем А и потому не обращается в нуль. Стало быть, форма А ' ( а ) тождественно не равна нулю и поэтому при некотором достаточно большом натуральном га, в частности пг>п, А'(ш)Ф0. Придадим неизвест­

ным аь а², . . . , cCn+ft-n значения, равные га, найдем значения остальных неизвестных, подставим в (66), и пусть г —ранг соответствующей матри­

цы В (га, га, . . . , га, . . . ) . Так как r i ^ r < A ; , в матрице В (га, га, . . . , га, . . . )

п+к—г, п+к—г,

найдется минор r-го порядка, отличный от нуля и содержащий минор А'(га). Будем считать, что этот минор находится в правом верхнем углу.

Тогда неизвестные | i , %2, • • . , £^и+ ь - г могут быть взяты в системе (66) в качестве свободных неизвестных. Выберем первые п из них и придадим им следующие значения: | i = l , £ г = 2 , . . . , |^и= г е . Таким образом, существу­

ет гомоморфизм, назовем его г|з, нашей полугруппы П на некоторую полу­

группу *П из класса *Р, такой, что

Я| —> т х -j- i — *у^ь i = 1, 2 , п и га^> и.

Покажем, что подполугруппа *П1 полугруппы *П, порождаемая системой функций

(8) %,'Уг,...,*Уп,

является свободной, а элементы (8) — ее свободными образующими. В са­

мом деле, из

u(x)^f(x)o^tyⁱ=g(x)o*y^j=^v(z), j{x),

g(.r)6*n,,

следует mf(x)+i—mg(x)+j, откуда i—j=0(modm), но поскольку i, ]'<m, то необходимо i⁼j, f{x)—g(x), и очевидной индукцией легко показать, что термальные записи функции и (х) и v (х) совпадают.

Переходя к прообразам при гомоморфизме получаем, что образую­

щие а⁴, а², . . . , а^п также являются свободными в порождаемой ими под­

полугруппе. Очевидно также, что процедура нахождения этих образую­

щих является эффективной. Теорема доказана.

§ 2. Через П„ мы обозначим полугруппу с п образующими (9)

«1,

и п—1 определяющими соотношениями

(10) a

-i=a

_

a

^i, i = l , 2, ..., re—1.

Система определяющих соотношений (10) не имеет левых циклов, и сле­

довательно, как показано С. И. Адяном (⁴) , П„ — полугруппа с левым со­

кращением. Из этого результата и очевидного соотношения (11) йгЩ=щ (Kj<i<n)

вытекает, что всякий элемент W полугруппы П„ однозначно представим в виде

(12) W =

aMll

...^

Покажем, что в П„ выполнено тождественное соотношение

(13) yxxy=(xy)^z.

В самом деле, в силу равенства (11), соотношение (13) достаточно прове­

рить для

х

... al

,

ара]!?

чим результат такой подстановки в левую часть соотношения (13), а че­

рез Q — результат той же подстановки в его правую часть.

Если i>j, то, используя равенство ( И ) , получаем ху=у. Тогда Р=у², Q=y² и, значит, P=Q в полугруппе П„. Аналогично в случае £</ ух=х;

стало быть Р=х^гу, Q=x^zy и P=Q в Ц^п. И.наконец, при i=j имеем

_ а^{ < I^{i + 1} qⁿ Vi Pi-U P „ J>i Pi+l J>ⁿ _ ^ai⁺P j i — ffli ••• &n 0>i ••• 0"n Q>i ••• &n У — 4i Xy,

= a% Я {+ 1 . . . an я, <Zi+ 1 . . . ят а Й1 й г+ 1 ... а», у — аг xy.

Между тем, пусть

(14) M={y^hy²,...,y^e,...}

— произвольное множество образующих полугруппы П„. В таком случае справедливы равенства

(15)

a^Wiiyi,

где каждое Wi(yi, у г, у„ . . . ) — суть некоторое слово над алфавитом (14). Пусть далее уп — последняя буква в этом слове,-a Wf(y^±, у², ...

y^s...)— результат подстановки в (15) вместо элементов г/⁴, г/г, ....

..., y^s, ... их канонических выражений через образующие (9). Тогда равенство

a⁽=Wi(yi,y2,...,y....)

в силу соотношения (11) и единственности канонической записи означает

y

=a

.

содержит по меньшей мере п различных элементов.

Автор благодарен Д. И. Молдаванскому за постоянное внимание к этой работе и ряд замечаний, а также участникам семинара С. И. Адяна в МГУ — за обсуждение результатов.

Поступила в р е д а к ц и ю 9 о к т я б р я 1972 г.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1 Ф р и д м а н А. А., Некоторые вопросы теории г р у п п и п о л у г р у п п , IX В с е с о ю з н ы й а л г е б р а и ч е с к и й коллоквиум. Р е з ю м е н а у ч н ы х сообщений, Гомель, 1968 г.

2 M a g n u s W „ O b e r freie Faktorgj-uppen u n d freie U n t e r g r u p p e n g e g e b e n e r G r u p p e n , Monatsh. Math. Phys., 47 (1939), 3 0 7 - 3 1 3 .

3 М а л ь ц е в А. И., Алгоритмы и р е к у р с и в н ы е ф у н к ц и и , «Наука», М., 1965.

4 А д я н С. И., О вложимости п о л у г р у п п в г р у п п ы , Докл. АН СССР, 133, № 2 (1960), 2 5 5 - 2 5 7 .