Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
П. А. Залесский, Нормальные делители свободных конструк- ций проконечных групп и конгруэнц-ядро в случае положи- тельной характеристики, Изв. РАН. Сер. матем., 1995, том 59, выпуск 3, 59–76
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразумева- ет, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:
IP: 178.128.90.69
6 ноября 2022 г., 23:21:55
УДК 512.546.37
П. А. Залесский
Нормальные делители свободных конструкций проконечных групп и конгруэнц-ядро в случае положительной характеристики
Доказывается аналог теоремы Куроша для замкнутых нормальных делителей свободных произведений проконечных групп, а также соответствующие аналоги абстрактных структурных результатов для замкнутых нормальных делителей более общих свободных конструкций проконечных групп (свободных амальгами
рованных произведений, HNN-расширений). Структурная теорема применяется для получения описания конгруэнц-ядра С арифметической решетки Г группы К-рациональных точек G = G(К) полупростой связной алгебраической груп
пы G К-ранга 1 над неарихимедовым локальным полем К.
Библиография: 17 наименований.
В в е д е н и е
Цель настоящей статьи - получить аналог теоремы Куроша для замкнутых нор
мальных делителей свободных произведений проконечных групп, а также для зам
кнутых нормальных делителей более общих свободных конструкций проконечных групп (свободных амальгамированных произведений, HNN-расширений) - соот
ветствующие аналоги абстрактных структурных результатов.
Хорошо известно, что структурные результаты о подгруппах свободных конст
рукций абстрактных групп не переносятся на проконечный случай. В частности, любая проективная группа может быть вложена в свободную проконечную груп
пу. Нормальные делители свободных проконечных групп устроены более жестко.
Они были описаны с точностью до изоморфизма О. В. Мельниковым в [1]. Поэто
му в статье мы ограничиваемся рассмотрением нормальных делителей свободных конструкций проконечных групп и доказываем для них следующие структурные теоремы.
ТЕОРЕМА А. Пусть G — *X£xGx - свободное проконечное произведение над проконечным пространством X. Тогда произвольный замкнутый нормаль
ный делитель U группы G разлагается в свободное проконечное произведение:
U = * *ех *9xeGx\G/u (U П gxGxg~l) * Р , где Р - проективная группа.
Т Е О Р Е М А В . Пусть G = IIi(Sf,7,r) - фундаментальная группа конечного графа проконечных групп ( ^ , 7 , Г ) , и U - замкнутый нормальный делитель группы G. Тогда U = П х ( ^ , г ; , Т ) - фундаментальная группа некоторого про- конечного графа проконечных групп ( ^ , г ; , Т ) , вершинные (реберные) группы
© П. А. ЗАЛЕССКИЙ 1995
которого изоморфны пересечениям U с соответствующими вершинами (ре
берными) группами графа групп (&,у,Г).
Теоремы А и В верны также в многообразии про-С-групп, где С - произвольный класс конечных групп, замкнутый относительно образования подгрупп, фактор
групп и расширений.
Теорема А применяется для получения следующего описания конгруэнц-ядра С арифметической решетки Г группы /^-рациональных точек G = G(K) полупрос
той связной алгебраической группы G itT-ранга 1 над неарихимедовым локальным полем К.
Т Е О Р Е М А С. С = (*хехНх)*Р - свободное проконечное произведение ниль- потентных про-р-групп Нх степени нильпотентности ^ 2 и проективной проконечной группы Р, каждая открытая подгруппа которой является сво
бодной проконечной группой счетного ранга.
Для арифметических решеток в SL2 группы Нх изоморфны прямому произведе
нию YI Z/pZ по континуальному множеству индексов, а Р - свободная проконечная группа счетного ранга.
Теорема В применяется для представления конгруэнц-ядра С евклидовых групп Бианки в виде проконечной фундаментальной группы проконечного графа свобод
ных проконечных групп.
Заметим, что ранее был известен лишь факт наличия свободной проконечной подгруппы в группе С, доказанный Любопким в [2].
Доказательства основных результатов (расположенные в § 2,3) базируются на теории проконечных групп, действующих на деревьях, развитой в [4]- [б]. Обозна
чения настоящей статьи согласованы с обозначениями этих работ. Тем не менее, мы повторяем в § 1 необходимые здесь основные понятия этой теории.
Результаты, относящиеся к конгруэнц-ядру, находятся в § 4.
Автор выражает благодарность О. В. Мельникову за полезные обсуждения и ценные советы по улучшению текста.
§ 1. Основные понятия теории проконечных групп, действующих на деревьях
1.1. Проконечным графом называется проконечное пространство Г с выде
ленным замкнутым подмножеством V(T) и двумя непрерывными отображениями do,di : Г —У V(T), ограничения которых на V(T) - тождественные отображе
ния idvvn-
Элементы из V(T) называются вершинами графа Г, элементы из Е(Г) = Г — V(T) - его ребрами, do(e) и di(e) - начальная и конечная вершины ребра е.
Морфизм проконечных графов - это такое непрерывное отображение а: Г -> А, что dia(m) = adi(m) для всех т € Г, г = 0,1. Граф Г называется связным, если все его конечные факторграфы связны в обычном смысле (т.е. связны их геометри
ческие реализации).
В дальнейшем все проконечные графы будут связными.
Группа автоморфизмов Aut(T) проконечного графа Г, снабженная (как груп
па преобразований пространства Г) компактно открытой топологией, нульмер
на. Проконечная группа G действует на Г, если задан непрерывный гомоморфизм A: G -> A u t ( r ) . Действие G на Г будем считать левым и обозначать grn = \(g)m
для д G G,m G Г. Для т G Г условимся через Gm обозначать стабилизатор т в группе G. Действие G на Г называется свободным, если Gm = 1 для всех т G Г.
1.2. Сюръективный морфизм проконечных графов р: А —> Г называется на
крытием Галуа, если существует проконечная группа G, свободно действующая на А так, что р совпадает с факторизацией А —У G \ А по действию группы G.
Группа G совпадает при этом с подгруппой G( A | Г) С Aut А, состоящей из таких автоморфизмов а, что ра — р.
Универсальным называется такое накрытие Галуа р: Г -> Г, что для любого морфизма (р: Г —> А, любого накрытия Галуа о: Е -» А и произвольной пары эле
ментов т G Г, s G Е с общим образом ^рр(гп) = o(s) в А существует единственный морфизм <р: Г —>> Е со свойством о<р = <рр и £>(га) = 5.
Для любого связного проконечного графа Г существует единственное универ
сальное накрытие Галуа р: Г —> Г. Фундаментальная группа связного проконеч
ного графа Г определяется как группа 7ri(r) = G(T | Г). Для любого связного проконечного графа Г группа 7Ti(r) проективна. Если 7Гх(Г) = 1, то граф Г на
зывается односвязным. Накрытие Галуа р: А -» Г универсально тогда и только тогда, когда граф А односвязен.
1.3. Пусть р: Г —> Г - универсальное накрытие Галуа графа Г. Назовем О-связным сечением Г в Г такое замкнутое подмножество J С Г, что ограниче
ние р на J является гомеоморфизмом J на Г и do(m) G J для любого т G J.
Иногда будет удобно называть 0-связным сечением отображение j : Г —у J С Г, обратное к ограничению р на J.
Определим отображение 6: Г —у 7Ti(r), задав элемент Ъ(т) G 7Ti(r) равенством b(fh)jp(m) = га.
Определим также отображение / : Г —»• тп(Г), положив /(га) = bdij(m) для га G Г.
1.4. Пучком проконечных групп (над Т) называется тройка (£f, т, T), где ^f, T - проконечные пространства, г - непрерывное отображение У на Т, удовлетворяю
щая следующим условиям:
1) для каждого t G Т слой £f(t) = г- 1 (£) над t является проконечной группой;
2) если &2 - подпространство <£ х ^ , состоящее из таких пар (#, /i), что т(д) = r(h), то непрерывно отображение р : ^2 —>• Sf, переводящее пару (д, h) в элемент
^ / i G S?(*) С gf, где t = r(/i).
Морфизмом пучка групп (%?,т,Т) в пучок групп {Ж,о,Б) называется пара ( а , а ) таких непрерывных отображений а: <$ -> J f , а : Т -> 5, что оа = а т и ограничение а на каждом слое &(t) является гомоморфизмом &(t) в группу Jif{a(t)). В частном случае | 5 | = 1 получаем определение послойного гомомор
физма а-.У -> Я пучка проконечных групп в проконечную группу Я .
1.5. Свободным проконечным произведением пучка (£f, т, T) проконечных групп называется проконечная группа G вместе с морфизмом ш: У -Л G, обла
дающая следующим универсальным свойством: для любого морфизма /J пучка (£f, г, Г) в проконечную группу Я существует единственный гомоморфизм ц>: G —»
Я такой, что (ри; = /3.
Существование и единственность, с точностью до изоморфизма свободного про
конечного произведения, доказаны в [9]. Там же показано, что если слои y(t) заме
нить на иг: образы Gt = u(Sf (£)) то свободным произведением полученного пучка
будет снова группа G. Это, не ограничивая общности, дает нам возможность счи
тать и инъективным и пользоваться привычным обозначением G = *t£TGt- 1.6. Проконечный граф проконечных групп состоит из:
1) связного проконечного графа Г;
2) пучка проконечных групп (Sf, 7, Г) над пространством Г;
3) двух непрерывных отображений а0, а1 : S? —> V(&), где V(&) = 7- 1 (V(T)), удовлетворяющих следующим условиям:
(а) (аг, di) - морфизмы пучка групп (У', 7, Г) в подпучок (£f, 7, ^ ( Г ) ) для г = 0,1;
(б) ограничения а0 и а1 на F(£f) - тождественные отображения id v(<&) • Группы &(v) графа групп (Sf, 7, Г) для v G V(T) будем называть его вершинны
ми группами, группы ^ ( е ) для е G Е(Г) - реберными группами.
1.7. Пусть (Sf, 7, Г) - граф проконечных групп, р: Г -> Г - универсальное накрытие Галуа, J - некоторое 0-связное сечение Г в Г. Определим, как в п. 1.3, непрерывное отображение / : Г —У 7ri(r).
Назовем J- специализацией графа групп (£f, 7, Г) в проконечную группу Н пару (/?, /?i), состоящую из послойного гомоморфизма /3: £f -» Я и гомоморфизма /?i : 7Ti(r) —» Я , удовлетворяющих следующим условиям:
1) /?(а°(я)) = /3(х) для всех ж G # ;
2) /?(а°(я)) = Pi {f{m))P{a1{x))Pi ( / ( m ) )_ 1 для всех х G Sf, где т . = 7(ж).
1.8. Пусть заданы граф проконечных групп ( # , 7 , Г ) и некоторое 0-связное сечение J С Г. Фундаментальной группой проконечного графа проконечных групп (Sf, 7, Г) относительно J называется проконечная группа Ii\{^, 7> Г), обла
дающая J-специализацией (u,ui) со следующим универсальным свойством: для любой J-специализации (/3, (3\) графа групп (£f, 7, Г) в проконечную группу Я су
ществует единственный гомоморфизм <р: П х ( ^ , 7 , Г ) -» Я такой, что /3 = <ри, Pi =<pu>i.
Образы G{m) = и) (&{т)) слоев над т G Г в группе Щ (£f, 7, Г) будем называть ее вершинными при т G V ( r ) и реберными при m G i£(r) подгруппами.
Существование и единственность фундаментальной группы связного проконеч
ного графа проконечных групп доказаны в [6, §2]. Там же доказано, что фунда
ментальная группа связного проконечного графа проконечных групп не зависит от выбора 0-связного сечения.
1.9. Пусть заданы проконечный граф проконечных групп (Sf, 7, Г) и его J-cne- циализация (P,Pi) в проконечную группу Я , где J - некоторое фиксированное 0-связное сечение. Стандартный граф S = S(&,P,H) специализации (Р',Pi) определяется следующим образом.
Положим S равным факторпространству прямого произведения Я х Г по следу
ющему отношению эквивалентности: (#, га) « (Л, п) тогда и только тогда, когда п = т, h~xg G Я(га), где Я(га) = Р(&(т)). Через дН(т) обозначим образ в 5 пары (#,га). Отображение р: S -> Г, переводящее дН{т) в га G Г, непрерыв
но. Его слой 5(га) = р~1(т) отождествляется с пространством смежных классов Н/Н(т). Положим V(S) = р_ 1( У ( Г ) ) . Граничные отображения do, d\ зададим следующим образом:
do(gH(m)) - gH(d0(m)) ,
d^gHtrn)) r= 0/?i(/(m))tf(di(m)) для дН(т) G 5.
Группа Н естественным образом непрерывно действует на графе S. При этом отображение р: S -> Г совпадает с факторизацией по этому действию.
Стандартный граф универсальной J-специализации (u;,u;i) графа проконеч- ных групп (£f,7> Г) в его фундаментальную группу IIi(£f,7,r) обозначается че
рез S(£f,7> Г). Согласно [6, §3] граф 5 ( ^ , 7 , Г) является связным и односвязным проконечным графом.
§ 2. Структура нормальных делителей свободных конструкций проконечных групп
Мы начнем параграф с формулировок основных результатов, доказательству которых будут посвящены этот и следующий параграфы.
Т Е О Р Е М А 2.1. Пусть G = *xexGx - свободное проконечное произведение над проконечным пространством X. Тогда произвольный замкнутый нор
мальный делитель U группы G разлагается в свободное проконечное произ
ведение:
U = *хех *9хеох\о/и (U n gxGxg"1) * Р, где Р - проективная группа.
С Л Е Д С Т В И Е 2.2. Теорема 2.1 остается справедливой для субнормальных подгрупп.
Доказательство легко проводится по индукции.
С Л Е Д С Т В И Е 2.3. Теорема 2.1 остается справедливой для открытых подг
рупп субнормальных подгрупп.
Доказательство вытекает из основной теоремы [11].
С Л Е Д С Т В И Е 2.4. Пусть U - замкнутый нормальный делитель, порожден
ный UC\GX по всем х Е X. Тогда если G/U сепарабельна, то любая собствен
ная открытая подгруппа группы Р является свободной проконечной группой счетного ранга.
Доказательство будет дано в более общем случае в § 3 (см. предложение 3.7).
Т Е О Р Е М А 2.5. Пусть G = I I i ( ^ , 7 , r ) - фундаментальная группа конечно
го графа проконечных групп (Sf,7,r) uU - замкнутый нормальный делитель группы G. Тогда U = I I i ( ^ , i ; , Y ) - фундаментальная группа некоторого проконечного графа проконечных групп (<%/,v,Y), вершинные (реберные) груп
пы которого изоморфны пересечениям U с соответствующими вершинными (реберными) группами графа групп ( ^ , 7 , Г ) .
Идея доказательства обеих теорем состоит в следующем. Строится стандарт- ный односвязный проконечный граф S, на котором естественным образом действу
ет группа G, и доказывается, что группа G удовлетворяет условию (*) (см. ниже).
Затем (в следующем параграфе) доказывается, что проконечная группа, действу
ющая на односвязном проконечном графе и удовлетворяющая условию (*), являет
ся проконечной фундаментальной группой проконечного графа проконечных групп.
Это дает доказательство теоремы 2.5. Теорема 2.1 получается путем стандартного применения полученного результата к конкретной ситуации свободного произведе
ния.
Представим теперь свободное проконечное произведение G — *xexGx в виде фундаментальной группы проконечного графа проконечных групп.
Пусть X' - копия 1 и £ : Аг / -» X - гомеоморфизм. Определим проконечный граф Г следующим образом:
r = I ' v ! v { o } , 'do(x) = о , di(x) — е(х) для всех i G l ' , где V обозначает копроизведение в категории топологических пространств, а о - изолированная точка.
Пусть У = {(д,х) G G х Г | д G Gx для х G V(T) \ {о} и д — 1 для х G E(T) U {о}}. Обозначим через 7* У ~* Г ограничение проекции G х Г -» Г на £f. Определяя аг: £f -» F(Sf) равенством аг (д, х) = (g,d{( x)), мы получаем граф проконечных групп (£f, Г).
Мы можем отождествить G с n i ( e f , r ) , определяя универсальный морфизм ио'.У -л G как ограничение проекции G х Г -> G на Sf. Если х G X = V(T) \ {о}, то ио(У(х)) есть свободный сомножитель Gx в G = *хех<?ж. Группы Gy = и (if (у)) тривиальны для всех у G Е(Г) — X' U {о}.
Таким образом, группа G в обоих случаях, т.е. как в случае теоремы 2.1, так и в случае теоремы 2.2, является фундаментальной группой проконечного графа проконечных групп и, следовательно, естественным образом непрерьгоно действует на связном односвязном проконечном графе S.
Если проконечная группа Н действует на односвязном проконечном графе S, то через Н в этом параграфе обозначается нормальный делитель группы Я , порож
денный стабилизаторами.
Прежде чем сформулировать условие (*), дадим необходимые определения.
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 1. Пусть ф: S\ —> 52 - морфизм проконечных графов и / : Gi —>
G*2, - гомоморфизм действующих на них проконечных групп. Пару (/, ф): (G\, S\)—>
(С?2, £2) назовем морфизм о м пары (Gi, S\) в пару (G2, S2), если ф(дв) = f(gty(s) для всех д G Gi, 5 G Si. Скажем, что гга^а (G2,5*2) поднимается до па
ры (Gi, Si), если существует пара (Р, Т), состоящая из подгруппы Р группы G i , действующей на подграфе Т графа Si так, что ограничение морфизма (ф, / ) на па
ре (Р, Т) является изоморфизмом на пару (G2, S2).
О П Р Е Д Е Л Е Н И Е 2. Пусть U - нормальный делитель группы G, действующей на связном односвязном проконечном графе S mU — (U C\GS | s G S у. По лемме 4.7 из [б] граф S/U - одноевязный проконечный граф. Скажем, что группа G удовле
творяет условию (*), если для любого нормального делителя U группы G спра
ведливо следующее условие:
(С) для любого нормального делителя N и любой открытой подгруппы Н фак
торгруппы G/U, действующей на односвязном проконечном графе S/U, таких, что Н П Ns — 1 для всех s G S, пара (HN/N, S/N) поднимается до пары (G/U, s/U).
В следующих двух предложениях мы докажем, что группа G в обоих случаях, т.е. как в случае теоремы 2.1, так и в случае теоремы 2.2, удовлетворяет усло
вию (С).
П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.6. Пусть G — *X£xGx - свободное проконечное произве
дение над проконечным пространством X. Тогда группа G удовлетворяет условию (*).
Для доказательства нам понадобится лемма об абстрактных группах, действу
ющих на обычных (не проконечных) деревьях.
Л Е М М А 2.7. Пусть группа G действует на дереве Т и Е - некоторый подграф дерева Т. Положим М = {д | #Е П Е ф 0}, Н = (М). Тогда НИ = U he# / i E - связный граф.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О будем вести индукцией по длине 1(h) слова h, состоящего из элементов множества М. Мы покажем существование пути из Е в /iE. Для 1(h) = 1 это очевидно. Пусть для i(/i) ^ п — 1 это верно. Предположим, что 1(h) = nnh = gh' с l(h') = n — l,g £ М. Согласно индуктивному предположению существует путь из Е в /i'E. Сдвигая его на элемент д, получаем путь из #Е в /iE.
Но ^ S n S / 0 , что влечет существование пути из Е в /iE.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О предложения 2.6. Пусть К - нормальный делитель груп
пы G. Так как G/K = *xexGx/Gx П К , то (без ограничения общности) нам до
статочно доказать условие (С) из определения 2 для группы G. Пусть N - нор
мальный делитель группы G и Н - открытая подгруппа группы G с Н П Ns = 1 для всех 5 Е 5. Положим А = S/HN. Согласно [11, п. 2.4] существует связный проконечный подграф Е графа 5, который определяется как объединение сдвигов поднятия Г до 5 на подходящим образом выбранные представители смежных клас
сов G/HN и обладает следующими свойствами:
(i) ограничение факторизации S -> Д = S/HN на пространство ребер Е(Т,) графа Е является гомеоморфизмом на пространство ребер графа А;
(ii) E является абстрактным связным графом.
ПустьЯо = {Hs,gs G HN | gss E E,s G Е). Полемме2.7 Но - Е - связный граф, поэтому Яо • Е - связный проконечный граф. Положим
Согласно [11, п. 2.11 § 2] граф А является связным подграфом графа 5 и F свободно действует в А так, что ограничение факторизации q: S -> А = S/H на А совпада
ет с факторизацией А по F. Кроме того, А односвязен как подграф односвязного графа S и, следовательно, q |д - универсальное накрытие графа Д.
Пусть j : А -> А - 0-связное сечение. Обозначим через QN образ А в S/N и через J - образ j ( A ) в S/N. Согласно [11, предложение 3] имеем
# о = ( *5£ д ЯЛ 5 )) * тп(Д), H(N) = HN/N = (*s € jHs) * тп(Д).
Т а к к а к Я г Ш5 = 1, то ограничение/' = f \jj факторгомоморфизма/: G -> G/N на Но является изоморфизмом на H(N). Отсюда следует, что ограничение
Я' = Я 1я0-Е: Я0 • Е -> 5/iV = H(N) • EN
-изоморфизм графов. Таким образом, (f'~l,q'~l) -требуемое поднятие.
П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 2.8. Пусть G — n i ( ^ , 7 , T ) - фундаментальная группа ко
нечного графа проконечных групп ( ^ , 7 , Г ) . Тогда группа G удовлетворяет условию (*).
3 Серия м а т е м а т и ч е с к а я , №3
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть К - нормальный делитель группы G. Так как G/K
— IIi(Sf', 7', Г), где S?' - пучок факторгрупп групп пучка if, то (без ограничения общности) нам достаточно доказать условие (С) из определения 2 для группы G.
Пусть N - нормальный делитель группы G и Я - открытая подгруппа группы G с Hf)Ns = 1 для всех s € 5 . Рассмотрим Д = S/HN. Так как Я открыта в G, то Д - конечный граф. Следуя [10, п. 5.4], мы можем выбрать максимальное поддерево D в графе Д, построить его поднятие j до S и продолжить j до множества Д - D так, чтобы j (do(^)) = do(j(e)) для всех е Е Д. Пусть ф: S -> 5/7V" - естественный мор- физм. Положим Е = I m j и Едг = ^ ( ^ ) - Конечные множества Е и Едг являются фундаментальными областями графов S и S/N относительно действий групп HN и H(N) = HN/N соответственно. В частности, H(N) • Е дг = S/N. Положим
Но = {Hs,gs e HN | gsd^s) G E , s G E) .
Так как Яо • Е = Яо • (Е U rfi(E)), то согласно лемме 2.7 Но • Е - связный абст
рактный граф. Тогда Яо • Е = Яо • Е - связный проконечный граф. Заметим так
же, что поскольку Е - фундаментальная область графа S относительно действия группы HN, то ограничение факторизации 5 -* Д = S/HN на Но • Е совпадает с факторизацией по Яо, откуда следует, что Е является также фундаментальной областью графа Яо • Е относительно действия группы Яо.
Теперь построим два графа проконечных групп (Жо, Д), (Ж(N), Д ) , положив
ж
2= {(h, S)eHxA\he н
т},
Ж{М) - { ( М ) € Я(А0 х Д | Л G Я ( Л %Л < 5) } .
Отображение а0 в обоих графах групп определяется как вложение стабилизаторов ребер в стабилизаторы их начал, а отображение а1 - как композит вложений ста
билизаторов ребер в стабилизаторы их концов и сопряжения на элементы gs E Яо и gsN € H{N) соответственно.
Так как графы Яо • Е и S/N односвязны, то (см. [6, теорема 4]) Я0 = П 1 ( ^ , Д ) , H(N) = U1(J^(N),A).
Кроме того, естественный гомоморфизм f:G-> G/N индуцирует изоморфизм г): (Жо, Д) —У (j$?(N), Д ) , так как в силу того, что Ns П Я = 1 для всех s € 5 , стабилизаторы точек графа S в Щ изоморфно отображаются на стабилизаторы точек графа S/N в H(N).
Изоморфизм rj индуцирует изоморфизм Пх (Жо, Д) -> Щ (Ж(Щ, Д), который в силу единственности (см. [6, (2.1)]) совпадает с ограничением / \-jj- . Следователь
но, ограничение Ф \jj .^~ изоморфизм графа Яо • Е на S/N = H(N) • Ед/. Таким образом, пара ( / |-jj -ф \jj .Е) - изоморфизм (Но, Но • Е) на (Я(Л7*), S/N), что и требовалось доказать.
§ 3. Окончание доказательств теорем 2.1 и 2.5
В этом параграфе мы будем рассматривать проконечную группу G, действую
щую на односвязном проконечном графе S. Цель параграфа - доказать структур
ную теорему для замкнутых нормальных делителей группы G, которая удовлетво
ряет условию (*) (см. определение 2 § 2). Через U в этом параграфе обозначается
нормальный делитель группы G, U = (U П Gs | s G 5), Gs означает стабилизатор точки 5 в группе G. Заметим, что по [6, лемма 4.7] граф S/U - односвязный про- конечный граф. Этим фактом мы будем постоянно пользоваться в этом параграфе.
Мы также будем свободно пользоваться фактом односвязности связного подграфа односвязного проконечного графа, доказанным в [6, лемма А п. 1.3].
ЛЕММА 3.1. Пусть М Э N - нормальные делители группы G и N открыт в М. Тогда в G/N существует открытая нормальная подгруппа Н с Н П (M/N)s = 1 для всех s е S/N.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть К - открытая подгруппа группы G, содержащая N с К Г) М = iV, пусть (/,?/>) : (G,S) -> (G/N, S/N) - факторгомоморфизм пар и # = / ( # ) • Так как
KC\MSCNS и N = {KnMs)N = f-l{Hn{M/N)Hs)) для всех 5 Е S, то Н П (M/N)^s) = 1 для всех 5 G 5, что и требовалось доказать.
Согласно [4, теорема 2.6] если проконечная группа А действует на односвязном проконечном графе 5, то факторгруппа А/А проективна. Следовательно, естес
твенный гомоморфизм / : А -> А/А расщепляется. Пусть Р - такая подгруппа группы Л, что / | р : Р -» А/А - изоморфизм. Тогда А = А \ Р и справедлива следующая
ЛЕММА 3.2. Пусть А и В - нормальные делители группы G и В С А.
Предположим, что существует открытый нормальный делитель М груп
пы G с Mf)Bs = 1 для всех s € 5. Тогда существует открытая подгруппа Н группы G, содержащая Р, такая, что Н С\ Bs = 1.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Рассмотрим группу К = М П В. Положим L - КР = К \ Р. Очевидно, L П J5S = 1 для всех s E 5 и подгруппа L открыта в В \ Р.
Теперь находим открытую подгруппу Я в С , для которой Н П(В\ Р) = L. Тогда iJ - требуемая подгруппа.
Л Е М М А 3.3. Пусть G удовлетворяет условию (С) ^ам. определение 2), А ^ В, как в лемме 3.2, п Р(В) обозначает образ Р в G/B. Тогда пара
(P(B),S/B) поднимается до пары (A, S).
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Согласно лемме 3.2 существует открытая подгруппа Н группы G, содержащая Р и такая, что Н П Bs — 1. Пусть Н(В) - ее образ в G/B. Тогда группа Н(В) открыта в G/B и содержит Р(В). По условию пара (Н(В), S/B) поднимается до пары (G, 5). Но Р(В) - подгруппа группы Н(В).
Следовательно, пара (Р(В), S/B) поднимается до пары (G, S).
Осталось доказать, что поднятие (P(B),S/B) до (G,5) является поднятием до (А, 5). Действительно, пусть ( Р;, L) - результат этого поднятия. Тогда для каждого р € Р' существует b G В с Ьр £ А. Так как В С Л, то и р G А, т.е. Р ' С А.
П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.4. Если G удовлетворяет условию (*), т о о\д,я любого нормального делителя U группы G пара (U/U,S/U) поднимается до па
ры (U,S).
3*
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть V - нормальный делитель группы G такой, что V открыт в U. В силу леммы 3.3 (применяя которую, надо взять G/V в качестве (2, U/V - в качестве А = В, U/V - в качестве А = В) пара (U/U,S/U) поднимается до (U/V, S/V). Пусть My - множество таких поднятий. Тогда {My} образуют проективную систему и проективный предел lim{iWV} Ф 0 . Докажем это.
Пусть V\ С V - нормальный делитель группы G такой, что V\ открыт в V.
Обозначим через (Д, Т) элемент множества My. В силу леммы 3.1 существует от
крытый нормальньш делитель М группы VjV\ такой, что М П (V/V\)s — 1 для всех s £ S/V\. Кроме того, так как группа R проективна, то найдется подгруппа Р в группе U/V\, которая изоморфно отображается на группу R при естественном го
моморфизме группы U/V\ на группу U/V. Тогда по лемме 3.3 (применяя которую, надо взять G/Vi вместо G, U/V\ - вместо A, R - вместо Р(В), V/V\ - вместо В, V/Vi - вместо В) пара (Д, S/V) поднимается до пары (U/Vi,S/V\). Композит под
нятий (U/U, S/U) -+ (Д, S/V) до (U/V, S/V) и (Д, S/V) до ( i / / U , 5 / U ) являет
ся поднятием, образ которого в (U/V, S/V) совпадает с (Д, S/V). Таким образом, связьшающие отображения проективного предела lim{AfV} сюръективны, отку
да l i m j M v } ф 0 . Элемент проективного предела lim{My} является требуемым поднятием.
Пусть, как и ранее, G удовлетворяет условию (*) и U - нормальньш делитель группы G. Рассмотрим действие группы U на графе 5 . Ввиду предложения 3.4 существует поднятие [у, rj) : (U/U, S/U) ->• (U,S). Обозначим через (Р, L) ре
зультат этого поднятия. Тогда факторизация L -> L/P — S/U - универсальное накрытие. Зафиксируем 0-связное сечение j : S/U —»> L. Определим граф проко- нечных групп (<$/, г>, S/U), полагая
«Г = {{щ з) eUxS/U\ue Uj(a)};
отображение а0 определяется как естественное вложение стабилизаторов ребер в стабилизаторы их начал; а1 определяется равенством
a1(u,s)=(f(s)uf(s)-\d1(s)),
где f:S/U —> Р - непрерывное отображение, заданное равенством d\ (j(s)) = f(s)jdi(s) (это - в точности отображение, определенное в п. 1.3).
Т Е О Р Е М А 3.5. ECAUG удовлетворяет условию (*), то U — H\{f$/ ,v,S/U) - фундаментальная группа построенного выше графа пророненных групп (W,v,S/U).
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Естественное вложение С^(5) в £/, а также упомянутое вы
ше вложение v\ U/U —> U задают j-специализаяию (/?, ^ i ) графа групп ( ^ , v, S/U) в группу U. Пусть Z = S(%, /?, U) - стандартный граф специализации (/?, (5\). Оп
ределим отображение (:Ux S/U -> S равенством ((u,s) = uj(s). Ясно, что ((ui,si) = ((u2,S2) тогда и только тогда, когда
5 i = 52, UiXU2 в £/j(e 2) •
По определению Z является факторпространством пространства U x S/U по сле
дующему отношению эквивалентности: (ui,si) ~ (u2, «52) тогда и только тогда, когда
si= 32, и^и2 € U(j(s2)) = (3{U(s2)) = Uj(s2)
(см. п. 1.9). Поэтому отображение С индуцирует гомеоморфизм £: Z -> S. Пока
жем, что £ - морфизм графов.
Обозначим через uU(s) образ пары (и, s) Е U x S/U в Z. Тогда (см. п. 1.9) d0{uU(s))=ud0(U(s)), d1uU(s) = u[31{f(s))d1{U(s)).
Отсюда
£(d0uU(s)) = ujd0{s) = ЫоЛ5) = ^о(чЯ5)) = d0£(tt[/(s)) ,
£di(ut/(s)) = w/3i(/(e))M(5) - wdu(e) = diwj(5) = diC(tttf(5)) • Таким образом, £ - изоморфизм графов. Следовательно, Z - связный и односвяз- ный проконечный граф, поскольку таков 5. Теперь (см. [6, теорема 4.1]) получаем U = ILi(W,v,S/U).
З А М Е Ч А Н И Е . Пусть (р: S/U -> 5/G = Г - факторизация по G/U. Для произ
вольного 7 6 Г положим «if = Us G y )- i (7) ^ ( s ) ~ подмножество С/ с индуцирован
ной топологией. Тогда («if, ^_ 1( 7 ) ) ~ постоянный пучок проконечных групп, т.е.
он изоморфен пучку U3 х </?-1(7) для произвольного 5 Е <р_1(7)-
В самом деле, пусть r)\U3 х ^""Чт) ~^ ^ х S/U - морфизм пучков, заданный равенством i)(u,t) = (gug~l,t), где gs = £. Очевидно, т? непрерывен. Кроме того, 1т(т7) совпадает с (jSf,^"- 1^))- Тогда из компактности S/U следует, что г/ - гомеоморфизм, а значит, и изоморфизм пучков.
Таким образом, доказательство теоремы 2.5 вытекает из теоремы 3.5 и предло
жения 2.8.
В случае же свободного произведения G = *xexGx теорема 3.5 выглядит сле
дующим образом.
Т Е О Р Е М А 3.6. U = Ili(W,v, S/U) = (*ses/uUj{s)) * *i{S/U).
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Первое равенство вытекает из теоремы 3.5. Второе равен
ство следует из тривиальности реберных групп графа групп ($/, г>, S/U) и универ
сального свойства для Щ {У/, v, S/U).
Для того чтобы получить формулировку теоремы 2.1, осталось провести следу
ющие рассуждения.
Пусть во введенных выше обозначениях q: S -> S/U - факторизация по дей
ствию U, (p: S/U —> Г - факторизация по действию G/U, р - факторизация S по действию G. Согласно [6, лемма 3.5] отображение г: Г -> 5, посылающее т в Gm, определяет графовый морфизм с рт = id. Из определения 5 следует, что для х Е V ( r ) пространство <р"1(х) С S/U гомеоморфно пространству двойных смежных классов Gx \ G/U. Если v € (р_ 1(х), то j(v) = дхот(х) для некоторого дхо Е G, о € Gx \ G/U. Следовательно,
#j(v) = Н П дХ0Нтхд~0 ,
где дхо пробегают семейства представителей двойных смежных классов, когда v пробегает множество (р~х(х).
Теперь, используя свойство ассоциативности для свободных проконечных про
изведений (см. [9, теоремы 1.4,1.5]), преобразуем разложение теоремы 3.6 в разло
жение теоремы 2.1. Таким образом, теорема 2.1 также доказана.
Следствие 2.4 теперь вытекает из следующего
П Р Е Д Л О Ж Е Н И Е 3.7. Пусть G/U сепарабелъна. Тогда любая собственная открытая подгруппа группы U/U является свободной пророненной группой счетного ранга.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Пусть К - открытый нормальный делитель группы G, со
держащий U. Тогда G//^ почти свободна и, следовательно, существует свободный открытый нормальный делитель М в факторгруппе G/K, содержащий образ UK группы U в факторгруппе G/K. Тогда (см. [7, теорема 3.13]) каждая открытая подгруппа группы UK свободна. Отсюда следует в силу [8, предложение 1], что каждая открытая подгруппа группы U/U' — lim UK также свободна.
Подгруппа U группы G называется достижимой, если существует такая транс
финитная цепь подгрупп U = U\ < • • • < U\ < Щ = G, что Ui+\ нормальна в U{
для всех 0 ^ г ^ А и £7^ = П ; <д ^ для предельных /х. О. В. Мельников [12] опи
сал достижимые подгруппы свободных проконечных групп и, в частности, показал, что все они почти свободны. Возникает естественный вопрос: справедлива ли те
орема Куроша для достижимых подгрупп свободных проконечных произведений?
Следующий пример дает отрицательный ответ на этот вопрос.
П Р И М Е Р . Пусть F(x, у) - проконечная группа ранга 2. Обозначим через U ми
нимальную достижимую подгруппу, содержащую циклическую группу (х). Оче
видно, такая существует по лемме Цорна. Тогда согласно [12, теорема 3.3] U имеет бесконечное количество порождающих как топологическая группа. Следователь
но, U ф (х). В силу минимальности U группа (х) не может быть свободным сомно
жителем группы U. Это означает, что U не разлагается по Курошу.
§ 4 . К о н г р у э н ц - я д р о
Пусть к - глобальное поле, т.е. поле алгебраических чисел или поле функций от одной переменной над конечным полем. Пусть S - непустое множество нормиро
ваний поля к, содержащее все архимедовы нормирования. Пусть G - полупростая односвязная алгебраическая группа, определенная над полем к. Обозначим через G = G(k) группу к-рациональных точек группы G. Пусть б — @s — {х € k | v(x) ^ 0 для всех v £ S} - кольцо 5-целых поля к. Пусть G@(s) ~ группа 5-целых точек. На группе G^(5) можно определить две топологии: S-арифметическую то
пологию и 5-конгруэнц-топологию. Систему окрестностей первой образуют все подгруппы конечного индекса группы G &($)»систему окрестностей второй образу
ют все конгруэнц-подгруппы G@(s)(a)i ассоциированные с ненулевыми идеалами а кольца &S- Конгруэнц-ядро С — Сь (G) - это ядро канонического гомоморфиз
ма
G-+G
пополнений G и G группы G по первой и второй топологиям соответственно.
Конгруэнц-проблема в современном понимании - это проблема описания конгру- энц-ядра.
Пусть К - локальное поле, т.е. пополнение поля к относительно неархимедова нормирования. Обозначим через G{K) группу К-рациональных точек группы G.
Пусть Г - арифметическая решетка группы G(K). Тогда Г соизмерима с G@(s) для подходящего @s, поэтому для Г имеет смысл конгруэнц-проблема. Из [3, тео
рема 7.1] следует существование подгруппы конечного индекса Г' в группе Г, кото-
рая разлагается в свободное абстрактное произведение:
где Fi - свободная группа ранга / , а Д ь . . . , Дс- решетки унипотентных радика
лов минимальных параболических подгрупп, т.е. нильпотентные р-группы степени нильпотентности ^ 2. При этом из доказательства этой теоремы следует, что Г' может быть выбрана открытой в 5-конгруэнц-топологии. Следовательно, конгру- энц-ядро группы Г содержится в
f> = Fi * Д1 * • • * Дс . Тогда из теоремы 2.1 следует
Т Е О Р Е М А 4 . 1 . С — (*Х£хНх) * {*уеуНу) * Р - свободное проконечное про
изведение нилъпотентных про-р-групп Нх степени нильпотентности ^ 2 и проективных групп Ну и Р.
Вариант теоремы 4.1, приведенный во введении, вытекает из следующей леммы.
Л Е М М А 4.2. Подгруппа R = ( *Уе у #у) * Р группы С является проектив
ной проконечной группой, каждая открытая подгруппа которой является свободной проконечной группой счетного ранга.
Докажем сначала следующую лемму.
Л Е М М А А. Пусть абстрактная (проконечная) группа G действует на аб
страктном (проконечном) дереве Т и N - нормальный делитель группы G.
Тогда N - нормальный делитель группы G.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О . Нам достаточно показать, что группа g(N п Gx)g~l для некоторого g € G содержится в группе N. Это следует из нормальности N.
Д О К А З А Т Е Л Ь С Т В О леммы 4.2. Пусть U' - нормальный делитель группы С, порожденный группами Нх для всех х £ X. По лемме A U' - нормальный делитель группы Г'. Пусть К - открытый нормальный делитель в V/U' и
Ко = (кпд£г,сд-
1\дет} (t = i,...,c),
где А ^ с = Аг П С. По лемме А Ко нормален в V/U'. Рассмотрим факторгруппу (Г7/U')/Ко- В силу построения Ко имеем разложение
{f'/U')/Ko = Ft * ( Д ^ с / A i . c П Ко) * • • • * ( Дс, с / Ас, с П К0).
Так как группы Д г , с / Д г , с П Ко конечны (г = 1 , . . . ,с), то в (Г'/Uf)/Ko сущес
твует открытый нормальный делитель М, содержащий образ UK группы U/U' в факторгруппе (Г'/U')/Ko и тривиально пересекающийся с А{/'Д; П Ко- Следо
вательно, М свободен. Тогда (см. [7, теорема 3.13]) каждая открытал подгруппа группы Uк свободна. Отсюда следует в силу [8, предложение 1], что каждая от
крытал подгруппа группы С/U1 = lim UK также свободна. Теперь лемма следует из кзоморфности групп R и С/U1,