И. Ибрагимов, М. Келдыш, Об интерполяции целых функ- ций, Матем. сб. , 1947, том 20(62), номер 2, 283–291

(1)

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал

И. Ибрагимов, М. Келдыш, Об интерполяции целых функ- ций, Матем. сб. , 1947, том 20(62), номер 2, 283–291

Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru подразу- мевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением

http://www.mathnet.ru/rus/agreement Параметры загрузки:

IP: 118.70.116.132

6 ноября 2022 г., 11:02:20

(2)

RECUEIL MATHEMATIQUE

Об интерполяции целых функций И. Ибрагимов (Баку) и М- Келдыш (Москва) 1. Пусть /(z) — целая функция, а

а19 а2, ...,ап, . . . (1)

— последовательность узлов интерполяции. Обозначим через М(г) ма

ксимум модуля целой функции

Af(r) = max|/(z)|,

л (г) —число узлов интерполяции, лежащих в круге | z | < r . Легко уста

новить, что при любом 6, удовлетворяющем неравенству 0 < 6 < - ^ - , существует константа С(й), такая, что из неравенства

H(6r)>C(6)logM(r) (2) вытекает равномерная сходимость интерполяционного ряда Ньютона

к функции /fz). Мы установим, что при 6 > у аналогичное предложе- жение не имеет места уже в классе функций бесконечного порядка, удовлетворяющих неравенству

logM(r)<e<loer)i+e+C,

где е —произвольно малое положительное число. В случае функций конечного порядка известны условия сходимости ряда Ньютона более точные, чем условие (2)*. Условия сходимости ряда Ньютона более узки, чем условия единственности целой функции по ее значениям в точках а19 а2, . . . , ап, . . . Например, единственность имеет место

в случае выполнения неравенства

л (6г) > С (6) log М (г) (3) 0 < 6 < 1; С (в) > —Ц- .

Мы указываем процесс интерполяции, сходящийся к целой функции при условиях, весьма близких к условиям единственности, и, в част

ности, при выполнении неравенства (3) **.

2. Т е о р е м а 1. Если последовательность узлов интерполяции

* См., например, A. G e l f o n d , Sur le developpement des fonctions entieres d'ordre fini en serie d'interpolation de Newton,

** Интерполяционные ряды, обладающие такими свойствами, строились для функций первого порядка А. Гельфондом.

(3)

284 И. Ибрагимов и М. Келдыш

alt aif ...,ап, . . . и целая функция f(z) удовлетворяют неравенству

n(6r)>C(6)logM(r) (4) при

0 < 6 < | , С ( 6 ) > — i —Q'

l o g - 5 -

то интерполяционный ряд Ньютона сходится равномерно к функции

/ ( 2 ) .

Предположим, что

| а1| < | а2| < ...,

и пусть sn (z) — сумма п первых членов ряда Ньютона, rn(z) = f(z)-sn(z).

Пусть | г | < р, где р — произвольное фиксированное положительное число. При достаточно большом п можно положить

П ( 2 - f l i ) / ( f ) «

•м-ь> -

_а_п\ П ( ? - а4) ( ? - 2 )

iC'= в , „ 1

Отсюда, используя неравенство

| z — a.

* - « *

| д „ | + Р _ 9 Л , Р_

получим:

\ап\ , 4 ^

^{o g}

^ ^ (

ⁱ

^ i ) ]

^{+ l o g M}

( ^

¹

)

~ " К | - 0 Р и, в силу неравенства (4),

i / М ^ nr -l o g 4T -9+ ^ i+ l o g (1 +т т г " ) 1 Iflnl

кл (*) < * L ( } V ' п ' J ' 1 Г я •

1 пК 'l Iflnl —Ар

Коэффициент при я в показателе имеет пределом отрицательную вели

чину

- l o g — + е ( в ,

и поэтому остаточный член rn (z) стремится к нулю.

3. Т е о р е м а 2. Каково бы ни было число 6, удовлетворяющее неравенству

±<ъ<\.

и положительное число е, существует целая функция, модуль максимума которой удовлетворяет неравенству

logM(r)<^l o g r>1 + e + C, (5)

(4)

и последовательность узлов интерполяции, удовлетворящая условию

lim 1—hrrv== со,

такие, что ряд Ньютона для функции f(z) расходится.

Обозначим через 6Х, число, удовлетворяющее неравенству

1

(6)

• < 6

,</4.

и пусть

«л = «* = (£)*

при 2(/г~1)1_и < л<2^1+7). Определим целую функцию рядом:

/(z)=2

^A

*

^{z 2 n}

*

^{+ 1}

II(

^z

-

^a

/

^y

'

где

Ai =

ft=l 7 = 1

•>^Ti

v, = 2>1+\ n/ = /v/_1.

(7)

(8)

(9) (10)

Прежде всего установим, что функция /(z) и точки an удовлетво

ряют условиям (5) и (б). Оценим |/(z)| при

« * < 8 | z | < « W (П) Обозначая через uk(z) общий член ряда (8), мы докажем для

2 > »/+1

^— неравенство

| o/_1( z ) K ^ | u/( z ) | . ⁽¹²⁾ В самом деле, при 6 J z | > a/+1 функция' Uj (z) не имеет нулей и степень щ (z) выше степени щ^ (z), поэтому при б | z | > аЧ1

U ^ - l ( Z )

Uj(z) < Max 1 ^ <

Max | ^ _ - i ( z ) |

Q i 2 i = a y+ l

^.(Т) '-'

Min j u^- (z) i 2 n . , + l

4W" ^J+1 **в*,---)** ^v '

отсюда, в силу (7) и (9),

"* (2) ^! <

откуда следует неравенство (12), если учесть, что

( / - 1)*м—2лм = ( / - l)(2C/-i>1+4— 2 • 2<'"-2)1+1,)> 1.

Докажем теперь, что, при достаточно большом /, в круге 6|z|<a/ 4

выполняется неравенство:

~57(zT~ < т ⁽¹³⁾

(5)

286 И. Ибрагимов и М. Келдыш

и^г(г)

В самом деле, функция £* регулярна в круге 6|z|<ay + 1, сле

довательно, в этом круге

**J + l (*) Uj(z)~

М а х | u ,+ 1( z ) | Л f*j+iy»hi + 4*j+i_ VJ

< M i n \uj[z)\ /^iW1 <

<

.CV)

^,4

-*4f+•)''< t

³

GOT-

откуда, при достаточно большом /', очевидно, вытекает неравенство (13).

Применяя неравенства (12) и (13), получим оценку |/(z)| в круге б | z | < аЛ+1, при достаточно большом к:

оо

| / (

²

) | < м ( ^ ) < 2 Мах |

^{U i}

(

^z

)|<^£lJi Max \и

^к

(г)\ =

_-..-'ч-т-; п (Y+*) ^v '<fc£ V n [ -«(т+¥)]' <

2 6 - 6 ^ /а^Л2п*+1

7 = 1 / = 1 ft-1 . ,

< ⁵ ^ [ ³ ( . г Г Г ' ^! ' <4^(e ^,w> *' ^г<, " ^> ' ^+, • "<>

Чтобы доказать неравенство (5), заметим, что при z, удовлетворяю

щем неравенству (11), имеем:

log | z | > log ak — log б = к log g- — log 8, поэтому, в силу (14)

Если число У\ выбрано так, что г\ < г, можно найти константу С, для которой

log|/(Z)i<e( l o g l z i ) 1 + e + C.

Покажем, что условие (6) выполняется. Если z удовлетворяет нера

венству (11), то

M(\z\)<M(^

и

п (61 z |) = п (*к) = 2 + 2г1+,) + . . . + 2*1+,> > 2"1+Ч. Применяя неравенство (14), получим:

. . gM W-i t + 1 ),2 №- „ . « ,o g3 j+ l o g_ ^ ^

(6)

что доказывает (6), так как правая часть стремится к бесконечности вместе с к.

Остается еще установить расходимость интерполяционного ряда.

Пусть

П ajJapfWdt

?к = *у+...+v*-i+n* (0) = ± 2^(

л

\ ftri ₁_{ё ; = l}^fc-1

— остаточный член ряда Ньютона для суммы порядка v1+v,-^r...Tf-Vjfc-i+rtA. в начале координат. При /<fc член u/(z) ряда (8) представляет со

бою полином степени ниже , v2 -f v2 -f . . . + vA_2 + nk и поэтому часть остаточного члена, соответствующая щ(г), при /<fc, равна нулю.

При / > к члены ряда щ (z) также не влияют на величину остаточного члена рА, потому что функция

fe-i v

t-Tl (t-aj) ' (f-**)"*

/=1

голоморфна в круге |f|<"fl- и, следовательно, не влияет на величину интеграла. В силу этих причин, остаток ?к может быть записан в виде:

fe-i

МО dl

**p*=±irK**

^y

« I ^r**

t

7 = 1 „,_«* П it-aj) J(t-at) " t + i

1 о

**- ± п ^ « г * ^ .**

Подставляя сюда значения АЛ, a^ и применяя формулу Стирлинга, получим:

Р

*

⁼

± / W П

^a

K £ f С2в0«-(1 + е

^А

.),

Г ~ 7 = 1

где еА стремится к нулю при возрастании к. По определению числа 6lf

2б1>1, следовательно, рк —> оо и ряд Ньютона расходится.

4. Известно, что целая функция определяется единственным образом по своим значениям в точках ап, если ее максимум модуля М(г) удовлетворяет неравенству

n(6r)>rlogM(r; (15)

(7)

И- Ибрагимов и М. Келдыш

при

0 < 6 < 1 , С>—-{ .

l o g^Q-

Более точное условие единственности может быть 'записано в виде:

limsup , N[[\ > 1, (16)

где N (r) — функция Неванлинна, определяемая равенством:

**"м-2 "*,<--№•**

^(,7)

Заметим, что если выполнено условие (15), можно выбрать число 6, такое, что

6 < 62 < 1 и удовлетворяется неравенство

N(6^tr) lo^gM(r) В самом деле, из (17) вытекает:

8ir

> 1 . (18)

Or

откуда, на основании (15), находим:

N^r) l0J_T

logM(r) с 9

чтобы было удовлетворено неравенство (18), достаточно положить 8i > №,

при этом можно выбрать 6Х < 1, так как б£с < 1.

Мы укажем интерполяционный процесс, сходящийся к функции /(z), если выполнено условие (18).

Т е о р е м а 3. Яслц последовательность узлов интерполяции а17 я2, . . . и целая функция f{z) удовлетворяют условию

0 < 6 < 1 , интерполяционные полиномы

п

Pn(z) = %f(ak)pnk{z), где

м П (z — aj) n

„.,(,)_ И

n

[ , _ i 5 b f c £ l ] .

П ( аА- ^ ) /=i

(8)

сходятся равномерно к функции f(z) и, каково бы ни было число 6' > 6, при достаточно большом п

\1{z)-Pn[zb<V\

Рассмотрим функцию

Fn{z/,) =

I K z - a J П [\an?-V*ah(S-z)]

ft=i fe=i _ _ _

i an Г

( ? - z ) " П (C-flA)

(20)

Fn (z, С) есть рациональная функция С, вычет которой в точке С = ; равен единице, а вычеты в точках ак равны pnk{z), поэтому

FR(z, С ) -

S - z

fc=l

Pnk(z) VI Рп^

Умножая это равенство на / (С) dC и интегрируя по окружности в | С I = | ап |, получим:

/ ( z ) - P „ ( z ) = 2 S J fn(Cz)/(C)dC.

Если | С | = ^"-J, то

• ол1=Юп;

(21)

в2 -вЛ«

- 1.

Используя это равенство, на основании выражения (20) получаем оценку при б | С | = j an \:

k-i

в2 •(S-z)ak

ic-zi

r r p i n i

_ I T T I _ ⁸²^a^fe^?

C — z I

ft=i ft=i ft=i a » l2- 82a ^

Пусть z содержится в круге фиксированного радиуса р, тогда

e«fl^ft2

KI*-e»afcC < 1 ⁹²^р

« п | ( 1 - Э )

Замечая, что при достаточно больших пик

0+г^Х

< 1 + е . где s — произвольно малое число, и в силу равенства

(9)

290 I. Ibraghimoff et M. Keldych

получаем для б|С)=|a

n

^{j ^ |}⁼ g-iV(|anl)

\an\

| Fn( C , Z ) | < C ( e ) en( l + 8 )n£ - M l a n l )j_ L _ ,

где С зависит только от е и р. Применяя полученную оценку, из (21) выводим, при \z |<p:

I / U) — />^я (z) |< j-^jE^" в^Л (1+ «Г ^-^^> ЛГ (^L^^L) , и, в силу (19), при достаточно большом п

\f(z)-Pn(z)\<2C(*)Qn(l+e)\

Полученное неравенство доказывает теорему.

(Поступило в редакцию 1/VI 1946 г.)

Sur Г interpolation des fonctions entieres I. Ibraghimoff (Bacou) et M. Keldych (Moscou)

(Resume)

Soient /(z) une fonction entiere, a19 a2>... une suite de points d'interpolation,

A f f r ) = max |/(z) |, (1)

n(r) le nombre de points d'interpolation contenus dans le cercle

| z | < r. Dans cet article on demontre que pour chaque nombre 6, 0 < 9 < -j9

on peut indiquer une constante С (6) telle que l'inegalite

n(6r)>C(6) log M(r) (2) entraine la convergence uniforme de la serie d'interpolation de Newton

vers la fonction /(z).

D'autre part quel que soit le nombre 6 > у il existe une fonction entiere /(z) et une suite de points d'interpolation satisfaisant a la con

dition

, . л(8г)

lim -:—-ггг\ = °°

et telles que la serie de Newton correspondante diverge.

(10)

On peut construire un procede d'interpolation qui converge vers la fonction entiere si la condition (2) est satisfaite avec

Soit 0 < 6 < 1 et

0 < 6 < 1 , C(6)>—Ц-.

l o gx

lim -r—h-h > Ь

N(r) etant la fonction de Nevanlinna pour la suite des points an. Posons

(n)

П (Z — fli) n _

PnkW _ -^ [[ {l—|^|T—; >

TL(ak-ai)<=i гфк

et soit

n

Quel que soit le nombre 6' > 0, si le nombre n est assez grand le polynome d'interpolation Pⁿ(z) satisfait a Pinegalite

\f{z)-Pn(z)\<B'*.

И. Ибрагимов, М. Келдыш, Об интерполяции целых функ- ций, Матем. сб. , 1947, том 20(62), номер 2, 283–291

Math-Net.Ru

Общероссийский математический портал