Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал
Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов, О сведении нормальной ганкелевой задачи к двум частным случаям, Матем. за- метки , 2009, том 85, выпуск 5, 702–710
DOI: https://doi.org/10.4213/mzm5271
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru под- разумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением http://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 118.70.116.132
5 ноября 2022 г., 17:32:46
Математические заметки
Том 85 выпуск 5 май 2009
УДК 512.643
О сведении нормальной ганкелевой задачи к двум частным случаям
Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов
Нормальной ганкелевой задачей (НГЗ) называется задача описания всех комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганкелевы- ми. Результаты, относящиеся к НГЗ и полученные до настоящего времени, могут быть объединены в две группы: с одной стороны, указаны конкретные классы нормальных ганкелевых матриц; с другой стороны, показано, что мат- ричные классы, которые могут содержать нормальные ганкелевы матрицы, не входящие ни в один из известных классов, параметризуются посредством веще- ственных2×2-матриц с определителем1. Мы даем решение НГЗ для случаев, когда характеристическая матрицаW данного класса: а) имеет комплексно со- пряженную пару собственных значений; б) имеет вещественные и различные собственные значения. Для полного решения НГЗ теперь остается проанализи- ровать две ситуации: 1)W – жорданова клетка 2-го порядка для собственного значения1; 2)W – жорданова клетка 2-го порядка для числа−1.
Библиография: 6 названий.
1. Введение. Нормальной ганкелевой задачей (НГЗ) мы называем задачу опи- сания всех комплексных матриц, являющихся одновременно нормальными и ганке- левыми. Эта задача в настоящее время еще не получила полного решения. Дадим краткий обзор частичных результатов, относящихся к НГЗ и известных к моменту написания данной статьи.
С одной стороны, указаны конкретные классы нормальных ганкелевых мат- риц [1], [2]. Среди них:
1) вещественные ганкелевы матрицы и произвольные их комплексные кратные;
2) матрицы вида
αPn+βH, α, β∈C,
где
Pn=
1 . .. 1
Работа второго автора выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных ис- следований (гранты №№ 04-07-90336, 05-01-00721) и Программы фундаментальных исследований отделения математических наук РАН “Вычислительные и информационные проблемы решения больших задач” по проекту “Матричные методы и технологии для задач со сверхбольшим числом неизвестных”.
⃝c Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов, 2009
702
О СВЕДЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ЗАДАЧИ 703 есть перъединичная матрица порядка n, а H – произвольная вещественная центросимметричная ганкелева матрица;
3) блочно-диагональные матрицы вида
αH1+βH2, α, β∈C,
гдеH1 – верхнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядкаk,0<
k < n, а H2 – нижнетреугольная вещественная ганкелева матрица порядка l=n−k; при этом мы называемH1 иH2 соответственноверхнетреугольной и нижнетреугольной ганкелевыми матрицами, если
{H1}ij = 0 при i+j > k+ 1, и
{H2}ij= 0 при i+j < l+ 1;
4) матрицы вида
αH+βH−1, α, β∈C,
где H – невырожденная вещественная верхнетреугольная (или нижнетре- угольная) ганкелева матрица.
С другой стороны, показано (см. [3]), где следует искать нормальные ганкелевы матрицы, не попадающие ни в один из классов 1)–4). Остановимся на этом несколько подробней.
ПустьH – ганкелева матрица порядкаn. Сопоставим ей теплицеву матрицу
T =HPn, (1)
которую запишем в алгебраической форме
T =T1+iT2, (2)
где вещественные матрицы T1=1
2(T+T), T2= 1
2i(T−T) (3)
по-прежнему теплицевы. Как обычно, черта над символом матрицы обозначает операцию поэлементного комплексного сопряжения.
Teopeма 1. Ганкелева матрицаH тогда и только тогда является нормальной, когда
T1T2t=T2T1t. (4)
Пустьa1, . . . , an−1 (соответственноb1, . . . , bn−1) иa−1, . . . , a−n+1 (соответственно b−1, . . . , b−n+1) – внедиагональные элементы соответственно первой строки и первого столбца матрицыT1 (соответственноT2). Составим из этих элементов матрицы
F=
an−1 bn−1 an−2 bn−2
... ... a1 b1
(5)
и
G=
a−1 b−1 a−2 b−2 ... ... a−n+1 b−n+1
. (6)
Оказывается, что указанные выше классы 1)–4) соответствуют решениям уравне- ния (4), для которых ранг каждой из матрицF иG не превосходит единицы. Вы- ясняется, далее, что F и G могут иметь ранг 2 только одновременно и при этом должны быть связаны соотношением
G=F W, (7)
где (вещественная)2×2-матрица W =
α β γ δ
(8) имеет определитель 1:
αδ−βγ= 1. (9)
Матричное равенство (8) в силу определений (5) и (6) эквивалентно скалярным соотношениям
a−i=αan−i+γbn−i, b−i=βan−i+δbn−i, 16i6n−1. (10) Записывая теплицеву матрицу (1) в виде
T =
t0 t1 t2 . . . tn−1 t−1 t0 t1 . . . tn−2 t−2 t−1 t0 . . . tn−3
· · · · t−n+1 t−n+2 t−n+3 . . . t0
, (11)
можем заменить вещественные соотношения (10) комплексными формулами t−i=φtn−i+ψtn−i, 16i6n−1, (12) где
φ=α+δ
2 +iβ−γ
2 , ψ= α−δ
2 +iβ+γ
2 . (13)
Условие (9) приобретает при этом комплексную форму
|φ|2− |ψ|2= 1. (14)
При ψ = 0, |φ| = 1формулы (12) описывают хорошо известный класс φ-цирку- лянтных матриц (или, короче, класс φ-циркулянтов). По этой причине матрицы, определяемые соотношением (12) для фиксированной пары (φ, ψ), были названы в [3] (φ, ψ)-циркулянтами. Отвечающие им ганкелевы матрицы H = TPn будем называть ганкелевыми(φ, ψ)-циркулянтами.
О СВЕДЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ЗАДАЧИ 705 Итак, нормальные ганкелевы матрицы, не попадающие в классы 1)–4), или, точ- нее, соответствующие им теплицевы матрицы следует искать среди(φ, ψ)-циркулян- тов. Подходящий(φ, ψ)-циркулянт должен удовлетворять условию (4). Расписанное поэлементно с учетом соотношений (10), это условие приводит к системеn−1 ска- лярных уравнений относительно a0, a1, . . . , an−1 и b0, b1, . . . , bn−1 (здесь a0 и b0 – диагональные элементы матрицT1иT2; коэффициентыα,β,γ,δ, соответствующие выбранной паре (φ, ψ), предполагаются фиксированными). Эти уравнения явля- ются квадратичными и а priori отнюдь не ясно, допускают ли они вещественные решения.
Для малых порядков n (а именно, для n = 3,4) существование бесконечного множества вещественных решений было показано в [4]. Для произвольных nв [5]
было полностью описано множество решений, соответствующих вещественной паре (φ, ψ), иначе говоря, матрице вида
W =
α 0 0 α−1
(15) (более подробно об этом сказано в п.2).
В настоящей статье наW не накладывается никаких ограничений кроме (9). Мы различаем четыре случая:
1) собственные значенияλ1иλ2матрицыW образуют комплексно сопряженную пару;
2) собственные значенияλ1 иλ2 вещественны и различны;
3) собственные значенияλ1 иλ2 совпадают и матрицаW – диагонализуемая;
4) собственные значенияλ1 иλ2 совпадают и жордановой формой матрицыW является клетка 2-го порядка.
После изложения вспомогательных результатов (см. п.2) мы формулируем и до- казываем в п.3основную лемму, на которой базируется последующий анализ. Затем в пп.4–6 дается решение НГЗ соответственно для случаев 1), 2) и 3). В заключи- тельном п.7 мы показываем, что анализ случая 4) может быть сведен к разбору двух ситуаций, а именно,
W = 1 1
0 1
(16) и
W =
−1 1 0 −1
. (17)
Отсутствующее пока понимание названных ситуаций – это все, что отделяет нас теперь от полного решения нормальной ганкелевой задачи.
2. Вспомогательные результаты. Для заданной пары комплексных чисел (φ, ψ), удовлетворяющей условию (14), обозначим через C(φ, ψ) соответствующий класс (φ, ψ)-циркулянтов. В частности, классыC(1,0) иC(−1,0) состоят из обыч- ных циркулянтов и косых циркулянтов.
Напомним, что матрицаT ∈C(φ, ψ)порождает нормальную ганкелеву матрицу H =TPn тогда и только тогда, когда выполнено условие (4). Для некоторых пар (φ, ψ)описание всех подходящих матрицT известно (см. [4], [5]).
3 Математические заметки, т. 85, в. 5
Одной из таких пар является(1,0). Как известно, спектральное разложение лю- бого n×n-циркулянтаT имеет вид
T =F∗DF, (18)
где D = diag(d1, . . . , dn) – диагональная матрица, аF – матрица дискретного пре- образования Фурье (DFT-матрица).
Teopeма 2. Ганкелева матрица H = TPn, соответствующая матрице T ∈ C(1,0),нормальна тогда и только тогда,когда матрица D в (18) удовлетворяет соотношениям
|dm|=|dn+2−m|, m= 2,3, . . . , n+ 1
2
. (19)
Замечание 1. Пусть t0, t1, . . . , tn−1 – элементы первой строки циркулянта T.
Положим
fT(z) =t0+t1z+· · ·+tn−1zn−1. (20) Обозначим через εпервообразный корень n-й степени из единицы. Тогда (см. [6]) диагональные элементы матрицыD в (18) суть значения многочленаfT(z)на пол- ном наборе1, ε, ε2, . . . , εn−1 корнейn-й степени из единицы. Тем самым, соотноше- ния (19) записываются как условия на элементыt0, t1, . . . , tn−1и могут быть прове- рены непосредственно.
Еще одной подходящей парой является (−1,0). Всякий косой циркулянт имеет спектральное разложение
T =G∗DG, (21)
где D– диагональная матрица, аG– унитарная матрица, составленная по образцу DFT-матрицы F, т.е. как (нормированная) матрица Вандермонда, только вместо корней n-й степени из единицы берутся корни из −1. Условимся, что эти корни занумерованы в таком порядке:
eπ/n, e−π/n, e3π/n, e−3π/n, e5π/n, e−5π/n, . . . . (22) Teopeма 3. Ганкелева матрица H = TPn, соответствующая матрице T ∈ C(−1,0),нормальна тогда и только тогда,когда матрицаDв (21)удовлетворяет соотношениям
|d1|=|d2|, |d3|=|d4|, |d5|=|d6|, . . . . (23) Замечание 2. Диагональные элементы матрицы D суть значения многочле- на (20) в точках последовательности (22). Поэтому соотношения (23) записываются как условия на элементыt0, t1, . . . , tn−1 и могут быть проверены непосредственно.
Рассмотрим теперь вещественную пару (φ, ψ), где φ= 1
2
α+ 1 α
, ψ= 1 2
α− 1
α
, α̸=±1. (24)
Такому классу C(φ, ψ)соответствует диагональная матрицаW (см. (15)). В пред- ставлении (2) матрицы T ∈C(φ, ψ)имеем
a−i=αan−i, b−i=α−1bn−i, 16i6n−1. (25)
О СВЕДЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ЗАДАЧИ 707 Теплицева матрица, удовлетворяющая первому из этих соотношений, называется α-циркулянтом. Таким образом, вещественные матрицыT1 иT2 должны быть со- ответственно α- и α−1-циркулянтами. Очевидно, что, транспонируя α-циркулянт, мы получим α−1-циркулянт.
Teopeма 4. Пусть(φ, ψ)– вещественная пара типа(24).МатрицаT∈C(φ, ψ) порождает нормальную ганкелеву матрицуH =TPn тогда и только тогда,когда матрицыT1иT2в представлении(2)получены одним из следующих двух способов:
1) T1– произвольный вещественный невырожденныйα-циркулянт,T2 – произ- вольное вещественное кратное матрицы T1−t;
2) T1 и T2t – вещественные α-циркулянты, “делящие нуль” ; иначе говоря, T1
и T2 удовлетворяют условию
T1T2t= 0. (26)
Замечание 3. Всякийα-циркулянт имеет спектральное разложение
T =H−1DH, (27)
гдеD– диагональная матрица, аH– матрица Вандермонда, построенная на корнях n-й степени из числа α. Если D1 = diag(d(1)1 , . . . , d(1)n ) и D2 = diag(d(2)1 , . . . , d(2)n ) – диагональные матрицы, соответствующие α-циркулянтам T1 и T2t случая 2), то должны выполняться своеобразные условия дополнительности
d(1)i d(2)i = 0, i= 1,2, . . . , n. (28) В заключение рассмотрим пару вида(φ,0), где|φ|= 1и φ̸=±1.
Teopeма 5. Ганкелева матрицаH=TPn,соответствующаяφ-циркулянту T, нормальна тогда и только тогда, когдаT (и, следовательно, H) есть скалярное кратное унитарной матрицы.
Этот результат получен в [3]. Заметим, что условие теоремы5 может быть про- верено несложными выкладками с элементами матрицы T.
3. Основная лемма. Пусть фиксирована вещественная невырожденная2×2- матрица
V =
v11 v12
v21 v22
. (29)
Мы скажем, что к классуC(φ, ψ)примененоV-преобразование, если всякая матрица T =T1+iT2, T ∈C(φ, ψ), (30) заменена матрицей
Te=Te1+iTe2= (v11T1+v21T2) +i(v12T1+v22T2). (31) Лемма 1. Пусть C(φ, ψ) – класс (φ, ψ)-циркулянтов, характеризуемый мат- рицей W. Тогда V-преобразование этого класса есть класс C(eφ,ψe)-циркулянтов, характеризуемый матрицей
Wf=V−1W V. (32)
Если матрица T ∈C(φ, ψ) порождает нормальную ганкелеву матрицу H =TPn, то это же верно для ееV-преобразования Te∈C(φ,e ψ).e
3*
Доказательство. Будем использовать обозначенияeai,ea−i,ebi,eb−i,Fe,Geдля ве- личин, соответствующих величинамai,a−i,bi,b−i,F,G, связанным с матрицамиT1
и T2. Из определения (31) выводим
Fe=F V и Ge=GV.
Отсюда
Ge=GV =F W V =F Ve −1W V =FefW .
Итак, Te ∈C(eφ,ψe), где (eφ,ψe)– пара, определяемая матрицей fW. Обратно, всякая матрица Te=Te1+iTe2∈C(eφ,ψe)может быть полученаV-преобразованием матрицы T =T1+iT2∈C(φ, ψ),где
T1=u11Te1+u21Te2, T2=u12Te1+u22Te2
и
U =
u11 u12
u21 u22
=V−1.
Пусть матрицаT =T1+iT2∈C(φ, ψ)удовлетворяет условию (4). Тогда Te1Te2t= (v11T1+v21T2)(v12T1+v22T2)t
=v11v12T1T1t+v21v22T2T2t+v11v22T1T2t+v12v21T2T1t и
Te2Te1t=v11v12T1T1t+v21v22T2T2t+v11v22T2T1t+v12v21T1T2t, откуда
Te1Te2t−Te2Te1t= detV ·(T1T2t−T2T1t) = 0.
Лемма доказана.
4. Случай 1). Рассматривается класс C(φ, ψ), характеризуемый матрицейW, собственные значения которой комплексно сопряжены:
λ1=α+iβ, λ2=α−iβ, β̸= 0. (33) Посколькуλ1λ2=|λ1|2= detW = 1, то
α2+β2= 1. (34)
Составим вещественную2×2-матрицу A=
α β
−β α
. (35)
Эта матрица имеет те же собственные значения λ1 и λ2. Поэтому найдется веще- ственная невырожденная 2×2-матрицаU такая, что
A=U−1W U. (36)
Согласно основной лемме U-преобразование класса C(φ, ψ) есть класс C(eφ,0), характеризуемый матрицей A. Для него
φe=α+iβ. (37)
О СВЕДЕНИИ НОРМАЛЬНОЙ ГАНКЕЛЕВОЙ ЗАДАЧИ 709 По теореме4подходящими матрицами из классаC(eφ,0)являются скалярные крат- ные унитарныхφ-циркулянтов. В силу основной леммы, это приводит нас к следу-e ющему выводу: решения нормальной ганкелевой задачи в случае 1)определяются теплицевыми матрицами,получаемыми применениемV-преобразования к скаляр- ным кратным унитарных φ-циркулянтов.e Здесь V =U−1,U – произвольная ве- щественная невырожденная 2×2-матрица,иφe– произвольное комплексное число модуля 1,отличное от1и −1.
5. Случай 2). Рассматривается класс C(φ, ψ), характеризуемый матрицейW, собственные значения которой вещественны и различны. Посколькуλ1λ2=detW=1, то
λ2=λ−11 и λ1̸=λ2. (38)
МатрицаW может быть диагонализована вещественным подобием, т.е. найдется вещественная невырожденная 2×2-матрицаU такая, что
U−1W U =
λ1 0 0 λ−1
= Λ. (39)
Согласно основной лемме U-преобразование класса C(φ, ψ) есть класс C(φ,e ψe), характеризуемый диагональной матрицейΛ. Для него
φe= 1 2
α+ 1
α
, ψe= 1 2
α− 1
α
, где α=λ1. (40)
Подходящие матрицы класса C(φ,e ψe) описаны в теореме 3. Применяя к ним V-преобразование с матрицей V = U−1, получим подходящие матрицы исходного классаC(φ, ψ).
В описанной конструкции U может быть произвольной вещественной невырож- денной 2×2-матрицей, а α=λ1 – произвольным вещественным числом, отличным от 1 и −1. Объединяя результаты по этим степеням свободы, получим решение нормальной ганкелевой задачи для случая 2).
6. Случай 3). Пусть классуC(φ, ψ)соответствует диагонализуемая матрицаW, собственные значения которой совпадают: λ1=λ2=λ. Поскольку λ2= detW = 1, то
λ= 1 или λ=−1. (41)
Первому случаю соответствует матрица W =
1 0 0 1
=I2, (42)
а второму – матрица
W =−I2. (43)
КлассC(φ, ψ), отвечающий матрице (42), – это класс обычных циркулянтов. Под- ходящие матрицы этого класса описаны в теореме1.
Класс C(φ, ψ), отвечающий матрице (43), – это класс косых циркулянтов. Под- ходящие матрицы этого класса описаны в теореме2.
7. Случай 4). Рассматривается класс C(φ, ψ), характеризуемый недиагонали- зуемой матрицейW, собственные значения которой совпадают: λ1=λ2=λ. Как и в п.6заключаем, что
λ= 1 или λ=−1. (44)
ПустьU – вещественная невырожденная2×2-матрица, для которой U−1W U =
1 1 0 1
=J1 (45)
или
U−1W U =
−1 1 0 −1
=J2. (46)
Согласно основной лемме, U-преобразование класса C(φ, ψ) приводит к классу C(eφ,ψe), характеризуемому матрицейJ1или матрицейJ2. Описания этих двух клас- сов мы пока не имеем.
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Х. Д. Икрамов, “К вопросу об описании нормальных ганкелевых матриц”, Фунда- мент.и прикл.матем.,3:3 (1997), 809–819.
[2] Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов, “Об одном новом классе нормальных ганкелевых мат- риц”,Вестн.Моск.ун-та.Сер. 15.Вычислит.матем.,кибернет., 2007, № 1, 10–13.
[3] Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов, “О нормальных ганкелевых матрицах”,Численные ме- тоды и вопросы организации вычислений.XX, Зап. научн. сем. ПОМИ,346, ПОМИ, СПб., 2007, 63–80.
[4] Х. Д. Икрамов, В. Н. Чугунов, “О нормальных ганкелевых матрицах малых поряд- ков”,Матем.заметки,84:2 (2008), 207–218.
[5] V. N. Chugunov, Kh. D. Ikramov, “A contribution to the normal Hankel problem”,Linear Algebra Appl. (to appear).
[6] В. В. Воеводин, Е. Е. Тыртышников,Вычислительные процессы с теплицевыми мат- рицами, Наука, М., 1987.
Х. Д. Икрамов
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
E-mail:ikramov@cs.msu.su В. Н. Чугунов
Институт вычислительной математики РАН E-mail:vadim@bach.inm.ras.ru
Поступило 30.08.2008
