Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
О. И. Завьялов, И. В. Тютин, Об уравнениях движения в асимптотически свободных теориях, ТМФ , 1978, том 34, номер 2, 147–152
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подра- зумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 23:42:00
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Ф И З И К А
Т о м 34, № 2 февраль, 1978
ОБ УРАВНЕНИЯХ ДВИЖЕНИЯ В АСИМПТОТИЧЕСКИ £"
СВОБОДНЫХ ТЕОРИЯХ О. И. Завьялов, И. В. Тютин
Обсуждается произвол в решениях уравнений движения для пере
нормированных операторов полей.
1. В настоящей заметке мы покажем, что в типичных асимптотически свободных теориях полная система уравнений для перенормированных функций Грина (кратко уравнений движения) не определяет решение однозначно.
Это замечание существенно в следующем контексте. Асимптотическая свобода означает, в частности, что точные величины некоторых констант перенормировки оказываются нулевыми. Как отмечалось в литературе
(ем. [1] и цитированные там ссылки), это приводит к дополнительной симметрии уравнений движения, которая отсутствует в отдельных поряд
ках разложения по константе связи. Примером может служить 1/4!Яф4- теория при %>0. Уравнения движения здесь имеют вид
(1) (П+'гоя)ф(я)~1тТ V>o L 6
-Д(Г)ф(аО+°(Г)(^^^
где Z(g2), G(%2), #(§2), Л(§2) —с-числовые функции, которые связаны стандартными формулами [2, 3] с матричными элементами поля ф и син
гулярности которых в нуле компенсируют соответствующие особенности произведения ф(аН-|)<р (я)<р (#—£). Если Х>0, то (с точностью до вакуум
ных диаграмм в произведениях типа ф (#+£)<p (x))
<2) H m Z ( r ) = limZ(r)<p(*+t)<p(*) =
= Ц т Я ( Г ) ф ( * + | ) ф ( * - | ) = 0 .
Последние равенства легче всего понять на эквивалентном языке [3], введя в (1) промежуточную регуляризацию, определенную импульсом обрезания Л. Тогда в правой части уравнения (1) можно положить 1=0, а предельный переход £->0 заменить пределом Л-^°°, причем величины
£Л(0), Ал(0) и т. д. будут иметь смысл констант перенормировки заряда, массы и т. д. Соотношения (2) при этом равносильны равенствам
(3) Н т гЛ( 0 ) = Н т 2А( 0 ) ф л2^ ) = 0 .
Методами ренормгруппы можно установить [4], что при больших Л (4) £Л(0)~1/1пЛ, фл2~[1пЛ]1/з,
откуда и следует (3).
Пусть ф (х) — поле, удовлетворяющее уравнению (1). Тогда поле Фг(#)=ф(#)+г будет удовлетворять «почти тому же» уравнению, посколь- ку возникающие при сдвиге квадратичные члены вида— Z (£К 2) rwr (#+£) фг (х)
о
исчезают в пределе £=0. Таким образом, «сдвинутое» уравнение будет от
личаться от (1) лишь некоторой константой в правой части. Это свойство было замечено Брандтом [1] и названо им частичной г-инвариантностью.
Если на стадии промежуточной регуляризации поле <р(х) соответствует перенормированному лагранжиану Хл, то поле фс(^), построенное по лаг
ранжиану £с=£Л+сЛф, при подходящем выборе постоянной сА будет удов
летворять в пределе Л-^о° «сдвинутому» уравнению. Отождествление по
лей фг и фс позволило Брандту заключить, что при *Х>0 сильно связные части ?г-точечных функций Грина при п>2 в Яф4-теории обращаются в нуль при нулевых импульсах, и соответственно эффективный потенциал теории положителен.
Однако в свете нашего исходного замечания это важное утверждение представляется ошибочным. Одновременно с возникновением дополнитель
ной симметрии теории в пределе Л->°° возрастает и запас решений урав
нений движения. В отличие от поля фс, лагранжиан, порождающий поле фг, содержит, помимо вершин из Ьс, также и вершины типа
(5) 2/=#д(.0)<р3.
Разумеется, эти вершины вносят исчезающий вклад 3£Л(0)ф2 в уравнения движения. Тем не менее произведение ф3 более сингулярно, чем ф2, и по
тому вклад члена £Л(0)ф3 в полные функции Грина оказывается конечным.
2. Проиллюстрируем эти эвристические соображения на простой нере
лятивистской модели со свободным лагранжианом
(6) L0—:^+cp—Ф+соф:
и лагранжианом взаимодействия
(7) ^ = = | - ( ф+ф )2 :,
здесь Ц)(х) —поле в (тг+1)-мерном пространстве-времени, со(р) =
=а(р2)п / 2+хп, где а и % — некоторые положительные константы. Эта мо
дель допускает явное решение и близка к точно решаемой модели вторич
но квантованного уравнения Шрёдингера с б-образным потенциалом.
Регуляризованный свободный пропагатор определен равенствами
(8) <Гфо(^)фо(г/)>=<Гфо+(^)фо+(г/)>=0,
i r £ - Р2/ Л 2
<** М *• < ! » - - ^ ^ J*e-«->.
f -_
m ( p ) + f e-ВЛ*-У),
где рх=р0х0+рх, а Л —импульс обрезания. Функция DA удовлетворяет 148
уравнению
(9) n j )A (ж) =«.(*) •A=[5o+^(Jd)]^d 2 / A 2
и обладает свойством запаздывания: DA(x)=0 при чг0<0. Последнее об
стоятельство обусловливает простую структуру диаграмм теории возму
щений; единственная диаграмма, дающая вклад в двухточечную функцию Грина, есть
$ х №-£^г =\ (х - и)
диаграммы, представляющие .связную четырехточечную функцию Грина, суть
&Г*МФ^<^\ [ХХ^ +
Х2 У2
Построим уравнения движения в этой модели. Функционал матрицы рас
сеяния £i((po) задан равенством
(10) ЯДфо) =RTexvliJd^Zrt(ф0)| ,
где Л-операция Боголюбова — Парасюка воздействует нетривиально лишь на петлевые графики типа тех, которые представляют G$9 и фиксирована нулевыми точками вычитания. Введем поле Ц)(х) соотношением
(11) <p(x)=SfT<p0(x)Si=q>0(x)+[D^x^SS^—^—dy.
J Офо+(г/)
Величина
(12) * < i f ) - 5t + bSi
6фо+(*/)
совпадает с циммермановским составным полем ШУ[ф+(г/)ф2(г/) ] (см.
[2, 3]). Умножая (в смысле Г-произведения) равенство (11) на ф ( я4) . . . ...<р(хк)<р+(у^ ...ф+(г/т), переходя к вакуумному среднему и действуя на переменную х оператором ПА, мы приходим, к системе уравнений для перенормированных функций Грина:
(13) ^A,xGkXm{x, Хи . . . , Xh\jfu • • • , Ут)-Ц<ТБ(Х)Ц}(Х1). . .<р{хк)Х
Хф+ (у,)....ф+(ут)>= ^ б ( х - у з ) G b L t i x ^ . . . , хк\ уи. . .ryh . . . z/m), где
(14) Gk" (xh ...,хк\уи...,ут) =<Гф (хл).. .ф (хк) ф+ (yt)... ф+ (ут) >—
в<Уфо(аг1)../фв(я;Офо+(»1)...фо+(Ут)5,1(фо)>.
Система (13) эквивалентна следующему уравнению движения:
(15) П д ф ^ ) = & £ ( # ) .
Чтобы преобразовать правую часть этого уравнения, воспользуемся разло
жениями Вильсона, связывающими циммермановские составные поля с произведениями полей ф при совпадающих аргументах (см., например,
[2, 5]). Применительно к нашей модели имеем
(16) B(x)=limZAl)q>+(xn)<p(z)v(x-W, где с учетом нормировки четырехточечной функции
(17) ZA( i ) = l / [t+iK^dxDA{x)DA{x-l)} .
Таким образом, окончательно уравнение движения приобретает следую
щий вид:
(18) •лф(^) = И т й 2 а ) ф+(Ж+ | )Ф( ^ ) ф ( а ; - Ю .
1->о
Изменим теперь несколько исходный лагранжиан, добавив к нему квадратичные члены. Именно положим
(19) ^ = ^ + Г = : | - ( ф+ф )2: + ^ - ^д( 0 ) : ( ф+ф++ Ф ф ):,
где \i — произвольная константа. Функционал б'-матрицы 5г2(ф0) =
= i ? r exp {i$ dxL2(,(po)} строится с помощью Л-операции, которая подвер
гает вычитаниям лишь диаграммы, не содержащие вершин Z/, и опреде
лена на них, как и раньше. Гайзенбергово поле ф, отвечающее лагран
жиану L2, задано соотношением типа (11) с заменой ^(фо) на S2(<po).
Повторив в новой ситуации проведенные ранее выкладки, мы получим для него следующее уравнение движения:
(20) Плф(я) = Km 1ид(6).ф+(ж+|)Ф(ж)ф(а;-6)'+1|^д(0)ф+(ж)..
6-И) .
Если мы устремим теперь Л к бесконечности и покажем, что: а) уравне
ния (18) и (20) в этом пределе совпадают; б) поля <р±(i) и ф2(#), пост
роенные с помощью лагранжианов L± и L2, имеют пределы при Л-^°°;
в) эти пределы различны, то тем самым будет установлено, что уравнение (21) n„4)(x) = limiXZ„(l)y+(x+l)y(x)cp(x-l)
g-*-0
имеет целое семейство различных решений.
Свойство «а» вытекает из асимптотической свободы теории, благодаря которой limZA(0)==0. В этом легко убедиться и прямым вычислением.
Л'-»оо
Пользуясь (17), находим
1+ In— + С(Л)1 ,
2(2n)wa % \
где 5Г(П~1) — объем (п—1)-мерной единичной сферы, a Q(A) —ограничен
ная функция.
Свойство «б» проверим в произвольном порядке теории возмущений по А, и g(A) =\iZA(0). Функции Грина поля ф! по построению свободны от ультрафиолетовых расходимостей и представляют собой нулевой порядок разложения функций Грина поля <р2 по g(A). В старших порядках разло
жения по g(A) возникают диаграммы с вершинами Z/, из которых выхо
дят (или в которые входят) две линии. Из-за таких вершин в диаграммах
д(л)<Х
— а
Рис. 1
д(л)
— Ф
—•
— ®
Рис. 2
функций Грина С?(2) поля ф2 появляются дополнительные подграфы, кото
рые либо не сильно связаны, либо имеют вид изображенных на рис. 1 и 2, где квадрат символизирует функцию Грина G{i\ В первых двух случаях эти подграфы не приводят к новым ультрафиолетовым расходимостям и исчезают в пределе Л->°° благодаря свойству g(A)-*Q. Подграфы рис. 2 логарифмически расходятся, но эта расходимость компенсируется множи
телем g(A). Точнее говоря, каждый из таких подграфов приводит к появ
лению фактора
(23) g(A)j* dxD^ix)^ $dxDA2(x)
l+illdxDA2(x) К ' имеющего при Л-^°о конечный ненулевой предел.
Последнее рассуждение фактически устанавливает также и справед
ливость условия «в», поскольку, как мы видели, старшие порядки по g(A) дают в функции Грина G{2) неисчезающий вклад.
Приведем, однако, явные формулы для двухточечных функций Грина полей ф2, ф2+. В нулевом и первом порядках по ц и точно по X имеем
(24) Glr(x\y)^D„{x-y)=G£>(z\y),
G™(xux2)=i\L \ dxDoo(xi—x)Doo(x2—x)¥=Gii0)=Q, 0£Чуц.Уг)-=Щ§ dyD00(y-yi)D00(y-y2)¥=Giol) = 0 .
Таким образом, функции Грина G(1) и G(2), удовлетворяя одному и тому же уравнению (21), оказываются существенно различными.
3. Как уже говорилось в п. 1, механизм обсуждаемого явления прост — вершины в лагранжиане более сингулярны, чем соответствующие члены в уравнениях движения. В самом деле, при снятии промежуточной регу
ляризации входящие в лагранжиан L2 члены ф2 и (ф+)2 приводят к осо
бенностям типа In Л. Эти особенности компенсируются нулем фактора ZA(0) и дают неисчезающий вклад в функции Грина, который, тем не ме
нее, не изменяет уравнений движения. Отметим, что модель, рассмотрен
ная в п. 2, выбрана только из соображений простоты. Однако сам по себе механизм проявляется и во многих других моделях, в частности в упомя-
нутой в п. 1 модели А,ф\ Я>0. Действительно, обратимся еще раз к слагае
мому L'=ZA (0)'ф3 (формула (5)), возникающему в лагранжиане «сдвину
той» теории. Те же ренормгрупповые методы, которые применялись для вывода соотношений (4), позволяют установить, что вершина ф3 вносит в теорию особенности типа In Л, так что произведение 2Л(0)ф3 приводит к конечному вкладу.
Таким образом, сделанные в [1] утверждения о низкоэнергетическом поведении функций Грина и знаке эффективного потенциала, по меньшей мере, не доказаны.
Математический институт им. В. А. Стеклова Поступила в редакцию Академии наук СССР 26 апреля 1977 г.
Физический институт им. П. Н. Лебедева Академии наук СССР
Литература [1] R. Brandt. Phys. Rev., D14, 3381, 1976.
[2] W. Zimmermann. Lectures on Elementary Particles and Quantum Field Theory, MIT Press, Cambrige, 1970.
[3] S. A. Anikin, M. K. Polivanov, 0. I. Zavialov. Fortschr. Phys., 1977 (в печати).
[4] К. Symanzik. Lett. Nuovo Cim., 6, 77, 1973; Commun. Math. Phys., 34, 7, 1973.
[5] С. А. Аникин, О. И. Завьялов. ТМФ, 27, 425, 1976.
EQUATIONS OF MOTION IN ASYMPTOTICALLY FREE THEORIES O. I . Zavyalov, I. V. Tyutin
Arbitrariness in the solutions of the equations of motion for renormalized field operators is discussed.